微专题5 函数零点的综合问题
典例剖析素养初现
拓展1 判断函数零点个数
例1 已知函数f(x)＝则方程f(x)－3|x|＝0的解的个数是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
函数零点个数的判断方法：
(1) 解方程：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2) 函数零点存在定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3) 数形结合：一种是转化成函数图象与x轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数．如判断f(x)＝h(x)－g(x)型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法. 转化为两个函数h(x)和g(x)的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
变式 函数f(x)＝x2－2|x|－ln |x|的零点个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
拓展2 根据零点个数求参数的取值范围
例2 已知函数f(x)＝logax－4x-1(a>0且a≠1)在上无零点，在上有零点，则实数a的取值范围为 ．
变式 已知函数f(x)＝若方程f(x)－m＝0有3个不相同的解，则实数m的取值范围为 ．
拓展3 嵌套函数零点问题
视角1 函数y＝f[g(x)]的零点问题
例3-1 设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f[f(x)]恰有三个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (－2，0) B. (0，1)
C. [－1，0) D. (0，2)
判断嵌套函数零点个数的主要步骤：
(1) 换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2) 依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
变式 已知f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点个数是( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
视角2 函数y＝af2(x)＋bf(x)＋c的零点问题
例3-2 设函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋(1－2m)f(x)＋m2－m＝0有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f[f(x)]－2的零点个数为( )
A. 3 B. 4
C. 2 D. 1
2. (多选)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1
A. a的取值范围是(0，1)
B. x2－x1的取值范围是(0，1)
C. x3＋x4＝4
D. ＝2
3. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．设{x}＝x－[x]，则满足方程2{x}＝1＋的所有解之和为 ．
4. 已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a－1＝0(a∈R)有四个相异的实数根，则a的取值范围是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
2. 已知函数f(x)＝|2x－1|－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是( )
A. (－∞，0) B. (0，＋∞)
C. (－1，0) D. (0，1)
3. 设函数f(x)＝若函数f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为( )
A. (－∞，－1) B. (－1，2]
C. [2，＋∞) D. [－1，2)
4. 已知x0是函数f(x)＝ex＋x－2的零点，则( )
A. x0>1 B. ln (2－x0)＝x0
C. x0－e－x0>0 D. e2－x0－e<0
二、 多项选择题
5. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是( )
A. 函数f(x)的值域为[0，1)
B. fC. 方程f(x)－＝0有无数个根
D. 函数f(x)在定义域上是增函数
6. 已知函数f(x)＝则( )
A. f(x)为奇函数
B. 对任意x1，x2∈R，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]≤0
C. 对任意x∈R，则有f(x)＋f(－x)＝2
D. 关于x的方程|f(x2＋2x－5)|＝a(a∈R)可能有4个不同的解
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则不等式bx2－ax－1>0的解集为 ．
8. 已知函数f(x)＝方程f(x)－t＝0有四个不同解x1，x2，x3，x4，则实数t的取值范围是 ；x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝－1－.
(1) 求函数f(x)的最大值；
(2) 若关于x的方程f(x)＝m有两个不等实根，求实数m的取值范围．
10. 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数.
(1) 当x≥0时，函数y＝f(x)－x＋a存在零点，求实数a的取值范围；
(2) 设函数h(x)＝log3(m·3x－2m)，若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．微专题5 函数零点的综合问题
典例剖析素养初现
拓展1 判断函数零点个数
例1 已知函数f(x)＝则方程f(x)－3|x|＝0的解的个数是( C )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】令f(x)－3|x|＝0，得f(x)＝3|x|，则所求解的个数即函数f(x)与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出函数f(x)与函数y＝3|x|的图象如图所示，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－3|x|＝0的解的个数为2.
