第3课时 函数模型的应用
学习 目标 1. 会利用已知函数模型解决实际问题． 2. 能通过建立函数模型解决实际问题，了解拟合函数模型并解决实际问题．
新知初探基础落实
常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝__bax＋c__(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝__axn＋b__(a，b为常数，a≠0)
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
典例精讲能力初成
探究1 常见的几种函数模型
视角1 指数函数模型
例1-1 (课本P148例3改)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数．
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954
人口数/万 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
年份 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 61 465 62 828 64 563 65 994 67 207
(1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
【解答】设1951～1959年我国各年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55 196(1＋r1)＝56 300，可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈
0.025 0，r5≈0.022 9，r6≈0.022 2，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 5.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 5t，t∈N.根据表中的数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.022 5t(t∈N)的图象(下图).由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(例1-1答)
(2) 如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口总数达到13亿？
【解答】将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 5t，由计算工具得t≈38.07.所以如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第38年(即1988年)我国的人口就已达到13亿．
有关指数增长(衰减)问题
(1) 熟练应用指数函数模型y＝a(1±x)n，a>0，0(2) 对于比较复杂的问题，可以通过写出前1～3次的表达式，找出规律后再写第n次的．
变式 一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1) 求每年砍伐面积的百分比；
【解答】设每年砍伐面积的百分比为x(0(2) 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解答】设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即＝，则＝，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
(3) 今后最多还能砍伐多少年？
【解答】从今年开始，n年后剩余面积为a(1－x)n.令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，≥，则≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．
视角2 对数函数模型
例1-2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1) 求出v关于Q的函数解析式；
【解答】设v＝k·log3，因为当Q＝900时，v＝1，所以1＝k·log3，所以k＝，故v关于Q的函数解析式为v＝log3.
(2) 计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数；
【解答】令v＝1.5，则1.5＝log3，解得Q＝2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位．
(3) 一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？
【解答】设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1，v2，由题意知v2－v1＝1，即log3－log3＝1，所以log3＝1，所以＝9，即Q2＝9Q1.故鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍．
利用已知函数模型解决实际问题
(1) 利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(2) 涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
探究2 利用拟合函数模型解决实际问题
例2 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为了估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
【解答】将(1，50)，(2，52)分别代入两个解析式，得或(a>0)，解得(两方程组的解相同)，所以两函数分别为y＝2x＋48，y＝2x＋48.当x＝3时，对于y＝2x＋48，得y＝54；当x＝3时，对于y＝2x＋48，得y＝56.因为56与53.9的误差较大，所以选y＝ax＋b较好．
探究3 根据增长率选择合适的函数模型
例3 (课本P150例5)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【解答】设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算以下三种方案所得回报的增长情况(如下表).
x 方案一 方案二 方案三
y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4
再画出三个函数的图象如图所示．
(例3答)
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下表．
方 案 天数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
变式 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A. y＝2x B. y＝log2x
C. y＝(x2－1) D. y＝2.61x
【解析】方法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随x变大增长率变小，只有B符合．
(变式答)
方法二：对于A，函数y＝2x是指数函数，增长速度很快，且在x＝2时，y＝4，x＝4时，y＝16，代入值偏差较大，不符合要求；对于B，函数y＝log2x是对数函数，增长速度缓慢，且在x＝2时，y＝1，x＝4时，y＝2，基本符合要求；对于C，函数y＝(x2－1)是二次函数，且当x＝2时，y＝1.5，x＝4时，y＝7.5，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数y＝2.61x，当x＝3时，y＝7.83，代入值偏差较大，不符合要求．
随堂内化及时评价
1. 若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( A )
A. y＝0.957 6 B. y＝(0.957 6)100x
C. y＝ D. y＝1－0.042 4
2. 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位：只)与时间x(单位：年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2023年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2029年冬有越冬白鹤( C )
A. 4 000只 B. 5 000只
C. 6 000只 D. 7 000只
【解析】当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2029年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.
3. 某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( D )
A. y＝2x－1
B. y＝x2－1
C. y＝2x－1
D. y＝1.5x2－2.5x＋2
【解析】将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合．
4. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，6)进行整理，得到数据如下表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.00
根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( B )
A. y＝0.5(x＋1) B. y＝log3x＋1.5
C. y＝2x－1 D. y＝2
【解析】根据表中数据可得y随着x的增长而增长，且增长速度越来越趋于平缓，排除A，C；若y＝log3x＋1.5，当x＝1时，则y＝log31＋1.5＝1.5；当x＝2时，则y＝log32＋1.5≈2.13.若y＝2，当x＝1时，则y＝2；当x＝2时，则y＝2≈2.83，所以排除D，故选B.
