(共31张PPT)
第八章 统计与概率
基础课39 统 计
章前复习思路
利用数据统计解决问题的一般过程
实际问题
收集数据
整理数据
分析数据
解决问题
统计与
概率
统 计
概 率
数据的收集
绘制统计图(表)
数据代表的分析
事件的分类
概率的计算
确定事件
随机事件
调查方式
相关概念
常见统计图(表)及特点
公式法
几何概型
频率估计概率
列表或画树状图法(两步及以上)
平均数、中位数、众数、方差
节前复习导图
统 计
数据的收集
数据代表
计算公式
特点
应用
全面调查
抽样调查
调查方式
相关概念
总体、个体、
样本、样本容量
方差
分析统计
图(表)
频数与频率
常见统计
图(表)的特点
平均数
中位数
众数
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七下P134－P161，八下P110－P137；
北师：七上P154－P188，八上P135－P160；
华师：八上P129－P153，八下P129－P161，九下P77－P108.
调查方式
数据的收集
类别 定义 适用范围
全面 调查 对全体对象进行调查叫做全面调查 一般当调查的范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确、全面时，如乘飞机安检
抽样 调查 抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查 当所调查对象涉及面大、范围广或受客观条件限制或具有破坏性等时，如调查中学生对数学文化的了解情况
数据的收集
相关概念
定义 举例
总体：所要考察对象的_____ 某中学读书社为了解全校学生阅读名著的数量，随机抽查全校 300 名学生阅读名著的数量.
本次调查活动的总体是______________________，个体是______________________，样本是________________________，样本容量是_____
个体：组成总体的每一个对象 样本：从总体中抽取的一部分个体 样本容量：样本中包括的个体的数目 300
全体
全校学生阅读名著
的数量
每名学生阅读名著的数量
300名学生阅读名著的数量
【易错警示】样本容量没有单位
1. 平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”，当数据中有异常值(与其他数据的大小差异很大的数)时，平均数就不是一个好的代表值了
2. 每组数据的平均数不一定是原数据，且平均数是唯一的
数据代表
平均数
算术平均数：=_________________
加权平均数：=_____________________，n=f1＋f2＋…＋fk，其中f1， f2，
…， fk分别叫做x1，x2，…，xk的权
意义
应用：根据两组数据的平均值评价哪组数据的整体水平好
(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)
(x1＋x2＋…＋xn)
数据代表
中位数
1. 排列：将一组数据按照大小顺序排列
2. 数个数：如果数据的个数是奇数，则中位数是_____位置的数；如果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数据的_______
特点：(1)中位数侧重在顺序方面描述一组数据的集中趋势，去掉一组数据中的一个最大值和一个最小值，中位数不变
(2)中位数不一定是原数据，且中位数只有一个
应用：判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大，位于前50%，比中位数小，位于后50%(数据按从大到小排列)
【满分技法】当数据中存在极端值时，一般选取中位数更能体现数据的集中趋势
平均数
中间
概念：一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数
【满分技法】一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，且众数一定是原数据
特点：表示一组数据中出现次数最___的数据，能够反映一组数据的集中程度
应用：“最受欢迎”“最满意”“最受关注”等都与众数有关
数据代表
众数
多
计算公式：s2=［(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2］
特点：反映一组数据波动大小(离散程度)的量，方差越大，数据的波动越____，偏离平均数越大，数据越_______；方差越小，数据的波动越___，偏离平均数越小，数据越_____
应用：在平均数相同的情况下，比较两组数据的稳定性
方差
稳定
大
不稳定
小
频数：数据分组后落在各小组内数据的个数
频率：每一组数据频数与数据总数的比
【满分技法】各组频数的和等于这组数据个数的总数，各组数据的频率之和等于1；频数与频率都能反映各组数据出现的频繁程度
分析统计图(表)
频数与
频率
常见统计图(表)的特点
统计图(表) 图示 特点 数据特点
