(共9张PPT)
第六章 圆
提升课33 圆的实际应用
1. (2024河南20题9分)如图①，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的
位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉
看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的
圆与水平视线DE相切时(如图②)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此
时∠APB为最大视角.
(1)请仅就图②的情形证明∠APB＞∠ADB；
(1)证明：如解图，设AD与圆交于点M，连接BM，
∴∠AMB＝∠APB，
∵∠AMB＞∠ADB，
∴∠APB＞∠ADB；(3分)
解图
数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图
②)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角.
(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角
∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m.求塑像AB的高(结果精
确到0.1 m.参考数据： ≈1.73).
(2)解：在Rt△AHP中，∠APH＝60°，PH＝6.
∵tan∠APH＝ ，
∴AH＝PH·tan 60°＝6× ＝6 .(6分)
∵∠APB＝30°，
∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60°－30°＝30°.
在Rt△BHP中，tan∠BPH＝ ，
∴BH＝PH·tan 30°＝6× ＝2 .(8分)
∴AB＝AH－BH＝6 －2 ＝4 ≈4×1.73≈6.9(m).
答：塑像AB的高约为6.9 m.(9分)
反思：为什么P点就是最大视角，如果题中不给圆，能找到P点的位置
吗？
拓展：米勒定理：如图，已知A，B是∠MON的边OM上的两个定点，C是边ON上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与边ON相切于点C时，∠ACB最大.
题后反思·知识拓展
解：同弧所对的圆外角小于圆周角，且同弧所对的圆周角相等；
不给圆，点P的位置为：以AB为弦的圆与DE相切，切点为P.
2. (2025 )乒乓球拍的类型多样，通常有圆形球拍和方形球拍两种.
如图①是一个圆形乒乓球拍，图②是其正面示意图，优弧 的正面粘贴
胶皮，侧面贴保护胶带，球拍手柄部分近似为矩形DEFG，点G，F均
在AB上，C是优弧 的中点，且点C到AB的距离为12 cm，AB＝12
cm，EF＝8 cm.
(1)求乒乓球拍面所在圆的半径；
解：(1)如解图，过点C作AB的垂线交AB于点H，∴CH＝12，
∵C是优弧 的中点，
∴H为AB的中点，且优弧 所在圆的圆心O在线段CH上，连接AO，
∴AH＝ AB＝6，
设☉O的半径为r cm，
∴OH＝12－r，AO＝r，
∴在Rt△AOH中，r2＝(12－r)2＋62，
解得r＝ ，
答：乒乓球拍面所在圆的半径为 cm；
解图
优弧 的正面粘贴胶皮，侧面贴保护胶带，球拍手柄部分近似为矩形
DEFG，点G，F均在AB上，C是优弧 的中点，且点C到AB的距离
为12 cm，AB＝12 cm，EF＝8 cm.
(2)求球拍侧面有胶皮部分(即优弧 )的外缘所贴保护胶带的长度(结果保
留整数，参考数据： sin 37°≈ ，tan 37°≈ ，
sin 53°≈ ，tan 53°≈ ，π≈3).
解：(2)如解图，连接OB，
由(1)可知 sin ∠AOH＝ ＝ ，
∴∠AOH≈53°，
∴∠AOB＝2∠AOH≈106°，
∴优弧 的长度为 ≈32(cm)，
答：球拍侧面有胶皮部分的外缘所贴保护胶带的长度约为32 cm.
解图(共19张PPT)
第六章 圆
基础课31 点、直线与圆的位置关系
节前复习导图
点、直线与圆
的位置关系
点与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
直线与圆的
位置关系
相离
相切
相交
切线的性质
与判定
性质定理
判定定理
判定方法
切线长
切线长定理
三角形的
内切圆
定义
圆心O
性质
角度关系
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九上P92－P104；
北师：九下P89－P96；
华师：九下P46－P58.
点在圆外 d____r，如点A
点在圆上 d____r，如点B
点在圆内 d____r，如点C
点与圆的位置关系
(设圆的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d，如图①)
图①
＜
＞
=
直线与圆的位置关系
(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)
位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d____r d____r d____r
交点的个数 _____公共点 有且只有一个公共点 有____个公共点
示意图
两
＞
=
＜
没有
1. 直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”：若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；
2. 直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”：若已知条件中不确定与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长
切线长：如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线的性质与判定
性质定理：圆的切线______于过切点的半径(或直径)
判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法
垂直
切线长：如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长_____，这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角.如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，那么PA=____，∠APO=_______=____∠APB
图②
相等
平分
PB
∠BPO
定义：与三角形各边都相切的圆
圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的角平分线的交点)
性质：三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
角度关系：如图③，∠BOC=90°＋∠BAC
【满分技法】若△ABC的三边长分别为a，b，c，
内切圆的半径为r，则S△ABC=(a＋b＋c)r
三角形的内切圆
图③
课堂巩固·基础题练考点
点、直线与圆的位置关系
命题点
1
1. (人教九上习题改编)在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，O是BC
边上的中点.连接AO，以点O为圆心，r为半径作圆.
