第八章 重力势能与验证机械能守恒定律重点题型归纳2025-2026人教版（2019）高中物理必修二（含解析）
文档属性
| 名称 | 第八章 重力势能与验证机械能守恒定律重点题型归纳2025-2026人教版（2019）高中物理必修二（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-10-15 20:25:47 | ||
图片预览
文档简介
第八章 重力势能与验证机械能守恒定律重点题型归纳
一．重力势能的变化和重力做功的关系（共10小题）
1．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，重力加速度为g，以释放位置所在平面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的减小量分别为（ ）
A．0，mg（H+h） B．0，
C．﹣mgh，mg（H﹣h） D．﹣mg（H+h），mg（H+h）
2．两个质量相同的小物块A和B，分别从两个高度相同的粗糙斜面和光滑圆弧斜坡的顶点滑向底部，如图所示，如果它们的初速度都为零，下列说法正确的是（ ）
A．小物块B运动路程长些，下滑过程中重力做的功多些
B．小物块A下滑过程中重力做的功多些
C．小物块B下滑过程中减少的重力势能少些
D．小物块A和B下滑过程中减少的重力势能相等
3．如图，质量为m同学背越式跳高过程中，恰好越过高度为h的横杆，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．起跳阶段，地面对人的弹力做功
B．上升过程中，重力势能增加mgh
C．从起跳最低点到上升最高点过程先超重后失重
D．刚接触海绵垫时，在竖直方向即做减速运动
4．如图所示，光滑弧形轨道高为h，将质量为m的小球从轨道顶端由静止释放，小球运动到轨道底端时的速度为v，重力加速度为g，该过程中小球重力势能减少量为（ ）
A．mgh B． C． D．
5．无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。现代献血常采用机采成分血的方式，就是指把健康人捐献的血液，通过血液分离机分离出其中某一种成分（如血小板、粒细胞或外周血干细胞）储存起来，再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa＜ρ0＜ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动
B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大
C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率
6．我们知道，处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动的，当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为Epx．该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（ ）
A．与该“势能”对应的“力”的方向指向O点
B．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小
C．该“势能”的表达式Epx是选取了y轴处“势能”为零
D．稳定时桶中水面的纵截面为圆的一部分
7．（多选）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，且细线刚好伸直但不绷紧，如图所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，弹簧和斜面上的那部分细线均平行于斜面。以下说法中正确的是（ ）
A．初始时弹簧的压缩量是0.2m
B．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
C．撤掉外力瞬间，A的加速度大小为2.5m/s2
D．从撤去外力到A、B恰好分离整个过程，物体C减少的重力势能为1J
8．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．
9．质量mA＝10kg的物块A与质量mB＝2kg的物块B放在倾角θ＝30°的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B连接，另一端与固定挡板连接，弹簧的劲度系数k＝400N/m，现给物块A施加一个平行于斜面向上的F，使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，求：（g＝10m/s2）
（1）力F的最大值与最小值
（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能．
10．一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径r＝0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa．求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g＝10m/s2．）
二．弹性势能的定义和性质（共5小题）
11．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板的O点，下端与质量为m的物块（视为质点）相连，物块放置在光滑的水平地面上，O与地面之间的高度差为h，地面上的C点正好在O的正下方，弹簧的原长为h，现让物块从A点由静止释放，一直加速运动到B点，已知∠AOC＝53°，∠BOC＝37°，弹簧的弹性势能Ep与弹簧的伸长量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系为，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．物块在B点，弹簧的伸长量
B．在B点时，地面对物块的支持力
C．物块从A到B，弹簧释放的弹性势能
D．物块在B点的速度
12．如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且OM＝3d，ON＝4d，MN＝5d，重力加速度为g。求：
（1）弹簧的原长l；
（2）小球运动到N点时速度vN的大小。
13．弹簧原长l0＝0.15m，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝0.2m时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
14．如图甲所示，BCD为竖直放置的半径R＝0.20m的半圆形轨道，在半圆形轨道的最低位置B和最高位置D均安装了压力传感器，可测定小物块通过这两处时对轨道的压力FB和FD．半圆形轨道在B位置与水平直轨道AB平滑连接，在D位置与另一水平直轨道EF相对，其间留有可让小物块通过的缝隙．一质量m＝0.20kg的小物块P（可视为质点），以不同的初速度从M点沿水平直轨道AB滑行一段距离，进入半圆形轨道BCD经过D位置后平滑进入水平直轨道EF．一质量为2m的小物块Q（可视为质点）被锁定在水平直轨道EF上，其右侧固定一个劲度系数为k＝500N/m的轻弹簧．如果对小物块Q施加的水平力F≥30N，则它会瞬间解除锁定沿水平直轨道EF滑行，且在解除锁定的过程中无能量损失．已知弹簧的弹性势能公式EPkx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．g取10m/s2．
（1）通过传感器测得的FB和FD的关系图线如图乙所示．若轨道各处均不光滑，且已知轨道与小物块P之间的动摩擦因数μ＝0.10，MB之间的距离xMB＝0.50m．当FB＝18N时，求小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能；
（2）若轨道各处均光滑，在某次实验中，测得P经过B位置时的速度大小为2m/s．求在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能．
15．如图所示，在倾角为θ的斜面上，N点上方粗糙，下方光滑，一物块（可视为质点）从N点上方离N距离为S的P点由静止释放，下滑到N处开始压缩弹簧后又被弹离，然后上滑最远位置离N距离为0.5S．（不计物体与弹簧接触瞬间能量的损失）求：
（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数；
（2）若已知物块的质量为m，弹簧压缩最短时的弹性势能为EP，则物体从弹簧被压缩最短运动到N点的距离L为多少？
三．弹性势能的变化和弹力做功的关系（共3小题）
16．如图为小明玩橡皮筋球的瞬间，小球正在向上运动，手正在向下运动，橡皮筋处于绷紧状态。此后橡皮筋在恢复原长的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球动能一直增加 B．小球机械能一直增加
C．小球一直处于超重状态 D．橡皮筋的弹性势能完全转化为小球的动能
17．蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁、塔顶等上方，一条长弹性绳一端固定，另一端绑在踝关节处，跳跃者两臂伸开、双腿并拢、头朝下离开跳台，图甲为蹦极的场景。一游客从蹦极台下落的速度—位移图像如图乙所示，游客及携带装备的总质量为75kg，弹性绳原长为10m，下落15m时游客速度最大，已知弹性绳的弹力与伸长量的关系符合胡克定律，不计空气阻力和弹性绳的重力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．弹性绳的劲度系数为150N/m B．下落过程游客始终处于失重状态
C．下落过程弹性绳的弹力一直增大 D．下落15m时弹性绳的弹性势能最大
18．（多选）如图甲所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为弹簧的劲度系数。图乙为F随x变化的示意图。物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中，根据F﹣x的图象，判断下列结果正确的是（ ）
A．弹力做的功为F1x1 B．弹力做的功为F1x1
C．弹性势能增加了 D．弹性势能减少了
四．引力势能及其应用（共14小题）
19．第二宇宙速度又叫逃逸速度，若某物体初速度达到星球逃逸速度，该物体将完全逃脱星球的引力束缚而飞出星球（可认为物体飞至无穷远处速度为0），已知质量为m的物体放在质量为M的星球外r处的引力势能为Ep。现有一质量为m的物体放在某星球表面，星球的半径为R，已知该星球的逃逸速度为v，引力常量为G。则下列说法错误的是（ ）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球的质量
C．忽略星球自转，该星球表面重力加速度
D．该物体在近地轨道上做匀速圆周运动的周期
20．2022年12月14日，神舟十四号顺利脱离天和核心舱空间站，安全返回地球。规定无穷远处引力势能为0，空间站到地心距离为r时其引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为空间站质量。已知地球半径为R，空间站绕地球做匀速圆周运动时距地面的高度为h，若忽略地球的自转及空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．空间站在地球表面的引力势能为
B．空间站在离地面高度为h轨道运行的动能为
C．空间站在离地面高度为h轨道运行的机械能为
D．从地面发射到离地面高度为h轨道做圆周运动需要对空间站做的功为
21．（多选）2021年4月24日是我国第六个“中国航天日”，预计五月中下旬，首辆被命名为“祝融号”火星车即将与天问一号着陆器一起登陆火星，实现火星表面的巡视探测。假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R。已知物体在火星的引力场中引力势能是Ep＝﹣GMm/r，G为引力常数，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离。某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为R/2的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度v1 B．火星的第二宇宙速度v2＝2
C．火星深井底部的重力加速度为g1 D．火星的自转周期T＝π
22．如图所示，横截面积为A、质量为m的柱状飞行器沿半径为R的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为M的均匀球体。万有引力常量为G。
（1）求飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）在飞行器运行轨道附近范围内有密度为ρ（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了ΔH。由于ΔH R，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为r时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能Ep。请根据上述条件推导：
①飞行器在半径为R轨道上运行时，所受空气阻力大小F的表达式；
②飞行器由半径为R的轨道下降ΔH的过程中，飞行器绕地球运动圈数n的表达式。
23．2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”任务的国家。为了简化问题，可认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为T1，公转轨道半径为r1，火星的公转周期为T2，火星质量为M。如图2所示，以火星为参考系，质量为m1的探测器沿1号轨道到达B点时速度为v1，B点到火星球心的距离为r3，此时启动发动机，在极短时间内一次性喷出部分气体，喷气后探测器质量变为m2、速度变为与v1垂直的v2，然后进入以B点为远火点的椭圆轨道2。已知万有引力势能公式Ep，其中M为中心天体的质量，m为卫星的质量，G为引力常量，r为卫星到中心天体球心的距离。求：
（1）火星公转轨道半径r2；
（2）喷出气体速度u的大小；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小。
24．我们可以借鉴研究静电场的方法来研究地球周围空间的引力场，如用“引力场强度”、“引力势”的概念描述引力场。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，将地球视为均质球体，且忽略自转。
（1）类比电场强度的定义方法，写出地球引力场的“引力场强度E”的定义式，并结合万有引力定律，推导距离地心为r（r＞R）处的引力场强度的表达式E引＝G；
（2）设地面处和距离地面高为h处的引力场强度分别为E引和E'引，如果它们满足0.02则该空间就可以近似为匀强场，也就是我们常说的重力场。请估算地球重力场可视为匀强场的高度h（取地球半径R＝6.4×106m，结果保留两位有效数字）；
（3）由（2）可知，满足一定的限定条件，非匀强场可以按照匀强场来处理，请再列举一个类似的物理情境。
25．2018年12月8日，嫦娥四号月球探测器在西昌卫星发射中心发射升空。这是人类首次在月球背面软着陆。在月球表面，如果用弹簧测力计悬挂一个质量为m1的物体，静止时示数为F，忽略月球自转，且月球半径为R，万有引力常量为G，已知：若以星球表面为零势能面，质量为m0的物体在距该星球表面x处的引力势能可表示为Ep，其中G为引力常量，Mx为该星球质量，r为该星球半径。
（1）求月球表面的重力加速度g的大小和月球质量M；
（2）2019年1月14日，国务院新闻办公室召开的新闻发布会上宣布，嫦娥五号将于2019年年底前后发射，实现区域软着陆并采样返回。如图所示，将质量为m的月球车由月球表面发射到h高度的轨道上，在该轨道月球车与绕月球做圆周运动的飞船平稳对接，然后由飞船送月球车返回地球。求从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功W；
（3）请利用题干中给出的引力势能公式，推导以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式。
26．随着科学技术水平的不断进步，相信在不远的将来人类能够实现太空移民。为此，科学家设计了一个巨型环状管道式空间站。空间站绕地球做匀速圆周运动，人们生活在空间站的环形管道中，管道内部截面为圆形，直径可达几千米，如图（a）所示。已知地球质量为M，地球半径为R，空间站总质量为m，G为引力常量。
（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，求空间站在轨道上运行的线速度大小；
（2）为解决长期太空生活的失重问题，科学家设想让空间站围绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转，使在空间站中生活的人们获得“人工重力”。该空间站的环状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为r1、r2，环形管道壁厚度忽略不计，如图（b）所示。若要使人们感受到的“人工重力”与在地球表面上受到的重力一样（不考虑重力因地理位置不同而产生的差异且可认为太空站中心轴静止），则该空间站的自转周期应为多大；
（3）为进行某项科学实验，空间站需将运行轨道进行调整，先从半径为2R的圆轨道上的A点（近地点）进行第一次调速后进入椭圆轨道。当空间站经过椭圆轨道B点（远地点）时，再进行第二次调速后最终进入半径为3R的圆轨道上。若上述过程忽略空间站质量变化及自转产生的影响，且每次调速持续的时间很短。
①请说明空间站在这两次调速过程中，速度大小是如何变化的；
②若以无穷远为引力势能零点，空间站与地球间的引力势能为EP＝﹣G，式中r表示空间站到地心的距离，求空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗多少能量。
27．2015年7月24日，天文学家确认发现首颗位于“宜居带”上体积最接近地球大小的行星（代号为“开普勒﹣452b”），这是人类在寻找另一颗地球的道路上的重要里程碑．设想某一天，宇航员登上该星球并做如下实验：实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜轨道AB和半圆弧轨道BC组成，将质量为m0＝0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变高度H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2．求：（计算结果均保留3位有效数字）
（1）假设该行星的半径R＝5000km，求行星的质量M；
（2）在（1）问前提下，若已知质量为m的飞船距离该行星中心距离为r处的引力势能表达式为Ep，将质量为m＝2000kg的飞船，在该行星上发射到距离行星表面的高度h＝5000km的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算不考虑行星自转对发射的影响）
28．我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥三号”的任务是“落”。2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途轨道修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道Ⅰ．12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道Ⅱ，如图所示。2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在Q点附近制动，由大功率发动机减速，以抛物线路径下降到距月面100米高处进行30s悬停避障，之后再缓慢竖直下降到距月面高度仅为数米处，为避免激起更多月尘，关闭发动机，做自由落体运动，落到月球表面。
已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h1、h2。
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量。若“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小。
29．2008年9月25日21时10分许，中国第三艘载人飞船神舟七号在酒泉卫星发射中心由“长征二号F”运载火箭成功发射升空。9月26日凌晨4时零5分“神舟七号”载人飞船成功变轨。变轨成功后，飞船由沿椭圆轨道运行变为沿圆形轨道运行。“神舟七号”载人飞船在椭圆轨道上是无动力飞行，飞船在椭圆轨道近地点时距地面高度h1约为200km，此时飞行速度为v，飞船在椭圆轨道远地点时距地面高度h2约为350km。假设飞船在远地点附近变轨成圆形轨道运行，而变轨时间又很短。已知地球的半径是R0（约为6360km），地球表面重力加速度为g。如果以无穷远为引力势能的零势能参考面，当飞船与地心相距R时，飞船的引力势能计算公式是，其中G、M、m分别是万有引力常量、地球质量、飞船质量（本题中G、M、m均为未知）。则：
（1）飞船变轨期间是加速还是减速？
（2）飞船变轨期间速度的改变量的大小是多大？（只用符号表达即可）
30．有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的。如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的k倍（k＞1）。当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。
