第2课时 用二分法求方程的近似解
学习 目标 1. 了解二分法的原理及其适用条件． 2. 掌握二分法的实施步骤，体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P144—P146，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间 ，使所得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2. 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1) 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 ．
(2) 求区间(a，b)的 ．
(3) 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 (此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若 (此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若 (此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4).
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由|a－b|<ε可知，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值(想一想，为什么).
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 二分法求函数的零点的近似值适合于零点两侧函数值异号的函数．( )
(2) 用二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(3) 函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(4) 用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
典例精讲能力初成
探究1 二分法概念的理解
例1 (1) 下列图象对应的函数中不能用二分法求零点的是( B )
A B
C D
(2) 用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是 ．
用二分法求函数零点应具备的条件
(1) 函数图象在零点附近连续不断；
(2) 在该零点左右两侧的函数值异号．
只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
变式 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
(变式)
A. 4，4
B. 3，4
C. 5，4
D. 4，3
探究2 确定零点(根)所在的区间
例2 用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A. (－2，1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
变式 (1) 用二分法求方程x＋lg x－3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是( )
A. [1，2] B. [2，3]
C. [3，4] D. [4，5]
(2) 函数f(x)＝－＋log2x的零点所在的区间是( )
A. B.
C. (1，2) D. (2，3)
探究3 用二分法求零点的近似值
例3 (课本P146例2)借助信息技术，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1).
利用二分法求方程的近似解的步骤：(1) 构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3) 区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
变式 证明：函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
随堂内化及时评价
1. 当用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( )
A. 1 B. －1
C. 0.25 D. 0.75
2. 当用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为( )
A. (1，2) B. (1.75，2)
C. (1.5，2) D. (1，1.5)
3. 在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5<0，f(2)＝3>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是( )
A. (1，1.5) B. (1.5，1.625)
C. (1.625，1.75) D. (1.75，2)
4. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( )
A. 1.4 B. 1.3
C. 1.2 D. 1.5
5. (2025·淄博期末)下列函数零点不能用二分法求出的是( )
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝x＋－4
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x＋1
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )
A B
C D
2. 用二分法求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln (2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(误差不超过0.1)为( )
A. 1.125 B. 1.312 5
C. 1.437 5 D. 1.468 75
3. 一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测( )
A. 4次 B. 6次
C. 8次 D. 30次
4. 设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5)
C. (1.5，2) D. 不能确定
二、 多项选择题
5. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A. B. [－2，1]
C. D.
6. 某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为( )
A. 2.62 B. 2.56
C. 2.531 D. 2.75
三、 填空题
7. 用二分法求方程x3－2x－5＝0的实根，由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，那么下一个有根区间为 ．
8. 已知f(x)＝－ln x在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝ ．若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1)，则至少需要将区间等分 次．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1) 证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2) 使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
10. 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1，1)上有一个零点．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的根．
11. (多选)已知a是函数f(x)＝ex＋2x－3的零点，则下列各数为正数的是( )
A. ea－1 B. a2－a
C. ln a D. a2－a3
12. 在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币．
13. 已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.025)的近似值时，规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|<2ε时，就可以用区间中点作为零点的近似值，那么x0≈ ．第2课时 用二分法求方程的近似解
学习 目标 1. 了解二分法的原理及其适用条件． 2. 掌握二分法的实施步骤，体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
新知初探基础落实
游戏规则：某掌上电脑的价格在1 000—3 000元之间，猜测它的价格，猜对了就是你的了．每次猜后主持人会给出“多了”还是“少了”的提示，在10秒内回答且误差不超过5元时算猜对．
思考1：主持人给“多了”还是“少了”的提示有什么作用？
思考2：如何猜才能最快猜出商品价格？
一、 生成概念
问题1：你能求下列方程的解吗？
(1) x2－2x－3＝0；
(2) ln x＋2x－6＝0.
