(共17张PPT)
分层精讲本
2026河南数学
第三章 函 数
提升课18 二次函数与方程、
不等式的关系(数形结合)
拆解步骤、表述要点，精准把握得分点，理清思路不跑偏！
得分要点
动态呈现节前复习导图并超链接到对应知识点，帮助构建知识体系！
思维导图
模型类添加几何画板动图，抽象概念秒变直观，课堂添趣又增效！
几何画板动图
提供解题方向，分步引导，让难题变简单，提分更高效！
重难选填点拨
对接中招·多设问串核心
类型一 从图象交点→方程的解、不等式的解集[2021.22(2)]
例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点.
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为
；根据图象，写出不等式
ax2＋bx＋c＜0的解集为 ；
(2)方程ax2＋bx＋c＝5的解为 ；根据图象，写出不
等式ax2＋bx＋c＜5的解集 ；
x1＝－1，x2＝3
－1＜x＜3
x1＝－2，x2＝4
－2＜x＜4
一题多设问
(3)方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为 ；根据图象，写
出不等式ax2＋(b－k)x＋c－m＞0解集 .
温馨提示
(3)中不等式左边的形式上节课讲过，可以把两个函数分离出来试试喔！
x1＝－2，x2＝3
x＜－2或x＞3
满分技法
二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋b1的交点问题
当k≠0(以k＞0为例)时，如图①所示，当k＝0时，如图②所示.
1. 当k≠0时，方程ax2＋bx＋c＝kx＋b1的解为x1＝m，x2＝n；
当k＝0时，方程ax2＋bx＋c＝b1的解为x1＝p，x2＝q；
2. 当k≠0时，不等式ax2＋bx＋c＞kx＋b1的解集为x＞m或x＜n；
当k＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞b1的解集为x＞p或x＜q；
3. 当k≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜kx＋b1的解集为＝n＜x＜m；
当k＝0时，不等式ax2＋bx＋c＜b1的解集为＝q＜x＜p；
类型二 从方程的形式→联想函数图象交点
例2 (北师九下做一做改编)不解方程，请根据图象直接写出下列方程或
方程组的解.
(1)如图①，方程x2－2x－3＝0的解为 ；
x1＝－1，x2＝3
思路点拨
在(1)中，我们分别将方程等号左边、右边的代数式用y1＝x2－2x－3和y2＝0来表示，那么解方程问题可看作二次函数y1与x轴的交点问题，试着讨论一下(2)(3)小问可以转化成哪两个函数的交点问题.
(2)如图②，方程x2－2x＝3的解为 ；
x1＝－1，x2＝3
(3)如图③，方程x2＝2x＋3的解为 .
x1＝－1，x2＝3
思路点拨
解：(2)可看作二次函数y1＝x2－2x与y2＝3的交点问题；(3)可看作二次函
数y1＝x2与一次函数y2＝2x＋3的交点问题.
课堂巩固·中等题固考法
类型一 从图象交点→方程的解、不等式的解集[2021.22(2)]
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x与函数y的部分对应值
如表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 m …
(1)方程ax2＋bx＋c＝n无解，则n的取值范围是 ；
n＜－4
【解析】∵方程ax2＋bx＋c＝n无解，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象与直线y＝n没有交点，
∵二次函数图象的开口向上，顶点坐标是(1，－4)，∴n＜－4.
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c＞5的解集为 .
【解析】∵ax2＋bx＋c＞5，∴该部分二次函数的图象在直线y＝5的上
方，由题易得m＝5，∴二次函数的图象过点(－2，5)和(4，5)，二次函数
图象的开口向上，∴x＜－2或x＞4，即关于x的不等式ax2＋bx＋c＞5
的解集为x＜－2或x＞4.
x＜－2或x＞4
【点拨】①由表可知二次函数图象的开口向上，
②根据对称性可知m＝5.
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 m …
2. 如图，二次函数y＝x2－5x＋6的图象与x轴交于点A，B(点A在点B
的左侧)，与y轴交于点C，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点B，C.