（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep，式中G为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变；探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变。
①求探测器刚离开飞船时的速度大小；
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
31．2009年至2015年，中国将进入嫦娥二期工程，届时将进行两到三次的软着陆巡视勘察，其中2012年向月面发射一个软着陆器的计划已经基本确定，按照这一计划软着陆器将携带载有摄像机和多种探测仪器的月球车，在月球表面巡视勘查，为建立月球基地收集基本数据资料．为了实现这一计划，先要登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面低轨道．假设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动，已知该飞船质量为m，已知该飞船距月球表面的高度为h．该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气，喷出气体相对飞船的速度为u，经过一段时间后飞船运动到靠近月球表面的B点，A、B两点的连线过月球球心．已知飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值．已知月球半径为R，已知月球表面的重力加速度为g，已知登月飞船在月球上空的万有引力势能为Ep（以无穷远处引力势能为零）．求：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是多少．
32．开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上．第二定律：太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积．第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船．宇宙飞船在距火星表面H高度处做匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍．因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示．飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为．试求：
（1）飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远
（2）设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T．
五．探究弹簧的弹性势能和形变量的关系（共4小题）
33．某实验小组利用如下装置探究弹簧的物理性质，所用器材有：气垫导轨、光电门、数字计时器（图中未画出）、带有挡光条的滑块、砝码等。
（1）实验步骤：
①将气垫导轨放在桌面上，打开气泵并将导轨调至水平，判断调平的依据是： ；
②应选用宽度d＝ （填“A”、“B”或“C”）的挡光条实验误差更小；
A．0.50cm B．2.00cm C．3.00cm
③将轻质弹簧一端固定于气垫导轨左侧，另一端与滑块相连，当滑块静止（弹簧处于原长）时，将光电门中心正对挡光条所在位置安装在导轨上；
④用跨过定滑轮的轻绳将滑块与砝码盘相连，放一个砝码，如图1所示。测得稳定时弹簧长度l，计算出弹簧形变量x；
⑤剪断细绳，记录挡光时间t，由v＝ 测得滑块通过光电门时的瞬时速度；
⑥逐次递增砝码个数，重复步骤④⑤。记录的部分数据如表，根据数据可得弹簧劲度系数k＝ N/m（g取9.8m/s2）；
砝码质量（g） 0 50 100 150 200 250
弹簧长度l（cm） 15.60 17.56 19.54 21.46 23.40 25.32
⑦根据实验数据，获得x图线，如图2所示。
（2）回答下列问题：
①释放滑块过程中，弹簧的弹性势能转化为 ；
②由上述实验可得结论：对同一根弹簧，弹性势能Ep与弹簧形变量x的关系为 ；
A.Ep∝x B.Ep∝x2 C.Ep∝x﹣2
简述理由： 。
34．某物理兴趣小组利用如图所示装置进行“探究弹簧弹性势能与弹簧形变量关系”的实验。图中光滑水平平台距水平地面h＝1.25m，平台上一轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为m的小球与弹簧另一端接触并压缩弹簧，记录弹簧的压缩量x后，由静止释放小球，小球从平台边缘水平飞出，落在地面上，用刻度尺测出小球水平飞行距离s；并用传感器（图中未画出）测量出小球从平台边缘飞出后在空中的飞行时间t。多做几次实验后，记录表如下表所示。
1 2 3 4 5
x/m 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
s/m 0.51 0.99 1.50 1.98 2.50
t/ms 505.3 505.1 504.8 504.9 505.2
（1）由表中数据可知，在h一定时，小球水平位移s＝ x，与 无关；
（2）由实验原理和表中数据可知，弹簧弹性势能EP与弹簧形变量x的关系式为EP＝ （用m、h、x和重力加速度g表示）；
（3）某同学按物体平抛运动规律计算了小球在空中的飞行时间：ts＝0.5s＝500ms，由表中数据可知，发现测量值t均偏大。经检查，实验操作及测量无误，且空气阻力可以忽略，造成以上偏差的原因是 。
35．空间站中不能利用天平测量质量，为此某同学为空间站设计了如图（a）所示的实验装置，用来测量小球质量。图中弹簧固定在挡板上，光滑轨道B处装有光电门，可以测量出小球经过光电门的时间。该同学设计的主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测量小球的直径d
②将弹簧左端固定在挡板上
③小球与弹簧接触并压缩弹簧，记录压缩量x
④由静止释放小球，测量小球离开弹簧后经过光电门的时间t
⑤改变弹簧的压缩量，重复步骤③、④多次
⑥分析数据，得出小球的质量
已知弹簧弹性势能EP，k为劲度系数，x为形变量。该同学使用了一个已知劲度系数为k0的弹簧进行了上述实验，请回答下列问题
（1）步骤①中游标卡尺示数情况如图（b）所示，小球的直径d＝ cm；
（2）某一次步骤④中测得小球通过光电门的时间t为5.00ms，则此次小球离开弹簧的速度v＝ m/s；
（3）根据实验步骤中测得的物理量，则可得小球的质量m＝ 。（用实验步骤①、③、④中测得的物理量表示）
36．在探究弹性势能的大小跟哪些因素有关时，小明提出了如下猜想：
猜想一：弹性势能的大小与弹簧被压缩的程度有关；
猜想二：弹性势能的大小与弹簧的材料有关；
猜想三：弹性势能的大小与弹簧的长度有关；
猜想四：弹性势能的大小与弹簧的粗细有关。
（1）为验证猜想一，他设计了如图所示实验，实验时将同一弹簧压缩 （相同/不同）的长度（弹簧被压缩后未超过其弹性限度），将小球置于弹簧的右端，松开后小球碰到同一位置的相同木块上，分析比较木块被推动的距离，从而比较弹性势能的大小；
（2）为验证猜想二，需选用长度和粗细相同、材料不同的两根弹簧，实验时将两根弹簧压 （相同/不同）的长度，将小球置于弹簧的右端，松开后小球碰到同一位置的相同木块上，对数据进行比较分析时，若 ，说明弹性势能的大小与弹簧的材料有关；
（3）小明根据实验现象认为：小球和木块移动一段距离后都要停下来，所以弹簧、小球和木块所具有的机械能最终都消灭了，你认为小明的观点对吗，理由是 。
六．验证机械能守恒定律（共6小题）
37．某同学设计了一个验证机械能守恒定律的实验，一轻绳一端连接在拉力传感器上O点，另一端连接在半径为r的匀质小钢球上，小钢球球心至O点的长度为L，O点正下方B位置有一光电门，可记录小钢球通过光电门的时间。如图甲所示，将小钢球拉至某一位置由静止释放，同时拉力传感器通过计算机采集小钢球在摆动过程中轻绳上拉力的最大值T和最小值F。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程，根据测量数据在直角坐标系中绘制的T﹣F图像如乙图所示。
（1）小钢球从A位置由静止释放时，细线与竖直方向成θ角，小钢球通过最低点位置B时，光电门记录遮光时间为t，则小钢球通过光电门的速度vB＝ ；在实验误差允许的范围内，若t2＝ （用r、L、θ、g等符号表示）则验证了小钢球从A点运动到B点过程中机械能守恒。
（2）若小钢球摆动过程中机械能守恒，则绘制乙图T﹣F图像的直线斜率理论值为 。
（3）小钢球质量m＝30g，根据测量数据绘制的乙图计算出重力加速度g＝ m/s2（结果保留3位有效数字），与当地实际重力加速度相比 （选填“偏小”“不变”或“偏大”）。
38．某同学用如图（a）所示的装置验证机械能守恒定律。不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮，轻绳两端分别连接物块P与感光细钢柱K，两者质量均为m＝0.140kg，钢柱K下端与质量为M＝0.200kg的物块Q相连。铁架台下部固定一个电动机，电动机竖直转轴上装一支激光笔，电动机带动激光笔绕转轴在水平面内匀速转动，每转一周激光照射在细钢柱表面时就会使细钢柱感光并留下痕迹。初始时P、K、Q系统在外力作用下保持静止，轻绳与细钢柱均竖直。重力加速度g取9.8m/s2。
（1）开启电动机，待电动机以ω＝40πrad/s的角速度匀速转动后。将P、K、Q系统由静止释放，Q落地前，激光器在细钢柱K上留下感光痕迹，取下K，用刻度尺测出感光痕迹间的距离如图（b）所示。感光痕迹间的时间间隔T＝ s，激光束照射到E点时，细钢柱速度大小为vE＝ m/s（计算结果保留3位有效数字）。
经判断系统由静止释放时激光笔光束恰好经过O点。在OE段，系统动能的增加量ΔEk＝ J，重力势能的减少量ΔEp＝ J，比较两者关系可判断系统机械能是否守恒。（计算结果均保留3位有效数字）
（2）选取相同的另一感光细钢柱K，若初始时激光笔对准K上某点，开启电动机的同时系统由静止释放，电动机的角速度按如图（c）所示的规律变化，图像斜率为k，记录下如图（d）所示的感光痕迹，其中两相邻感光痕迹间距均为d。若验证得到表达式 即可证明系统在运动过程中机械能守恒（用含字母M、m、d、k、g、π的表达式表示）。
39．为了“验证机械能守恒定律”，某学生想到用气垫导轨和光电门及质量为m的小车来进行实验，如图所示，他将长为L、原来已调至水平的气垫导轨的左端垫高H，在导轨上的两点处分别安装光电门A和B，然后将小车从导轨上端释放，在小车下滑过程中，小车上的挡光片经过上、下光电门的时间分别为t1、t2，用游标卡尺测得挡光片宽度为d，重力加速度为g。则：
（1）要验证小车在运动过程中机械能守恒，还必须测出 。
（2）写出本实验验证机械能守恒定律的原理式 （用上面已知测量量和还必须测出的物理量符号表示）。
（3）实验所用滑块的质量m＝600g，其他数据如下L＝1.5m，H＝10cm，g＝9.8m/s2，两个光电门间的距离为50cm，则实验中重力势能的减少量为 J。
（4）如果气垫导轨左端垫高的高度H可调，此实验还可以“探究在质量不变时，物体的加速度与合力的关系”，回答下列问题：
①小车的加速度a＝ （用上面已知测量量的符号表示）；小车所受合力F＝ 。
②要改变小车受到的合力，只需改变 ，做加速度﹣合力图象时，横轴可用 代替。
40．如图为利用气垫导轨（滑块在该导轨上运动时所受阻力可忽略）“验证机械能守恒定律”的实验装置，完成以下填空．
实验步骤如下：
①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1m，将导轨调至水平．
②测出挡光条的宽度l和两光电门中心之间的距离s．
③将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2．
④读出滑块分别通过光电门1和光电门2时的挡光时间Δt1和Δt2．
⑤用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m．
⑥滑块通过光电门1和光电门2时，可以确定系统（包括滑块、挡光条、托盘和砝码）的总动能分别为Ek1＝ 和Ek2＝ ．
⑦在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少ΔEp＝ ．（重力加速度为g）
⑧如果满足关系式 ，则可认为验证了机械能守恒定律．
41．某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律，频闪仪每隔0.05s闪光一次，用毫米刻度尺测得相邻两个时刻小球上升的高度分别为s1＝26.3cm、s2＝23.68cm、s3＝21.16cm、s4＝18.66cm、s5＝16.04cm，该同学通过计算得到不同时刻的速度如表所示（当地重力加速度g＝9.8m/s2，小球质量m＝0.10kg）．
时刻 t2 t3 t4 t5
速度（m/s） 4.48 3.98 3.47
（1）上面测量高度的五个数据中不符合有效数字读数要求的是 段，应记作 cm；
（2）由频闪照片上的数据计算t2时刻小球的速度v2＝ m/s（计算结果保留三位有效数字）；
（3）从t2到t5时间内，重力势能增量ΔEp＝ J，动能减少量ΔEk＝ J（计算结果保留三位有效数字）；
（4）在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，从而验证了机械能守恒定律．由上述计算所得ΔEp ΔEk（选填“＞”、“＜”或“＝”），造成这种结果的主要原因是 ．
42．合成与分解是物理常用的一种研究问题的方法，如研究复杂的运动就可以将其分解成两个简单的运动来研究。请应用所学物理知识与方法，思考并解决以下问题。
如图所示，将一小球以v0＝20m/s的初速度从坐标轴原点O水平抛出，两束平行光分别沿着与坐标轴平行的方向照射小球，在两个坐标轴上留下了小球的两个“影子”，影子的位移和速度描述了小球在x、y两个方向的运动。不计空气阻力的影响，g＝10m/s2。
（1）分析说明两个“影子”分别做什么运动；
（2）经过时间t＝2s小球到达如图1所示的位置，求此时小球的速度v。
第八章 重力势能与验证机械能守恒定律重点题型归纳答案
一．重力势能的变化和重力做功的关系（共10小题）
1．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，重力加速度为g，以释放位置所在平面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的减小量分别为（ ）
A．0，mg（H+h） B．0，
C．﹣mgh，mg（H﹣h） D．﹣mg（H+h），mg（H+h）
【答案】D
【解答】解：以释放位置所在平面为参考平面，那么小球落地时的重力势能为
EP＝﹣mg（H+h）
整个过程中小球重力势能的减少量为
ΔEP＝mg △h＝mg（H+h）
故D正确，ABC错误。
故选：D。
2．两个质量相同的小物块A和B，分别从两个高度相同的粗糙斜面和光滑圆弧斜坡的顶点滑向底部，如图所示，如果它们的初速度都为零，下列说法正确的是（ ）
A．小物块B运动路程长些，下滑过程中重力做的功多些
B．小物块A下滑过程中重力做的功多些
C．小物块B下滑过程中减少的重力势能少些
D．小物块A和B下滑过程中减少的重力势能相等
【答案】D
【解答】解：AB、重力做功跟初位置和末位置的高度差有关，跟物体运动的路径无关，根据
WG＝mgH
可知小物块A和小物块B下滑过程中重力所做的功相等，故AB错误；
CD、由重力做功与重力势能变化间的关系
ΔEp＝﹣WG
知小物块A和小物块B下滑过程中减少的重力势能相等，故C错误，D正确。
故选：D。
3．如图，质量为m同学背越式跳高过程中，恰好越过高度为h的横杆，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．起跳阶段，地面对人的弹力做功
B．上升过程中，重力势能增加mgh
C．从起跳最低点到上升最高点过程先超重后失重
D．刚接触海绵垫时，在竖直方向即做减速运动
【答案】C
【解答】解：A、起跳阶段，地面对人的弹力作用点始终没有离开地面，并没有向上的位移，故地面对人的弹力不做功。故A错误；
B、上升过程中，高度增加，人的重力势能增加量小于mgh，故B错误；
C、起跳到上升过程，加速度先向上，后向下，所以该先同学先超重后失重，故C正确；
D、刚接触海绵垫时，重力大于海绵垫的弹力，加速度向下，该同学在竖直方向上向下加速运动，当海绵垫的弹力大于该同学的重力后，该同学减速运动，故D错误。
故选：C。
4．如图所示，光滑弧形轨道高为h，将质量为m的小球从轨道顶端由静止释放，小球运动到轨道底端时的速度为v，重力加速度为g，该过程中小球重力势能减少量为（ ）
A．mgh B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：小球从顶端静止释放到轨道底端过程中，重力做功为mgh，根据重力做功和重力势能变化量之间的关系可知，重力势能的减少量为mgh，故A正确，BCD错误。
故选：A。
5．无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。现代献血常采用机采成分血的方式，就是指把健康人捐献的血液，通过血液分离机分离出其中某一种成分（如血小板、粒细胞或外周血干细胞）储存起来，再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa＜ρ0＜ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动
B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大
C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率
【答案】C
【解答】解：A．转动时细胞做圆周运动需要向心力为
F＝mω2r
由于a、b两种细胞的ω、r均相同，质量大的细胞即密度大的细胞需要的向心力大，周围细胞对它的作用力小于需要的向心力做离心运动而向外侧运动，由于b细胞密度大，所以b细胞相对试管向外侧运动，密度小的a细胞需要的向心力小，周围细胞对它的作用力大于所需要的向心力做近心运动，相对试管向内侧运动，故A错误；
B．“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，细胞b相对试管向外侧运动，“模拟重力”做正功，“模拟重力势能”变小，细胞a相对试管向外侧运动，“模拟重力”做负功，“模拟重力势能”变大，故B错误；
C．“模拟重力”大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比，根据牛顿第二定律得：
解得：a＝rω2
由此可知，“重力加速度”与其到转轴距离成正比，所以沿转动半径方向向外侧逐渐变大，故C正确；
D．模拟重力的功率P＝G′v，由于ρa＜ρb，Ga′＜Gb′，故当a、b两种细胞沿垂直于转轴的半径方向速率相等，但“模拟重力”对细胞a做功的功率小于对细胞b做功的功率，故D错误。
故选：C。
6．我们知道，处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动的，当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为Epx．该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（ ）
A．与该“势能”对应的“力”的方向指向O点
B．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小
C．该“势能”的表达式Epx是选取了y轴处“势能”为零
D．稳定时桶中水面的纵截面为圆的一部分
【答案】C
【解答】解：A、若我们取液面A处有一个小液滴，它离O点有一定的高度，因为在液面上稳定时相同质量的水将具有相同的总势能，而A点的重力势能大于O点，所以这个特殊的“势能”A点要小于O点，故由O到A的过程中，这个“势能”减小，故它对应的力做的是正功，所以该“力”由O指向A，故A错误；
B、设这个“力”为F，则Fx＝EpO﹣EPA＝0﹣（），即F，故该力的大小随x的增大而增大，故B错误；
C、由于O点的这个“势能”最大，向两侧时减小，而“势能”的表达式是EPx，故是选取了y轴处的“势能”为零，故C正确；
D、如果我们取O点的重力势能为0，这个“势能”也为0，则质量相等的小液滴，由于它们在液面上稳定时具有相同的总势能，即某点的总势能Ep＝mgy0，故y与x是二次函数的关系，所以桶中水面的纵截面为抛物线，不是圆的一部分，故D错误。
故选：C。
7．（多选）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，且细线刚好伸直但不绷紧，如图所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，弹簧和斜面上的那部分细线均平行于斜面。以下说法中正确的是（ ）
A．初始时弹簧的压缩量是0.2m
B．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
C．撤掉外力瞬间，A的加速度大小为2.5m/s2
D．从撤去外力到A、B恰好分离整个过程，物体C减少的重力势能为1J
【答案】AD
【解答】解：A．初始时，对A、B整体受力分析，根据胡克定律，有F弹＝kx1＝（mA+mB）gsinθ
解得x1＝0.2m
故A正确；
B．A、B恰好分离时，A、B间弹力为零，以B、C整体为研究对象，有mCg﹣mBgsinθ＝（mB+mC）a2
解得a2＝0
则A的加速度大小也为0，此时弹簧处于压缩状态，故B错误；
C．撤掉外力瞬间，对A、B、C系统有mCg+F弹﹣（mA+mB）gsinθ＝（mA+mB+mC）a1
弹簧弹力F弹＝（mA+mB）gsinθ
则有mCg＝（mA+mB+mC）a1
联立解得
故C错误；
D．AB恰好分离时，以A为研究对象，有F′弹﹣mAgsinθ＝mAa2＝0