(例1答)
函数零点个数的判断方法：
(1) 解方程：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2) 函数零点存在定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3) 数形结合：一种是转化成函数图象与x轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数．如判断f(x)＝h(x)－g(x)型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法. 转化为两个函数h(x)和g(x)的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
变式 函数f(x)＝x2－2|x|－ln |x|的零点个数为( D )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－ln |－x|＝x2－2|x|－ln |x|＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝x2－2x－ln x，考虑函数f(x)在(0，＋∞)内的零点个数，令f(x)＝0，可得x2－2x＝ln x．作出函数y＝x2－2x，y＝ln x在(0，＋∞)上的图象如图所示，由图可知，函数y＝x2－2x与y＝ln x在(0，＋∞)上的交点个数为2，故函数f(x)在(0，＋∞)上的零点个数为2，因此，函数f(x)的零点个数为4.
(变式答)
拓展2 根据零点个数求参数的取值范围
例2 已知函数f(x)＝logax－4x-1(a>0且a≠1)在上无零点，在上有零点，则实数a的取值范围为____．
【解析】函数f(x)在上无零点，在上有零点，即logax＝4x-1在上无实数根，在上有实数根．设g(x)＝logax，h(x)＝4x-1，函数h(x)在R上单调递增，且h(0)＝，h＝，h(1)＝1，h(x)＝4x-1>0恒成立．若a>1，则在x∈(0，1)时，g(x)＝logax<0，故不满足条件，则0(例2答)
变式 已知函数f(x)＝若方程f(x)－m＝0有3个不相同的解，则实数m的取值范围为__[0，＋∞)__．
【解析】因为f(x)＝作出f(x)的大致图象如图，则要使方程f(x)－m＝0有3个不相同的解，即直线y＝m与函数图象有3个交点，则m≥0.
(变式答)
拓展3 嵌套函数零点问题
视角1 函数y＝f[g(x)]的零点问题
例3-1 设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f[f(x)]恰有三个零点，则实数a的取值范围为( A )
A. (－2，0) B. (0，1)
C. [－1，0) D. (0，2)
【解析】易知f(x)＝－x2＋ax的对称轴为x＝，当≥0即a≥0时，f(x)的图象如图(1)，此时令f[f(x)]＝0，可得f(x)＝1，观察图象可得x＝0或x＝2，即方程有两个根，则此时y＝f[f(x)]只有两个零点，不合题意；当<0，即a<0时，f(x)的图象如图(2)，此时令f[f(x)]＝0，可得f(x)＝1或f(x)＝a，因为x＝0和x＝2均为f(x)＝1的根，所以要使函数y＝f[f(x)]恰有三个零点则需满足f(x)＝a只有一个根，且当x<0时，f(x)max<1.当x<0时，f(x)＝－x2＋ax的对称轴为x＝<0，则f(x)max＝f＝<1，解得－2图(1) 图(2)
(例3-1答)
判断嵌套函数零点个数的主要步骤：
(1) 换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2) 依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
变式 已知f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点个数是( A )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】令t＝f(x)，F(x)＝0，则f(t)－2t－＝0，作出y＝f(x)和直线y＝2x＋的图象如图所示，由图象可得有两个交点，设两个交点的横坐标分别为t1，t2，所以t1＝0，t2∈(1，2).当f(x)＝t1时，有x＝2，即有一解；当f(x)＝t2时，有三个解．综上，F(x)＝0共有4个解，即有4个零点．
(变式答)
视角2 函数y＝af2(x)＋bf(x)＋c的零点问题
例3-2 设函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋(1－2m)f(x)＋m2－m＝0有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__(0，1)__．
【解析】令t＝f(x)，则t2＋(1－2m)t＋m2－m＝0，即(t－m)[t－(m－1)]＝0，解得t＝m或t＝m－1，则f(x)＝m和f(x)＝m－1共有5个不同的实数根．作出f(x)＝的图象如图所示．由图可知，－1(例3-2答)
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f[f(x)]－2的零点个数为( A )
A. 3 B. 4
C. 2 D. 1
【解析】令μ＝f(x)，令g(x)＝0，则f(μ)－2＝0.当μ>1时，则f(μ)＝ln (μ－1)＝2，解得μ＝e2＋1；当μ≤1时，f(μ)＝－μ＋1＝2，解得μ＝－1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示，直线y＝－1与函数y＝f(x)的图象有1个交点，直线y＝e2＋1与函数y＝f(x)的图象有2个交点，因此，函数g(x)有3个零点．
(第1题答)
2. (多选)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1A. a的取值范围是(0，1)
B. x2－x1的取值范围是(0，1)
C. x3＋x4＝4
D. ＝2
【解析】y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解．作出f(x)的图象如图所示，由图可知00，即x2－x1的取值范围是(0，＋∞).由二次函数的对称性，可得x3＋x4＝4.因为1－2x1＝2x2－1，所以2x1＋2x2＝2，故＝.