(1)求一次函数的表达式；
解：(1)∵函数y＝x2－5x＋6的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，
令y＝0，得x2－5x＋6＝0，
解得x1＝2或x2＝3，
∴B(3，0)，
当x＝0，得y＝6，
∴C(0，6)，
将B(3，0)，C(0，6)代入一次函数表达式y＝kx＋b(k≠0)中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6；
2.如图，二次函数y＝x2－5x＋6的图象与x轴交于点A，B(点A在点B
的左侧)，与y轴交于点C，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点B，C.
(2)当0≤x≤3时，对于x的每一个值，函数y＝－2x＋b(b为常数)的值大
于函数y＝x2－5x＋6的值，直接写出b的取值范围.
解：(2)b＞6.
【解法提示】由题意知，y＝－2x＋b的图象与直线BC平行，如解图，当0≤x≤3时，对于x的每一个值，－2x＋b＞x2－5x＋6，
∴b的取值范围为b＞6.
解图
类型二 从方程的形式→联想函数图象交点
3. (华师九下习题改编)已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝
0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，
x4(x3＜x4).试比较x1，x2，x3，x4的大小.
解：如解图，关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解
为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m的交点的横坐
标，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝n的交点的横坐标，由解图可知，x1＜x3＜x4＜x2.
解图
4. 如图，抛物线y＝－ax2＋mx过点A(－1，－3)和点B(2，0).
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
解：(1)∵抛物线y＝－ax2＋mx过点A(－1，－3)和点B(2，0)，
∴将点A(－1，－3)和点B(2，0)代入y＝－ax2＋mx中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴顶点坐标为(1，1)；
4. 如图，抛物线y＝－ax2＋mx过点A(－1，－3)和点B(2，0).
(2)若关于x的方程－ax2＋mx＝n在－1≤x≤2的范围内只有一个实数根
或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围.
解：(2)－3≤n＜0或n＝1.
【解法提示】依题意可得，抛物线y＝－x2＋2x与直线y
＝n在－1≤x≤2的范围内只有一个交点.如解图，当－
3≤n＜0时，直线y＝n与抛物线y＝－x2＋2x始终有一
个交点；当直线y＝n经过抛物线顶点时，直线y＝n与
抛物线y＝－x2＋2x有一个交点，∴n的取值范围为－
3≤n＜0或n＝1.
解图
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第三章 函 数
基础课15 二次函数的图象与性质
节前复习导图
二次函数的
图象与性质
根据函数表达式
判断函数性质
定义
开口方向
图象（草图）
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九上P27－P57；
北师：九下P28－P63；
华师：九下P1－P34.
根据函数表达式判断函数性质
定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象(草图)
对称轴 －
根据函数表达式判断函数性质
定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象(草图)
顶点坐标 1.直接运用顶点坐标公式(______，________)求解； 2.运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则顶点坐标为
(h，k)； 3.将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应y0
－
根据函数表达式判断函数性质
定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象(草图)
增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而_____；在对称轴右侧，y随x的增大而_____ a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而_____；在对称轴右侧，y随x的增大而_____
最值
减小
增大
增大
减小
课堂巩固·基础题练考点
二次函数的概念及图象位置(2025.22)
命题点
1
1. (北师九下习题改编)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下
表：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 8 5 4 5 8 …
(1)猜想抛物线的开口向 (填“上”或“下”)，抛物线与坐标轴的交
点情况为 ，
在如图所示的直角坐标系中作出该函数的图象；
解:画出函数图象如解图；
解图
上
抛物线与x轴没有交点，与y轴交于点(0，5)
(2)根据点的坐标特征可知，当x＝0时，c＝ ，当x＝1时，a＋b＋
c＝ ，结合对称轴为直线x＝－ ＝ ，可得a＝ ，b
＝ .
5
8
－1
1
2
解图
温馨提示
在画二次函数的图象时通常采用五点法，常用的点有顶点和关于对称轴
对称的两组点(一般选与x轴的两个交点，与y轴的交点及其关于对称轴的
对称点).
