微专题4 双变量任意与存在问题
典例剖析素养初现
拓展1 双变量任意与存在之相等问题
视角1 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
例1-1 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是 ．
变式 已知f(x)＝，g(x)＝mx＋1－2m，若对任意的x1∈[2，3]，总存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围为 ．
视角2 形如“存在x1∈A，x2∈B，使f(x1)＝g(x2)成立”
例1-2 已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈，x2∈，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．
解决双变量“存在性或任意性”相等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系．记y＝f(x)，x∈[a，b]的值域为A，y＝g(x)，x∈[c，d]的值域为B，
(1) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B；
(2) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B；
(3) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，故A∩B≠ .
拓展2 双变量任意与存在之不相等问题
视角1 形如“对任意x1∈A，任意x2∈B，f(x1)>g(x2)恒成立”
例2-1 已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
视角2 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立”
例2-2 已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a>0，x≠0.若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ．
视角3 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)
例2-3 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是 ．
视角4 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立”
例2-4 已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数a的取值范围为 ．
解决双变量“存在性或任意性”不等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数最值之间的关系：
(1) (“任意≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max.
(2) (“任意≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min.
(3) (“存在≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)max.
(4) (“存在≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min.
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝log3(x2－1)，g(x)＝x2－2x＋a，对于任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，1] B. (－∞，2]
C. (－∞，－2] D.
2. 已知函数f(x)＝－x2＋3x＋5，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[0，2]， x2∈[2，3]，使得f(x1)3. 已知f(x)＝x＋，g(x)＝－x＋a，若 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是 .
4. 已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a.若对任意的x1∈[－1，3]，总存在x2∈ [－1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为 .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2. 已知函数f(x)＝，x∈(－3，3)，若对任意x∈(－3，3)，总存在a∈[－1，2]，使得不等式f(x)＋at＋t2－<0恒成立，则实数t的取值范围为( )
A. (－2，0) B. (－1，0)∪(0，2)
C. (0，1) D. (－2，0)∪(0，1)
3. 已知函数f(x)＝(x－2)4－4(x－2)2＋6，g(x)＝，若对 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，使g(x1)＝f(x2)，则正实数m的取值范围是( )
A. (0，15]∪[24，＋∞)
B. [15，24]
C. [16，25]
D. (0，16]∪[25，＋∞)
4. 已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，对于任意x1，x2∈[－1，1]，x1≠x2，总有>0且f(1)＝1.若对于任意a∈[－1，1]，存在x∈[－1，1]，使f(x)≤t2－2at－1成立，则实数t的取值范围是( )
A. [－2，2]
B. (－∞，－1－]∪[＋1，＋∞)
C. (－∞，0]∪[2，＋∞)
D. (－∞，－2]∪[2，＋∞)∪{0}
二、 填空题
5. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m.若对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是 ．
6. 已知f(x)＝x＋，g(x)＝－x＋a，若 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ．
7. 已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝log2，若对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈[1，3]，使得f(x1)8. 已知函数f(x)＝－x＋2，g(x)＝＋m，若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈(－2，3)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数m的取值范围为 ．
三、 解答题
9. 设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋5－2a(a>0).
(1) 求f(x)在[0，1]上的值域；
(2) 若对任意的x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
10. 已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝2－x－m＋1.
(1) 若对任意的x1∈[－1，3]，任意的x2∈[0，2]，有f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数m的取值范围；
(2) 若对任意的x2∈[0，2]，总存在x1∈[－1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．微专题4 双变量任意与存在问题
典例剖析素养初现
拓展1 双变量任意与存在之相等问题
视角1 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
例1-1 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是__[－5，－2]__．
【解析】当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3].因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3].函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8].因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)在[－2，2]上的值域的子集，所以解得－5≤m≤－2，即实数m的取值范围是[－5，－2].
变式 已知f(x)＝，g(x)＝mx＋1－2m，若对任意的x1∈[2，3]，总存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围为__[1，＋∞)__．
【解析】若对任意的x1∈[2，3]，总存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需在区间[2，3]上函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．因为函数f(x)＝1＋，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，所以函数f(x)的值域为.对函数g(x)＝mx＋1－2m，x∈[2，3].