(第2题答)
3. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．设{x}＝x－[x]，则满足方程2{x}＝1＋的所有解之和为__－2__．
【解析】方程2{x}＝1＋的解，即函数y＝2{x}与函数y＝1＋的图象交点的横坐标．作出函数y＝2{x}的部分图象与函数y＝1＋的图象如图所示，由图可知，两函数除交点(－2，0)之外，其余的交点关于点(0，1)对称，所以方程2{x}＝1＋的所有解之和为－2.
(第3题答)
4. 已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a－1＝0(a∈R)有四个相异的实数根，则a的取值范围是__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．
【解析】函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，当x<0时，函数f(x)＝－ln (x＋1)在(－1，0)上单调递减，当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋2x在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，在坐标系内作出函数f(x)的图象，令f(x)＝t，方程f2(x)－2af(x)＋a－1＝0(a∈R)有四个相异的实数根，则方程g(t)＝t2－2at＋a－1＝0有两个不等实根t1，t2(t11.所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).
(第4题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为( B )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
2. 已知函数f(x)＝|2x－1|－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是( A )
A. (－∞，0) B. (0，＋∞)
C. (－1，0) D. (0，1)
【解析】由题可知方程|2x－1|＝m有两个不同的实数根x1，x2，则直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象有两个不同的交点，作出f(x)与y＝m的大致图象如图所示，不妨设x1(第2题答)
3. 设函数f(x)＝若函数f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为( B )
A. (－∞，－1) B. (－1，2]
C. [2，＋∞) D. [－1，2)
【解析】由题意，设函数g(x)＝令f(x)＝0，即g(x)＝m，所以问题转化为y＝g(x)，y＝m的图象有3个交点．在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，结合图象可知，－1(第3题答)
4. 已知x0是函数f(x)＝ex＋x－2的零点，则( B )
A. x0>1 B. ln (2－x0)＝x0
C. x0－e－x0>0 D. e2－x0－e<0
【解析】y＝ex，y＝x－2均为增函数，故f(x)为增函数．因为f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，故x0∈(0，1)，故A错误；因为ex0＋x0－2＝0，故ex0＝2－x0>0，两边取对数可得x0＝ln (2－x0)，故B正确；ex0＝2－x0，故x0ex0＝x0(2－x0)＝－(x0－1)2＋1<1，则x0e，e2－x0－e>0，故D错误．
二、 多项选择题
5. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是( AC )
A. 函数f(x)的值域为[0，1)
B. fC. 方程f(x)－＝0有无数个根
D. 函数f(x)在定义域上是增函数
【解析】画出函数f(x)＝x－[x]的图象，如图所示．对于A，函数定义域为全体实数时，0≤x－[x]<1，所以函数f(x)的值域为[0，1)，故A正确；对于B，f＝－－＝－－(－1)＝，f＝－＝－0＝，所以f>f，故B错误；对于C，函数f(x)每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程f(x)－＝0有无数个根，故C正确；对于D，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f(－1.5)＝－1.5－(－2)＝0.5，f(1.5)＝1.5－1＝0.5，所以函数不是增函数，故D错误．
(第5题答)
6. 已知函数f(x)＝则( CD )
A. f(x)为奇函数
B. 对任意x1，x2∈R，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]≤0
C. 对任意x∈R，则有f(x)＋f(－x)＝2
D. 关于x的方程|f(x2＋2x－5)|＝a(a∈R)可能有4个不同的解