(1)若r＝3，则点A与☉O的位置关系是 ，直线AB与☉O
的位置关系是 ；
(2)若r＝4.8，则点A与☉O的位置关系是 ，直线AB与
☉O的位置关系是 ；
(3)若r＝8，则点A与☉O的位置关系是 ，直线AB与☉O
的位置关系是 .
点A在圆外
相离
点A在圆外
相切
点A在圆内
相交
切线的判定
命题点
2
2. (北师九下习题，华师九下习题改编)如图，在△ABC中，AB＝BC，
且点A，B在☉O上，圆心O在AC上，已知∠BAC＝30°.求证：直线
BC是☉O的切线.
证明：如解图，连接OB，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠C＝∠BAC＝30°，
∵OA＝OB，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝180°－∠C－∠BOC＝90°，
∵OB是☉O的半径，且BC⊥OB，
∴直线BC是☉O的切线.
解图
切线性质的相关证明与计算(7年5考)( 快答App·答疑
高频考点3 200次)
命题点
3
3. (北师九下习题改编)如图，△ABC内接于圆O，过C点的切线交AB延
长线于点D，求证：∠BCD＝∠A.
证明：如解图，作直径CF，连接BF，
∵ ＝ ，∴∠F＝∠A，
∵CD是☉O的切线，
∴FC⊥CD，即∠FCD＝90°，
∵CF是☉O的直径，∴∠FBC＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠BCF＝∠F，
∴∠BCD＝∠A.
解图
F
题后反思
1. 本题是“弦切角模型”：“弦与切线的夹角”等于“弦所对的圆周
角”；
2. 题中有一组相似三角形，你发现了吗？请证明：CD2＝BD·AD. (切割
线定理)
证明：∵∠BCD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△CBD∽△ACD，∴ ＝ ，
即CD2＝BD·AD.
4. (人教九上习题改编)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，AD与
过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，
连接AC，BC，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(1)证明：如解图①，连接OC，
∵DP是☉O的切线，∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
解图①
4.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，连接AC，BC，弦CE平分
∠ACB，交AB于点F，连接BE.
(2)求证：△PCF是等腰三角形；
(2)证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PD是☉O的切线，∴∠OCP＝90°，
∴∠BCP＝∠OCA＝∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAF＋∠ACF＝∠BCP＋∠BCF，
即∠CFP＝∠PCF，∴PC＝PF，即△PCF是等腰三角形；
4.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，连接AC，BC，弦CE平分
∠ACB，交AB于点F，连接BE.
(3)若tan∠ABC＝ ，BE＝7 ，求线段PC的长.
(3)解：如解图②，连接AE，OC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴ ＝ ，
∴AE＝BE，
解图②
又∵AB是☉O直径，∴∠AEB＝90°，
∴AB＝ BE＝ ×7 ＝14，
∴OB＝OC＝7，
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，∴ ＝ ，
∵tan∠ABC＝ ＝ ，∴ ＝ ，
设PB＝3x，则PC＝4x，
在Rt△POC中，(3x＋7)2＝(4x)2＋72，
解得x1＝0(舍去)，x2＝6，
∴PC＝4x＝4×6＝24.
解图②
切线长和切线长定理※
命题点
4
5. (人教九上习题改编)如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于点
E，F，G，且AB∥CD，若OB＝6 cm，OC＝8 cm，则BE＋CG的长
等于 cm.
10
【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∵AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，
∴BC＝ ＝10，
∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10(cm).
三角形的内切圆
命题点
5
6. (北师九下习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， sin ∠ABC
＝ ，☉O是△ABC的内切圆.分别与AC，AB，BC相切于点F，P，
E. 若BC＝4，则∠EPF＝ ，AP＝ .
60°
－1
【点拨】①如图，∠B＝30°，∠C＝60°，
②∠OEC＝∠OFC＝90°，∠EOF＝120°，
∠EPF＝ ∠EOF，
③四边形OFAP为正方形，设AF＝AP＝x，
则CE＝CF＝AC－x，BE＝BP＝AB－AP，
BC＝CE＋BE＝4.