5. (课本P154练习1)某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
【解答】若按模型y＝ax2＋bx＋c，将(1，52)，(2，61)，(3，68)代入得解得所以y＝－x2＋12x＋41.若按模型y＝pqx＋r，将(1，52)，(2，61)，(3，68)代入得解得所以y＝－·＋.模型比较：
x 4 5 6
y＝－x2＋12x＋41 73 76 77
y＝－·＋ 73.4 77.7 81
实际人数 74 78 83
比较发现，采用模型y＝pqx＋r与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
( D )
A. 2022年 B. 2023年
C. 2024年 D. 2025年
【解析】设2021年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，所以n≥4，所以从2025年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
2. 有一组试验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是( B )
A. y＝2x－1 B. y＝x2－1
C. y＝2log2x D. y＝x3
【解析】当x＝2.01时，y＝2x－1＝22.01－1≈3，y＝x2－1＝2.012－1≈3，y＝2log2x＝2log22.01≈2，y＝x3＝2.013≈8，当x＝3时，y＝23－1＝7，y＝32－1＝8，y＝2log23<4，y＝33＝27，可知C，D模型偏差较大，可排除C，D；当x＝4.01时，y＝24.01－1≈15，y＝4.012－1≈15，当x＝5.1时，y＝25.1－1≈31，y＝5.12－1≈24，可知A模型偏差较B模型偏差大，可排除A，选择B.
3. 在某种药物实验中，规定100 mL血液中药物含量低于20 mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8 mg/mL，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过______个小时才会“药物失效”(参考数据：lg 2≈0.301 0) ( D )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】在药物实验中，100 mL血液中药物含量为20 mg的浓度为0.2，设至少经过t个小时才会“药物失效”，根据题意，0.8(1－0.2)t<0.2，两边取对数得t ln 0.8＝－2log2＝＝＝≈≈6.206.所以至少经过7个小时才会“药物失效”．
4. 已知某塑料垃圾的自然分解率y与时间t(单位：年)满足函数关系式y＝at(其中a为非零常数)．若经过10年，这种垃圾的分解率为1%，那么经过50年，这种垃圾的分解率大约是( D )
A. 80% B. 64%
C. 32% D. 16%
【解析】由题意知，当t＝10时，1%＝a10，即a10＝200×1%＝2，所以当t＝50时，y＝a50＝(a10)5＝＝16%.
二、 多项选择题
5. 一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值可以为( AB )
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
6. 为了预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝(a为常数)，则( AD )
(第6题)
A. 当0≤x≤0.2时，y＝5x
B. 当x>0.2时，y＝
C. h后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下
D. h后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下
【解析】当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.2k，故k＝5，即y＝5x，故A正确；当x>0.2时，把(0.2，1)代入y＝可得＝1，所以a＝0.2，即y＝，故B错误；令<0.25，即<，所以3x－0.6>2，解得x>，故C错误，D正确．
三、 填空题
7. 某市出租车收费标准如下：2公里以内(包含2公里)收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算．已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是__13__公里．
8. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y(单位：升/小时)与液体所处环境的温度x(单位：℃)近似地满足函数y＝ekx＋b(k，b为常数).该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20 ℃的蒸发速度为__0.4__升/小时．
【解析】由y＝ekx＋b及已知条件得0.1＝ek×0+b，所以eb＝0.1，解得b＝ln 0.1.又0.8＝
e30k＋b，所以30k＋ln 0.1＝ln 0.8，解得k＝，所以y＝ex＋ln 0.1，则该液体在20 ℃的蒸发速度为y＝eln 8＋ln 0.1＝eln 0.4＝0.4.