①当m＝0时，g(x)为常数1，不符合题意，舍去；②当m>0时，g(x)的值域为[1，m＋1]，此时只需m＋1≥2，解得m≥1；③当m<0时，g(x)的值域为[m＋1，1]，不符合题意，舍去．综上，m的取值范围为[1，＋∞).
视角2 形如“存在x1∈A，x2∈B，使f(x1)＝g(x2)成立”
例1-2 已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈，x2∈，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．
【解答】由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，且两个值域有公共部分．先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以要使两个值域有公共部分，则k的取值范围是.
解决双变量“存在性或任意性”相等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系．记y＝f(x)，x∈[a，b]的值域为A，y＝g(x)，x∈[c，d]的值域为B，
(1) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B；
(2) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B；
(3) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，故A∩B≠ .
拓展2 双变量任意与存在之不相等问题
视角1 形如“对任意x1∈A，任意x2∈B，f(x1)>g(x2)恒成立”
例2-1 已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( C )
A. B.
C. D.
【解析】易知f(x)＝ln (x2＋1)在[0，3]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0，g(x)＝－m在[1，2]上单调递减，g(x)max＝g(1)＝－m.由对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max，所以－m≤0，即m≥.
视角2 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立”
例2-2 已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a>0，x≠0.若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)成立，则实数a的取值范围是____．
【解析】由题意知x2－2ax＋1>＝，即a<对x∈[1，2]恒成立．令φ(x)＝，由函数单调性的定义可证明φ(x)在[1，2]上是增函数(证明略)，φ(x)min＝φ(1)＝，所以a的取值范围是.
视角3 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)例2-3 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是____．
【解析】依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)＝x＋在上是减函数，所以f(x)max＝f＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，解得a≥.
视角4 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立”
例2-4 已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数a的取值范围为__(－4，＋∞)__．
【解析】问题可转化为f(x)max>g(x)min，易得f(x)max＝f(2)＝4，g(x)min＝g(0)＝－a，由f(x)max>g(x)min，得4>－a，故a>－4.
解决双变量“存在性或任意性”不等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数最值之间的关系：
(1) (“任意≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max.
(2) (“任意≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min.
(3) (“存在≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)max.
(4) (“存在≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min.
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝log3(x2－1)，g(x)＝x2－2x＋a，对于任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( B )
A. (－∞，1] B. (－∞，2]
C. (－∞，－2] D.
【解析】由题意知f(x1)min≥g(x2)min.由x∈[2，＋∞)，函数f(x)＝log3(x2－1)单调递增，可得f(x)min＝f(2)＝1.因为g(x)＝x2－2x＋a，x∈，对称轴为x＝1，所以x＝1时，g(x)min＝g(1)＝a－1，所以1≥a－1，解得a≤2.
2. 已知函数f(x)＝－x2＋3x＋5，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[0，2]， x2∈[2，3]，使得f(x1)【解析】由题意知f(x)max－.
3. 已知f(x)＝x＋，g(x)＝－x＋a，若 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是____.
【解析】由题意知f(x1)max≥g(x2)min，因为f(x)＝x＋在[1，]上单调递减，在(，3]上单调递增，且f(1)＝3，f(3)＝3＋＝，故f(x)max＝f(3)＝.而g(x)＝－x＋a在[1，3]上单调递减，故g(x)min＝g(3)＝a－3，所以≥a－3，解得a≤，即a的取值范围是.
已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a.若对任意的x1∈[－1，3]，总存在x2∈
[－1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为__(－∞，－9]∪[3，＋∞)__.
【解析】若对任意的x1∈[－1，3]，总存在x2∈[－1，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[－1，3]时函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．f(x)＝x2－4x＋a在x∈
[－1，3]上的值域为[a－4，a＋5].当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；当a>0时，g(x)为增函数，在区间[－1，3]上的值域为[5－2a，5＋2a]，所以解得a≥3.当a<0时，g(x)为减函数，在区间[－1，3]上的值域为[5＋2a，5－2a]，所以解得a≤－9.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A. B.
C. D.
【解析】易知f(x)＝ln (x2＋1)在[0，3]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.又g(x)＝－m在[1，2]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－m.由题意知f(x)min≥g(x)max，所以－m≤0，即m≥.