略．
问题2：你能不能确定方程ln x＋2x－6＝0根的大致范围呢？
方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)有零点．回顾函数零点存在定理，发现函数在区间(2，3)上有零点．一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
我们已经知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内．
再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内．
大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．
一般地，称x＝为区间(a，b)的中点．
由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(如下表和图)．这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 －0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2.625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.562 5) 2.531 25 －0.009
(2.531 25，2.562 5) 2.546 875 0.029
(2.531 25，2.546 875) 2.539 062 5 0.010
(2.531 25，2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001
例如，当精确度为0.01时，因为＝0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0的近似解．
请同学阅读课本P144—P146，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间__一分为二__，使所得区间的两个端点__逐步逼近零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2. 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1) 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__．
(2) 求区间(a，b)的__中点c__．
(3) 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若__f(c)＝0__(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若__f(a)f(c)<0__(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若__f(c)f(b)<0__(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4) 判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4).
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由|a－b|<ε可知，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值(想一想，为什么).
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 二分法求函数的零点的近似值适合于零点两侧函数值异号的函数．( √ )
(2) 用二分法所求出的方程的解都是近似解．( × )
(3) 函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( × )
(4) 用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( × )
典例精讲能力初成
探究1 二分法概念的理解
例1 (1) 下列图象对应的函数中不能用二分法求零点的是( B )
A B
C D
【解析】观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点．
(2) 用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是__(1，2)__．
【解析】设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，则f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以下一个有根的区间是(1，2).
用二分法求函数零点应具备的条件
(1) 函数图象在零点附近连续不断；
(2) 在该零点左右两侧的函数值异号．
只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
变式 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( D )
(变式)
A. 4，4
B. 3，4
C. 5，4
D. 4，3
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点， 所以可以用二分法求解的个数为3.
探究2 确定零点(根)所在的区间
例2 用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( A )
A. (－2，1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
【解析】因为f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，所以f(－2)f(1)<0，所以函数f(x)在(－2，1)上有零点．故可以取区间(－2，1)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算．
变式 (1) 用二分法求方程x＋lg x－3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是( B )
A. [1，2] B. [2，3]
C. [3，4] D. [4，5]
【解析】设f(x)＝x＋lg x－3，显然函数图象是连续的，则有f(1)＝－2<0，f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，f(4)＝1＋lg 4>0，f(5)＝2＋lg 5>0，所以f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，f(4)·f(5)>0，故区间[2，3]可以作为初始区间．
(2) 函数f(x)＝－＋log2x的零点所在的区间是( C )
A. B.
C. (1，2) D. (2，3)
【解析】易知y＝－与y＝log2x都是增函数，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－＝>0，所以f(x)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2).
探究3 用二分法求零点的近似值
例3 (课本P146例2)借助信息技术，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1).
【解答】原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用信息技术画出函数y＝f(x)的图象如图所示，并列出它的对应值如下表．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y －6 －2 3 10 21 40 75 142 273
观察图、表可知f(1)f(2)<0，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0.取区间(1，2)的中点x1＝1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5).再取区间(1，1.5)的中点x2＝1.25，用信息技术算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.437 5).由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.375.
(例3答)
利用二分法求方程的近似解的步骤：(1) 构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3) 区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
变式 证明：函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
【解答】因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2).取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5).取x2＝1.25，f(1.25)≈0.13>0，f(1)f(1.25)<0，所以x0∈(1，1.25).取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)f(1.25)<0，所以x0∈(1.125，1.25).取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)f(1.25)<0，所以x0∈(1.187 5，1.25).因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0＝1.25.
随堂内化及时评价
1. 当用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( C )
A. 1 B. －1
C. 0.25 D. 0.75
【解析】x1＝＝0.25.
2. 当用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为( C )
A. (1，2) B. (1.75，2)
C. (1.5，2) D. (1，1.5)
【解析】由题知f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－<0，所以零点所在的区间为(1.5，2).
