章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2. 在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越 ．
3. 换底公式的两个重要结论：
(1) logab＝； (2) logambn＝logab，其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
4. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐 ．
5. 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点 ，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
6. 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
7. 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点”的 条件．
考法聚焦素养养成
考法1 指数与对数的运算
例1 求值：(1) ()－×()÷；
(2) 80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327).
【题组训练】
1. 4+1×23-2×64－＝ ．
2. ＝ ．
3. 已知log23＝a，则log912＝ ．(结果用a表示)
4. (1) 计算：－2×－2×；
(2) 计算：3log32－2log23×log278＋log616＋4log6.
考法2 指数、对数函数性质的应用
例2 已知函数f(x)＝为奇函数．
(1) 求a的值；
(2) 判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(3) 解关于m的不等式f(2m2)＋f(m－3)≥0.
【题组训练】
1. 已知a＝log5，b＝，c＝log4，那么a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. b>c>a
C. b>a>c D. c>b>a
2. 若函数f(x)＝的值域为(a，＋∞)，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
4. 函数y＝log3(－x2＋2x＋15)的单调递减区间是( )
A. (1，＋∞) B. (1，5)
C. (－3，1) D. (－∞，1)
5. 已知函数f(x)＝为R上的奇函数，那么n的值为 ．
6. 若函数f(x)＝则f(log23)＝ ；不等式f(x)>4的解集为 ．
考法3 函数的零点与方程的根
例3 (1) 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
(2) 若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2] B. (－∞，2)
C. [2，＋∞) D. (2，＋∞)
【题组训练】
1. 已知函数f(x)＝x＋2x的零点在区间(n，n＋1)内，n∈Z，则n的值为( )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
2. 函数f(x)＝3x－8＋ln x的零点所在的区间应是( )
A. (1，2) B. (2，3)
C. (3，4) D. (4，5)
3. 已知函数f(x)＝x＋log2x－m，若函数f(x)在上存在零点，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4. 设函数f(x)＝则f(x)的零点个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
考法4 函数的应用
例4 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1) 找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；
(2) 因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2025年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2025年的年产量．章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2. 在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越__大__．
3. 换底公式的两个重要结论：
(1) logab＝； (2) logambn＝logab，其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
4. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐__增大__．
5. 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点__(1，0)__，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
6. 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
7. 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点”的__充分不必要__条件．
考法聚焦素养养成
考法1 指数与对数的运算
例1 求值：(1) ()－×()÷；
【解答】原式＝(2)－×(10)÷10＝2-1×103×10－＝2-1×10＝.
(2) 80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327).
【解答】因为log32×log2(log327)＝log32×log23＝×＝1，所以原式＝2×2＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
【题组训练】
1. 4+1×23-2×64－＝__2__．
【解析】原式＝22+2×23-2×(26)－＝25-4＝2.
2. ＝__1__．
【解析】原式＝＝＝
＝＝1.
3. 已知log23＝a，则log912＝____．(结果用a表示)
【解析】log912＝log9(3×4)＝log93＋log94＝＋log32，因为log23＝a，所以log32＝，所以log912＝＋＝.
4. (1) 计算：－2×－2×；
【解答】原式＝－2×－2×1＝－2×－2＝－－2＝－.
(2) 计算：3log32－2log23×log278＋log616＋4log6.
【解答】原式＝2－2××＋log6＋log6＝2－2××＋log64＋log69＝2－2＋log636＝2.
考法2 指数、对数函数性质的应用
例2 已知函数f(x)＝为奇函数．
(1) 求a的值；
【解答】因为f(x)＝的定义域为R且为奇函数，所以f(0)＝＝＝0，解得a＝－1，此时f(x)＝.经检验，f(－x)＝＝＝＝－f(x)，f(x)为奇函数，故a＝－1.
(2) 判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义加以证明；
【解答】任取x1
0，则<0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)(3) 解关于m的不等式f(2m2)＋f(m－3)≥0.
【解答】因为f(2m2)＋f(m－3)≥0，所以f(2m2)≥－f(m－3).又因为f(x)为奇函数，所以－f(m－3)＝f(3－m)，则f(2m2)≥f(3－m).因为f(x)在R上单调递增，所以2m2≥3－m，即2m2＋m－3≥0，解得m≤－或m≥1，即原不等式的解集为∪[1，＋∞).
【题组训练】
1. 已知a＝log5，b＝，c＝log4，那么a，b，c的大小关系为( C )
A. a>b>c B. b>c>a
C. b>a>c D. c>b>a
【解析】因为0>a＝log5＝－log54>－log55＝－1，0－log45<－log44＝－1，所以b>a>c.
2. 若函数f(x)＝的值域为(a，＋∞)，则a的取值范围为( B )
A. B.
C. D.
【解析】当x＜1时，f(x)＝>；当x≥1时，f(x)＝a＋≤a＋且f(x)>a，即f(x)∈.因为f(x)的值域为(a，＋∞)，所以a＋≥，且a≤，所以≤a≤.
