2025-2026学年青岛版八年级数学上册 4.3角的平分线 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
青岛版八年级数学上册
第 4 章 图形的轴对称
4.3角平分线
情 境 导 入
农副产品集散基地M位于李庄A、王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位置到三条公路AB、AC、BC的距离相等.你能在图中△ABC内部画出M的位置吗？
C
A
B
情 境 导 入
知识回顾
1、角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
o
B
C
A
1
2
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情境导入
新课探究
课堂小结
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
O
P
A
B
垂线段PO的长度
新 课 探 究
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
C
B
A
D
探究一：
结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
探究角的轴对称性
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新课探究
情境导入
课堂小结
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由.
探索角平分线的性质
探究二：
C
B
M
A
P
N
D
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知：AD是∠BAC的角平分线
点P是AD上任意一点，PM⊥AB，PN⊥AC
求证：PM=PN
C
B
M
A
P
N
D
1
2
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴∠AMP=∠ANP=90
在△AMP与△ANP中
∵ ∠1=∠2
∠AMP=∠ANP
AP=AP
∴△AMP ≌ △ANP（AAS）
∴PM=PN
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新课探究
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课堂小结
角平分线的性质：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
作用：
判断线段相等的依据.
符号语言：
∵AD平分∠BAC PM⊥AB PN⊥AC（已知）
∴PM=PN（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）
（1）AD为角的平分线；
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
C
B
M
A
P
N
D
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课堂小结
判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE ( )
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PE=PD.( )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( )
跟踪练习
（1题）
（2题）
（3题）
×
√
×
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课堂小结
反过来，角的内部到角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
探究三：
C
B
M
A
P
N
D
1
2
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新课探究
情境导入
课堂小结
角平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
作用：
判断点是否在角平分线上的依据.
符号语言：
∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN（已知）
∴点P在∠BAC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
∴∠1=∠2（角的平分线的定义）
（1）点P在∠BAC的内部；
（2）PM⊥AB PN⊥AC；
（3）PM=PN
C
B
M
A
P
N
D
1
2
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新课探究
情境导入
课堂小结
如图，P 是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE = PF. Q是 OP 上的任意一点， QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点 M 和 N . QM与QN 相等吗？为什么？
跟踪练习
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新课探究
情境导入
课堂小结
作法:
１.以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交这个角的两边于E,F两点;
３.作射线AP
已知：∠BAC，
求作：∠BAC 的平分线.
射线AP就是所求作的∠BAC的平分线
探究四: 用尺规作角的平分线
２.分别以点E,F为圆心,大于EF一半的长为半径作弧,两弧交于点P;
E
F
P
A
Ｂ
C
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新课探究
情境导入
课堂小结
用直尺和圆规作一个角的平分线，如上图所示，则能说明∠EAP=∠FAP的依据是 （ ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角的两边距离相等
思考:
A
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新课探究
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课堂小结
农副产品集散基地M位于李庄A、王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位置到三条公路AB、AC、BC的距离相等.你能在图中△ABC内部画出M的位置吗？
C
A
B
解决问题
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课堂小结
课堂检测
1.三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2，AB=10，△ABD的面积为 .
10
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，
DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，
那么线段BE是∠ABC的　
　 　 ，AE+DE=　　　。
6cm
角平分线
3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON，
垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的
一个动点,则线段 PQ的最小值（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
B
课 堂 小 结
1、角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.
2、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
3、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
4、如何用尺规作一个角的平分线.
THANK YOU