【解析】对于A，f(0)＝1，函数不可能为奇函数，A错误；对于B，取x1＝0，x2＝1，f(x1)＝1，f(x2)＝4，则(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＝3>0，B错误；对于C，不妨取x>0，－x<0，则f(x)＋f(－x)＝x2＋2x＋1－x2－2x＋1＝2，当x＝0时，f(x)＋f(－x)＝2f(0)＝2，成立，故C正确；对于D，画出函数f(x)的图象如图所示，根据图象知函数f(x)在R上单调递增，先考虑|f(x)|＝1，则或故x＝0或x＝1－，取a＝1，|f(x2＋2x－5)|＝1，当f(x2＋2x－5)＝1时，则x2＋2x－5＝0，x＝－1＋或x＝－1－；当f(x2＋2x－5)＝－1时，则x2＋2x－5＝1－，即x2＋2x－6＋＝0，x＝－1＋或x＝
－1－.综上所述，此时方程共有四个解，且四个解不相同，D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则不等式bx2－ax－1>0的解集为____．
【解析】根据题意得解得则不等式为－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0，(2x＋1)(3x＋1)<0，解得x∈.
8. 已知函数f(x)＝方程f(x)－t＝0有四个不同解x1，x2，x3，x4，则实数t的取值范围是__(0，1)__；x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是____．
【解析】根据题意，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，当x>0时，令f(x)＝|log2x|＝1，解得x＝或x＝2.因为f(x)－t＝0即为f(x)＝t，由题意可知，y＝f(x)与y＝t的图象有4个交点，结合图象可知实数t的取值范围是(0，1).不妨设x1(第8题答)
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝－1－.
(1) 求函数f(x)的最大值；
【解答】由题知1＋x≥0，x≥－1，所以f(x)的定义域为[－1，＋∞)，令t＝≥0，则y＝t－1－＝－＝－，令g(t)＝－，t∈[0，＋∞)，因为g(t)开口向下，对称轴为t＝1，所以g(t)在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以g(t)≤g(1)＝0，即f(x)的最大值为0.
(2) 若关于x的方程f(x)＝m有两个不等实根，求实数m的取值范围．
【解答】因为关于x的方程f(x)＝m有两个不等实根，所以g(t)＝m，即－＝m在[0，＋∞)上有两个不等实根．因为g(t)＝－在[0，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且g(0)＝－，g(1)＝0，所以实数m的取值范围是.
10. 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数.
(1) 当x≥0时，函数y＝f(x)－x＋a存在零点，求实数a的取值范围；
【解答】因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意的x∈R恒成立，所以2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33-2x＝－2x，所以k＝－1，即f(x)＝log3(9x＋1)－x.因为当x≥0时，函数y＝f(x)－x＋a有零点，即方程log3(9x＋1)－2x＝－a有实数根．令g(x)＝log3(9x＋1)－2x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝－a有交点．因为g(x)＝log3(9x＋1)－2x＝log3(9x＋1)－log39x＝log3＝log3.又1＋∈(1，2]，所以g(x)＝log3∈(0，log32]，所以a的取值范围是[－log32，0).
(2) 设函数h(x)＝log3(m·3x－2m)，若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．
【解答】由f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)，又函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，则关于x的方程log3(m·3x－2m)＝log3(3x＋3－x)只有一个解，所以m·3x－2m＝3x＋3－x.令t＝3x(t>0)，得(m－1)t2－2mt－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解．①当m－1＝0，即m＝1时，此方程的解为t＝－，不满足题意．②当m－1>0，即m>1时，此时Δ＝4m2＋4(m－1)＝4(m2＋m－1)>0，又t1＋t2＝>0，t1t2＝<0，所以此方程有一正一负根，故满足题意．③当m－1<0，即m<1时，则方程(m－1)t2－2mt－1＝0只有一正根，则解得m＝.综上，实数m的取值范围为∪(1，＋∞).(共36张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
微专题5 函数零点的综合问题
典例剖析 素养初现
1
判断函数零点个数
拓展
1
【解析】令f(x)－3|x|＝0，得f(x)＝3|x|，则所求解的个
数即函数f(x)与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出
函数f(x)与函数y＝3|x|的图象如图所示，可知两个函数
图象的交点的个数为2，故方程f(x)－3|x|＝0的解的个
数为2.