条形统计图 能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别 各组频数之和等于样本容量
扇形统计图 易于显示每组数据相对于总数的大小 各百分比之和等于___
圆心角的度数=百分比×_____
360°
1
分析统计图(表)
常见统计图(表)的特点
统计图(表) 图示 特点 数据特点
折线统计图 可以表示出数量的多少，易于显示数据的变化趋势 各组频数之和等于样本容量
频数分布
直方图 清楚显示各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别 各组频数之和等于样本容量
各组频率之和等于___
数据总数×各组的频率=相应组的_____
频数分布表 —— 容易判断数据的多少，比较各个小组的差别 各组频数之和等于_________
样本容量
1
频数
课堂巩固·基础题练考点
调查方式的判断(2020.3)
命题点
1
1. (人教七下习题改编)下列调查方式适合抽样调查的是( D )
A. 检查“神舟二十号”三位宇航员的身体状况
B. 审核北师九下数学新教材中的错别字
C. 了解某班同学每周的体育锻炼时间
D. 了解郑州段黄河水质情况
D
总体、个体、样本及样本容量(7年2考)
命题点
2
2. (北师七上习题改编)某校有4 000名学生，随机抽取了400名学生进行体
重调查，这项调查中的样本是( C )
A. 4 000名学生的体重
B. 400
C. 从中抽取的400名学生的体重
D. 从中抽取的400名学生
C
3. (2023河南13题3分)某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品
种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测.如图是某次随
机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm
的“无絮杨”品种苗约有 棵.
280
平均数、中位数、众数和方差的计算(近7年连续考查)
命题点
3
4. (2024河南12题3分)2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主
题是 “有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个
主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如
图，则得分的众数为 分.
9
5. (2019河南7题考法)12月4日是国家宪法日，为弘扬宪法精神，某校举办
了“我为宪法代言”朗诵比赛，下表是九年级学生小志参加比赛的得分
表和各部分的权重，请你据此计算小志的总得分是 .
项目 文章内容 言语表达 个人形象
得分 90 88 85
权重 30％ 50％ 20％
88
6. 甲运动员射击10次，每次命中的环数如下：8，6，7，7，9，10，7，
5，4，7，则这组数据的众数为 ，中位数为 ，平均数
为 ，方差为 .
【解析】7出现的次数最多，∴这组数据的众数为7，将这组数据按从小
到大的顺序排列为4，5，6，7，7，7，7，8，9，10，中位数是第5和第6
个数据的平均数，即 ＝7，平均数为 ×(4＋5＋6＋7×4＋8＋9＋10)
＝7，方差为 ×[(4－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]
＝2.8.
7
7
7
2.8
平均数、中位数、众数、方差的应用(近7年连续考查)
命题点
4
7. (北师八上习题改编)九(1)班采用民主投票的方式评选一名“最有责任
心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投
票.根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是( B )
A. 平均数 B. 众数
C. 中位数 D. 方差
B
8. (2025河南12题3分)为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，
数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗
高的平均数相同，方差分别为 ＝3.6， ＝5.8，则这两种小麦长势
更整齐的是 (填“甲”或“乙”).
【解析】∵两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 ＝3.6， ＝
5.8，∴ ＜ ，∴两种小麦长势更整齐的是甲.
甲
频数与频率
命题点
5
9. (人教九上习题改编)某校九年级三班数学老师将学生成绩分成三组，情况如下表所示，则表格中a的值为 .
第一组 第二组 第三组
频数 a 16 20
频率 20％ b c
【解析】由表格得第二组和第三组所占百分比为1－20％＝80％，则九年
级三班人数为(16＋20)÷80％＝45，∴a＝45×20％＝9.