四、 解答题
9. 中国“一带一路”倡议构思提出后，宜兴某企业为抓住“一带一路”的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产x台需要另投入成本C(x)万元，当年产量不足80台时，C(x)＝x2＋130x＋50；当年产量不少于80台时，C(x)＝201x＋－2 781.若每台售价为200万元．通过市场分析，该企业生产的该设备能全部售完．
(1) 求年利润y(万元)关于年产量x台的函数关系式；
【解答】当0(2) 当年产量为多少台时，该企业所获的利润最大，并求出最大利润．
【解答】当02 000，故当年产量为91台时，企业所获利润最大，最大值为2 200万元．
10. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%，则该企业就考虑转型，下表是某企业几年来年利润y(单位：百万元)与投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①y＝－x＋b；②y＝abx(a≠0，b>0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)．
(1) 选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
【解答】由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的增大而增大，而①y＝－x＋b是减函数，所以不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)，得解得所以y＝·()x＝2.当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，得解得所以y＝log2(x－1).当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．
(2) 试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解答】令log2(x－1)≥6，则x≥65.因为＜10%，所以该企业要考虑转型．第3课时 函数模型的应用
学习 目标 1. 会利用已知函数模型解决实际问题． 2. 能通过建立函数模型解决实际问题，了解拟合函数模型并解决实际问题．
新知初探基础落实
常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝ (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝ (a，b为常数，a≠0)
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
典例精讲能力初成
探究1 常见的几种函数模型
视角1 指数函数模型
例1-1 (课本P148例3改)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数．
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954
人口数/万 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
年份 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 61 465 62 828 64 563 65 994 67 207
(1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2) 如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口总数达到13亿？
有关指数增长(衰减)问题
(1) 熟练应用指数函数模型y＝a(1±x)n，a>0，0(2) 对于比较复杂的问题，可以通过写出前1～3次的表达式，找出规律后再写第n次的．
变式 一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1) 求每年砍伐面积的百分比；
(2) 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3) 今后最多还能砍伐多少年？
视角2 对数函数模型
例1-2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1.
(1) 求出v关于Q的函数解析式；
(2) 计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数；
(3) 一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？
利用已知函数模型解决实际问题
(1) 利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(2) 涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
探究2 利用拟合函数模型解决实际问题
例2 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为了估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
探究3 根据增长率选择合适的函数模型
例3 (课本P150例5)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
变式 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A. y＝2x B. y＝log2x
C. y＝(x2－1) D. y＝2.61x
随堂内化及时评价
1. 若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A. y＝0.957 6 B. y＝(0.957 6)100x
C. y＝ D. y＝1－0.042 4
2. 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位：只)与时间x(单位：年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2023年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2029年冬有越冬白鹤( )
A. 4 000只 B. 5 000只
C. 6 000只 D. 7 000只
3. 某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A. y＝2x－1
B. y＝x2－1
C. y＝2x－1
D. y＝1.5x2－2.5x＋2
4. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，6)进行整理，得到数据如下表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.00
根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )
A. y＝0.5(x＋1) B. y＝log3x＋1.5
C. y＝2x－1 D. y＝2
5. (课本P154练习1)某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
配套新练案
一、 单项选择题
1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
( )
A. 2022年 B. 2023年
C. 2024年 D. 2025年
2. 有一组试验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A. y＝2x－1 B. y＝x2－1
C. y＝2log2x D. y＝x3
3. 在某种药物实验中，规定100 mL血液中药物含量低于20 mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8 mg/mL，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过______个小时才会“药物失效”(参考数据：lg 2≈0.301 0) ( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
4. 已知某塑料垃圾的自然分解率y与时间t(单位：年)满足函数关系式y＝at(其中a为非零常数)．若经过10年，这种垃圾的分解率为1%，那么经过50年，这种垃圾的分解率大约是( )
A. 80% B. 64%
C. 32% D. 16%
二、 多项选择题
5. 一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值可以为( )
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
6. 为了预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝(a为常数)，则( )
(第6题)
A. 当0≤x≤0.2时，y＝5x
B. 当x>0.2时，y＝
C. h后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下
D. h后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下
三、 填空题
7. 某市出租车收费标准如下：2公里以内(包含2公里)收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算．已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是
公里．
8. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y(单位：升/小时)与液体所处环境的温度x(单位：℃)近似地满足函数y＝ekx＋b(k，b为常数).该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20 ℃的蒸发速度为 升/小时．
四、 解答题
9. 中国“一带一路”倡议构思提出后，宜兴某企业为抓住“一带一路”的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产x台需要另投入成本C(x)万元，当年产量不足80台时，C(x)＝x2＋130x＋50；当年产量不少于80台时，C(x)＝201x＋－2 781.若每台售价为200万元．通过市场分析，该企业生产的该设备能全部售完．
(1) 求年利润y(万元)关于年产量x台的函数关系式；
(2) 当年产量为多少台时，该企业所获的利润最大，并求出最大利润．
10. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%，则该企业就考虑转型，下表是某企业几年来年利润y(单位：百万元)与投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①y＝－x＋b；②y＝abx(a≠0，b>0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)．
(1) 选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2) 试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．(共51张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
学习 目标 1. 会利用已知函数模型解决实际问题．
2. 能通过建立函数模型解决实际问题，了解拟合函数模型并解决实际问题．
新知初探 基础落实
常见的几种函数模型
bax＋c
axn＋b
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
典例精讲 能力初成
探究
视角1 指数函数模型
(课本P148例3改)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数．
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
1
常见的几种函数模型