C
函数零点个数的判断方法：
(1) 解方程：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2) 函数零点存在定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3) 数形结合：一种是转化成函数图象与x轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数．如判断f(x)＝h(x)－g(x)型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法. 转化为两个函数h(x)和g(x)的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－
ln |－x|＝x2－2|x|－ln |x|＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝
x2－2x－ln x，考虑函数f(x)在(0，＋∞)内的零点个数，令f(x)＝0，可
得x2－2x＝ln x．作出函数y＝x2－2x，y＝ln x在(0，＋∞)上的图象如
图所示，由图可知，函数y＝x2－2x与y＝ln x在(0，＋∞)上的交点个数
为2，故函数f(x)在(0，＋∞)上的零点个数为2，因此，函数f(x)的零点个数为4.
变式
函数f(x)＝x2－2|x|－ln |x|的零点个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
2
根据零点个数求参数的取值范围
拓展
2
变式
[0，＋∞)
嵌套函数零点问题
拓展
3
3－1
【答案】A
判断嵌套函数零点个数的主要步骤：
(1) 换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2) 依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
变式
A
视角2 函数y＝af2(x)＋bf(x)＋c的零点问题
3－2
(0，1)
随堂内化 及时评价
【解析】令μ＝f(x)，令g(x)＝0，则f(μ)－2＝0.当μ>1时，则
f(μ)＝ln (μ－1)＝2，解得μ＝e2＋1；当μ≤1时，f(μ)＝－μ＋
1＝2，解得μ＝－1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示，直线
y＝－1与函数y＝f(x)的图象有1个交点，直线y＝e2＋1与函
数y＝f(x)的图象有2个交点，因此，函数g(x)有3个零点．
A
AC
－2
【解析】函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，当x<0时，函数f(x)＝
－ln (x＋1)在(－1，0)上单调递减，当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋
2x在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，在坐标系内
作出函数f(x)的图象，令f(x)＝t，方程f2(x)－2af(x)＋a－1＝0(a∈R)
有四个相异的实数根，则方程g(t)＝t2－2at＋a－1＝0有两个不等
实根t1，t2(t1【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为 ( )
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
B
2. 已知函数f(x)＝|2x－1|－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是
( )
A. (－∞，0) B. (0，＋∞) C. (－1，0) D. (0，1)
A
B
4. 已知x0是函数f(x)＝ex＋x－2的零点，则 ( )
A. x0>1 B. ln (2－x0)＝x0
C. x0－e－x0>0 D. e2－x0－e<0
B
【答案】AC
【解析】对于A，f(0)＝1，函数不可能为奇函数，A错误；对于B，取x1＝0，x2＝1，f(x1)＝1，f(x2)＝4，则(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＝3>0，B错误；对于C，不妨取x>0，－x<0，则f(x)＋f(－x)＝x2＋2x＋1－x2－2x＋1＝2，当x＝0时，f(x)＋f(－x)＝2f(0)＝2，成立，故C正确；
【答案】CD
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则不等式bx2－ax－1>0的解集为
______________．
四、 解答题
(2) 若关于x的方程f(x)＝m有两个不等实根，求实数m的取值范围．
10. 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数.
(1) 当x≥0时，函数y＝f(x)－x＋a存在零点，求实数a的取值范围；
10. 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数.
(2) 设函数h(x)＝log3(m·3x－2m)，若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．