设此时弹簧的压缩量为x2，有F′弹＝kx2
解得x2＝0.1m
所以从撤去外力到A、B恰好分离，A沿斜面移动的位移Δs＝x1﹣x2＝0.2m﹣0.1m＝0.1m
物体C减少的重力势能为ΔEP＝mCgΔs
代入数据解得ΔEP＝1J
故D正确。
故选：AD。
8．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．
【解答】解：设链条的质量为m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为：
E＝EP+EKmgsinθmg0mgL（1+sinθ），
链条全部下滑出后，动能为：
Ek′mv2
重力势能为：
Ep′＝﹣mg，
由机械能守恒可得：E＝EK′+EP′
即：mgL（1+sinθ）mv2﹣mg，
解得：v；
答：链条刚好全部滑出斜面时的速度是．
9．质量mA＝10kg的物块A与质量mB＝2kg的物块B放在倾角θ＝30°的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B连接，另一端与固定挡板连接，弹簧的劲度系数k＝400N/m，现给物块A施加一个平行于斜面向上的F，使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，求：（g＝10m/s2）
（1）力F的最大值与最小值
（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能．
【解答】解：（1）设刚开始时弹簧压缩量为x0，则（mA+mB）gsin θ＝kx0…①
因为在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，所以在0.2 s时，B对A的作用力为0，
由牛顿第二定律知：kx1﹣mBgsin θ＝mBa…②
前0.2 s时间内A、B向上运动的距离为：x0﹣x1at2…③
①②③式联立解得：a＝5 m/s2
当A、B开始运动时拉力最小，此时有：Fmin＝（mA+mB）a＝60N
当A、B分离时拉力最大，此时有：Fmax＝mA（a+gsin θ）＝100N．
（2）物体上升的位移为：xat25×0.04＝0.1m
故上升的高度为：h＝x sin30°x＝0.05m
物块A所增加的重力势能为ΔEP＝mAgh＝5J．
答：
（1）力F的最大值与最小值分别为100N和60N．
（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能为5J．
10．一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径r＝0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa．求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g＝10m/s2．）
【解答】解：从开始提升到活塞升至内外水面高度差为的过程中，活塞始终与管内液体接触．（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论．）
设活塞上升距离为h1，管外液面下降距离为h2，有：h0＝h1+h2
因液体体积不变，则有：
得：
题给H＝9m＞h1，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程．
活塞移动距离从零到h1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功．因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即
其它力有管内、外的大气压力和拉力F．因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知
W1＝ΔE
即1.18×104J
活塞移动距离从h1到H的过程中，液面不变，F是恒力F＝πr2P0，做功
W2＝F（H﹣h1）＝πr2P0（H﹣h1）＝4.71×103J
所求拉力F做的总功为：W1+W2＝1.65×104 J．
答：活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功为1.65×104 J．
二．弹性势能的定义和性质（共5小题）
11．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板的O点，下端与质量为m的物块（视为质点）相连，物块放置在光滑的水平地面上，O与地面之间的高度差为h，地面上的C点正好在O的正下方，弹簧的原长为h，现让物块从A点由静止释放，一直加速运动到B点，已知∠AOC＝53°，∠BOC＝37°，弹簧的弹性势能Ep与弹簧的伸长量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系为，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．物块在B点，弹簧的伸长量
B．在B点时，地面对物块的支持力
C．物块从A到B，弹簧释放的弹性势能
D．物块在B点的速度
【答案】C
【解答】解：A．物块在B点，根据几何关系
弹簧的伸长量为：
Δl＝lOB﹣h
联立解得：，故A错误；
B．在B点时，弹簧弹力为：
地面对物块的支持力，在竖直方向上：
FN＝mg﹣Fcos37°
解得：，故B错误；
C．物块在A点，根据几何关系
在A点时，弹簧的伸长量为：
Δl1＝lOA﹣h
联立解得：
物块从A到B，弹簧释放的弹性势能为：
解得：，故C正确；
D．由能量守恒定律得：
解得：，故D错误。
故选：C。
12．如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且OM＝3d，ON＝4d，MN＝5d，重力加速度为g。求：
（1）弹簧的原长l；
（2）小球运动到N点时速度vN的大小。
【解答】解：（1）设弹簧的劲度系数为k。因为在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，所以根据胡克定律有k（l﹣3d）＝k（4d﹣l）
所以l＝3.5d
（2）因为在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，所以在M、N两点处弹簧的弹性势能EPM＝EPN。
取小球和弹簧为系统，在小球从M点运动到N点的过程中系统的机械能守恒。取N点所在平面为零势能平面，则有
所以
答：（1）弹簧的原长l为3.5d；
（2）小球运动到N点时速度vN的大小为。
13．弹簧原长l0＝0.15m，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝0.2m时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
【解答】解：（1）根据F＝k（l1﹣l0）
解得：kN/m＝8000N/m；
（2）弹力做功等于弹性势能的变化，则Wkx28000×（0.2﹣0.15）2＝﹣10J；
（3）弹簧的弹性势能增加了ΔEPkx28000×（0.2﹣0.15）2＝10J。
答：（1）弹簧的劲度系数k为8000N/m；
（2）在该过程中弹力做了﹣10J的功；
（3）弹簧的弹性势能增加了10J。
14．如图甲所示，BCD为竖直放置的半径R＝0.20m的半圆形轨道，在半圆形轨道的最低位置B和最高位置D均安装了压力传感器，可测定小物块通过这两处时对轨道的压力FB和FD．半圆形轨道在B位置与水平直轨道AB平滑连接，在D位置与另一水平直轨道EF相对，其间留有可让小物块通过的缝隙．一质量m＝0.20kg的小物块P（可视为质点），以不同的初速度从M点沿水平直轨道AB滑行一段距离，进入半圆形轨道BCD经过D位置后平滑进入水平直轨道EF．一质量为2m的小物块Q（可视为质点）被锁定在水平直轨道EF上，其右侧固定一个劲度系数为k＝500N/m的轻弹簧．如果对小物块Q施加的水平力F≥30N，则它会瞬间解除锁定沿水平直轨道EF滑行，且在解除锁定的过程中无能量损失．已知弹簧的弹性势能公式EPkx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．g取10m/s2．
（1）通过传感器测得的FB和FD的关系图线如图乙所示．若轨道各处均不光滑，且已知轨道与小物块P之间的动摩擦因数μ＝0.10，MB之间的距离xMB＝0.50m．当FB＝18N时，求小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能；
（2）若轨道各处均光滑，在某次实验中，测得P经过B位置时的速度大小为2m/s．求在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能．
【解答】解：（1）设小物块P在B、D两位置受轨道弹力大小分别为NB、ND，速度大小分别为vB、vD．
根据牛顿第三定律可知：NB＝FB，ND＝FD，
小物块P通过B位置时，根据牛顿第二定律有：
NB﹣mg＝m，
代入数据解得：vB＝4.0m/s；
小物块P从M到B所损失的机械能为：ΔE1＝μmgxMB＝0.10J，
小物块P通过D位置时，根据牛顿第二定律有：
ND+mg＝m，
代入数据解得：vD＝2.0m/s，
小物块P由B位置运动到D位置的过程中，克服摩擦力做功为Wf，根据动能定理有：
﹣Wf﹣mg 2R，
代入数据解得：Wf＝0.40J，
小物块P从B至D的过程中所损失的机械能：ΔE2＝0.40J，
小物块P从M点运动到轨道最高点D的过程中所损失的机械能：ΔE＝ΔE1+ΔE2＝0.50J；
（2）在轨道各处均光滑的情况下，设小物块P运动至B、D位置速度大小分别为vB′、vD′．根据机械能守恒定律有：
，
代入数据解得：vD′＝4.0m/s，
小物块P向小物块Q运动，将压缩弹簧，当弹簧的压缩量x＝F/k时，小物块Q恰好解除锁定．
设小物块P以vx速度大小开始压缩弹簧，当其动能减为零时，刚好使小物块Q解除锁定．
根据能量守恒有：，
代入数据解得：vx＝3.0m/s，
由于vD′＞vx，因此小物块Q被解除锁定后，小物块P的速度不为零，设其速度大小为vP，
根据能量守恒有 ，
代入数据解得：vPm/s，
当小物块Q解除锁定后，P、Q以及弹簧组成的系统动量守恒，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大．以向右为正方向，根据动量守恒定律有：
mvP＝（m+2m）v，
弹簧的最大弹性势能为：J；
答：（1）小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能为0.5J；
（2）在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能为1.37J．
15．如图所示，在倾角为θ的斜面上，N点上方粗糙，下方光滑，一物块（可视为质点）从N点上方离N距离为S的P点由静止释放，下滑到N处开始压缩弹簧后又被弹离，然后上滑最远位置离N距离为0.5S．（不计物体与弹簧接触瞬间能量的损失）求：
（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数；
（2）若已知物块的质量为m，弹簧压缩最短时的弹性势能为EP，则物体从弹簧被压缩最短运动到N点的距离L为多少？
【解答】解：（1）对于整个过程，由动能定理有：
mgsinθ 0.5S﹣μmgcosθ 1.5S＝0 ①
则得，μtanθ
（2）设滑块上滑到N点时的速度为v，对于从N上滑到最高点的过程，由动能定理则有：
﹣（mgsinθ 0.5S+μmgcosθ 0.5S）＝0mv2 ②
由N点下滑到弹簧被压缩到最大过程中弹簧与物体系统机械能守恒，设此距离为L，有；
EpmgLsinθ ③
由②、③解得：L
答：（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数为tanθ；（2）物体从弹簧被压缩最短运动到N点的距离L为．
三．弹性势能的变化和弹力做功的关系（共3小题）
16．如图为小明玩橡皮筋球的瞬间，小球正在向上运动，手正在向下运动，橡皮筋处于绷紧状态。此后橡皮筋在恢复原长的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球动能一直增加 B．小球机械能一直增加
C．小球一直处于超重状态 D．橡皮筋的弹性势能完全转化为小球的动能
【答案】B
【解答】解：AC．小球正在向上运动，此后橡皮筋在恢复原长的过程中，当橡皮筋弹力大于小球重力时，小球向上做加速运动，小球动能增加，小球处于超重状态；当橡皮筋弹力小于小球重力时，小球向上做减速运动，小球处于失重状态，小球动能减少；故AC错误；
BD．小球正在向上运动，此后橡皮筋在恢复原长的过程中，橡皮筋弹力对小球一直做正功，则小球的机械能一直增加，橡皮筋的弹性势能转化为小球的机械能即转化为小球的动能和重力势能，故B正确，D错误。
故选：B。
17．蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁、塔顶等上方，一条长弹性绳一端固定，另一端绑在踝关节处，跳跃者两臂伸开、双腿并拢、头朝下离开跳台，图甲为蹦极的场景。一游客从蹦极台下落的速度—位移图像如图乙所示，游客及携带装备的总质量为75kg，弹性绳原长为10m，下落15m时游客速度最大，已知弹性绳的弹力与伸长量的关系符合胡克定律，不计空气阻力和弹性绳的重力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．弹性绳的劲度系数为150N/m B．下落过程游客始终处于失重状态
C．下落过程弹性绳的弹力一直增大 D．下落15m时弹性绳的弹性势能最大
【答案】A
【解答】解：AB．跳跃着先加速后减速，故运动员先处于失重状态后处于超重状态，当合力为0时速度最大，此时弹力等于重力，由kΔx＝mg得
，故A正确，B错误；
C．弹性绳达到原长前，弹力都为0，下落10m后，弹性绳的弹力一直增大，故C错误；
D．当跳跃者下落到最低点，即下落高度为25m，速度为0时，跳跃者减小的重力势能全部转化为弹性绳的弹性势能，此时弹性绳的弹性势能最大，故D错误。
故选：A。
18．（多选）如图甲所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为弹簧的劲度系数。图乙为F随x变化的示意图。物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中，根据F﹣x的图象，判断下列结果正确的是（ ）
A．弹力做的功为F1x1 B．弹力做的功为F1x1
C．弹性势能增加了 D．弹性势能减少了
【答案】BC
【解答】解：AB、物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中，弹簧弹力向左，物块的位移向右，弹簧弹力做负功，弹簧弹力做功：W，故A错误，B正确；
CD、弹簧弹力做负功，弹簧弹性势能增加，弹簧增加的弹性势能等于克服弹簧做的功，因此弹簧弹性势能增加了ΔEp，故C正确，D错误。
故选：BC。
四．引力势能及其应用（共14小题）
19．第二宇宙速度又叫逃逸速度，若某物体初速度达到星球逃逸速度，该物体将完全逃脱星球的引力束缚而飞出星球（可认为物体飞至无穷远处速度为0），已知质量为m的物体放在质量为M的星球外r处的引力势能为Ep。现有一质量为m的物体放在某星球表面，星球的半径为R，已知该星球的逃逸速度为v，引力常量为G。则下列说法错误的是（ ）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球的质量
C．忽略星球自转，该星球表面重力加速度
D．该物体在近地轨道上做匀速圆周运动的周期
【答案】B
【解答】解：AB、根据题意，第二宇宙速度满足：Ek+Ep＝0
代入题设条件有：
代入可得：
第一宇宙速度满足：
可得：
整理得到：，故A正确，B错误；
CD、由万有引力提供重力，重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：
可得：，，故CD正确。
本题是选错误的
故选：B。
20．2022年12月14日，神舟十四号顺利脱离天和核心舱空间站，安全返回地球。规定无穷远处引力势能为0，空间站到地心距离为r时其引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为空间站质量。已知地球半径为R，空间站绕地球做匀速圆周运动时距地面的高度为h，若忽略地球的自转及空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．空间站在地球表面的引力势能为
B．空间站在离地面高度为h轨道运行的动能为
C．空间站在离地面高度为h轨道运行的机械能为
D．从地面发射到离地面高度为h轨道做圆周运动需要对空间站做的功为
【答案】D
【解答】解：A、根据题意，由引力势能表达式可得，空间站在地球表面的引力势能为，故A错误；
B、空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，又有，解得空间站在离地面高度为h轨道运行的动能为，故B错误；
C、空间站在离地面高度为h轨道运行的引力势能为，则其机械能为，故C错误；
D、由功能关系可知，从地面发射到离地面高度为h轨道做圆周运动需要对空间站做的功为，故D正确。
故选：D。
21．（多选）2021年4月24日是我国第六个“中国航天日”，预计五月中下旬，首辆被命名为“祝融号”火星车即将与天问一号着陆器一起登陆火星，实现火星表面的巡视探测。假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R。已知物体在火星的引力场中引力势能是Ep＝﹣GMm/r，G为引力常数，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离。某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为R/2的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度v1
B．火星的第二宇宙速度v2＝2
C．火星深井底部的重力加速度为g1
D．火星的自转周期T＝π
【答案】AC
【解答】解：A、物体在火星附近绕火星做匀速圆周运动的速度，叫作火星的第一宇宙速度，在火星两极万有引力与重力相等，故据万有引力提供圆周运动向心力有：，可得火星的第一宇宙速度，故A正确；
B、火星的第二宇宙速度是逃离火星束缚的最小发射速度，若以此发射速度发射航天器至离火星无穷远处，则据重力做功与重力势能变化关系有：WG＝EpR﹣Ep∞，在此过种只有重力做功，根据动能定理有：WG＝Ek∞﹣EkR联列两式可得：航天器的发射时的动能EkR＝Ek∞﹣EpR+Ep∞，由题意可知：，EP∞＝0，代入发射时的动能可得：，当Ek∞取零时，发射时的动能有最小值，又据可以计算得出火星的第二宇宙速度，代入可得，故C错误；
C、星球表面的重力加速度等于星球对物体表面的万有引力，令星球的密度为ρ，则半径为R的星球质量为M，据万有引力等于重力可得可得星球表面的重力加速度g，即密度相同的情况下，星球表面的重力加速度与星球的半径R成正比，故火星深井底部的重力加速度与火星表面的重力加速度之比等于半径比，即火星深井底部的重力加速度等于火星表面重力加速度的一半，即，故C正确；
D、火星表面受到的万有引力等于mg0，在火星赤道，万有引力＝重力+自转运动的向心力，即，由此可解得火星的自转周期T＝2π，故D错误。
故选：AC。
22．如图所示，横截面积为A、质量为m的柱状飞行器沿半径为R的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为M的均匀球体。万有引力常量为G。
（1）求飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）在飞行器运行轨道附近范围内有密度为ρ（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了ΔH。由于ΔH R，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为r时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能Ep。请根据上述条件推导：
①飞行器在半径为R轨道上运行时，所受空气阻力大小F的表达式；
②飞行器由半径为R的轨道下降ΔH的过程中，飞行器绕地球运动圈数n的表达式。
【答案】（1）人造卫星在轨道半径为r的高空绕地球做圆周运动的周期为2π ；
（2）①卫星在半径为r轨道上运行时，所受空气阻力的大小为 ；
②卫星由半径为r的轨道下降ΔH的过程中绕地球运动的圈数为 。
【解答】解：（1）卫星绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力结合牛顿第二定律得：mR，
解得：T＝2π；
（2）①最大横截面积为A的卫星，经过时间Δt从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为：Δm＝ρAvΔt
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F′；
取卫星运动的方向为正方向，对这部分稀薄空气颗粒，根据动量定理有：F′Δt＝Δmv
对卫星根据万有引力定律和牛顿第二定律有：m，
解得：F′，
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小为：F＝F′；
②设卫星在r轨道运行时的速度为v、动能为Ek1、势能为Ep1、机械能为E1，
根据牛顿定律和万有引力定律有：m，
卫星的动能为：EK1mv2，
势能为：EP1，
解得：E1，
卫星高度下降ΔH，在半径为（r﹣ΔH）轨道上运行，
同理可知其机械为：E2，
卫星轨道高度下降ΔH，其机械能的改变量为：ΔE