对称性(7年3考)
命题点
2
类型一 求对称轴及顶点坐标
2. 抛物线y＝－x2＋4x＋1的对称轴为直线 ，顶点坐标为
.
3. 抛物线y＝ax2＋2ax＋a－3(a≠0)的对称轴为直线 ，顶点
坐标为 .
x＝2
(2，5)
x＝－1
(－1，－3)
4. (2019河南8题改编)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)
两点，则该抛物线的对称轴为直线 ，n的值为 .
【解析】∵抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，∴抛物
线的对称轴为直线x＝1，∴ ＝1，∴b＝2，∴y＝－x2＋2x＋4，将点
(－2，n)代入，得n＝－4.
x＝1
－4
类型二 利用对称性求点坐标或字母的值
5. (1)已知抛物线y＝ax2经过点(1，－2)，则该点关于抛物线的对称轴对
称的点的坐标为 ；
【解法提示】∵抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，∴点(1，－2)关于抛物线
的对称轴对称的点的坐标为(－1，－2).
(－1，－2)
(2)若抛物线y＝a(x－5)2＋3(a≠0)与x轴的一个交点为(2，0)，求该抛物
线与x轴的另一个交点坐标；
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝5，且与x轴的一个交点坐标为(2，0)，
∴点(2，0)关于对称轴直线x＝5对称的点的坐标为(8，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(8，0)
(3)若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行
线，交抛物线于点B，求点B的坐标；
解：令x＝0，则y＝1，
∴A(0，1)，
∵－ ＝1，由题意得，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，
∴点B的坐标为(2，1)
(4)已知抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B均在抛物线上，且两点
的纵坐标相等(点A在点B的左侧)，若AB＝4，求点A与点B的横坐标.
解：抛物线的对称轴为直线x＝1，AB＝4，点A在点B左侧，
∴点A的横坐标为1－2＝－1，点B的横坐标为1＋2＝3.
满分技法
1. 抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线.
(1)y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称；
(2)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x＝h对称；
(3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x＝－ 对称；
(4)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x＝ 对称.
2. 抛物线上纵坐标相同的两点必关于抛物线的对称轴对称，可根据对称
轴与其中一点坐标求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标.
增减性(7年3考)
命题点
3
满分技法
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：d相等，
y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大.
类型一 利用增减性比较大小
6. 已知抛物线y＝x2＋4x＋1.
(1)若抛物线经过(－1，y1)和(2，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”
或“＝”)；
(2)若抛物线经过(－3，y1)和(1，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”
或“＝”)；
(3)若抛物线经过(－6，y1)，(－5，y2)和(0，y3)三点，则y1，y2，y3的大
小关系为 (用“＜”连接)；
＜
＜
y3＜y2＜y1
拓展设问
(4)若抛物线经过(－1，y1)和(m，y2)两点，且y1＜y2，求m的取值范围.
解：∵抛物线y＝x2＋4x＋1的对称轴为直线x＝－2，
∴点(－1，y1)关于对称轴对称的点为(－3，y1)，
∵抛物线开口向上，
∴当x＜－2时，y随x的增大而减小，当x＞－2时，y随x的增大而增
大，
∵y1＜y2，
∴m＜－3或m＞－1.
类型二 利用增减性求取值范围
7. 如图，已知抛物线y＝x2－2x－1.
(1)函数值y的取值范围是 ，当－3≤x≤0时，
函数值y的取值范围是 ；
【解析】∵该抛物线对称轴为直线x＝－ ＝1，且抛物线开口向上，
∴抛物线在x＝1处取得最小值，最小值为y＝－2，∴函数值y的取值范
围为y≥－2；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴－3≤x≤0在对称轴左
侧，此时y随x的增大而减小，∵当x＝－3时，y＝14，当x＝0时，y＝
－1，∴当－3≤x≤0时，函数值y的取值范围是－1≤y≤14.
y≥－2
－1≤y≤14
(2)当－2＜x≤3时，函数值y的取值范围是 ；
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，－2＜x≤3，
∴当x＝1时，抛物线有最小值，最小值为y＝－2，
∵1－(－2)＝3＞3－1＝2，且当x＝－2时，y＝7，
∴当－2＜x≤3，函数值y的取值范围是－2≤y＜7.