9
统计图(表)的分析(近7年连续考查)
命题点
6
10. 考试后对考试成绩进行正确的分析有助于学生发现自身的学习问题和优势，从而扬长避短.某中学将七年级每个学生的七门学科综合成绩(七门学科的原始满分均为100分)按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.小杨同学的成绩和七年级学生的平均成绩雷达图如图所示，下列结论错误的是( D )
D
雷达图
新考法
A. 小杨同学的数学成绩在七门学科里面最高
B. 小杨同学有两门学科成绩低于这两科七年
级学生的平均成绩
C. 小杨同学语文学科的成绩与七年级学生的语文平均成绩一样
D. 小杨同学语文、地理、道德与法治三门学科成绩从高到低排序依次是
语文、道德与法治、地理
11. 某公司计划招募10名技术人员，他们对20名面试合格人员进行了测
试，测试包括理论知识和实践操作两部分，20名应聘者的成绩排名情况
如图所示，下面有3个推断：
①甲测试成绩非常优秀，入选的可能性很大；
②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前；
③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业
理论知识的学习；其中合理的是 (写序号).
①甲测试成绩非常优秀，入选的可能性很大；
②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前；
③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业
理论知识的学习；其中合理的是 (写序号).
②③
【解析】从图中信息可知，甲的成绩排名比较落后，故入选的可能性不
大.故①错误.乙的理论知识排名第一，实践操作排名第7，故②正确.位
于椭圆形区域内的应聘者，实践操作排名比较靠前，理论知识排名比较
靠后，∴位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习，
故③正确.
12. (2025河南17题9分)为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法
治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动.某学
校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50
名学生进行测试，并对测试得分(10分为满分，9分或9分以上为优秀)进行
整理、描述、分析，部分信息如下.
得分统计表
统计量 年级 七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众 数 7 b
优秀率 38％ c
根据以上信息，回答下列问题.
(1)表格中的 a ＝ ，b ＝ ，c＝ ；
【解法提示】∵各随机抽取50名学生，
∴中位数为将测试得分从小到大(或从大到
小)排序后第25，26名同学成绩的平均数，
由条形统计图可得中位数a＝ ＝7.5；
八年级得分为8分的人数最多，为23人，
∴众数b＝8；八年级的得分优秀率为 ×100％＝22％.
7.5
8
22％
统计量 年级 七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众 数 7 b
优秀率 38％ c
某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽
取50名学生进行测试，并对测试得分(10分为满分，9分或9分以上为优秀)
进行整理、描述、分析，
(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由.
解：我认为八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由：因为七、八年级学生得分的平均数相等，八年级的学生测试得分的中位数和众数都高于七年级.(答案不唯一，合理即可)
13. (2024河南17题9分·北师八上习题改编)为提升学生体质健康水平，促
进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的
篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得
分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是 (填“甲”或“乙”)；甲队
员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 分；
甲
29
在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场
比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好；
解：∵甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
∴甲队员表现更好；(答案不唯一，合理即可)(7分)
在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场
比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1＋平均每场篮板×1.5＋平均
每场失误×(－1)，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较
这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
解：甲的综合得分为26.5×1＋8×1.5＋2×(－1)＝36.5(分)，
乙的综合得分为26×1＋10×1.5＋3×(－1)＝38(分).
∵38＞36.5，
∴乙队员的表现更好.(共18张PPT)
第八章 统计与概率
基础课40 概 率
节前复习导图
事件发生的可能性用概率表示
两步及以上
两步
事件的分类
概率的计算
概率的应用———判断游戏公平性
确定事件
随机事件
必然事件
不可能事件
直接公式法
几何概型的概率公式
频率估计概率
列表法
画树状图法
概 率
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九上P126－P153；
北师：七下P135－P159，九上P59－P74；
华师：九上P125－P162.