1－1
年份 1950 1951 1952 1953 1954
人口数/万 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
年份 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 61 465 62 828 64 563 65 994 67 207
(1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
【解答】设1951～1959年我国各年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55 196(1＋r1)＝56 300，可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.022 9，r6≈0.022 2，r7≈
0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959
年期间，我国人口的年平均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋
r9)÷9≈0.022 5.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年
期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 5t，t∈N.根据表
中的数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.022 5t
(t∈N)的图象(如图).由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(2) 如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口总数达到13亿？
【解答】将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 5t，由计算工具得t≈38.07.所以如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第38年(即1988年)我国的人口就已达到13亿．
年份 1950 1951 1952 1953 1954
人口数/万 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
年份 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 61 465 62 828 64 563 65 994 67 207
有关指数增长(衰减)问题
(1) 熟练应用指数函数模型y＝a(1±x)n，a>0，0(2) 对于比较复杂的问题，可以通过写出前1～3次的表达式，找出规律后再写第n次的．
变式
(1) 求每年砍伐面积的百分比；
(2) 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3) 今后最多还能砍伐多少年？
(1) 求出v关于Q的函数解析式；
1－2
(2) 计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数；
(3) 一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？
利用已知函数模型解决实际问题
(1) 利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(2) 涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
探究
某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
2
利用拟合函数模型解决实际问题
2
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为了估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
探究
(课本P150例5)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
3
根据增长率选择合适的函数模型
3
【解答】设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算以下三种方案所得回报的增长情况(如下表).
x 方案一 方案二 方案三 y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
x 方案一 方案二 方案三 y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4
再画出三个函数的图象如图所示．
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，
方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下表．
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
方 案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
【解析】方法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随x变大增长率变小，只有B符合．
变式
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( )
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
【答案】B
随堂内化 及时评价
A
2. 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位：只)与时间x(单位：年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2023年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2029年冬有越冬白鹤 ( )
A. 4 000只 B. 5 000只
C. 6 000只 D. 7 000只
C
【解析】当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2029年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.
3. 某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
【解析】将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合．
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是 ( )
A. y＝2x－1 B. y＝x2－1
C. y＝2x－1 D. y＝1.5x2－2.5x＋2
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
D
4. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，6)进行整理，得到数据如下表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.00
【答案】B
5. (课本P154练习1)某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
比较发现，采用模型y＝pqx＋r与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) ( )
A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年
D
2. 有一组试验数据如下表所示：
【解析】当x＝2.01时，y＝2x－1＝22.01－1≈3，y＝x2－1＝2.012－1≈3，y＝2log2x＝2log22.01≈2，y＝x3＝2.013≈8，当x＝3时，y＝23－1＝7，y＝32－1＝8，y＝2log23<4，y＝33＝27，可知C，D模型偏差较大，可排除C，D；当x＝4.01时，y＝24.01－1≈15，y＝4.012－1≈15，当x＝5.1时，y＝25.1－1≈31，y＝5.12－1≈24，可知A模型偏差较B模型偏差大，可排除A，选择B.
则最能体现这组数据关系的函数模型是 ( )
A. y＝2x－1 B. y＝x2－1 C. y＝2log2x D. y＝x3
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
B
3. 在某种药物实验中，规定100 mL血液中药物含量低于20 mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8 mg/mL，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过______个小时才会“药物失效”(参考数据：lg 2≈0.301 0)
( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
D
D
二、 多项选择题
5. 一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值可以为 ( )
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
AB
【答案】AD
三、 填空题
7. 某市出租车收费标准如下：2公里以内(包含2公里)收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算．已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是_____公里．
13
8. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y(单位：升/小时)与液体所处环境的温度x(单位：℃)近似地满足函数y＝ekx＋b(k，b为常数).该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20 ℃的蒸发速度为______升/小时．
0.4
10. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%，则该企业就考虑转型，下表是某企业几年来年利润y(单位：百万元)与投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝－x＋b；②y＝abx(a≠0，b>0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)．
年份 2015 2016 2017 2018 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
(1) 选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
年份 2015 2016 2017 2018 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
年份 2015 2016 2017 2018 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
(2) 试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
10. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%，则该企业就考虑转型，下表是某企业几年来年利润y(单位：百万元)与投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝－x＋b；②y＝abx(a≠0，b>0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)．
年份 2015 2016 2017 2018 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