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功．设卫星在沿半径为r的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0，
利用小量累积的方法可知：W0＝﹣F×2πr＝﹣2πρAGM
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关．
则ΔE＝nW0
解得：n。
答：（1）人造卫星在轨道半径为r的高空绕地球做圆周运动的周期为2π ；
（2）①卫星在半径为r轨道上运行时，所受空气阻力的大小为 ；
②卫星由半径为r的轨道下降ΔH的过程中绕地球运动的圈数为 。
23．2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”任务的国家。为了简化问题，可认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为T1，公转轨道半径为r1，火星的公转周期为T2，火星质量为M。如图2所示，以火星为参考系，质量为m1的探测器沿1号轨道到达B点时速度为v1，B点到火星球心的距离为r3，此时启动发动机，在极短时间内一次性喷出部分气体，喷气后探测器质量变为m2、速度变为与v1垂直的v2，然后进入以B点为远火点的椭圆轨道2。已知万有引力势能公式Ep，其中M为中心天体的质量，m为卫星的质量，G为引力常量，r为卫星到中心天体球心的距离。求：
（1）火星公转轨道半径r2；
（2）喷出气体速度u的大小；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小。
【答案】（1）火星公转轨道半径r2为；
（2）喷出气体速度u的大小为；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小为。
【解答】解：（1）由开普勒第三定律可得：
解得：r2；
（2）喷出气体的质量为m＝m1﹣m2
喷气前探测器与所喷出气体组成的系统初动量
p1＝m1v1
喷出气体后探测器末动量为
p2＝m2v2
喷出气体前后p1、p2方向垂直，建立如图所示Oxy直角坐标系。
喷出气体速度u在x、y方向上的分量分别为ux、uy，根据动量守恒定律有
x方向有p1＝mux
y方向有0＝p2+muy
喷出气体速度满足
联立可得
（3）由开普勒第二定律得：
即：v2r3＝v3r4
答：（1）火星公转轨道半径r2为；
（2）喷出气体速度u的大小为；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小为。
24．我们可以借鉴研究静电场的方法来研究地球周围空间的引力场，如用“引力场强度”、“引力势”的概念描述引力场。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，将地球视为均质球体，且忽略自转。
（1）类比电场强度的定义方法，写出地球引力场的“引力场强度E”的定义式，并结合万有引力定律，推导距离地心为r（r＞R）处的引力场强度的表达式E引＝G；
（2）设地面处和距离地面高为h处的引力场强度分别为E引和E'引，如果它们满足0.02则该空间就可以近似为匀强场，也就是我们常说的重力场。请估算地球重力场可视为匀强场的高度h（取地球半径R＝6.4×106m，结果保留两位有效数字）；
（3）由（2）可知，满足一定的限定条件，非匀强场可以按照匀强场来处理，请再列举一个类似的物理情境。
【解答】解：（1）类比电场强度定义式：E
距离地心为r（r＞R）的某点，受到地球的万有引力：F
引力场强度：E引。
（2）根据题意可知，地面处的引力场强度：E引
距离地面高为h处的引力场强度：E引′
满足关系：0.02
解得：h＝6.5×104m
（3）分析地磁场可知，地面附近的空间内，比如学校教室内的地磁场分布可以看成匀强磁场。
答：（1）推导见解析；
（2）地球重力场可视为匀强场的高度为6.5×104m；
（3）学校教室内的地磁场分布可以看成匀强磁场。
25．2018年12月8日，嫦娥四号月球探测器在西昌卫星发射中心发射升空。这是人类首次在月球背面软着陆。在月球表面，如果用弹簧测力计悬挂一个质量为m1的物体，静止时示数为F，忽略月球自转，且月球半径为R，万有引力常量为G，已知：若以星球表面为零势能面，质量为m0的物体在距该星球表面x处的引力势能可表示为Ep，其中G为引力常量，Mx为该星球质量，r为该星球半径。
（1）求月球表面的重力加速度g的大小和月球质量M；
（2）2019年1月14日，国务院新闻办公室召开的新闻发布会上宣布，嫦娥五号将于2019年年底前后发射，实现区域软着陆并采样返回。如图所示，将质量为m的月球车由月球表面发射到h高度的轨道上，在该轨道月球车与绕月球做圆周运动的飞船平稳对接，然后由飞船送月球车返回地球。求从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功W；
（3）请利用题干中给出的引力势能公式，推导以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式。
【答案】（1）月球表面的重力加速度为，月球的质量为。
（2）从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功为。
（3）以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式为EP′。
【解答】解：（1）分析题意可知，用弹簧测力计悬挂一个质量为m1的物体，静止时示数为F，则月球表面的重力加速度：g，
根据物体在月球表面的重力等于万有引力可知，，
解得月球的质量：M。
（2）月球车距离月球表面h高处时，根据万有引力提供向心力可知，
m
则月球车在高h处的动能：Ek
根据题干信息可知，引力势能：Ep
将月球车发到该处时，对它做功W应等于它在该处的机械能：E＝Ek+Ep
因此，W。
（3）引力势能的改变与零势能面的选择无关，以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式：
EP′。
答：（1）月球表面的重力加速度为，月球的质量为。
（2）从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功为。
（3）以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式为EP′。
26．随着科学技术水平的不断进步，相信在不远的将来人类能够实现太空移民。为此，科学家设计了一个巨型环状管道式空间站。空间站绕地球做匀速圆周运动，人们生活在空间站的环形管道中，管道内部截面为圆形，直径可达几千米，如图（a）所示。已知地球质量为M，地球半径为R，空间站总质量为m，G为引力常量。
（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，求空间站在轨道上运行的线速度大小；
（2）为解决长期太空生活的失重问题，科学家设想让空间站围绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转，使在空间站中生活的人们获得“人工重力”。该空间站的环状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为r1、r2，环形管道壁厚度忽略不计，如图（b）所示。若要使人们感受到的“人工重力”与在地球表面上受到的重力一样（不考虑重力因地理位置不同而产生的差异且可认为太空站中心轴静止），则该空间站的自转周期应为多大；
（3）为进行某项科学实验，空间站需将运行轨道进行调整，先从半径为2R的圆轨道上的A点（近地点）进行第一次调速后进入椭圆轨道。当空间站经过椭圆轨道B点（远地点）时，再进行第二次调速后最终进入半径为3R的圆轨道上。若上述过程忽略空间站质量变化及自转产生的影响，且每次调速持续的时间很短。
①请说明空间站在这两次调速过程中，速度大小是如何变化的；
②若以无穷远为引力势能零点，空间站与地球间的引力势能为EP＝﹣G，式中r表示空间站到地心的距离，求空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗多少能量。
【解答】解：（1）空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有：
，解得：v
（2）设地球表面的物体质量为m0，在不考虑地球自转时有：，
当人随空间站一起自转且加速度为g时，可获得与地球表面相同的重力，所以，
解得：T
（3）①在A点和B点两次调速均使空间站做离心运动，所以两次都是加速过程，速度大小变大，
②空间站变轨前的总能量：，
空间站变轨后做圆周运动，则有：，空间站变轨后的总能量：，
则变轨过程中消耗的能量
答：（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，空间站在轨道上运行的线速度大小为；
（2）该空间站的自转周期应为；
（3）①空间站在这两次调速过程中，速度大小都变大；
②空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗的能量为。
27．2015年7月24日，天文学家确认发现首颗位于“宜居带”上体积最接近地球大小的行星（代号为“开普勒﹣452b”），这是人类在寻找另一颗地球的道路上的重要里程碑．设想某一天，宇航员登上该星球并做如下实验：实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜轨道AB和半圆弧轨道BC组成，将质量为m0＝0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变高度H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2．求：（计算结果均保留3位有效数字）
（1）假设该行星的半径R＝5000km，求行星的质量M；
（2）在（1）问前提下，若已知质量为m的飞船距离该行星中心距离为r处的引力势能表达式为Ep，将质量为m＝2000kg的飞船，在该行星上发射到距离行星表面的高度h＝5000km的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算不考虑行星自转对发射的影响）
【解答】解：（1）设小球质量为m，小球过C点有：，
对小球从出发到C点，由动能定理得，，
联立解得F，
由图可知，H1＝0.5m，F1＝0N，H2＝1.0m，F2＝5N，
解得g＝5m/s2．
根据得，行星的质量M，
代入数据解得M＝1.87×1024kg．
（2）由题意可知，由于不考虑自转，卫星在该行星表面的机械能为：，
在h＝R圆轨道上卫星的机械能：，
根据万有引力提供向心力得：，
可得，
，
由功能关系可得，．
代入数据解得W＝3.75×1010J．
答：（1）行星的质量为1.87×1024kg．
（2）火箭至少要对飞船做功3.75×1010J．
28．我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥三号”的任务是“落”。2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途轨道修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道Ⅰ．12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道Ⅱ，如图所示。2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在Q点附近制动，由大功率发动机减速，以抛物线路径下降到距月面100米高处进行30s悬停避障，之后再缓慢竖直下降到距月面高度仅为数米处，为避免激起更多月尘，关闭发动机，做自由落体运动，落到月球表面。
已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h1、h2。
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量。若“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小。
【解答】解：（1）“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的过程中万有引力提供圆周运动向心力有：
解得：v1
（2）“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动的过程中，由机械能守恒定律：
据此解得：
vp′
答：（1）“嫦娥三号”在圆形轨道Ⅰ上运动的速度大小为；
（2）它经过P点时的速度大小为。
29．2008年9月25日21时10分许，中国第三艘载人飞船神舟七号在酒泉卫星发射中心由“长征二号F”运载火箭成功发射升空。9月26日凌晨4时零5分“神舟七号”载人飞船成功变轨。变轨成功后，飞船由沿椭圆轨道运行变为沿圆形轨道运行。“神舟七号”载人飞船在椭圆轨道上是无动力飞行，飞船在椭圆轨道近地点时距地面高度h1约为200km，此时飞行速度为v，飞船在椭圆轨道远地点时距地面高度h2约为350km。假设飞船在远地点附近变轨成圆形轨道运行，而变轨时间又很短。已知地球的半径是R0（约为6360km），地球表面重力加速度为g。如果以无穷远为引力势能的零势能参考面，当飞船与地心相距R时，飞船的引力势能计算公式是，其中G、M、m分别是万有引力常量、地球质量、飞船质量（本题中G、M、m均为未知）。则：
（1）飞船变轨期间是加速还是减速？
（2）飞船变轨期间速度的改变量的大小是多大？（只用符号表达即可）
【解答】解：（1）飞船在远地点附近变轨成圆形轨道运行，即需要由低轨道到高轨道，飞船需要做离心运动，速度要增大才会做离心运动，故变轨期间需要加速；
（2）由近地点飞行到远地点的过程中只有引力做功，故机械能守恒，设远地点速度为v2
则mv2m﹣G ①
飞船到达圆轨道上时速度为v3，由万有引力定律充当向心力知
Gm②
又Gmg③
Δv＝v3﹣v2④
联立①②③④解得Δv
答：（1）飞船变轨期间是加速
（2）飞船变轨期间速度的改变量的大小是。
30．有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的。如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的k倍（k＞1）。当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。
（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep，式中G为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变；探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变。
①求探测器刚离开飞船时的速度大小；
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
【解答】解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m，探测器质量为m'，当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为v0
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
对于地面附近的质量为m0的物体有：
m0g
解得：
（2）①设探测器被发射出时的速度为v'，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以探测器刚好脱离地球引力应满足：
解得：
②设发射探测器后飞船在A点的速度为vA，运动到B点的速度为vB，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以有：
对于飞船发射探测器的过程，根据动量守恒定律有：
（m+m'）v0＝mvA+m'v'
因飞船通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，即：
RvB＝kRvA
解得：
答：（1）飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小为；
（2）①求探测器刚离开飞船时的速度大小为；
②为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足条件为。
31．2009年至2015年，中国将进入嫦娥二期工程，届时将进行两到三次的软着陆巡视勘察，其中2012年向月面发射一个软着陆器的计划已经基本确定，按照这一计划软着陆器将携带载有摄像机和多种探测仪器的月球车，在月球表面巡视勘查，为建立月球基地收集基本数据资料．为了实现这一计划，先要登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面低轨道．假设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动，已知该飞船质量为m，已知该飞船距月球表面的高度为h．该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气，喷出气体相对飞船的速度为u，经过一段时间后飞船运动到靠近月球表面的B点，A、B两点的连线过月球球心．已知飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值．已知月球半径为R，已知月球表面的重力加速度为g，已知登月飞船在月球上空的万有引力势能为Ep（以无穷远处引力势能为零）．求：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是多少．
【解答】解：（1）设飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的速度为v0，设月球的质量为M，万有引力提供向心力
Gm
月球上满足 Gmg
得：v0
（2）飞船喷气后的质量设为m′，速度为vA，到达B点速度为vB，飞船从喷气后一直到B点满足机械能守恒定律：
m′m′
又因为飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值，有：
vA（R+h）＝vBR
以上两式消去vB，可得：vA
飞船喷气过程中动量守恒：mv0＝（m﹣Δm）vA+Δm（vA+u）
解得：Δm
答：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度为．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是．
32．开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上．第二定律：太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积．第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船．宇宙飞船在距火星表面H高度处做匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍．因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示．飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为．试求：
（1）飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远
（2）设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T．
【解答】解：（1）设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距离为r，飞船速度为v．
因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为：，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在D点的面积速度 （D为圆轨道和椭圆轨道的交点），
由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度 ，即：，
即 r0v0＝rv ①
由机械能守恒定律得： ②
飞船沿原轨道运动时： ③
式中 r0＝R+H，r＝R+h ④
联立方程组可解得：，⑤
⑥
（2）设椭圆半长轴为a，则r近+r远＝2a，即： ⑦
飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为： ⑧
设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律得： ⑨
从而解得： ⑩
答：
（1）飞船新轨道的近火星点的高度h近为，远火星点高度h远．
（2）设飞船原来的运动速度为v0，新轨道的运行周期T为．
五．探究弹簧的弹性势能和形变量的关系（共4小题）
33．某实验小组利用如下装置探究弹簧的物理性质，所用器材有：气垫导轨、光电门、数字计时器（图中未画出）、带有挡光条的滑块、砝码等。
（1）实验步骤：
①将气垫导轨放在桌面上，打开气泵并将导轨调至水平，判断调平的依据是： 在不挂重物的情况下轻推滑块，若滑块做匀速直线运动，证明气垫导轨已经水平 ；
②应选用宽度d＝ A （填“A”、“B”或“C”）的挡光条实验误差更小；
A．0.50cm
B．2.00cm
C．3.00cm
③将轻质弹簧一端固定于气垫导轨左侧，另一端与滑块相连，当滑块静止（弹簧处于原长）时，将光电门中心正对挡光条所在位置安装在导轨上；
④用跨过定滑轮的轻绳将滑块与砝码盘相连，放一个砝码，如图1所示。测得稳定时弹簧长度l，计算出弹簧形变量x；
⑤剪断细绳，记录挡光时间t，由v＝ 测得滑块通过光电门时的瞬时速度；