事件的分类
事件类型 定义 概率
确定事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 1
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 0
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0~1之间
概率的计算
1.直接公式法：如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=
2.列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)=计算概率
3.画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的结果，再根据P(A)=计算概率
4.几何概型的概率公式：P(A)=
5.频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)=p
概率的应用——判断游戏公平性：判断公平性时需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平
概率的计算
课堂巩固·基础题练考点
事件的分类
命题点
1
1. (人教九上习题改编)下列事件是随机事件的是( B )
A. 成语“瓜熟蒂落”
B. 买一张彩票中奖
C. 13个人中，每个人的生肖都不相同
D. x＝3是不等式2(x－1)＞3的解
B
概率的计算(近7年连续考查)
命题点
2
类型一 一步概率(含几何概型)
2. (人教九上习题改编)从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 .
3. 如图，地面上铺满了正方形的地砖(40 cm×40 cm)，现在向这一地面上抛掷半径为5 cm的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是 .
提思维
北师九上习题改编
类型二 频率估计概率
4. (人教九上习题改编)在一个不透明的袋子中有2个黑球和若干个红球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球试验次数 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000
“摸出黑球”的次数 36 387 2 019 4 009 19 970 40 008
“摸出黑球” 的频率(结果保留
小数点后三位) 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 (精确到0.1)，由此估计红球有 个.
0.4
3
类型三 两步概率(近7年连续考查)
5. (2025河南8题3分)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中
华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四
张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的
概率是( B )
B
6. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点.先从A，B，C中
任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角
形的概率是( C )
C
7. (2022河南13题考法)某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学
生中，有3名女学生，1名男学生.则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰
好抽到2名女学生的概率为 .
8. (人教九上习题改编)不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除
颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，再从
中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是 .
9. (2020河南13题3分)如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分
别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停
止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则
两次颜色相同的概率是 .
变式
9.1变扇形分布——将均匀分布变为不均匀分布
如图所示的转盘，被分成四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜
色，其中涂红色和蓝色的扇形的圆心角均为120°，涂黄色和绿色的扇形
的圆心角均为60°，固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下
指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，
则两次颜色相同的概率是 .
【解析】根据题意，列表如下：
红 红 黄 蓝 蓝 绿
红 (红，红) (红，红) (红，黄) (红，蓝) (红，蓝) (红，绿)
红 (红，红) (红，红) (红，黄) (红，蓝) (红，蓝) (红，绿)
黄 (黄，红) (黄，红) (黄，黄) (黄，蓝) (黄，蓝) (黄，绿)
蓝 (蓝，红) (蓝，红) (蓝，黄) (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，绿)
蓝 (蓝，红) (蓝，红) (蓝，黄) (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，绿)
绿 (绿，红) (绿，红) (绿，黄) (绿，蓝) (绿，蓝) (绿，绿)
由上表可知，共有36种等可能的结果，其中两次颜色相同的结果有10
种，∴P(两次颜色相同)＝ ＝ .
10. (北师九上习题改编)将数字1，2，3，4分别写在4张质地、大小相同且
不透明的卡片正面，卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，小佳和小航按照
以下规则进行跳棋游戏：两人使用同一枚棋子，轮流抽一张卡片(一人随
机抽取后放回，另一人再随机抽取)，抽中的数字是几，就将跳棋前进几
格(如图所示).开始时跳棋在数字“1”格子内，求两人第一次抽取完卡片
后，跳棋前进到数字“7”格子内的概率为 .
【解析】根据题意，画树状图如解图，由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中跳棋前进到数字“7”格子内，即两次抽取卡片数字之和等于6的结果共有(2，4)，(3，3)，(4，2)3种，
∴P(跳棋前进到数字“7”格子内)＝ .
解图
11. (2025濮阳二模)某种兔子身体颜色由一对等位基因控制，其中白色为显性，黑色为隐性.若一只白色兔子(基因型为Aa)与一只黑色兔子(基因型为aa)交配，其后代中出现白色兔子的概率是 .
【解析】根据题意，画树状图如解图，由树状图可知，共有
Aa，Aa，aa，aa四种等可能的结果，其中表现为白色兔子的结
果有Aa，Aa两种，∴P(后代中出现白色兔子)＝ ＝ .
解图
新考法
跨生物学科