－2≤y＜7
(3)若抛物线的函数值为2＜y＜3，则x的取值范围是
；
【解析】当y＝2时，解得x＝－1或x＝3，当y＝3时，解得x＝1－ 或
x＝1＋ ，∵抛物线开口向上，∴x的取值范围是1－ ＜x＜－1或3
＜x＜1＋ .
1－ ＜x＜－1或
3＜x＜1＋
(4)若点A，B是抛物线上两点(点A，B均在抛物线的对称轴右侧)，且到
对称轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为抛物线上点
A，B之间(含点A，B)的一个动点，则点Q的纵坐标yQ的取值范围
为 .
【解析】∵抛物线对称轴为直线x＝1，点A，B到对称轴的距离分别为
2，3，且点A，B均在对称轴右侧，∴点A，B的横坐标
分别为3，4，当x＝3时，y＝2，当x＝4时，y＝7，
∴当3≤x≤4时，yQ的取值范围为2≤yQ≤7.
2≤yQ≤7
题后反思
若将(4)中的条件“点A，B均在对称轴右侧”改为“点A在点B的左侧”，求点Q的纵坐标yQ的取值范围.
解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，顶点(1，－2)，点A，B为抛物线上两
点(点A在点B的左侧)，且到对称轴的距离分别为2个单位长度和3个单位
长度，
∴点A的横坐标为－1或3，点B的横坐标为4，
∴点A的坐标为(－1，2)或(3，2)，点B的坐标为(4，7)，
∵点Q为抛物线上点A，B之间(含点A，B)的一个动点，
∴当A，B在对称轴的同侧时，2≤yQ≤7；
当A，B在对称轴的两侧时，－2≤yQ≤7，
∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为－2≤yQ≤7.
最值(2025.22)
命题点
4
8. 如图①，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.
(1)当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是 ，
当－2≤x≤2时，函数值y的最小值是 ；
【解析】∵抛物线y＝－x2＋2x＋3，∴抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝1，∴当－2≤x≤0时，y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y取得最大值，最大值为3；
当－2≤x≤2，且1－(－2)＞2－1，
∴当x＝－2时，y取得最小值，最小值为－5.
3
－5
(2)将抛物线向上平移a个单位后，函数值y的最大值为8，则a＝ ；
【解析】∵抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴当x＝1时，y的最大值为4，
∵将抛物线向上平移a个单位后，函数值y的最大值为8，
∴a＝4.
4
(3)当m≤x≤m＋2时，函数值y的最大值为3，则m的值为 .
【解析】∵抛物线开口向下，∴当x＝1时，y有最大值，
最大值为4.∵m≤x≤m＋2时，抛物线有最大值为3，
∴x的取值范围一定在抛物线对称轴的左边或右边，
①当m≥1时，抛物线在x＝m处取得最大值，即－m2＋2m＋3＝3，解得m＝0(舍去)或m＝2；②当m＋2≤1时，即
m≤－1，抛物线在x＝m＋2处取得最大值，即－(m＋1)2＋4＝3，解得m＝0(舍去)或m＝－2；
综上所述，m的值为2或－2.
2或－2
题后反思
(2025河南22题考法)如图②，将抛物线沿x轴平移n个单位长度得到新的抛物线，当2≤x≤4时，新抛物线的最大值为2，求平移后的抛物线表达式.