3. 在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5<0，f(2)＝3>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是( C )
A. (1，1.5) B. (1.5，1.625)
C. (1.625，1.75) D. (1.75，2)
【解析】因为f(1.625)<0，f(1.75)>0，所以方程的根落在区间(1.625，1.75)内．
4. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( A )
A. 1.4 B. 1.3
C. 1.2 D. 1.5
【解析】由f(1.437 5)>0，f(1.375)<0，又因为题中要求精确到0.1，|1.437 5－1.375|＝
0.062 5<0.1，所以原方程的一个近似解为 1.4.
5. (2025·淄博期末)下列函数零点不能用二分法求出的是( C )
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝x＋－4
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x＋1
【解析】对于A，f(x)＝x3－1在R上单调递增，且与x轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，排除A；对于B，当x<0时，f(x)＝x＋－4＝－－4≤－2－4＝－6，当且仅当x＝－1时等号成立，无零点；当x>0时f(x)＝x＋－4≥2－4＝－2，当且仅当x＝1时等号成立，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时有两个零点x＝2±，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，排除B；对于C，由题意可知f(x)＝x2＋2x＋2＝只有一个零点x＝－，且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不能用二分法求解该零点，C符合；对于D，f(x)＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，在(－∞，2)单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝5>0，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，排除D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( D )
A B
C D
2. 用二分法求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln (2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(误差不超过0.1)为( B )
A. 1.125 B. 1.312 5
C. 1.437 5 D. 1.468 75
【解析】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
3. 一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测( B )
A. 4次 B. 6次
C. 8次 D. 30次
【解析】第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次．
4. 设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( B )
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5)
C. (1.5，2) D. 不能确定
二、 多项选择题
5. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( ACD )
A. B. [－2，1]
C. D.
【解析】因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，所以第三次所取的区间可能是，，，.
6. 某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为( BC )
A. 2.62 B. 2.56
C. 2.531 D. 2.75
【解析】因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域内单调递增，结合表格中的数据：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解所在区间可以是(2，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)，根据区间的长度计算分别为1，0.25，0.125，0.062 5，根据精确度为0.1，可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在区间(2.5，2.562 5)上，根据精确度为0.1的要求，可在区间(2.5，2.562 5)上任选一个值作为该方程的近似解．
三、 填空题
7. 用二分法求方程x3－2x－5＝0的实根，由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，那么下一个有根区间为__(2，2.5)__．
8. 已知f(x)＝－ln x在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝__1__．若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1)，则至少需要将区间等分__4__次．
【解析】f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1>0，f(2)＝－ln 2<0，所以f(x)的零点x0∈(1，2)，故n＝1.设至少需等分n次，则≤0.1且n∈N，解得n≥4，故至少需等分4次．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1) 证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
【解答】因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)·f(2)＝－<0，又因为f(x)的图象连续不间断，由函数的零点存在定理可得函数f(x)在区间(0，2)内存在零点，即方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2) 使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
【解答】取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一个有解区间为(1，2)，再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，所以f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为，再取x3＝＝，得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.综上所述，所求的实数解x0在区间内．
10. 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1，1)上有一个零点．
(1) 求实数a的取值范围；
【解答】若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，所以a≠0.由题意，得f(－1)f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，解得1
(2) 若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的根．
【解答】若a＝，则f(x)＝x3－x＋，所以f(－1)＝＞0，f(0)＝＞0，f(1)＝－<0，所以函数f(x)的零点在区间(0，1)上．又f＝0，所以方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的根为.
11. (多选)已知a是函数f(x)＝ex＋2x－3的零点，则下列各数为正数的是( AD )
A. ea－1 B. a2－a
C. ln a D. a2－a3
【解析】易得f(x)＝ex＋2x－3是R上的增函数，因为f(0)＝－2<0，f(1)＝e－1>0，所以a∈(0，1)，则ea－1>0，a2－a＝a(a－1)<0，ln a<0，a2－a3＝a2(1－a)>0.