【解析】∵ sin ∠ABC＝ ，∠A＝90°，∴∠B＝30°，∠C＝60°，如解图①，连接OE，OF，OP，∵☉O是△ABC的内切圆，分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠OEC＝∠OFC＝90°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝ ∠EOF＝60°；
∵BC＝4，∠B＝30°，∴AC＝ BC＝2，AB＝2 ，则OP⊥AB，OP＝OF，∵OF⊥AC，∠A＝90°∴四边形OFAP为正方形，
∴AF＝AP，设AF＝AP＝x，则CE＝CF＝AC－x＝
2－x，BE＝BP＝AB－AP＝2 －x，∴BC＝CE＋
BE＝2－x＋2 －x＝4，解得x＝ －1，即AP＝ －1.(共34张PPT)
第六章 圆
基础课32 与圆有关的计算
节前复习导图
圆锥的侧面展开图是扇形
弧长公式
面积公式
圆锥的相关
计算
圆的周长
扇形弧长
圆的面积
扇形的面积
底面圆周长、面积
侧面展开图圆心角
阴影部分面积的计算
与圆有关
的计算
规则图形
不规则图形
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九上P111－P120；
北师：九下P100－P102；
华师：九下P58－P64.
圆的面积：S=_____
扇形面积：S扇形=______=r l
弧长公式
面积公式
圆的周长：C=_____
扇形弧长：l=_____
2πr
πr2
(r为圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长)
1.r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S=_____，周长C=______
2.r为圆锥底面圆的半径，α为圆锥侧面展开图的扇形的圆
心角，l为母线长，则α=________
3.h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，
则r2＋___=l2
4.圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开图扇形的_____
圆锥的相关计算
弧长
πr2
2πr
h2
【满分技法】圆锥与扇形的关系：
1. 圆锥的侧面展开图是扇形；
2. 圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径
1.规则图形：直接用面积公式计算；
2.不规则图形：①割补法；②拼凑法；③等积转化法
注：实质是转化，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积或几个规则图形面积的和或差
阴影部分面积的计算
课堂巩固·基础题练考点
与弧长有关的计算(7年2考)
命题点
1
1. (北师九下习题改编)如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝
30，则 的长是( B )
A. 30π B. 25π
C. 20π D. 10π
B
2. 如图，用四个相同的小三角形拼成一个风车图形，设其中1个小三角形
的顶点分别为A，B，C，当风车顺时针转动30°时，线段AB扫过的面
积为 ，则点B运动的路径长为( A )
A
D. π
3. (2021河南14题3分)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，∠BAC＝
22.5°，则 的长为 .
4. (2020河南15题3分)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分
∠BOC交 于点D，点E为半径OB上一动点.若OB＝2，则阴影部分
周长的最小值为 .
【方法链接】线段最值问题见本书P118微专题10.
2 ＋
教材中的经典
◎经典问题 车轮为什么不能是正方形
(人教九上P118数学活动、北师九下P67读一读改编)当车轮设计成正方
形，转动过程如图，其轨迹是连续的形似“波浪线”，会非常的颠簸.以
车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是 ，已知车
轮的边长为2，求车轮转动一周时，中心转动的轨迹长.
解：根据题图可知，∠BAD＝90°，AB＝AD.
∵正方形车轮的边长为2，
∴AB＝ ×2＝ .
当车轮转动一周时，中心的轨迹为四个 ，
此时中心转动的轨迹长为 ×4＝2 π.
阴影部分面积的计算(7年5考)
命题点
2
方法一 直接公式法(2024.9)
满分技法
所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时，直接用面积公式进行
求解.
5. 如图，在△ABC中，∠A＝80°，BC＝12，D是BC的中点，分别以
B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中
阴影部分的面积是( D )
B. 5π
D. 10π
D
6. (人教九上活动，华师九下例题改编)如图，AB是☉O的切线，连接
OB交☉O于点C，若☉O的半径为2，∠B＝40°，连接OA，则图中阴
影部分的面积为( B )
B
7. (2024河南9题3分)如图，☉O是边长为4 的等边三角形ABC的外接
圆，点D是 的中点，连接BD，CD. 以点D为圆心，BD的长为半径
在☉O内画弧，则阴影部分的面积为( C )
C
B. 4π
D. 16π
方法二 等积法
满分技法
一、直接等面积转化(CD∥AB)
二、平移转化法(E，F分别为AB，CD的中点，AB＝2AD)
三、对称转化法(点D为AB的中点)
8. (2025驻马店驿城区三模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径
的☉O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝
45°，AB＝2，则阴影部分的面积为 .
【点拨】①如图，连接OE，OD，∠AEC＝90°，
BE＝CE，OE是△ABC的中位线，
②S△AOD＝S△AED，S阴影＝S扇形AOD .
【解析】如解图，连接OE，OD，∵AC为☉O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，OE＝OD＝ AB＝1，∴S△AOD＝S△AED，∴S阴影＝S扇形AOD，
∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，∴S阴影＝S扇形AOD＝ ＝ .
解图
9. (北师九下习题改编)如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA长为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE. 则图中阴影部分的面积为 .