解：得原抛物线为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
设平移后新抛物线的表达式为y＝－(x－1－m)2＋4，
其对称轴为直线x＝1＋m，
①当1＋m≤2，即m≤1时，x的取值范围在对称轴右侧，
此时，抛物线在x＝2时取得最大值，
则－(2－1－m)2＋4＝2，
解得m1＝1＋ (舍去)，m2＝1－ ，
此时新抛物线的表达式为y＝－(x－1－1＋ )2＋4＝
－(x－2＋ )2＋4＝－x2＋(4－2 )x＋(4 －2)；
②当2＜1＋m≤4，即1＜m≤3时，
此时，抛物线在x＝1＋m时取得最大值，最大值为4，不符合题意；
③当1＋m＞4，即m＞3时，x的取值范围在对称轴左侧，
此时，抛物线在x＝4时取得最大值，
则－(4－1－m)2＋4＝2，
解得m3＝3－ (舍去)，m4＝3＋ ，
∴新抛物线的表达式为y＝－(x－1－3－ )2＋4＝
－x2＋(8＋2 )x－(8 ＋14).
综上所述，平移后的抛物线表达式为y＝－x2＋(4－2 )x＋(4 －2)
或y＝－x2＋(8＋2 )x－(8 ＋14).
9. (2025许昌二模)已知抛物线y＝x2－2mx＋2m－4的顶点为P，点
A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的任意两点.
(1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式；
解：(1)由条件可得2m－4＝0，
解得m＝2，
∴当抛物线经过原点时，抛物线的表达式为y＝x2－4x；
9.已知抛物线y＝x2－2mx＋2m－4的顶点为P，点A(x1，y1)，B(x2，y2)
是抛物线上的任意两点.
(2)求点P到x轴距离的最小值；
解：(2)将抛物线表达式配方得y＝x2－2mx＋2m－4＝(x－m)2－m2＋
2m－4，
∴其顶点为P(m，－m2＋2m－4)，
当点P位于x轴下方时，－m2＋2m－4＜0，
∴点P到x轴的距离为h＝｜－m2＋2m－4｜＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋
3，
由条件可知当m＝1时，h取得最小值3，
即点P到x轴距离的最小值为3；
9.已知抛物线y＝x2－2mx＋2m－4的顶点为P，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的任意两点.
(3)若对于－1≤x1≤0，3≤x2≤4，总有y1＞y2，请直接写出m的取值
范围.
解：(3)m＞2.
【解法提示】∵抛物线y＝x2－2mx＋2m－4＝(x－m)2－m2＋2m－
4，开口向上，对称轴为直线x＝m，∴当x＜m时，y随x的增大而减
小，当x＞m时，y随x的增大而增大，由条件可知m－0＞4－m，解得
m＞2.(共20张PPT)
第三章 函 数
基础课10 函数概念及新函数
节前复习导图
函数概念
及新函数
函数的概念
函数的表示
方法及画法
函数自变量
的取值范围
函数值
含有分式
含有二次根式
含有分式+二次根式
表示方法
画法
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七下P63－P86，八下P71－P85；
北师：七下P61－P79，八上P53－P73、P75－P78；
华师：八下P28－P42.
表示方法：列表法、_________、图象法
画法：列表→描点→连线
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量
函数值：y是x的函数，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
函数的表示方法及画法
表达式法
函数表达式的形式 自变量的取值范围 【温馨提示】在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义
含有分式 ____________ 含有二次根式 ____________ 含有分式＋二次根式 ____________ ____________ 函数自变量的取值范围
x≥0且x≠1
x≠2
x≥0
x＞0
课堂巩固·基础题练考点
函数的概念及表示方法
命题点
1
1. (人教八下习题改编)下列图象中，不能表示y是x的函数的是( D )
D
2. (北师八上习题改编)已知一个函数经过A(2，3)，B(3，3)，C(2，2)中
的两点，则不可能同时经过 .
A，C
函数自变量的取值范围
命题点
2
3. (人教八下习题改编)在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是
.
x＞－
【点拨】二次根式需同时满足
A. 汽车以80 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)
与行驶时间x(h)之间的关系
B. 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系
C. 电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系
D. 有一个棱长为x的正方体，则它的表面积S与棱长x之间的函数关系
读取函数图象信息
命题点
3
4. 下列四个问题中，都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系
可以用如图所示的图象表示的是( A )
A
【解析】选项A. y＝80x，属于正比例函数，两个变量之间成正比例函数关系，符合题意；选项B. y＝πx2，属于二次函数，两个变量之间不成正比例函数关系，不符合题意；选项C. 电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系为I＝ ，电流I与电阻R之间的关系是反比例函数关系，不符合题意；选项D. S＝6x2，属于二次函数，两个变量之间不成正比例函数关系，不符合题意.