3. 函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( D )
A B
C D
【解析】A，B中，a>1，于是0<1－<1，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在(0，1)之间，显然A，B的图象均不正确；C，D中，04. 函数y＝log3(－x2＋2x＋15)的单调递减区间是( B )
A. (1，＋∞) B. (1，5)
C. (－3，1) D. (－∞，1)
【解析】由－x2＋2x＋15>0，得(x＋3)(x－5)<0，解得－3(－3，5).令t＝－x2＋2x＋15＝－(x－1)2＋16，因为函数t＝－(x－1)2＋16在区间(－3，1)上单调递增，在区间(1，5)上单调递减，且函数y＝log3t是增函数，所以函数y＝log3(－x2＋2x＋15)的单调递减区间是(1，5).
5. 已知函数f(x)＝为R上的奇函数，那么n的值为__2__．
【解析】因为函数f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，解得n＝2.当n＝2时，f(x)＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，符合题意．
6. 若函数f(x)＝则f(log23)＝__3__；不等式f(x)>4的解集为__(17，＋∞)__．
【解析】因为log234可化为或解得x>17或无解，所以原不等式的解集为(17，＋∞).
考法3 函数的零点与方程的根
例3 (1) 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
【解析】易知f(x)在R上是增函数．因为f(－2)＝e-2－4<0，f(－1)＝e-1－3<0，f(0)＝
－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)·f(1)<0，故f(x)的零点所在的区间是(0，1).
(2) 若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( C )
A. (－∞，2] B. (－∞，2)
C. [2，＋∞) D. (2，＋∞)
【解析】由题意得，当x<1时，函数有一个零点x＝.当x≥1时，令2x2－ax＝0，得x＝或x＝0(舍).要使得函数有两个不同的零点，只需≥1，解得a≥2.
【题组训练】
1. 已知函数f(x)＝x＋2x的零点在区间(n，n＋1)内，n∈Z，则n的值为( B )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
【解析】因为函数f(x)＝x＋2x的定义域为R，且f(x)在R上单调递增，f(0)＝1>0，f(－1)＝－1＋＝－<0，即f(0)·f(－1)<0，由函数零点存在定理可得，f(x)的零点所在区间为，所以n＝－1.
2. 函数f(x)＝3x－8＋ln x的零点所在的区间应是( B )
A. (1，2) B. (2，3)
C. (3，4) D. (4，5)
【解析】由题知，函数f(x)＝3x－8＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋1>0，所以函数f(x)的零点所在的区间应是(2，3).
3. 已知函数f(x)＝x＋log2x－m，若函数f(x)在上存在零点，则m的取值范围是( B )
A. B.
C. D.
【解析】函数f(x)＝x＋log2x－m在区间(0，＋∞)上为增函数，由函数f(x)在上存在零点，知f＝－2－m＜0，f(8)＝8＋3－m>0，解得－＜m＜11.
4. 设函数f(x)＝则f(x)的零点个数为( D )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】当x>0时，令|log2x|－1＝0，解得x＝2或x＝，f(x)有2个零点；当x≤0时，令2x＋x＝0，即2x＝－x，结合函数y＝2x，y＝－x的图象可知二者在x≤0时有1个交点，即此时f(x)有1个零点．综上，f(x)的零点个数为3.
(第4题答)
考法4 函数的应用
例4 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1) 找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；
【解答】符合条件的是f(x)＝ax＋b.若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知数据相差太大，不符合．若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合，所以f(x)＝ax＋b，x∈N*.由已知得解得故所求的解析式为f(x)＝x＋，x∈N*.
(2) 因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2025年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2025年的年产量．
【解答】2025年预计年产量为f(9)＝×9＋＝16(万件)，2025年实际年产量为16×(1－30%)＝11.2(万件).(共28张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理 系统整合
大
6. 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
7. 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]
上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以
“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点”
的_____________条件．
增大
(1，0)
充分不必要
考法聚焦 素养养成
1
指数与对数的运算
考法
1
2
1
3. 已知log23＝a，则log912＝_______．(结果用a表示)
2
指数、对数函数性质的应用
考法
2
(2) 判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(3) 解关于m的不等式f(2m2)＋f(m－3)≥0.
C
B
D
4. 函数y＝log3(－x2＋2x＋15)的单调递减区间是 ( )
A. (1，＋∞) B. (1，5)
C. (－3，1) D. (－∞，1)
【解析】由－x2＋2x＋15>0，得(x＋3)(x－5)<0，解得－3B
2
3
(17，＋∞)
(1) 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是 ( )
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
3
函数的零点与方程的根
C
考法
3
【解析】易知f(x)在R上是增函数．因为f(－2)＝e-2－4<0，f(－1)＝e-1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)·f(1)<0，故f(x)的零点所在的区间是(0，1).
C
【题组训练】
1. 已知函数f(x)＝x＋2x的零点在区间(n，n＋1)内，n∈Z，则n的值为 ( )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
B
2. 函数f(x)＝3x－8＋ln x的零点所在的区间应是 ( )
A. (1，2) B. (2，3)
C. (3，4) D. (4，5)
B
【解析】由题知，函数f(x)＝3x－8＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋1>0，所以函数f(x)的零点所在的区间应是(2，3).
B
D
某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：
4
函数的应用
考法
4
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1) 找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：
(2) 因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2025年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2025年的年产量．
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44