12. 在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__3__次就可以发现假币．
【解析】将12枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚金币里面，将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面，将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币．
13. 已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.025)的近似值时，规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|<2ε时，就可以用区间中点作为零点的近似值，那么x0≈____．
【解析】因为f(0)＜0，f(1)＞0，f＜0，所以x0∈，＝＞2×0.025＝0.05.因为f＜0，f＞0，所以x0∈，＝＝0.25＞2×0.025＝0.05.因为f＜0，f＞0，所以x0∈，＝＝0.125＞2×0.025＝0.05.又f＞0，f＜0，所以x0∈，＝＝0.062 5＞2×0.025＝0.05.因为f＜0，f＞0，所以x0∈，＝0.031 25＜2×0.025＝0.05，所以函数的零点x0≈＝.(共48张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第2课时 用二分法求方程的近似解
学习 目标 1. 了解二分法的原理及其适用条件．
2. 掌握二分法的实施步骤，体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
新知初探 基础落实
游戏规则：某掌上电脑的价格在1 000—3 000元之间，猜测它的价格，猜对了就是你的了．每次猜后主持人会给出“多了”还是“少了”的提示，在10秒内回答且误差不超过5元时算猜对．
思考1：主持人给“多了”还是“少了”的提示有什么作用？
思考2：如何猜才能最快猜出商品价格？
一、 生成概念
问题1：你能求下列方程的解吗？
(1) x2－2x－3＝0；
(2) ln x＋2x－6＝0.
问题2：你能不能确定方程ln x＋2x－6＝0根的大致范围呢？
方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)有零点．回顾函数零点存在定理，发现函数在区间(2，3)上有零点．一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
我们已经知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内．
再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内．
大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．
由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(如下表和图)．这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 －0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2.625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.562 5) 2.531 25 －0.009
(2.531 25，2.562 5) 2.546 875 0.029
(2.531 25，2.546 875) 2.539 062 5 0.010
(2.531 25，2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0的近似解．
请同学阅读课本P144—P146，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且________________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间___________，使所得区间的两个端点_______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2. 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1) 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证________________．
(2) 求区间(a，b)的________．
(3) 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若__________(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若______________(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若______________(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
f(a)·f(b) ＜0
一分为二
逐步逼近零点
f(a)·f(b) ＜0
中点c
f(c)＝0
f(a)f(c) ＜0
f(c)f(b) ＜0
(4) 判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4).
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由|a－b|<ε可知，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值(想一想，为什么).
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 二分法求函数的零点的近似值适合于零点两侧函数值异号的函数． ( )
(2) 用二分法所求出的方程的解都是近似解． ( )
(3) 函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． ( )
(4) 用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．
( )
√
×
×
×
典例精讲 能力初成
探究
(1) 下列图象对应的函数中不能用二分法求零点的是 ( )
1
二分法概念的理解
1
B
【解析】观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点．
(2) 用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是_________．
【解析】设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，则f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以下一个有根的区间是(1，2).
(1，2)
用二分法求函数零点应具备的条件
(1) 函数图象在零点附近连续不断；
(2) 在该零点左右两侧的函数值异号．
只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点， 所以可以用二分法求解的个数为3.
变式
已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 ( )
A. 4，4
B. 3，4
C. 5，4
D. 4，3
D
探究
用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是 ( )
A. (－2，1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
2
确定零点(根)所在的区间
2
A
【解析】因为f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，所以f(－2)f(1)<0，所以函数f(x)在(－2，1)上有零点．故可以取区间(－2，1)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算．
【解析】设f(x)＝x＋lg x－3，显然函数图象是连续的，则有f(1)＝－2<0，f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，f(4)＝1＋lg 4>0，f(5)＝2＋lg 5>0，所以f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，f(4)·f(5)>0，故区间[2，3]可以作为初始区间．
变式
(1) 用二分法求方程x＋lg x－3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是 ( )
A. [1，2] B. [2，3]
C. [3，4] D. [4，5]
B
C
探究
(课本P146例2)借助信息技术，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1).
