第四章检测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 函数f(x)＝的所有零点构成的集合为( )
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
2. 下列函数中，值域为R的偶函数是( )
A. y＝x2＋1 B. y＝ex－e－x
C. y＝lg |x| D. y＝
3. 设f(x)＝3x＋3x－8，现用二分法求关于x的方程3x＋3x－8＝0在区间(1，2)内的近似解，已知f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，则方程的根落在区间( )
A. (1，1.25)内 B. (1.25，1.5)内
C. (1.5，2)内 D. 不能确定
4. 设函数f(x)＝x ln ，则函数f(x)的图象可能为( )
A B
C D
5. 已知a＝log34，b＝，c＝log，则( )
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
6. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是( )
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (0，1) D. (0，＋∞)
7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知当t＝5时，污染物含量降为过滤前的25%，那么k等于( )
A. －ln 4 B.
C. ln 4 D.
8. 已知ab＝－5，则a＋b的值是( )
A. 2 B. 0
C. －2 D. ±2
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 下列各式正确的是( )
A. 设a>0，则＝a
B. 7＋ln (ln e)＝7
C. 若loga2＝m，loga5＝n，则a2m＋n＝20
D. ＋＝lg 3
10. 下列结论中，正确的是( )
A. 函数y＝2x-1是指数函数
B. 函数y＝的单调递增区间是(－∞，1)
C. 若定义在R上的函数f(x)＝是偶函数，则a的值为1
D. 函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)
11. 已知函数f(x)＝和g(x)＝logx，下列说法中正确的有( )
A. 函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称
B. 函数f(x)与g(x)的图象只有一个公共点
C. 记h(x)＝f(x)－g(x)，则函数h(x)为减函数
D. 若函数y＝|g(x－1)|－a有两个不同的零点x1，x2，则＋＝1
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数y＝log2(ax＋2)在(1，3)上单调递减，则a的取值范围是 ．
某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林 年．
(精确到整数，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
14. 已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)计算：(1) ＋＋(－8)＋80. 25×；
(2) 2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
16. (15分)已知实数a>0，定义域为R的函数f(x)＝＋是偶函数，其中e为自然对数的底数．
(1) 求实数a的值；
(2) 判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
17. (15分)已知偶函数f(x)＝log2(1＋ax)＋log2(1＋bx)(a>0)，且 f＝－1.
(1) 求a，b的值；
(2) 设函数g(x)＝若g(x)的值域为R，求实数m的取值范围．
18. (17分)在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区2021年底新能源汽车保有量为1 500辆，2022年底新能源汽车保有量为2 250辆，2023年底新能源汽车保有量为3 375辆．
(1) 根据以上数据，试从y＝a·bx(a＞0，b＞0且b≠1)，y＝a·logbx(a＞0，b＞0且b≠1)，y＝ax＋b(a＞0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由)，设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
(2) 假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2021年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
19. (17分)若存在实数a，b使得φ(x)＝af(x)＋bg(x)，则称函数φ(x)为函数f(x)，g(x)的“T(a，b)函数”．
(1) 若函数φ(x)＝ex为函数f(x)，g(x)的“T(1，2)函数”，其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，求函数f(x)，g(x)的解析式．
(2) 设函数f(x)＝ln (ex＋1)，g(x)＝x，判断是否存在实数a，b使得函数φ(x)为函数f(x)，g(x)的“T(a，b)函数”，且同时满足：①φ(x)是偶函数；②φ(x)的值域为[2ln 2，＋∞).若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．(注：e＝2.718 28…为自然对数的底数)第四章检测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 函数f(x)＝的所有零点构成的集合为( C )
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
2. 下列函数中，值域为R的偶函数是( C )
A. y＝x2＋1 B. y＝ex－e－x
C. y＝lg |x| D. y＝
3. 设f(x)＝3x＋3x－8，现用二分法求关于x的方程3x＋3x－8＝0在区间(1，2)内的近似解，已知f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，则方程的根落在区间( B )
A. (1，1.25)内 B. (1.25，1.5)内
C. (1.5，2)内 D. 不能确定
4. 设函数f(x)＝x ln ，则函数f(x)的图象可能为( B )
A B
C D
【解析】因为f(x)＝x ln 的定义域为(－1，1)，f(－x)＝(－x)ln ＝x ln ＝f(x)，所以函数为偶函数，排除A，C.又f＝ln 3>0 ，排除D，故选B.