5. 老师给出了甲，乙，丙，丁四种液体，并让同学们根据物理学知识m
＝ρV计算其密度，四种液体的质量与体积如图所示，其中密度最大的
是( C )
C
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
【解析】由题图知，当V甲＝V丙＝V1时，m丙＞m甲，由m＝ρV，得ρ＝ ，∴ρ丙＞ρ甲，同理可得ρ丁＞ρ乙，当m丙＝m丁＝m1时，V丁＞V丙，∴ρ丁＜ρ丙，综上所述，四种液体中密度最大的是丙.
新函数性质探究(7年2考)
命题点
4
类型一 数学情境(2020.22)
6. (人教八下习题改编)某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函
数y＝2｜x－1｜－2的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充
完整.
(1)下表列出了部分研究数据：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 6 a 2 0 －2 b 2 4 …
上表中，a＝ ，b＝ ；
【解法提示】将x＝－2代入y＝2｜x－1｜－2中，得y＝4，即a＝4；将x＝2代入y＝2｜x－1｜－2，得y＝0，即b＝0.
4
0
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的
点，并画出该函数图象；
解：描点，画出函数图象如解图；
解图
(3)结合函数图象，写出该函数的一条性质：
；
(4)进一步探究函数图象：
①函数图象与x轴有 个交点，则方程2｜x－1｜＝2有 个实
数根；
②函数图象与直线y＝－2有 个交点，则方程
2｜x－1｜＝0有 个实数根；
③关于x的方程2｜x－1｜－2＝c无实数根，则c的
取值范围为 ；
函数图象关于直线x＝1对
称(答案不唯一)
2
2
1
1
c＜－2
解图
④不等式2｜x－1｜－2≥0的解集为 .
【解法提示】∵函数图象与x轴交于点(0，0)，(2，0)，∴由图象可得当
2｜x－1｜－2≥0时，x≤0或x≥2.
x≤0或x≥2.
解图
类型二 真实问题情境(2019.21)
7. 化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微
生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性
质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量.某科研团队分析了化肥使
用量与某农作物产量之间的关系.部分内容如下：
种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷；
种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y(吨/公顷)，化肥的使
用总量为x(吨/公顷).记录的部分实验数据如下：
x/(吨/ 公顷) 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3
y/(吨/ 公顷) 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8
根据以上实验数据，解决下列问题：
(1)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出y关于x的函数图象；
解：画出y关于x的函数图象如解图；
解图
(2)若将(1)中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为
；
(0，15)
(3)若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在.
①结合已知数据，该农作物每公顷的产量最多相差 吨(结果保留1
位小数)；
②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式
二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地
化肥的使用总量需控制在 (吨/公顷)至
(吨/公顷)范围内(结果保留整数).
28.4
4
10
解图(共40张PPT)
第三章 函 数
提升课14 反比例函数综合题
对接中招·多设问串核心
类型一 反比例函数与几何图形结合
(近5年连续考查)
例1 已知A(1，2)是反比例函数y＝ (k≠0)的图象上一点.
(1)(k的几何意义)如图①，△ABC的底边AB⊥y轴，顶点C在x轴上，则△ABC的面积为 ；
1
图①
【解法提示】∵点A(1，2)是反比例函数y＝ (k≠0)的图
象上的一点，∴k＝1×2＝2，∵AB⊥y轴，
∴S△ABC＝ ｜k｜＝1.
一题多设问
【方法链接】运用k的几何意义求几何图形面积的方法见本书P30基础课
13 反比例函数的图象与性质.