⑥逐次递增砝码个数，重复步骤④⑤。记录的部分数据如表，根据数据可得弹簧劲度系数k＝ 25 N/m（g取9.8m/s2）；
砝码质量（g） 0 50 100 150 200 250
弹簧长度l（cm） 15.60 17.56 19.54 21.46 23.40 25.32
⑦根据实验数据，获得x图线，如图2所示。
（2）回答下列问题：
①释放滑块过程中，弹簧
一．重力势能的变化和重力做功的关系（共10小题）
1．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，重力加速度为g，以释放位置所在平面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的减小量分别为（ ）
A．0，mg（H+h） B．0，
C．﹣mgh，mg（H﹣h） D．﹣mg（H+h），mg（H+h）
2．两个质量相同的小物块A和B，分别从两个高度相同的粗糙斜面和光滑圆弧斜坡的顶点滑向底部，如图所示，如果它们的初速度都为零，下列说法正确的是（ ）
A．小物块B运动路程长些，下滑过程中重力做的功多些
B．小物块A下滑过程中重力做的功多些
C．小物块B下滑过程中减少的重力势能少些
D．小物块A和B下滑过程中减少的重力势能相等
3．如图，质量为m同学背越式跳高过程中，恰好越过高度为h的横杆，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．起跳阶段，地面对人的弹力做功
B．上升过程中，重力势能增加mgh
C．从起跳最低点到上升最高点过程先超重后失重
D．刚接触海绵垫时，在竖直方向即做减速运动
4．如图所示，光滑弧形轨道高为h，将质量为m的小球从轨道顶端由静止释放，小球运动到轨道底端时的速度为v，重力加速度为g，该过程中小球重力势能减少量为（ ）
A．mgh B． C． D．
5．无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。现代献血常采用机采成分血的方式，就是指把健康人捐献的血液，通过血液分离机分离出其中某一种成分（如血小板、粒细胞或外周血干细胞）储存起来，再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa＜ρ0＜ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动
B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大
C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率
6．我们知道，处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动的，当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为Epx．该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（ ）
A．与该“势能”对应的“力”的方向指向O点
B．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小
C．该“势能”的表达式Epx是选取了y轴处“势能”为零
D．稳定时桶中水面的纵截面为圆的一部分
7．（多选）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，且细线刚好伸直但不绷紧，如图所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，弹簧和斜面上的那部分细线均平行于斜面。以下说法中正确的是（ ）
A．初始时弹簧的压缩量是0.2m
B．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
C．撤掉外力瞬间，A的加速度大小为2.5m/s2
D．从撤去外力到A、B恰好分离整个过程，物体C减少的重力势能为1J
8．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．
9．质量mA＝10kg的物块A与质量mB＝2kg的物块B放在倾角θ＝30°的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B连接，另一端与固定挡板连接，弹簧的劲度系数k＝400N/m，现给物块A施加一个平行于斜面向上的F，使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，求：（g＝10m/s2）
（1）力F的最大值与最小值
（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能．
10．一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径r＝0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa．求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g＝10m/s2．）
二．弹性势能的定义和性质（共5小题）
11．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板的O点，下端与质量为m的物块（视为质点）相连，物块放置在光滑的水平地面上，O与地面之间的高度差为h，地面上的C点正好在O的正下方，弹簧的原长为h，现让物块从A点由静止释放，一直加速运动到B点，已知∠AOC＝53°，∠BOC＝37°，弹簧的弹性势能Ep与弹簧的伸长量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系为，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．物块在B点，弹簧的伸长量
B．在B点时，地面对物块的支持力
C．物块从A到B，弹簧释放的弹性势能
D．物块在B点的速度
12．如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且OM＝3d，ON＝4d，MN＝5d，重力加速度为g。求：
（1）弹簧的原长l；
（2）小球运动到N点时速度vN的大小。
13．弹簧原长l0＝0.15m，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝0.2m时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
14．如图甲所示，BCD为竖直放置的半径R＝0.20m的半圆形轨道，在半圆形轨道的最低位置B和最高位置D均安装了压力传感器，可测定小物块通过这两处时对轨道的压力FB和FD．半圆形轨道在B位置与水平直轨道AB平滑连接，在D位置与另一水平直轨道EF相对，其间留有可让小物块通过的缝隙．一质量m＝0.20kg的小物块P（可视为质点），以不同的初速度从M点沿水平直轨道AB滑行一段距离，进入半圆形轨道BCD经过D位置后平滑进入水平直轨道EF．一质量为2m的小物块Q（可视为质点）被锁定在水平直轨道EF上，其右侧固定一个劲度系数为k＝500N/m的轻弹簧．如果对小物块Q施加的水平力F≥30N，则它会瞬间解除锁定沿水平直轨道EF滑行，且在解除锁定的过程中无能量损失．已知弹簧的弹性势能公式EPkx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．g取10m/s2．
（1）通过传感器测得的FB和FD的关系图线如图乙所示．若轨道各处均不光滑，且已知轨道与小物块P之间的动摩擦因数μ＝0.10，MB之间的距离xMB＝0.50m．当FB＝18N时，求小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能；
（2）若轨道各处均光滑，在某次实验中，测得P经过B位置时的速度大小为2m/s．求在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能．
15．如图所示，在倾角为θ的斜面上，N点上方粗糙，下方光滑，一物块（可视为质点）从N点上方离N距离为S的P点由静止释放，下滑到N处开始压缩弹簧后又被弹离，然后上滑最远位置离N距离为0.5S．（不计物体与弹簧接触瞬间能量的损失）求：
（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数；
（2）若已知物块的质量为m，弹簧压缩最短时的弹性势能为EP，则物体从弹簧被压缩最短运动到N点的距离L为多少？
三．弹性势能的变化和弹力做功的关系（共3小题）
16．如图为小明玩橡皮筋球的瞬间，小球正在向上运动，手正在向下运动，橡皮筋处于绷紧状态。此后橡皮筋在恢复原长的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球动能一直增加 B．小球机械能一直增加
C．小球一直处于超重状态 D．橡皮筋的弹性势能完全转化为小球的动能
17．蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁、塔顶等上方，一条长弹性绳一端固定，另一端绑在踝关节处，跳跃者两臂伸开、双腿并拢、头朝下离开跳台，图甲为蹦极的场景。一游客从蹦极台下落的速度—位移图像如图乙所示，游客及携带装备的总质量为75kg，弹性绳原长为10m，下落15m时游客速度最大，已知弹性绳的弹力与伸长量的关系符合胡克定律，不计空气阻力和弹性绳的重力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．弹性绳的劲度系数为150N/m B．下落过程游客始终处于失重状态
C．下落过程弹性绳的弹力一直增大 D．下落15m时弹性绳的弹性势能最大
18．（多选）如图甲所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为弹簧的劲度系数。图乙为F随x变化的示意图。物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中，根据F﹣x的图象，判断下列结果正确的是（ ）
A．弹力做的功为F1x1 B．弹力做的功为F1x1
C．弹性势能增加了 D．弹性势能减少了
四．引力势能及其应用（共14小题）
19．第二宇宙速度又叫逃逸速度，若某物体初速度达到星球逃逸速度，该物体将完全逃脱星球的引力束缚而飞出星球（可认为物体飞至无穷远处速度为0），已知质量为m的物体放在质量为M的星球外r处的引力势能为Ep。现有一质量为m的物体放在某星球表面，星球的半径为R，已知该星球的逃逸速度为v，引力常量为G。则下列说法错误的是（ ）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球的质量
C．忽略星球自转，该星球表面重力加速度
D．该物体在近地轨道上做匀速圆周运动的周期
20．2022年12月14日，神舟十四号顺利脱离天和核心舱空间站，安全返回地球。规定无穷远处引力势能为0，空间站到地心距离为r时其引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为空间站质量。已知地球半径为R，空间站绕地球做匀速圆周运动时距地面的高度为h，若忽略地球的自转及空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．空间站在地球表面的引力势能为
B．空间站在离地面高度为h轨道运行的动能为
C．空间站在离地面高度为h轨道运行的机械能为
D．从地面发射到离地面高度为h轨道做圆周运动需要对空间站做的功为
21．（多选）2021年4月24日是我国第六个“中国航天日”，预计五月中下旬，首辆被命名为“祝融号”火星车即将与天问一号着陆器一起登陆火星，实现火星表面的巡视探测。假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R。已知物体在火星的引力场中引力势能是Ep＝﹣GMm/r，G为引力常数，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离。某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为R/2的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度v1 B．火星的第二宇宙速度v2＝2
C．火星深井底部的重力加速度为g1 D．火星的自转周期T＝π
22．如图所示，横截面积为A、质量为m的柱状飞行器沿半径为R的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为M的均匀球体。万有引力常量为G。
（1）求飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）在飞行器运行轨道附近范围内有密度为ρ（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了ΔH。由于ΔH R，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为r时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能Ep。请根据上述条件推导：
①飞行器在半径为R轨道上运行时，所受空气阻力大小F的表达式；
②飞行器由半径为R的轨道下降ΔH的过程中，飞行器绕地球运动圈数n的表达式。
23．2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”任务的国家。为了简化问题，可认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为T1，公转轨道半径为r1，火星的公转周期为T2，火星质量为M。如图2所示，以火星为参考系，质量为m1的探测器沿1号轨道到达B点时速度为v1，B点到火星球心的距离为r3，此时启动发动机，在极短时间内一次性喷出部分气体，喷气后探测器质量变为m2、速度变为与v1垂直的v2，然后进入以B点为远火点的椭圆轨道2。已知万有引力势能公式Ep，其中M为中心天体的质量，m为卫星的质量，G为引力常量，r为卫星到中心天体球心的距离。求：
（1）火星公转轨道半径r2；
（2）喷出气体速度u的大小；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小。
24．我们可以借鉴研究静电场的方法来研究地球周围空间的引力场，如用“引力场强度”、“引力势”的概念描述引力场。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，将地球视为均质球体，且忽略自转。
（1）类比电场强度的定义方法，写出地球引力场的“引力场强度E”的定义式，并结合万有引力定律，推导距离地心为r（r＞R）处的引力场强度的表达式E引＝G；
（2）设地面处和距离地面高为h处的引力场强度分别为E引和E'引，如果它们满足0.02则该空间就可以近似为匀强场，也就是我们常说的重力场。请估算地球重力场可视为匀强场的高度h（取地球半径R＝6.4×106m，结果保留两位有效数字）；
（3）由（2）可知，满足一定的限定条件，非匀强场可以按照匀强场来处理，请再列举一个类似的物理情境。
25．2018年12月8日，嫦娥四号月球探测器在西昌卫星发射中心发射升空。这是人类首次在月球背面软着陆。在月球表面，如果用弹簧测力计悬挂一个质量为m1的物体，静止时示数为F，忽略月球自转，且月球半径为R，万有引力常量为G，已知：若以星球表面为零势能面，质量为m0的物体在距该星球表面x处的引力势能可表示为Ep，其中G为引力常量，Mx为该星球质量，r为该星球半径。
（1）求月球表面的重力加速度g的大小和月球质量M；
（2）2019年1月14日，国务院新闻办公室召开的新闻发布会上宣布，嫦娥五号将于2019年年底前后发射，实现区域软着陆并采样返回。如图所示，将质量为m的月球车由月球表面发射到h高度的轨道上，在该轨道月球车与绕月球做圆周运动的飞船平稳对接，然后由飞船送月球车返回地球。求从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功W；
（3）请利用题干中给出的引力势能公式，推导以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式。
26．随着科学技术水平的不断进步，相信在不远的将来人类能够实现太空移民。为此，科学家设计了一个巨型环状管道式空间站。空间站绕地球做匀速圆周运动，人们生活在空间站的环形管道中，管道内部截面为圆形，直径可达几千米，如图（a）所示。已知地球质量为M，地球半径为R，空间站总质量为m，G为引力常量。
（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，求空间站在轨道上运行的线速度大小；
（2）为解决长期太空生活的失重问题，科学家设想让空间站围绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转，使在空间站中生活的人们获得“人工重力”。该空间站的环状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为r1、r2，环形管道壁厚度忽略不计，如图（b）所示。若要使人们感受到的“人工重力”与在地球表面上受到的重力一样（不考虑重力因地理位置不同而产生的差异且可认为太空站中心轴静止），则该空间站的自转周期应为多大；
（3）为进行某项科学实验，空间站需将运行轨道进行调整，先从半径为2R的圆轨道上的A点（近地点）进行第一次调速后进入椭圆轨道。当空间站经过椭圆轨道B点（远地点）时，再进行第二次调速后最终进入半径为3R的圆轨道上。若上述过程忽略空间站质量变化及自转产生的影响，且每次调速持续的时间很短。
①请说明空间站在这两次调速过程中，速度大小是如何变化的；
②若以无穷远为引力势能零点，空间站与地球间的引力势能为EP＝﹣G，式中r表示空间站到地心的距离，求空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗多少能量。
27．2015年7月24日，天文学家确认发现首颗位于“宜居带”上体积最接近地球大小的行星（代号为“开普勒﹣452b”），这是人类在寻找另一颗地球的道路上的重要里程碑．设想某一天，宇航员登上该星球并做如下实验：实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜轨道AB和半圆弧轨道BC组成，将质量为m0＝0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变高度H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2．求：（计算结果均保留3位有效数字）
（1）假设该行星的半径R＝5000km，求行星的质量M；
（2）在（1）问前提下，若已知质量为m的飞船距离该行星中心距离为r处的引力势能表达式为Ep，将质量为m＝2000kg的飞船，在该行星上发射到距离行星表面的高度h＝5000km的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算不考虑行星自转对发射的影响）
28．我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥三号”的任务是“落”。2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途轨道修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道Ⅰ．12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道Ⅱ，如图所示。2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在Q点附近制动，由大功率发动机减速，以抛物线路径下降到距月面100米高处进行30s悬停避障，之后再缓慢竖直下降到距月面高度仅为数米处，为避免激起更多月尘，关闭发动机，做自由落体运动，落到月球表面。
已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h1、h2。
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量。若“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小。
29．2008年9月25日21时10分许，中国第三艘载人飞船神舟七号在酒泉卫星发射中心由“长征二号F”运载火箭成功发射升空。9月26日凌晨4时零5分“神舟七号”载人飞船成功变轨。变轨成功后，飞船由沿椭圆轨道运行变为沿圆形轨道运行。“神舟七号”载人飞船在椭圆轨道上是无动力飞行，飞船在椭圆轨道近地点时距地面高度h1约为200km，此时飞行速度为v，飞船在椭圆轨道远地点时距地面高度h2约为350km。假设飞船在远地点附近变轨成圆形轨道运行，而变轨时间又很短。已知地球的半径是R0（约为6360km），地球表面重力加速度为g。如果以无穷远为引力势能的零势能参考面，当飞船与地心相距R时，飞船的引力势能计算公式是，其中G、M、m分别是万有引力常量、地球质量、飞船质量（本题中G、M、m均为未知）。则：
（1）飞船变轨期间是加速还是减速？
（2）飞船变轨期间速度的改变量的大小是多大？（只用符号表达即可）
30．有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的。如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的k倍（k＞1）。当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。