2. 已知函数f(x)＝，x∈(－3，3)，若对任意x∈(－3，3)，总存在a∈[－1，2]，使得不等式f(x)＋at＋t2－<0恒成立，则实数t的取值范围为( D )
A. (－2，0) B. (－1，0)∪(0，2)
C. (0，1) D. (－2，0)∪(0，1)
【解析】依题意，f(－x)＝＝－f(x)，则f(x)是(－3，3)上的奇函数．当03. 已知函数f(x)＝(x－2)4－4(x－2)2＋6，g(x)＝，若对 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，使g(x1)＝f(x2)，则正实数m的取值范围是( B )
A. (0，15]∪[24，＋∞)
B. [15，24]
C. [16，25]
D. (0，16]∪[25，＋∞)
【解析】当1≤x≤3时，－1≤x－2≤1，0≤(x－2)2≤1，令t＝(x－2)2，t∈[0，1]，则h(t)＝t2－4t＋6在区间[0，1]上单调递减，h(0)＝6，h(1)＝3，所以h(t)∈[3，6]，所以当x∈[1，3]时，f(x)∈[3，6].由题意知m>0，当1≤x≤3时，g(x)＝＝，又函数m(x)＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，m(1)＝5，m(2)＝4，m(3)＝，所以在x∈[1，3]时，m(x)∈[4，5]，所以当x∈[1，3]时，g(x)∈.由于对 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，使g(x1)＝f(x2)，所以解得15≤m≤24.
4. 已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，对于任意x1，x2∈[－1，1]，x1≠x2，总有>0且f(1)＝1.若对于任意a∈[－1，1]，存在x∈[－1，1]，使f(x)≤t2－2at－1成立，则实数t的取值范围是( D )
A. [－2，2]
B. (－∞，－1－]∪[＋1，＋∞)
C. (－∞，0]∪[2，＋∞)
D. (－∞，－2]∪[2，＋∞)∪{0}
【解析】由题意知，奇函数f(x)在[－1，1]上单调递增．因为f(1)＝1，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－f(1)＝－1，最大值为f(1)＝1.若对于任意a∈[－1，1]，存在x∈[－1，1]，使f(x)≤t2－2at－1成立，即t2－2at－1≥－1对所有a∈[－1，1]恒成立，所以t2－2at≥0.设g(a)＝t2－2at＝－2ta＋t2，则即所以t≥2或t≤－2或t＝0.
二、 填空题
5. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m.若对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是__(－∞，0)__．
【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2.g(x)在[1，4]上单调递增，g(x)max＝g(4)＝2＋m.由题知f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0.
6. 已知f(x)＝x＋，g(x)＝－x＋a，若 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是____．
【解析】若 x1∈[1，3]， x2∈[1，3]，f(x1)≥g(x2)成立，故当x1，x2∈[1，3]时，f(x1)max≥g(x2)min.因为f(x)＝x＋在[1，]上单调递减，在(，3]上单调递增，且f(1)＝3，f(3)＝3＋＝，故f(x)max＝f(3)＝，而g(x)＝－x＋a在[1，3]上单调递减，故g(x)min＝g(3)＝a－3，所以≥a－3，解得a≤，即实数a的取值范围是.
7. 已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝log2，若对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈[1，3]，使得f(x1)【解析】因为对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈[1，3]，使得f(x1)0时，f(x)在[－2，1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝a－2，所以a－2<2，解得08. 已知函数f(x)＝－x＋2，g(x)＝＋m，若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈(－2，3)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数m的取值范围为____．
【解析】由条件可得，f(x)的值域是g(x)的值域的子集．因为f(x)＝－x＋2，x∈[1，2]，所以f(x)∈[0，1].又因为g(x)＝＋m＝＋m＝(x＋3)＋－1＋m，令x＋3＝t，且x∈(－2，3)，则t∈(1，6)，y＝t＋－1＋m，当t∈(1，2)时，函数y＝t＋－1＋m单调递减，当t∈(2，6)时，函数y＝t＋－1＋m单调递增，当t＝2时，ymin＝3＋m.当t＝6时，ymax＝＋m，所以g(x)∈.由f(x)的值域是g(x)的值域的子集，可得解得－三、 解答题
9. 设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋5－2a(a>0).