5. 已知a＝log34，b＝，c＝log，则( D )
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
【解析】因为c＝log＝log3－15-1＝log35>log34＝a>log33＝1，b＝<＝1，所以c>a>b.
6. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是( C )
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (0，1) D. (0，＋∞)
【解析】画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0(第6题答)
7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知当t＝5时，污染物含量降为过滤前的25%，那么k等于( C )
A. －ln 4 B.
C. ln 4 D.
【解析】由题意得，P0e-5k＝25%P0，即e-5k＝，两边取对数，则ln e-5k＝ln ，解得k＝ln 4.
8. 已知ab＝－5，则a＋b的值是( B )
A. 2 B. 0
C. －2 D. ±2
【解析】由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b，由于ab<0，故＝－，则原式＝0.
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 下列各式正确的是( ABC )
A. 设a>0，则＝a
B. 7＋ln (ln e)＝7
C. 若loga2＝m，loga5＝n，则a2m＋n＝20
D. ＋＝lg 3
10. 下列结论中，正确的是( CD )
A. 函数y＝2x-1是指数函数
B. 函数y＝的单调递增区间是(－∞，1)
C. 若定义在R上的函数f(x)＝是偶函数，则a的值为1
D. 函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)
【解析】对于A，由指数函数定义得函数y＝2x-1不是指数函数，故A错误；对于B，函数y＝中，u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，因此函数y＝的单调递增区间是(1，＋∞)，故B错误；对于C，函数f(x)＝，因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因此， x∈R，2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x (2x－2－x)a＝2x－2－x，可得a＝1，故C正确；对于D，函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)中，令x－2＝0得x＝2，由f(2)＝－2，知函数f(x)的图象过定点(2，－2)，故D正确．
11. 已知函数f(x)＝和g(x)＝logx，下列说法中正确的有( ABD )
A. 函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称
B. 函数f(x)与g(x)的图象只有一个公共点
C. 记h(x)＝f(x)－g(x)，则函数h(x)为减函数
D. 若函数y＝|g(x－1)|－a有两个不同的零点x1，x2，则＋＝1
【解析】在函数f(x)的图象上任取一点(x0，y0)，此时＝y0，所以logy0＝x0，因此，点(y0，x0)在函数g(x)＝logx的图象上，因为点(x0，y0)与点(y0，x0)关于直线y＝x对称，故两个函数图象关于直线y＝x对称，故A正确．函数f(x)与g(x)在定义域内都是单调递减的，由它们的函数图象可知(图略)，两个函数图象只有一个公共点，故B正确．h(x)＝f(x)－g(x)＝－logx(x>0)，则有h(1)＝－log1＝－0＝，h(2)＝－ log2＝－(－1)＝>＝h(1)，所以函数h(x)不是减函数，故C错误．由y＝|g(x－1)|－a＝|log(x－1)|－a＝0有两个根x1，x2，设1三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数y＝log2(ax＋2)在(1，3)上单调递减，则a的取值范围是____．
【解析】令t＝ax＋2，则y＝log2t，因为y＝log2t是增函数，所以t＝ax＋2是减函数，且当x∈(1，3)时，t>0，故解得－≤a<0.
13. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林__26__年．(精确到整数，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
【解析】设年增长率为x，所求年数为n，由题知a(1＋x)10＝2a，解得lg (1＋x)＝.又a(1＋x)n＝6a，所以n＝＝＝≈25.85，所以至少需要植树造林26年．
14. 已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__(1，＋∞)__．
【解析】函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x的图象与直线y＝a如图所示．由图易知，当a>1时，有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞).
(第14题答)
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)计算：(1) ＋＋(－8)＋80. 25×；
【解答】原式＝|π－|＋＋(－2)2＋2×2＝－π＋＋4＋2＝11－π.
(2) 2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【解答】原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 2＋1)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝3.