（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep，式中G为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变；探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变。
①求探测器刚离开飞船时的速度大小；
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
31．2009年至2015年，中国将进入嫦娥二期工程，届时将进行两到三次的软着陆巡视勘察，其中2012年向月面发射一个软着陆器的计划已经基本确定，按照这一计划软着陆器将携带载有摄像机和多种探测仪器的月球车，在月球表面巡视勘查，为建立月球基地收集基本数据资料．为了实现这一计划，先要登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面低轨道．假设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动，已知该飞船质量为m，已知该飞船距月球表面的高度为h．该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气，喷出气体相对飞船的速度为u，经过一段时间后飞船运动到靠近月球表面的B点，A、B两点的连线过月球球心．已知飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值．已知月球半径为R，已知月球表面的重力加速度为g，已知登月飞船在月球上空的万有引力势能为Ep（以无穷远处引力势能为零）．求：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是多少．
32．开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上．第二定律：太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积．第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船．宇宙飞船在距火星表面H高度处做匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍．因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示．飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为．试求：
（1）飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远
（2）设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T．
五．探究弹簧的弹性势能和形变量的关系（共4小题）
33．某实验小组利用如下装置探究弹簧的物理性质，所用器材有：气垫导轨、光电门、数字计时器（图中未画出）、带有挡光条的滑块、砝码等。
（1）实验步骤：
①将气垫导轨放在桌面上，打开气泵并将导轨调至水平，判断调平的依据是： ；
②应选用宽度d＝ （填“A”、“B”或“C”）的挡光条实验误差更小；
A．0.50cm B．2.00cm C．3.00cm
③将轻质弹簧一端固定于气垫导轨左侧，另一端与滑块相连，当滑块静止（弹簧处于原长）时，将光电门中心正对挡光条所在位置安装在导轨上；
④用跨过定滑轮的轻绳将滑块与砝码盘相连，放一个砝码，如图1所示。测得稳定时弹簧长度l，计算出弹簧形变量x；
⑤剪断细绳，记录挡光时间t，由v＝ 测得滑块通过光电门时的瞬时速度；
⑥逐次递增砝码个数，重复步骤④⑤。记录的部分数据如表，根据数据可得弹簧劲度系数k＝ N/m（g取9.8m/s2）；
砝码质量（g） 0 50 100 150 200 250
弹簧长度l（cm） 15.60 17.56 19.54 21.46 23.40 25.32
⑦根据实验数据，获得x图线，如图2所示。
（2）回答下列问题：
①释放滑块过程中，弹簧的弹性势能转化为 ；
②由上述实验可得结论：对同一根弹簧，弹性势能Ep与弹簧形变量x的关系为 ；
A.Ep∝x B.Ep∝x2 C.Ep∝x﹣2
简述理由： 。
34．某物理兴趣小组利用如图所示装置进行“探究弹簧弹性势能与弹簧形变量关系”的实验。图中光滑水平平台距水平地面h＝1.25m，平台上一轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为m的小球与弹簧另一端接触并压缩弹簧，记录弹簧的压缩量x后，由静止释放小球，小球从平台边缘水平飞出，落在地面上，用刻度尺测出小球水平飞行距离s；并用传感器（图中未画出）测量出小球从平台边缘飞出后在空中的飞行时间t。多做几次实验后，记录表如下表所示。
1 2 3 4 5
x/m 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
s/m 0.51 0.99 1.50 1.98 2.50
t/ms 505.3 505.1 504.8 504.9 505.2
（1）由表中数据可知，在h一定时，小球水平位移s＝ x，与 无关；
（2）由实验原理和表中数据可知，弹簧弹性势能EP与弹簧形变量x的关系式为EP＝ （用m、h、x和重力加速度g表示）；
（3）某同学按物体平抛运动规律计算了小球在空中的飞行时间：ts＝0.5s＝500ms，由表中数据可知，发现测量值t均偏大。经检查，实验操作及测量无误，且空气阻力可以忽略，造成以上偏差的原因是 。
35．空间站中不能利用天平测量质量，为此某同学为空间站设计了如图（a）所示的实验装置，用来测量小球质量。图中弹簧固定在挡板上，光滑轨道B处装有光电门，可以测量出小球经过光电门的时间。该同学设计的主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测量小球的直径d
②将弹簧左端固定在挡板上
③小球与弹簧接触并压缩弹簧，记录压缩量x
④由静止释放小球，测量小球离开弹簧后经过光电门的时间t
⑤改变弹簧的压缩量，重复步骤③、④多次
⑥分析数据，得出小球的质量
已知弹簧弹性势能EP，k为劲度系数，x为形变量。该同学使用了一个已知劲度系数为k0的弹簧进行了上述实验，请回答下列问题
（1）步骤①中游标卡尺示数情况如图（b）所示，小球的直径d＝ cm；
（2）某一次步骤④中测得小球通过光电门的时间t为5.00ms，则此次小球离开弹簧的速度v＝ m/s；
（3）根据实验步骤中测得的物理量，则可得小球的质量m＝ 。（用实验步骤①、③、④中测得的物理量表示）
36．在探究弹性势能的大小跟哪些因素有关时，小明提出了如下猜想：
猜想一：弹性势能的大小与弹簧被压缩的程度有关；
猜想二：弹性势能的大小与弹簧的材料有关；
猜想三：弹性势能的大小与弹簧的长度有关；
猜想四：弹性势能的大小与弹簧的粗细有关。
（1）为验证猜想一，他设计了如图所示实验，实验时将同一弹簧压缩 （相同/不同）的长度（弹簧被压缩后未超过其弹性限度），将小球置于弹簧的右端，松开后小球碰到同一位置的相同木块上，分析比较木块被推动的距离，从而比较弹性势能的大小；
（2）为验证猜想二，需选用长度和粗细相同、材料不同的两根弹簧，实验时将两根弹簧压 （相同/不同）的长度，将小球置于弹簧的右端，松开后小球碰到同一位置的相同木块上，对数据进行比较分析时，若 ，说明弹性势能的大小与弹簧的材料有关；
（3）小明根据实验现象认为：小球和木块移动一段距离后都要停下来，所以弹簧、小球和木块所具有的机械能最终都消灭了，你认为小明的观点对吗，理由是 。
六．验证机械能守恒定律（共6小题）
37．某同学设计了一个验证机械能守恒定律的实验，一轻绳一端连接在拉力传感器上O点，另一端连接在半径为r的匀质小钢球上，小钢球球心至O点的长度为L，O点正下方B位置有一光电门，可记录小钢球通过光电门的时间。如图甲所示，将小钢球拉至某一位置由静止释放，同时拉力传感器通过计算机采集小钢球在摆动过程中轻绳上拉力的最大值T和最小值F。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程，根据测量数据在直角坐标系中绘制的T﹣F图像如乙图所示。
（1）小钢球从A位置由静止释放时，细线与竖直方向成θ角，小钢球通过最低点位置B时，光电门记录遮光时间为t，则小钢球通过光电门的速度vB＝ ；在实验误差允许的范围内，若t2＝ （用r、L、θ、g等符号表示）则验证了小钢球从A点运动到B点过程中机械能守恒。
（2）若小钢球摆动过程中机械能守恒，则绘制乙图T﹣F图像的直线斜率理论值为 。
（3）小钢球质量m＝30g，根据测量数据绘制的乙图计算出重力加速度g＝ m/s2（结果保留3位有效数字），与当地实际重力加速度相比 （选填“偏小”“不变”或“偏大”）。
38．某同学用如图（a）所示的装置验证机械能守恒定律。不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮，轻绳两端分别连接物块P与感光细钢柱K，两者质量均为m＝0.140kg，钢柱K下端与质量为M＝0.200kg的物块Q相连。铁架台下部固定一个电动机，电动机竖直转轴上装一支激光笔，电动机带动激光笔绕转轴在水平面内匀速转动，每转一周激光照射在细钢柱表面时就会使细钢柱感光并留下痕迹。初始时P、K、Q系统在外力作用下保持静止，轻绳与细钢柱均竖直。重力加速度g取9.8m/s2。
（1）开启电动机，待电动机以ω＝40πrad/s的角速度匀速转动后。将P、K、Q系统由静止释放，Q落地前，激光器在细钢柱K上留下感光痕迹，取下K，用刻度尺测出感光痕迹间的距离如图（b）所示。感光痕迹间的时间间隔T＝ s，激光束照射到E点时，细钢柱速度大小为vE＝ m/s（计算结果保留3位有效数字）。
经判断系统由静止释放时激光笔光束恰好经过O点。在OE段，系统动能的增加量ΔEk＝ J，重力势能的减少量ΔEp＝ J，比较两者关系可判断系统机械能是否守恒。（计算结果均保留3位有效数字）
（2）选取相同的另一感光细钢柱K，若初始时激光笔对准K上某点，开启电动机的同时系统由静止释放，电动机的角速度按如图（c）所示的规律变化，图像斜率为k，记录下如图（d）所示的感光痕迹，其中两相邻感光痕迹间距均为d。若验证得到表达式 即可证明系统在运动过程中机械能守恒（用含字母M、m、d、k、g、π的表达式表示）。
39．为了“验证机械能守恒定律”，某学生想到用气垫导轨和光电门及质量为m的小车来进行实验，如图所示，他将长为L、原来已调至水平的气垫导轨的左端垫高H，在导轨上的两点处分别安装光电门A和B，然后将小车从导轨上端释放，在小车下滑过程中，小车上的挡光片经过上、下光电门的时间分别为t1、t2，用游标卡尺测得挡光片宽度为d，重力加速度为g。则：
（1）要验证小车在运动过程中机械能守恒，还必须测出 。
（2）写出本实验验证机械能守恒定律的原理式 （用上面已知测量量和还必须测出的物理量符号表示）。
（3）实验所用滑块的质量m＝600g，其他数据如下L＝1.5m，H＝10cm，g＝9.8m/s2，两个光电门间的距离为50cm，则实验中重力势能的减少量为 J。
（4）如果气垫导轨左端垫高的高度H可调，此实验还可以“探究在质量不变时，物体的加速度与合力的关系”，回答下列问题：
①小车的加速度a＝ （用上面已知测量量的符号表示）；小车所受合力F＝ 。
②要改变小车受到的合力，只需改变 ，做加速度﹣合力图象时，横轴可用 代替。
40．如图为利用气垫导轨（滑块在该导轨上运动时所受阻力可忽略）“验证机械能守恒定律”的实验装置，完成以下填空．
实验步骤如下：
①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1m，将导轨调至水平．
②测出挡光条的宽度l和两光电门中心之间的距离s．
③将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2．
④读出滑块分别通过光电门1和光电门2时的挡光时间Δt1和Δt2．
⑤用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m．
⑥滑块通过光电门1和光电门2时，可以确定系统（包括滑块、挡光条、托盘和砝码）的总动能分别为Ek1＝ 和Ek2＝ ．
⑦在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少ΔEp＝ ．（重力加速度为g）
⑧如果满足关系式 ，则可认为验证了机械能守恒定律．
41．某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律，频闪仪每隔0.05s闪光一次，用毫米刻度尺测得相邻两个时刻小球上升的高度分别为s1＝26.3cm、s2＝23.68cm、s3＝21.16cm、s4＝18.66cm、s5＝16.04cm，该同学通过计算得到不同时刻的速度如表所示（当地重力加速度g＝9.8m/s2，小球质量m＝0.10kg）．
时刻 t2 t3 t4 t5
速度（m/s） 4.48 3.98 3.47
（1）上面测量高度的五个数据中不符合有效数字读数要求的是 段，应记作 cm；
（2）由频闪照片上的数据计算t2时刻小球的速度v2＝ m/s（计算结果保留三位有效数字）；
（3）从t2到t5时间内，重力势能增量ΔEp＝ J，动能减少量ΔEk＝ J（计算结果保留三位有效数字）；
（4）在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，从而验证了机械能守恒定律．由上述计算所得ΔEp ΔEk（选填“＞”、“＜”或“＝”），造成这种结果的主要原因是 ．
42．合成与分解是物理常用的一种研究问题的方法，如研究复杂的运动就可以将其分解成两个简单的运动来研究。请应用所学物理知识与方法，思考并解决以下问题。
如图所示，将一小球以v0＝20m/s的初速度从坐标轴原点O水平抛出，两束平行光分别沿着与坐标轴平行的方向照射小球，在两个坐标轴上留下了小球的两个“影子”，影子的位移和速度描述了小球在x、y两个方向的运动。不计空气阻力的影响，g＝10m/s2。
（1）分析说明两个“影子”分别做什么运动；
（2）经过时间t＝2s小球到达如图1所示的位置，求此时小球的速度v。
第八章 重力势能与验证机械能守恒定律重点题型归纳答案
一．重力势能的变化和重力做功的关系（共10小题）
1．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，重力加速度为g，以释放位置所在平面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的减小量分别为（ ）
A．0，mg（H+h） B．0，
C．﹣mgh，mg（H﹣h） D．﹣mg（H+h），mg（H+h）
【答案】D
【解答】解：以释放位置所在平面为参考平面，那么小球落地时的重力势能为
EP＝﹣mg（H+h）
整个过程中小球重力势能的减少量为
ΔEP＝mg △h＝mg（H+h）
故D正确，ABC错误。
故选：D。
2．两个质量相同的小物块A和B，分别从两个高度相同的粗糙斜面和光滑圆弧斜坡的顶点滑向底部，如图所示，如果它们的初速度都为零，下列说法正确的是（ ）
A．小物块B运动路程长些，下滑过程中重力做的功多些
B．小物块A下滑过程中重力做的功多些
C．小物块B下滑过程中减少的重力势能少些
D．小物块A和B下滑过程中减少的重力势能相等
【答案】D
【解答】解：AB、重力做功跟初位置和末位置的高度差有关，跟物体运动的路径无关，根据
WG＝mgH
可知小物块A和小物块B下滑过程中重力所做的功相等，故AB错误；
CD、由重力做功与重力势能变化间的关系
ΔEp＝﹣WG
知小物块A和小物块B下滑过程中减少的重力势能相等，故C错误，D正确。
故选：D。
3．如图，质量为m同学背越式跳高过程中，恰好越过高度为h的横杆，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．起跳阶段，地面对人的弹力做功
B．上升过程中，重力势能增加mgh
C．从起跳最低点到上升最高点过程先超重后失重
D．刚接触海绵垫时，在竖直方向即做减速运动
【答案】C
【解答】解：A、起跳阶段，地面对人的弹力作用点始终没有离开地面，并没有向上的位移，故地面对人的弹力不做功。故A错误；
B、上升过程中，高度增加，人的重力势能增加量小于mgh，故B错误；
C、起跳到上升过程，加速度先向上，后向下，所以该先同学先超重后失重，故C正确；
D、刚接触海绵垫时，重力大于海绵垫的弹力，加速度向下，该同学在竖直方向上向下加速运动，当海绵垫的弹力大于该同学的重力后，该同学减速运动，故D错误。
故选：C。
4．如图所示，光滑弧形轨道高为h，将质量为m的小球从轨道顶端由静止释放，小球运动到轨道底端时的速度为v，重力加速度为g，该过程中小球重力势能减少量为（ ）
A．mgh B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：小球从顶端静止释放到轨道底端过程中，重力做功为mgh，根据重力做功和重力势能变化量之间的关系可知，重力势能的减少量为mgh，故A正确，BCD错误。
故选：A。
5．无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。现代献血常采用机采成分血的方式，就是指把健康人捐献的血液，通过血液分离机分离出其中某一种成分（如血小板、粒细胞或外周血干细胞）储存起来，再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa＜ρ0＜ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动
B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大
C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率
【答案】C
【解答】解：A．转动时细胞做圆周运动需要向心力为
F＝mω2r
由于a、b两种细胞的ω、r均相同，质量大的细胞即密度大的细胞需要的向心力大，周围细胞对它的作用力小于需要的向心力做离心运动而向外侧运动，由于b细胞密度大，所以b细胞相对试管向外侧运动，密度小的a细胞需要的向心力小，周围细胞对它的作用力大于所需要的向心力做近心运动，相对试管向内侧运动，故A错误；
B．“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，细胞b相对试管向外侧运动，“模拟重力”做正功，“模拟重力势能”变小，细胞a相对试管向外侧运动，“模拟重力”做负功，“模拟重力势能”变大，故B错误；
C．“模拟重力”大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比，根据牛顿第二定律得：
解得：a＝rω2
由此可知，“重力加速度”与其到转轴距离成正比，所以沿转动半径方向向外侧逐渐变大，故C正确；
D．模拟重力的功率P＝G′v，由于ρa＜ρb，Ga′＜Gb′，故当a、b两种细胞沿垂直于转轴的半径方向速率相等，但“模拟重力”对细胞a做功的功率小于对细胞b做功的功率，故D错误。
故选：C。
6．我们知道，处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动的，当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为Epx．该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（ ）
A．与该“势能”对应的“力”的方向指向O点
B．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小
C．该“势能”的表达式Epx是选取了y轴处“势能”为零
D．稳定时桶中水面的纵截面为圆的一部分
【答案】C
【解答】解：A、若我们取液面A处有一个小液滴，它离O点有一定的高度，因为在液面上稳定时相同质量的水将具有相同的总势能，而A点的重力势能大于O点，所以这个特殊的“势能”A点要小于O点，故由O到A的过程中，这个“势能”减小，故它对应的力做的是正功，所以该“力”由O指向A，故A错误；
B、设这个“力”为F，则Fx＝EpO﹣EPA＝0﹣（），即F，故该力的大小随x的增大而增大，故B错误；
C、由于O点的这个“势能”最大，向两侧时减小，而“势能”的表达式是EPx，故是选取了y轴处的“势能”为零，故C正确；
D、如果我们取O点的重力势能为0，这个“势能”也为0，则质量相等的小液滴，由于它们在液面上稳定时具有相同的总势能，即某点的总势能Ep＝mgy0，故y与x是二次函数的关系，所以桶中水面的纵截面为抛物线，不是圆的一部分，故D错误。
故选：C。
7．（多选）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，且细线刚好伸直但不绷紧，如图所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，弹簧和斜面上的那部分细线均平行于斜面。以下说法中正确的是（ ）
A．初始时弹簧的压缩量是0.2m
B．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
C．撤掉外力瞬间，A的加速度大小为2.5m/s2
D．从撤去外力到A、B恰好分离整个过程，物体C减少的重力势能为1J
【答案】AD
【解答】解：A．初始时，对A、B整体受力分析，根据胡克定律，有F弹＝kx1＝（mA+mB）gsinθ
解得x1＝0.2m
故A正确；
B．A、B恰好分离时，A、B间弹力为零，以B、C整体为研究对象，有mCg﹣mBgsinθ＝（mB+mC）a2
解得a2＝0
则A的加速度大小也为0，此时弹簧处于压缩状态，故B错误；
C．撤掉外力瞬间，对A、B、C系统有mCg+F弹﹣（mA+mB）gsinθ＝（mA+mB+mC）a1
弹簧弹力F弹＝（mA+mB）gsinθ
则有mCg＝（mA+mB+mC）a1
联立解得
故C错误；
D．AB恰好分离时，以A为研究对象，有F′弹﹣mAgsinθ＝mAa2＝0
设此时弹簧的压缩量为x2，有F′弹＝kx2
解得x2＝0.1m