(1) 求f(x)在[0，1]上的值域；
【解答】方法一：f(x)＝令t＝，则t≥1，h(t)＝t2＋t＝－，当t≥1时，h(t)≥2，所以当x∈(0，1]时，0方法二：当x∈[0，1]时，x＋1∈[1，2]，f(x)＝＝2(x＋1)＋－4，令x＋1＝t，t∈[1，2]，则h(t)＝2t＋－4，由对勾函数性质知h(t)在[1，2]上单调递增，故h(t)∈[h(1)，h(2)]，即h(t)∈[0，1]，故f(x)在[0，1]上的值域为[0，1].
(2) 若对任意的x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
【解答】由(1)知f(x)的值域为[0，1]，g(x)＝ax＋5－2a(a>0)在x∈[0，1]上的值域为[5－2a，5－a].由题知[0，1] [5－2a，5－a]，所以解得≤a≤4，即a的取值范围为.
10. 已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝2－x－m＋1.
(1) 若对任意的x1∈[－1，3]，任意的x2∈[0，2]，有f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数m的取值范围；
【解答】由题知f(x1)min≥g(x2)max，因为f(x)在[－1，3]上单调递增，所以f(x1)min＝f(－1)＝0.又因为g(x)在[0，2]上单调递减，所以g(x2)max＝g(0)＝2－m，所以有0≥2－m，即m≥2，故m的取值范围为[2，＋∞).
(2) 若对任意的x2∈[0，2]，总存在x1∈[－1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．
【解答】由题知f(x1)max≥g(x2)max，所以有f(3)≥g(0)，即28≥2－m，解得m≥－26，所以实数m的取值范围为[－26，＋∞).(共32张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
微专题4 双变量任意与存在问题
典例剖析 素养初现
视角1 形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是_______________．
双变量任意与存在之相等问题
拓展
1
1－1
[－5，－2]
变式
[1，＋∞)
1－2
解决双变量“存在性或任意性”相等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系．记y＝f(x)，x∈[a，b]的值域为A，y＝g(x)，x∈[c，d]的值域为B，
(1) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B；
(2) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，则有A B；
(3) 若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)成立，故A∩B≠ .
双变量任意与存在之不相等问题
拓展
2
2－1
C
2－2
2－3
【解析】问题可转化为f(x)max>g(x)min，易得f(x)max＝f(2)＝4，g(x)min＝g(0)＝－a，由f(x)max>g(x)min，得4>－a，故a>－4.
2－4
(－4，＋∞)
解决双变量“存在性或任意性”不等问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数最值之间的关系：
(1) (“任意≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max.
(2) (“任意≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min.
(3) (“存在≥(≤、>、<)任意”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)max.
(4) (“存在≥(≤、>、<)存在”型) x1∈D， x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min.
随堂内化 及时评价
B
2. 已知函数f(x)＝－x2＋3x＋5，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[0，2]， x2∈[2，3]，使得
f(x1)4. 已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a.若对任意的x1∈[－1，3]，总存在x2∈[－1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________________.
(－∞，－9]∪[3，＋∞)
配套新练案
C
D
【答案】B
【答案】D
二、 填空题
5. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m.若对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是____________．
【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2.g(x)在[1，4]上单调递增，g(x)max＝g(4)＝2＋m.由题知f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0.
(－∞，0)
(－2，4)
(2) 若对任意的x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
10. 已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝2－x－m＋1.
(1) 若对任意的x1∈[－1，3]，任意的x2∈[0，2]，有f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数m的取值范围；
【解答】由题知f(x1)min≥g(x2)max，因为f(x)在[－1，3]上单调递增，所以f(x1)min＝
f(－1)＝0.又因为g(x)在[0，2]上单调递减，所以g(x2)max＝g(0)＝2－m，所以有0≥
2－m，即m≥2，故m的取值范围为[2，＋∞).
(2) 若对任意的x2∈[0，2]，总存在x1∈[－1，3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．
【解答】由题知f(x1)max≥g(x2)max，所以有f(3)≥g(0)，即28≥2－m，解得m≥－26，所以实数m的取值范围为[－26，＋∞).