16. (15分)已知实数a>0，定义域为R的函数f(x)＝＋是偶函数，其中e为自然对数的底数．
(1) 求实数a的值；
【解答】因为定义域为R的函数f(x)＝＋是偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立，即＋＝＋，故(ex－e－x)＝0恒成立．因为ex－e－x不可能恒为0，所以当－a＝0时，f(－x)＝f(x)恒成立，又a>0，所以a＝1.
(2) 判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
【解答】函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，ex2>1，所以<0，即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)17. (15分)已知偶函数f(x)＝log2(1＋ax)＋log2(1＋bx)(a>0)，且 f＝－1.
(1) 求a，b的值；
【解答】由题意知对于ax＋1>0，因为a>0，所以x>－.因为f(x)为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以对于bx＋1>0，一定有b<0，则x<－，且有＝－，可得a＋b＝0，所以f＝log2＋log2＝log2＝－1，解得1－a2＝，则a2＝1，因为a>0，所以a＝1，从而b＝－1.
(2) 设函数g(x)＝若g(x)的值域为R，求实数m的取值范围．
【解答】由(1)可知，g(x)＝当0≤x<1时，可得0<1－x2≤1，所以log2(1－x2)≤0，即g(x)≤0；当x≥1时，2x≥2，所以g(x)≥2＋m.因为g(x)的值域为R，所以2＋m≤0，故m≤－2.即m的取值范围为(－∞，－2].
18. (17分)在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区2021年底新能源汽车保有量为1 500辆，2022年底新能源汽车保有量为2 250辆，2023年底新能源汽车保有量为3 375辆．
(1) 根据以上数据，试从y＝a·bx(a＞0，b＞0且b≠1)，y＝a·logbx(a＞0，b＞0且b≠1)，y＝ax＋b(a＞0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由)，设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
【解答】根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1).由题得解得所以y＝1 500·.
(2) 假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2021年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
【解答】设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得50 000(1－r)5＝
50 000(1－10%)，解得1－r＝0.9.设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆，则有y＝50 000(1－r)x＝50 000(0.9)x.设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车的数量，则有1 500·>50 000(0.9)x，化简得3·>100·(0.9)x，所以
lg 3＋x(lg 3－lg 2)>2＋(2lg 3－1)，解得x>≈8.09，故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量．
19. (17分)若存在实数a，b使得φ(x)＝af(x)＋bg(x)，则称函数φ(x)为函数f(x)，g(x)的“T(a，b)函数”．
(1) 若函数φ(x)＝ex为函数f(x)，g(x)的“T(1，2)函数”，其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【解答】因为φ(x)＝ex为f(x)，g(x)的“T(1，2)函数”，所以f(x)＋2g(x)＝ex①，所以
f(－x)＋2g(－x)＝e－x.因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋2g(x)＝e－x②，联立①②得，f(x)＝(ex－e－x)，g(x)＝(ex＋e－x).
(2) 设函数f(x)＝ln (ex＋1)，g(x)＝x，判断是否存在实数a，b使得函数φ(x)为函数f(x)，g(x)的“T(a，b)函数”，且同时满足：①φ(x)是偶函数；②φ(x)的值域为[2ln 2，＋∞).若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．(注：e＝2.718 28…为自然对数的底数)
【解答】假设存在实数a，b使得函数φ(x)为函数f(x)，g(x)的“T(a，b)函数”，则φ(x)＝af(x)＋bg(x)＝a ln (ex＋1)＋bx.①因为φ(x)是偶函数，所以φ(－x)＝φ(x)，即a ln (e－x＋1)－bx＝a ln (ex＋1)＋bx, 则a ln ＋2bx＝a ln ＋2bx＝a ln ＋2bx＝ax＋2bx＝0，整理得(2b＋a)x＝0，所以a＝－2b. ②φ(x)＝a ln (ex＋1)＋bx＝ln ＝
ln . 因为ex＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以
ln ≥ln 4＝2ln 2.由于φ(x)的值域为[2ln 2，＋∞)，所以×2ln 2＝2ln 2，则a＝2，又a＝－2b，所以b＝－1.综上，存在a＝2，b＝－1满足要求．