所以从撤去外力到A、B恰好分离，A沿斜面移动的位移Δs＝x1﹣x2＝0.2m﹣0.1m＝0.1m
物体C减少的重力势能为ΔEP＝mCgΔs
代入数据解得ΔEP＝1J
故D正确。
故选：AD。
8．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．
【解答】解：设链条的质量为m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为：
E＝EP+EKmgsinθmg0mgL（1+sinθ），
链条全部下滑出后，动能为：
Ek′mv2
重力势能为：
Ep′＝﹣mg，
由机械能守恒可得：E＝EK′+EP′
即：mgL（1+sinθ）mv2﹣mg，
解得：v；
答：链条刚好全部滑出斜面时的速度是．
9．质量mA＝10kg的物块A与质量mB＝2kg的物块B放在倾角θ＝30°的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B连接，另一端与固定挡板连接，弹簧的劲度系数k＝400N/m，现给物块A施加一个平行于斜面向上的F，使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，求：（g＝10m/s2）
（1）力F的最大值与最小值
（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能．
【解答】解：（1）设刚开始时弹簧压缩量为x0，则（mA+mB）gsin θ＝kx0…①
因为在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，所以在0.2 s时，B对A的作用力为0，
由牛顿第二定律知：kx1﹣mBgsin θ＝mBa…②
前0.2 s时间内A、B向上运动的距离为：x0﹣x1at2…③
①②③式联立解得：a＝5 m/s2
当A、B开始运动时拉力最小，此时有：Fmin＝（mA+mB）a＝60N
当A、B分离时拉力最大，此时有：Fmax＝mA（a+gsin θ）＝100N．
（2）物体上升的位移为：xat25×0.04＝0.1m
故上升的高度为：h＝x sin30°x＝0.05m
物块A所增加的重力势能为ΔEP＝mAgh＝5J．
答：
（1）力F的最大值与最小值分别为100N和60N．
（2）力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能为5J．
10．一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径r＝0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa．求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g＝10m/s2．）
【解答】解：从开始提升到活塞升至内外水面高度差为的过程中，活塞始终与管内液体接触．（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论．）
设活塞上升距离为h1，管外液面下降距离为h2，有：h0＝h1+h2
因液体体积不变，则有：
得：
题给H＝9m＞h1，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程．
活塞移动距离从零到h1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功．因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即
其它力有管内、外的大气压力和拉力F．因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知
W1＝ΔE
即1.18×104J
活塞移动距离从h1到H的过程中，液面不变，F是恒力F＝πr2P0，做功
W2＝F（H﹣h1）＝πr2P0（H﹣h1）＝4.71×103J
所求拉力F做的总功为：W1+W2＝1.65×104 J．
答：活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功为1.65×104 J．
二．弹性势能的定义和性质（共5小题）
11．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板的O点，下端与质量为m的物块（视为质点）相连，物块放置在光滑的水平地面上，O与地面之间的高度差为h，地面上的C点正好在O的正下方，弹簧的原长为h，现让物块从A点由静止释放，一直加速运动到B点，已知∠AOC＝53°，∠BOC＝37°，弹簧的弹性势能Ep与弹簧的伸长量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系为，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．物块在B点，弹簧的伸长量
B．在B点时，地面对物块的支持力
C．物块从A到B，弹簧释放的弹性势能
D．物块在B点的速度
【答案】C
【解答】解：A．物块在B点，根据几何关系
弹簧的伸长量为：
Δl＝lOB﹣h
联立解得：，故A错误；
B．在B点时，弹簧弹力为：
地面对物块的支持力，在竖直方向上：
FN＝mg﹣Fcos37°
解得：，故B错误；
C．物块在A点，根据几何关系
在A点时，弹簧的伸长量为：
Δl1＝lOA﹣h
联立解得：
物块从A到B，弹簧释放的弹性势能为：
解得：，故C正确；
D．由能量守恒定律得：
解得：，故D错误。
故选：C。
12．如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且OM＝3d，ON＝4d，MN＝5d，重力加速度为g。求：
（1）弹簧的原长l；
（2）小球运动到N点时速度vN的大小。
【解答】解：（1）设弹簧的劲度系数为k。因为在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，所以根据胡克定律有k（l﹣3d）＝k（4d﹣l）
所以l＝3.5d
（2）因为在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，所以在M、N两点处弹簧的弹性势能EPM＝EPN。
取小球和弹簧为系统，在小球从M点运动到N点的过程中系统的机械能守恒。取N点所在平面为零势能平面，则有
所以
答：（1）弹簧的原长l为3.5d；
（2）小球运动到N点时速度vN的大小为。
13．弹簧原长l0＝0.15m，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝0.2m时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
【解答】解：（1）根据F＝k（l1﹣l0）
解得：kN/m＝8000N/m；
（2）弹力做功等于弹性势能的变化，则Wkx28000×（0.2﹣0.15）2＝﹣10J；
（3）弹簧的弹性势能增加了ΔEPkx28000×（0.2﹣0.15）2＝10J。
答：（1）弹簧的劲度系数k为8000N/m；
（2）在该过程中弹力做了﹣10J的功；
（3）弹簧的弹性势能增加了10J。
14．如图甲所示，BCD为竖直放置的半径R＝0.20m的半圆形轨道，在半圆形轨道的最低位置B和最高位置D均安装了压力传感器，可测定小物块通过这两处时对轨道的压力FB和FD．半圆形轨道在B位置与水平直轨道AB平滑连接，在D位置与另一水平直轨道EF相对，其间留有可让小物块通过的缝隙．一质量m＝0.20kg的小物块P（可视为质点），以不同的初速度从M点沿水平直轨道AB滑行一段距离，进入半圆形轨道BCD经过D位置后平滑进入水平直轨道EF．一质量为2m的小物块Q（可视为质点）被锁定在水平直轨道EF上，其右侧固定一个劲度系数为k＝500N/m的轻弹簧．如果对小物块Q施加的水平力F≥30N，则它会瞬间解除锁定沿水平直轨道EF滑行，且在解除锁定的过程中无能量损失．已知弹簧的弹性势能公式EPkx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．g取10m/s2．
（1）通过传感器测得的FB和FD的关系图线如图乙所示．若轨道各处均不光滑，且已知轨道与小物块P之间的动摩擦因数μ＝0.10，MB之间的距离xMB＝0.50m．当FB＝18N时，求小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能；
（2）若轨道各处均光滑，在某次实验中，测得P经过B位置时的速度大小为2m/s．求在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能．
【解答】解：（1）设小物块P在B、D两位置受轨道弹力大小分别为NB、ND，速度大小分别为vB、vD．
根据牛顿第三定律可知：NB＝FB，ND＝FD，
小物块P通过B位置时，根据牛顿第二定律有：
NB﹣mg＝m，
代入数据解得：vB＝4.0m/s；
小物块P从M到B所损失的机械能为：ΔE1＝μmgxMB＝0.10J，
小物块P通过D位置时，根据牛顿第二定律有：
ND+mg＝m，
代入数据解得：vD＝2.0m/s，
小物块P由B位置运动到D位置的过程中，克服摩擦力做功为Wf，根据动能定理有：
﹣Wf﹣mg 2R，
代入数据解得：Wf＝0.40J，
小物块P从B至D的过程中所损失的机械能：ΔE2＝0.40J，
小物块P从M点运动到轨道最高点D的过程中所损失的机械能：ΔE＝ΔE1+ΔE2＝0.50J；
（2）在轨道各处均光滑的情况下，设小物块P运动至B、D位置速度大小分别为vB′、vD′．根据机械能守恒定律有：
，
代入数据解得：vD′＝4.0m/s，
小物块P向小物块Q运动，将压缩弹簧，当弹簧的压缩量x＝F/k时，小物块Q恰好解除锁定．
设小物块P以vx速度大小开始压缩弹簧，当其动能减为零时，刚好使小物块Q解除锁定．
根据能量守恒有：，
代入数据解得：vx＝3.0m/s，
由于vD′＞vx，因此小物块Q被解除锁定后，小物块P的速度不为零，设其速度大小为vP，
根据能量守恒有 ，
代入数据解得：vPm/s，
当小物块Q解除锁定后，P、Q以及弹簧组成的系统动量守恒，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大．以向右为正方向，根据动量守恒定律有：
mvP＝（m+2m）v，
弹簧的最大弹性势能为：J；
答：（1）小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能为0.5J；
（2）在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能为1.37J．
15．如图所示，在倾角为θ的斜面上，N点上方粗糙，下方光滑，一物块（可视为质点）从N点上方离N距离为S的P点由静止释放，下滑到N处开始压缩弹簧后又被弹离，然后上滑最远位置离N距离为0.5S．（不计物体与弹簧接触瞬间能量的损失）求：
（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数；
（2）若已知物块的质量为m，弹簧压缩最短时的弹性势能为EP，则物体从弹簧被压缩最短运动到N点的距离L为多少？
【解答】解：（1）对于整个过程，由动能定理有：
mgsinθ 0.5S﹣μmgcosθ 1.5S＝0 ①
则得，μtanθ
（2）设滑块上滑到N点时的速度为v，对于从N上滑到最高点的过程，由动能定理则有：
﹣（mgsinθ 0.5S+μmgcosθ 0.5S）＝0mv2 ②
由N点下滑到弹簧被压缩到最大过程中弹簧与物体系统机械能守恒，设此距离为L，有；
EpmgLsinθ ③
由②、③解得：L
答：（1）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数为tanθ；（2）物体从弹簧被压缩最短运动到N点的距离L为．
三．弹性势能的变化和弹力做功的关系（共3小题）
16．如图为小明玩橡皮筋球的瞬间，小球正在向上运动，手正在向下运动，橡皮筋处于绷紧状态。此后橡皮筋在恢复原长的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球动能一直增加 B．小球机械能一直增加
C．小球一直处于超重状态 D．橡皮筋的弹性势能完全转化为小球的动能
【答案】B
【解答】解：AC．小球正在向上运动，此后橡皮筋在恢复原长的过程中，当橡皮筋弹力大于小球重力时，小球向上做加速运动，小球动能增加，小球处于超重状态；当橡皮筋弹力小于小球重力时，小球向上做减速运动，小球处于失重状态，小球动能减少；故AC错误；
BD．小球正在向上运动，此后橡皮筋在恢复原长的过程中，橡皮筋弹力对小球一直做正功，则小球的机械能一直增加，橡皮筋的弹性势能转化为小球的机械能即转化为小球的动能和重力势能，故B正确，D错误。
故选：B。
17．蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁、塔顶等上方，一条长弹性绳一端固定，另一端绑在踝关节处，跳跃者两臂伸开、双腿并拢、头朝下离开跳台，图甲为蹦极的场景。一游客从蹦极台下落的速度—位移图像如图乙所示，游客及携带装备的总质量为75kg，弹性绳原长为10m，下落15m时游客速度最大，已知弹性绳的弹力与伸长量的关系符合胡克定律，不计空气阻力和弹性绳的重力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．弹性绳的劲度系数为150N/m B．下落过程游客始终处于失重状态
C．下落过程弹性绳的弹力一直增大 D．下落15m时弹性绳的弹性势能最大
【答案】A
【解答】解：AB．跳跃着先加速后减速，故运动员先处于失重状态后处于超重状态，当合力为0时速度最大，此时弹力等于重力，由kΔx＝mg得
，故A正确，B错误；
C．弹性绳达到原长前，弹力都为0，下落10m后，弹性绳的弹力一直增大，故C错误；
D．当跳跃者下落到最低点，即下落高度为25m，速度为0时，跳跃者减小的重力势能全部转化为弹性绳的弹性势能，此时弹性绳的弹性势能最大，故D错误。
故选：A。
18．（多选）如图甲所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为弹簧的劲度系数。图乙为F随x变化的示意图。物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中，根据F﹣x的图象，判断下列结果正确的是（ ）
A．弹力做的功为F1x1 B．弹力做的功为F1x1
C．弹性势能增加了 D．弹性势能减少了
【答案】BC
【解答】解：AB、物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中，弹簧弹力向左，物块的位移向右，弹簧弹力做负功，弹簧弹力做功：W，故A错误，B正确；
CD、弹簧弹力做负功，弹簧弹性势能增加，弹簧增加的弹性势能等于克服弹簧做的功，因此弹簧弹性势能增加了ΔEp，故C正确，D错误。
故选：BC。
四．引力势能及其应用（共14小题）
19．第二宇宙速度又叫逃逸速度，若某物体初速度达到星球逃逸速度，该物体将完全逃脱星球的引力束缚而飞出星球（可认为物体飞至无穷远处速度为0），已知质量为m的物体放在质量为M的星球外r处的引力势能为Ep。现有一质量为m的物体放在某星球表面，星球的半径为R，已知该星球的逃逸速度为v，引力常量为G。则下列说法错误的是（ ）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球的质量
C．忽略星球自转，该星球表面重力加速度
D．该物体在近地轨道上做匀速圆周运动的周期
【答案】B
【解答】解：AB、根据题意，第二宇宙速度满足：Ek+Ep＝0
代入题设条件有：
代入可得：
第一宇宙速度满足：
可得：
整理得到：，故A正确，B错误；
CD、由万有引力提供重力，重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：
可得：，，故CD正确。
本题是选错误的
故选：B。
20．2022年12月14日，神舟十四号顺利脱离天和核心舱空间站，安全返回地球。规定无穷远处引力势能为0，空间站到地心距离为r时其引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为空间站质量。已知地球半径为R，空间站绕地球做匀速圆周运动时距地面的高度为h，若忽略地球的自转及空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．空间站在地球表面的引力势能为
B．空间站在离地面高度为h轨道运行的动能为
C．空间站在离地面高度为h轨道运行的机械能为
D．从地面发射到离地面高度为h轨道做圆周运动需要对空间站做的功为
【答案】D
【解答】解：A、根据题意，由引力势能表达式可得，空间站在地球表面的引力势能为，故A错误；
B、空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，又有，解得空间站在离地面高度为h轨道运行的动能为，故B错误；
C、空间站在离地面高度为h轨道运行的引力势能为，则其机械能为，故C错误；
D、由功能关系可知，从地面发射到离地面高度为h轨道做圆周运动需要对空间站做的功为，故D正确。
故选：D。
21．（多选）2021年4月24日是我国第六个“中国航天日”，预计五月中下旬，首辆被命名为“祝融号”火星车即将与天问一号着陆器一起登陆火星，实现火星表面的巡视探测。假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R。已知物体在火星的引力场中引力势能是Ep＝﹣GMm/r，G为引力常数，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离。某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为R/2的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度v1
B．火星的第二宇宙速度v2＝2
C．火星深井底部的重力加速度为g1
D．火星的自转周期T＝π
【答案】AC
【解答】解：A、物体在火星附近绕火星做匀速圆周运动的速度，叫作火星的第一宇宙速度，在火星两极万有引力与重力相等，故据万有引力提供圆周运动向心力有：，可得火星的第一宇宙速度，故A正确；
B、火星的第二宇宙速度是逃离火星束缚的最小发射速度，若以此发射速度发射航天器至离火星无穷远处，则据重力做功与重力势能变化关系有：WG＝EpR﹣Ep∞，在此过种只有重力做功，根据动能定理有：WG＝Ek∞﹣EkR联列两式可得：航天器的发射时的动能EkR＝Ek∞﹣EpR+Ep∞，由题意可知：，EP∞＝0，代入发射时的动能可得：，当Ek∞取零时，发射时的动能有最小值，又据可以计算得出火星的第二宇宙速度，代入可得，故C错误；
C、星球表面的重力加速度等于星球对物体表面的万有引力，令星球的密度为ρ，则半径为R的星球质量为M，据万有引力等于重力可得可得星球表面的重力加速度g，即密度相同的情况下，星球表面的重力加速度与星球的半径R成正比，故火星深井底部的重力加速度与火星表面的重力加速度之比等于半径比，即火星深井底部的重力加速度等于火星表面重力加速度的一半，即，故C正确；
D、火星表面受到的万有引力等于mg0，在火星赤道，万有引力＝重力+自转运动的向心力，即，由此可解得火星的自转周期T＝2π，故D错误。
故选：AC。
22．如图所示，横截面积为A、质量为m的柱状飞行器沿半径为R的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为M的均匀球体。万有引力常量为G。
（1）求飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）在飞行器运行轨道附近范围内有密度为ρ（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了ΔH。由于ΔH R，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为r时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能Ep。请根据上述条件推导：
①飞行器在半径为R轨道上运行时，所受空气阻力大小F的表达式；
②飞行器由半径为R的轨道下降ΔH的过程中，飞行器绕地球运动圈数n的表达式。
【答案】（1）人造卫星在轨道半径为r的高空绕地球做圆周运动的周期为2π ；
（2）①卫星在半径为r轨道上运行时，所受空气阻力的大小为 ；
②卫星由半径为r的轨道下降ΔH的过程中绕地球运动的圈数为 。
【解答】解：（1）卫星绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力结合牛顿第二定律得：mR，
解得：T＝2π；
（2）①最大横截面积为A的卫星，经过时间Δt从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为：Δm＝ρAvΔt
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F′；
取卫星运动的方向为正方向，对这部分稀薄空气颗粒，根据动量定理有：F′Δt＝Δmv
对卫星根据万有引力定律和牛顿第二定律有：m，
解得：F′，
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小为：F＝F′；
②设卫星在r轨道运行时的速度为v、动能为Ek1、势能为Ep1、机械能为E1，
根据牛顿定律和万有引力定律有：m，
卫星的动能为：EK1mv2，
势能为：EP1，
解得：E1，
卫星高度下降ΔH，在半径为（r﹣ΔH）轨道上运行，
同理可知其机械为：E2，
卫星轨道高度下降ΔH，其机械能的改变量为：ΔE
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功．设卫星在沿半径为r的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0，