3
用二分法求零点的近似值
3
【解答】原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用信息技术画出函数y＝f(x)的图象如图所示，并列出它的对应值如下表．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y －6 －2 3 10 21 40 75 142 273
观察图、表可知f(1)f(2)<0，说明该函数在区间(1，2)内存在零
点x0.取区间(1，2)的中点x1＝1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5).再取区间(1，1.5)的中点
x2＝1.25，用信息技术算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0，
所以x0∈(1.25，1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，
1.437 5).由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近
似解可取为1.375.
利用二分法求方程的近似解的步骤：(1) 构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3) 区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
【解答】因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2).取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5).取x2＝1.25，f(1.25)≈0.13>0，f(1)f(1.25)<0，所以x0∈(1，1.25).取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)f(1.25)<0，所以x0∈(1.125，1.25).取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)f(1.25)<0，所以x0∈(1.187 5，1.25).因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0＝1.25.
变式
证明：函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
随堂内化 及时评价
1. 当用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于 ( )
A. 1 B. －1
C. 0.25 D. 0.75
C
2. 当用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为 ( )
A. (1，2) B. (1.75，2)
C. (1.5，2) D. (1，1.5)
C
3. 在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5<0，f(2)＝3>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是 ( )
A. (1，1.5) B. (1.5，1.625)
C. (1.625，1.75) D. (1.75，2)
C
【解析】因为f(1.625)<0，f(1.75)>0，所以方程的根落在区间(1.625，1.75)内．
4. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
【解析】由f(1.437 5)>0，f(1.375)<0，又因为题中要求精确到0.1，|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，所以原方程的一个近似解为 1.4.
则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为 ( )
A. 1.4 B. 1.3
C. 1.2 D. 1.5
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
A
【答案】C
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是 ( )
D
2. 用二分法求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
【解析】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
则由表中的数据，可得方程ln (2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(误差不超过0.1)为
( )
A. 1.125 B. 1.312 5 C. 1.437 5 D. 1.468 75
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
B
3. 一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测 ( )
A. 4次 B. 6次 C. 8次 D. 30次
B
【解析】第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次．
4. 设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间 ( )
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5)
C. (1.5，2) D. 不能确定
B
二、 多项选择题
5. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是 ( )
ACD
6. 某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为 ( )
A. 2.62 B. 2.56
C. 2.531 D. 2.75
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
【解析】因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域内单调递增，结合表格中的数据：
可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解所在区间可以是(2，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)，根据区间的长度计算分别为1，0.25，0.125，0.062 5，根据精确度为0.1，可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在区间(2.5，2.562 5)上，根据精确度为0.1的要求，可在区间(2.5，2.562 5)上任选一个值作为该方程的近似解．
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
【答案】BC
三、 填空题
7. 用二分法求方程x3－2x－5＝0的实根，由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，那么下一个有根区间为___________．
(2，2.5)
1
4
(2) 使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
10. 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1，1)上有一个零点．
(1) 求实数a的取值范围；
【解答】若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，所以a≠0.由题意，得f(－1)f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，解得111. (多选)已知a是函数f(x)＝ex＋2x－3的零点，则下列各数为正数的是 ( )
A. ea－1 B. a2－a
C. ln a D. a2－a3
AD
【解析】易得f(x)＝ex＋2x－3是R上的增函数，因为f(0)＝－2<0，f(1)＝e－1>0，所以a∈(0，1)，则ea－1>0，a2－a＝a(a－1)<0，ln a<0，a2－a3＝a2(1－a)>0.
12. 在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称____次就可以发现假币．
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【解析】将12枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚金币里面，将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面，将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币．