一题多解法
解法一：【解析】如解图，设AB，DE交于点F，根
据题意可知BE＝AB. 在正方形ABCD中，∠FAD＝
∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠BEF，∴△ADF≌△BEF，
∴S阴影＝S阴影AEF＋S△ADF＝S阴影AEF＋S△BEF＝S扇形ABE＝ ＝ .
解图
F
解法二：【解析】在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，
∴BE＝1，∠ABE＝90°，BC＝CD＝1，
∴BE＋BC＝CE＝2，∴S阴影＝S扇形ABE＋S正方形ABCD－
S△DCE＝ ＋1×1－ ×2×1＝ .
解图
方法三 和差法(7年4考)
满分技法
一、直接和差法
所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减.
二、构造和差法
第一步：连半 径、构扇形 第二步：找和差 第三步：求解
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC 用公式法表示扇形、三
角形、特殊四边形的面
积，再进行加减运算
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－ S扇形COD 10. (2025河南14题3分)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注
时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形， 所在
圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与☉O相切于点 E，连接
BE，∠ABE ＝ 15°，连接OE交AB于点 F. 若AB＝ 4，则图中阴影部
分的面积为 .
π－2
【解析】∵ 所在圆的圆心为点O，边CD与☉O相切于点E，
∴OA＝OB＝OE，OE⊥CD，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝4，∴AF＝BF＝ AB＝2，
∵∠ABE＝15°，
∴∠AOE＝2∠ABE＝30°，∴OA＝2AF＝4，OF＝ AF＝2 ，
∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOF＝ － ×2 ×2＝ π－2 .
11. (北师九下习题改编)如图，四边形ABCD是一个边长为4的菱形，∠A
＝135°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，则阴影部分的面积为
.
6π－8
【解析】如解图，过点A作AE⊥BC于点E，在菱形
ABCD中，∵∠BAD＝135°，∴∠ABC＝45°，
∴AE＝ AB＝2 ，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝
4×2 ＝8 ，S扇形BAD＝ ＝6π，
∴S阴影＝S扇形BAD－S菱形ABCD＝6π－8 .
解图
E
12. (2019河南14题改编)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一
点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O交于点E. 若AB＝16，
∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 .
π－8
【解析】如解图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝
∠OCA＝30°，∴∠AOC＝120°，
∵AB＝16，∴OA＝ AB＝8，
∵OD⊥AC，∠OAD＝30°，∴OD＝4，AD＝4 ，∴AC＝2AD＝8 ，∴S阴影＝(S扇形AOC－S△AOC)× ＝(－ ×8 ×4)× ＝ π－8 .
解图
13. 如图，AB是☉O的直径，点D在AB的延长线上，DC与☉O相切，
切点为C，连接BC，若∠ACD＝120°，AB＝2，则图中阴影部分的面
积为 .
－
【点拨】①如图，∠ACB＝90°，∠BCD＝30°，
②∠DCO＝90°，∠BCO＝60°，
③S阴影＝S△OCD－S扇形BOC.
【解析】如解图，连接OC，∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝120°－90°＝30°，
∵DC与☉O相切，∴∠DCO＝90°，∴∠BCO＝60°，
∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，
∵AB＝2，∴OC＝1，在Rt△OCD中，∠D＝90°－60°＝30°，
∴OD＝2OC＝2，∴CD＝ ＝ ，
∴S阴影＝S△OCD－S扇形BOC＝ × ×1
－ ＝ － .
解图
14. (2022河南14题改编)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到
OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'.已知∠O＝90°，OA＝2.
图①中阴影部分的面积为 ；
图②中阴影部分的面积为 ；
π－
＋
图③中阴影部分的面积为 .
＋
【解析】如解图，设O'A'与 交于点C，连接OC，
∵点O'是OB的中点，∴OO'＝ OB＝ OA＝1，由平移可得∠CO'O＝90°，∴ cos ∠COO'＝ ＝ ，∴∠COO'＝60°，∴CO'＝ OO'＝ ，∴题图①中阴影部分面积为S阴影①＝S扇形BOC－S△COO'＝ － ×1× ＝ π－ ；S阴影②＝S扇形AOB－S阴影①＝
－(π－ )＝ ＋ ；根据平移的性质可得
S阴影③＝S阴影②＝ ＋ .
解图
方法四 容斥原理法
满分技法
当阴影部分是由几个图形叠加形成时，求解阴影部分面积需先找出叠加
前的几个图形，然后理清图形之间的重叠关系.
S阴影＝S扇形CAE＋S扇形CBD－S△ABC
15. (北师九下习题改编)分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半
径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形.如图，等边△ABC的边长为2，
则图中阴影部分的面积为 .
2π－3
【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，AD＝ BD＝ ，∴△ABC的面积为 BC·AD＝ ，S扇形BAC＝ ＝
π，∴S阴影＝3× π－3× ＝2π－3 .
解图