利用小量累积的方法可知：W0＝﹣F×2πr＝﹣2πρAGM
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关．
则ΔE＝nW0
解得：n。
答：（1）人造卫星在轨道半径为r的高空绕地球做圆周运动的周期为2π ；
（2）①卫星在半径为r轨道上运行时，所受空气阻力的大小为 ；
②卫星由半径为r的轨道下降ΔH的过程中绕地球运动的圈数为 。
23．2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”任务的国家。为了简化问题，可认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为T1，公转轨道半径为r1，火星的公转周期为T2，火星质量为M。如图2所示，以火星为参考系，质量为m1的探测器沿1号轨道到达B点时速度为v1，B点到火星球心的距离为r3，此时启动发动机，在极短时间内一次性喷出部分气体，喷气后探测器质量变为m2、速度变为与v1垂直的v2，然后进入以B点为远火点的椭圆轨道2。已知万有引力势能公式Ep，其中M为中心天体的质量，m为卫星的质量，G为引力常量，r为卫星到中心天体球心的距离。求：
（1）火星公转轨道半径r2；
（2）喷出气体速度u的大小；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小。
【答案】（1）火星公转轨道半径r2为；
（2）喷出气体速度u的大小为；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小为。
【解答】解：（1）由开普勒第三定律可得：
解得：r2；
（2）喷出气体的质量为m＝m1﹣m2
喷气前探测器与所喷出气体组成的系统初动量
p1＝m1v1
喷出气体后探测器末动量为
p2＝m2v2
喷出气体前后p1、p2方向垂直，建立如图所示Oxy直角坐标系。
喷出气体速度u在x、y方向上的分量分别为ux、uy，根据动量守恒定律有
x方向有p1＝mux
y方向有0＝p2+muy
喷出气体速度满足
联立可得
（3）由开普勒第二定律得：
即：v2r3＝v3r4
答：（1）火星公转轨道半径r2为；
（2）喷出气体速度u的大小为；
（3）探测器沿2号轨道运动至近火点的速度v3的大小为。
24．我们可以借鉴研究静电场的方法来研究地球周围空间的引力场，如用“引力场强度”、“引力势”的概念描述引力场。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，将地球视为均质球体，且忽略自转。
（1）类比电场强度的定义方法，写出地球引力场的“引力场强度E”的定义式，并结合万有引力定律，推导距离地心为r（r＞R）处的引力场强度的表达式E引＝G；
（2）设地面处和距离地面高为h处的引力场强度分别为E引和E'引，如果它们满足0.02则该空间就可以近似为匀强场，也就是我们常说的重力场。请估算地球重力场可视为匀强场的高度h（取地球半径R＝6.4×106m，结果保留两位有效数字）；
（3）由（2）可知，满足一定的限定条件，非匀强场可以按照匀强场来处理，请再列举一个类似的物理情境。
【解答】解：（1）类比电场强度定义式：E
距离地心为r（r＞R）的某点，受到地球的万有引力：F
引力场强度：E引。
（2）根据题意可知，地面处的引力场强度：E引
距离地面高为h处的引力场强度：E引′
满足关系：0.02
解得：h＝6.5×104m
（3）分析地磁场可知，地面附近的空间内，比如学校教室内的地磁场分布可以看成匀强磁场。
答：（1）推导见解析；
（2）地球重力场可视为匀强场的高度为6.5×104m；
（3）学校教室内的地磁场分布可以看成匀强磁场。
25．2018年12月8日，嫦娥四号月球探测器在西昌卫星发射中心发射升空。这是人类首次在月球背面软着陆。在月球表面，如果用弹簧测力计悬挂一个质量为m1的物体，静止时示数为F，忽略月球自转，且月球半径为R，万有引力常量为G，已知：若以星球表面为零势能面，质量为m0的物体在距该星球表面x处的引力势能可表示为Ep，其中G为引力常量，Mx为该星球质量，r为该星球半径。
（1）求月球表面的重力加速度g的大小和月球质量M；
（2）2019年1月14日，国务院新闻办公室召开的新闻发布会上宣布，嫦娥五号将于2019年年底前后发射，实现区域软着陆并采样返回。如图所示，将质量为m的月球车由月球表面发射到h高度的轨道上，在该轨道月球车与绕月球做圆周运动的飞船平稳对接，然后由飞船送月球车返回地球。求从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功W；
（3）请利用题干中给出的引力势能公式，推导以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式。
【答案】（1）月球表面的重力加速度为，月球的质量为。
（2）从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功为。
（3）以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式为EP′。
【解答】解：（1）分析题意可知，用弹簧测力计悬挂一个质量为m1的物体，静止时示数为F，则月球表面的重力加速度：g，
根据物体在月球表面的重力等于万有引力可知，，
解得月球的质量：M。
（2）月球车距离月球表面h高处时，根据万有引力提供向心力可知，
m
则月球车在高h处的动能：Ek
根据题干信息可知，引力势能：Ep
将月球车发到该处时，对它做功W应等于它在该处的机械能：E＝Ek+Ep
因此，W。
（3）引力势能的改变与零势能面的选择无关，以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式：
EP′。
答：（1）月球表面的重力加速度为，月球的质量为。
（2）从月球表面开始发射到对接完成需要对月球车做的功为。
（3）以距离月球无穷远处为零势能面时，质量为m的月球车距离月球表面h高处所具有的引力势能Ep'的表达式为EP′。
26．随着科学技术水平的不断进步，相信在不远的将来人类能够实现太空移民。为此，科学家设计了一个巨型环状管道式空间站。空间站绕地球做匀速圆周运动，人们生活在空间站的环形管道中，管道内部截面为圆形，直径可达几千米，如图（a）所示。已知地球质量为M，地球半径为R，空间站总质量为m，G为引力常量。
（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，求空间站在轨道上运行的线速度大小；
（2）为解决长期太空生活的失重问题，科学家设想让空间站围绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转，使在空间站中生活的人们获得“人工重力”。该空间站的环状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为r1、r2，环形管道壁厚度忽略不计，如图（b）所示。若要使人们感受到的“人工重力”与在地球表面上受到的重力一样（不考虑重力因地理位置不同而产生的差异且可认为太空站中心轴静止），则该空间站的自转周期应为多大；
（3）为进行某项科学实验，空间站需将运行轨道进行调整，先从半径为2R的圆轨道上的A点（近地点）进行第一次调速后进入椭圆轨道。当空间站经过椭圆轨道B点（远地点）时，再进行第二次调速后最终进入半径为3R的圆轨道上。若上述过程忽略空间站质量变化及自转产生的影响，且每次调速持续的时间很短。
①请说明空间站在这两次调速过程中，速度大小是如何变化的；
②若以无穷远为引力势能零点，空间站与地球间的引力势能为EP＝﹣G，式中r表示空间站到地心的距离，求空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗多少能量。
【解答】解：（1）空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有：
，解得：v
（2）设地球表面的物体质量为m0，在不考虑地球自转时有：，
当人随空间站一起自转且加速度为g时，可获得与地球表面相同的重力，所以，
解得：T
（3）①在A点和B点两次调速均使空间站做离心运动，所以两次都是加速过程，速度大小变大，
②空间站变轨前的总能量：，
空间站变轨后做圆周运动，则有：，空间站变轨后的总能量：，
则变轨过程中消耗的能量
答：（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，空间站在轨道上运行的线速度大小为；
（2）该空间站的自转周期应为；
（3）①空间站在这两次调速过程中，速度大小都变大；
②空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗的能量为。
27．2015年7月24日，天文学家确认发现首颗位于“宜居带”上体积最接近地球大小的行星（代号为“开普勒﹣452b”），这是人类在寻找另一颗地球的道路上的重要里程碑．设想某一天，宇航员登上该星球并做如下实验：实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜轨道AB和半圆弧轨道BC组成，将质量为m0＝0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变高度H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2．求：（计算结果均保留3位有效数字）
（1）假设该行星的半径R＝5000km，求行星的质量M；
（2）在（1）问前提下，若已知质量为m的飞船距离该行星中心距离为r处的引力势能表达式为Ep，将质量为m＝2000kg的飞船，在该行星上发射到距离行星表面的高度h＝5000km的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算不考虑行星自转对发射的影响）
【解答】解：（1）设小球质量为m，小球过C点有：，
对小球从出发到C点，由动能定理得，，
联立解得F，
由图可知，H1＝0.5m，F1＝0N，H2＝1.0m，F2＝5N，
解得g＝5m/s2．
根据得，行星的质量M，
代入数据解得M＝1.87×1024kg．
（2）由题意可知，由于不考虑自转，卫星在该行星表面的机械能为：，
在h＝R圆轨道上卫星的机械能：，
根据万有引力提供向心力得：，
可得，
，
由功能关系可得，．
代入数据解得W＝3.75×1010J．
答：（1）行星的质量为1.87×1024kg．
（2）火箭至少要对飞船做功3.75×1010J．
28．我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥三号”的任务是“落”。2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途轨道修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道Ⅰ．12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道Ⅱ，如图所示。2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在Q点附近制动，由大功率发动机减速，以抛物线路径下降到距月面100米高处进行30s悬停避障，之后再缓慢竖直下降到距月面高度仅为数米处，为避免激起更多月尘，关闭发动机，做自由落体运动，落到月球表面。
已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h1、h2。
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量。若“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小。
【解答】解：（1）“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的过程中万有引力提供圆周运动向心力有：
解得：v1
（2）“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上运动的过程中，由机械能守恒定律：
据此解得：
vp′
答：（1）“嫦娥三号”在圆形轨道Ⅰ上运动的速度大小为；
（2）它经过P点时的速度大小为。
29．2008年9月25日21时10分许，中国第三艘载人飞船神舟七号在酒泉卫星发射中心由“长征二号F”运载火箭成功发射升空。9月26日凌晨4时零5分“神舟七号”载人飞船成功变轨。变轨成功后，飞船由沿椭圆轨道运行变为沿圆形轨道运行。“神舟七号”载人飞船在椭圆轨道上是无动力飞行，飞船在椭圆轨道近地点时距地面高度h1约为200km，此时飞行速度为v，飞船在椭圆轨道远地点时距地面高度h2约为350km。假设飞船在远地点附近变轨成圆形轨道运行，而变轨时间又很短。已知地球的半径是R0（约为6360km），地球表面重力加速度为g。如果以无穷远为引力势能的零势能参考面，当飞船与地心相距R时，飞船的引力势能计算公式是，其中G、M、m分别是万有引力常量、地球质量、飞船质量（本题中G、M、m均为未知）。则：
（1）飞船变轨期间是加速还是减速？
（2）飞船变轨期间速度的改变量的大小是多大？（只用符号表达即可）
【解答】解：（1）飞船在远地点附近变轨成圆形轨道运行，即需要由低轨道到高轨道，飞船需要做离心运动，速度要增大才会做离心运动，故变轨期间需要加速；
（2）由近地点飞行到远地点的过程中只有引力做功，故机械能守恒，设远地点速度为v2
则mv2m﹣G ①
飞船到达圆轨道上时速度为v3，由万有引力定律充当向心力知
Gm②
又Gmg③
Δv＝v3﹣v2④
联立①②③④解得Δv
答：（1）飞船变轨期间是加速
（2）飞船变轨期间速度的改变量的大小是。
30．有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的。如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的k倍（k＞1）。当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。
（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep，式中G为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变；探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变。
①求探测器刚离开飞船时的速度大小；
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
【解答】解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m，探测器质量为m'，当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为v0
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
对于地面附近的质量为m0的物体有：
m0g
解得：
（2）①设探测器被发射出时的速度为v'，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以探测器刚好脱离地球引力应满足：
解得：
②设发射探测器后飞船在A点的速度为vA，运动到B点的速度为vB，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以有：
对于飞船发射探测器的过程，根据动量守恒定律有：
（m+m'）v0＝mvA+m'v'
因飞船通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，即：
RvB＝kRvA
解得：
答：（1）飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小为；
（2）①求探测器刚离开飞船时的速度大小为；
②为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足条件为。
31．2009年至2015年，中国将进入嫦娥二期工程，届时将进行两到三次的软着陆巡视勘察，其中2012年向月面发射一个软着陆器的计划已经基本确定，按照这一计划软着陆器将携带载有摄像机和多种探测仪器的月球车，在月球表面巡视勘查，为建立月球基地收集基本数据资料．为了实现这一计划，先要登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面低轨道．假设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动，已知该飞船质量为m，已知该飞船距月球表面的高度为h．该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气，喷出气体相对飞船的速度为u，经过一段时间后飞船运动到靠近月球表面的B点，A、B两点的连线过月球球心．已知飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值．已知月球半径为R，已知月球表面的重力加速度为g，已知登月飞船在月球上空的万有引力势能为Ep（以无穷远处引力势能为零）．求：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是多少．
【解答】解：（1）设飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的速度为v0，设月球的质量为M，万有引力提供向心力
Gm
月球上满足 Gmg
得：v0
（2）飞船喷气后的质量设为m′，速度为vA，到达B点速度为vB，飞船从喷气后一直到B点满足机械能守恒定律：
m′m′
又因为飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值，有：
vA（R+h）＝vBR
以上两式消去vB，可得：vA
飞船喷气过程中动量守恒：mv0＝（m﹣Δm）vA+Δm（vA+u）
解得：Δm
答：
（1）飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度为．
（2）飞船在A点喷出气体的质量是．
32．开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上．第二定律：太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积．第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船．宇宙飞船在距火星表面H高度处做匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍．因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示．飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为．试求：
（1）飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远
（2）设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T．
【解答】解：（1）设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距离为r，飞船速度为v．
因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为：，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在D点的面积速度 （D为圆轨道和椭圆轨道的交点），
由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度 ，即：，
即 r0v0＝rv ①
由机械能守恒定律得： ②
飞船沿原轨道运动时： ③
式中 r0＝R+H，r＝R+h ④
联立方程组可解得：，⑤
⑥
（2）设椭圆半长轴为a，则r近+r远＝2a，即： ⑦
飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为： ⑧
设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律得： ⑨
从而解得： ⑩
答：
（1）飞船新轨道的近火星点的高度h近为，远火星点高度h远．
（2）设飞船原来的运动速度为v0，新轨道的运行周期T为．
五．探究弹簧的弹性势能和形变量的关系（共4小题）
33．某实验小组利用如下装置探究弹簧的物理性质，所用器材有：气垫导轨、光电门、数字计时器（图中未画出）、带有挡光条的滑块、砝码等。
（1）实验步骤：
①将气垫导轨放在桌面上，打开气泵并将导轨调至水平，判断调平的依据是： 在不挂重物的情况下轻推滑块，若滑块做匀速直线运动，证明气垫导轨已经水平 ；
②应选用宽度d＝ A （填“A”、“B”或“C”）的挡光条实验误差更小；
A．0.50cm
B．2.00cm
C．3.00cm
③将轻质弹簧一端固定于气垫导轨左侧，另一端与滑块相连，当滑块静止（弹簧处于原长）时，将光电门中心正对挡光条所在位置安装在导轨上；
④用跨过定滑轮的轻绳将滑块与砝码盘相连，放一个砝码，如图1所示。测得稳定时弹簧长度l，计算出弹簧形变量x；
⑤剪断细绳，记录挡光时间t，由v＝ 测得滑块通过光电门时的瞬时速度；
⑥逐次递增砝码个数，重复步骤④⑤。记录的部分数据如表，根据数据可得弹簧劲度系数k＝ 25 N/m（g取9.8m/s2）；
砝码质量（g） 0 50 100 150 200 250
弹簧长度l（cm） 15.60 17.56 19.54 21.46 23.40 25.32
⑦根据实验数据，获得x图线，如图2所示。
（2）回答下列问题：
①释放滑块过程中，弹簧