(2)(k的几何意义)如图②， ABCD的顶点C在反比例函数y＝ 的图象
上，且点A与点C关于原点对称，CB⊥x轴于点B，则 ABCD的面积
为 ；
4
【解法提示】如解图①，连接AC，∵点A(1，2)与点C关于原点对称，∴AC过原点O，∵四边形ABCD是平行四边形，CB⊥x轴，∴AD⊥x轴，
∴S ABCD＝4S△AOD＝4× ＝2｜k｜＝4.
解图①
题后反思
反比例函数关于O点中心对称，也关于直线y＝±x对称.因此，若遇到
同样对称的图形计算时，可计算局部，利用对称性进行计算即可.
(3)(2025河南18题考法)如图③，含45°的三角板OBC的直角边OB在y轴
上，∠OBC＝90°，OB＝3，将△OBC绕点O顺时针旋转90°得到
△ODE，BC边上一点M的对应点N恰好落在反比例函数图象上，则点
M的坐标为 ；
(－ ，3)
图③
【解法提示】由旋转的性质可得，OD＝OB＝3，当x＝3时，y＝ ，∴DN＝ ，
∴BM＝ ，∴点M的坐标为(－ ，3).
(4)(和差法)如图④，点P在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，且AP∥x
轴，PB⊥x轴于点B，则四边形PAOB的面积为 ；
图④
2
【解法提示】如解图②，延长PA交y轴于点C，
∵AP∥x轴，∴AC⊥y轴，
∵点A在函数y＝ (x＞0)的图象上，
∴S△ACO＝ ×2＝1，
∵PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴，点P在函数y＝ (x＞0)的图象上，∴S矩形OBPC＝3，
∴S四边形PAOB＝S矩形OBPC－S△ACO＝3－1＝2.
解图②
C
例1 已知A(1，2)是反比例函数y＝ (k≠0)的图象上一点.
(5)(和差法)(2021河南18题考法)如图⑤，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝ 的
图象与大正方形的一边交于点A，且经过小正方形的顶点B，求图中阴影部分的面积；
图⑤
解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A(1，2)，
∴k＝1×2＝2，
由题设点B的坐标为(t，t)，
代入y＝ 中，得t＝ ，
∴t＝ (负值已舍去)，
∴B(， )，
则小正方形边长为2 ，大正方形边长为4，
∴S阴影＝S大正方形－S小正方形＝42－(2 )2＝8
图⑤
例1 已知A(1，2)是反比例函数y＝ (k≠0)的图象上一点.
(6)(2024河南18题考法)如图⑥，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于
点E，点C(3，1)，将矩形ABCD沿x轴负方向平移m个单位长度，当点
E恰好落在反比例函数图象上时，求m的值.
图⑥
解：∵A(1，2)，C(3，1)，
∴E(2， )，
∵将矩形ABCD沿x轴负方向平移m个单位长度，
∴平移后的点E的坐标为(2－m， )，
∵点E恰好落在反比例函数图象上，
∴ ＝ ，
解得m＝ .
图⑥
变式
(代数法)如图，若点A的坐标不固定，矩形ABCD的BC边在x轴上，E是
对角线AC的中点，点A，E均在反比例函数y＝ 的图象上，求矩形
ABCD的面积.
解：如解图，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵∠ABC＝90°，E是对角线AC的中点，
∴EF＝ AB，BF＝CF，设点A(a， )，
∴OB＝a，AB＝ ，∴EF＝ ，将y＝ 代入y＝ 中，
得x＝2a，
∴OF＝2a，CF＝BF＝a，
∴BC＝2a，∴S矩形ABCD＝2a· ＝4.
解图
∟
F
类型二 反比例函数与一次函数结合
例2 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b(k1≠0)的图象
与反比例函数y＝ (k2≠0，x＞0)的图象分别交于点A(2，m)，
B(4，3).
(1)反比例函数的表达式为 y＝ ，一次函数的表达式为
x
；
y＝
y＝－ x＋9
图①
【解法提示】将点B(4，3)代入y＝ (k2≠0)中，得 ＝3，解得k2＝
12，∴反比例函数的表达式为y＝ ，将点A(2，m)代入y＝ 中，得m
＝6，∴A(2，6)，将点A(2，6)，B(4，3)分别代入y＝k1x＋b(k1≠0)
中，得 ，解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝－ x＋9.
图①
(2)根据图象写出当k1x＋b＞ 时，x的取值范围为 ；
2＜x＜4
图①
(3)连接OA，OB，求△AOB的面积；
解：如解图①，设一次函数y＝－ x＋9交x轴于点D，交y轴
于点E，
由(1)可知，A(2，6)，B(4，3)，
令x＝0，则y＝9，令y＝0，则x＝6，
∴E(0，9)，D(6，0)，
∴S△AOB＝S△EOD－S△AOE－S△BOD＝
×6×9－ ×9×2－ ×6×3＝9
解图①
图①
(4)在y轴上是否存在一点C，使得AC＋BC的值为6？若存在，请求出C
点坐标，若不存在，请说明理由；
解：不存在，理由如下：
如解图②，作点A关于y轴的对称点A'，在y轴上取一点C，
连接AC，A'C，BC，连接A'B交y轴于点C'，则AC＝
A'C，
∵点A的坐标为(2，6)，
∴点A'的坐标为(－2，6)，
解图②
图①
∵B(4，3)，
∴A'B＝ ＝3 ，
∵AC＋BC＝A'C＋BC≥A'B，
∴AC＋BC的最小值为3 ，
∵3 ＞6，
∴y轴上不存在一点C，使得AC＋BC的值为6
解图②
【方法链接】线段最值问题见本书P118微专题10.
(5)如图②，一次函数y＝k1x＋b(k1≠0)的图象与x轴交于点M，与y轴
交于点N，求证：AN＝BM.
证明：如解图③，过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作
BQ⊥y轴于点Q，AP交BQ于点G，连接PQ，
由(1)可知点A(2，6)，B(4，3)，
∴AP＝6，PG＝3，BQ＝4，GQ＝2，
∴AG＝AP－PG＝3，BG＝BQ－GQ＝2，
∴ ＝ ＝1，
解图③
Q
P
∵∠PGQ＝∠AGB，
∴△PGQ∽△AGB，
∴∠GPQ＝∠GAB，
∴PQ∥AB，
∵AP∥y轴，BQ∥x轴，
∴四边形APQN和四边形BQPM是平行四边形，
∴AN＝PQ，BM＝PQ，
∴AN＝BM.
解图③
Q
P
题后反思
如图③，对于任意的一次函数与反比例函数图象相交，均会形成等线段
AN＝BM，试着证明一下吧！
图③
解：当一次函数与反比例函数的交点在同一象
限内时，以交点在第一象限为例，如解图④，
当一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数
y＝ 的图象交于A，B两点，与x轴，y轴
分别交于点M，N，求证：AN＝BM.
解图④
证明：如解图④，过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作
BQ⊥y轴于点Q，AP交BQ点G，连接PQ，
设点A(a， )，点B(b， )，
∴AP＝ ，PG＝ ，BQ＝b，GQ＝a，
∴AG＝AP－PG＝ － ，BG＝BQ－GQ＝b－a，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠PGQ＝∠AGB，
解图④
∴△GPQ∽△GAB，
∴∠GPQ＝∠GAB，
∴PQ∥AB，
∵AP∥y轴，BQ∥x轴，
∴四边形APQN和四边形BQPM是平行四边形，
∴AN＝PQ，BM＝PQ，
∴AN＝BM.
解图④
当一次函数与反比例函数的交点在不同象限内时，以交点在第一、三象
限为例，如解图⑤，当一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数y＝ 的
图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于点M，N，求证：AN＝
BM.
解图⑤
证明：如解图⑤，过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作
BQ⊥y轴于点Q，两直线交于点G，连接PQ，
设点A(a， )，点B(b， )，
∴AP＝－ ，PG＝ ，BQ＝b，GQ＝－a，
∴AG＝AP＋PG＝ － ，BG＝BQ＋GQ＝b－a，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠G＝∠G，
解图⑤
∴△GPQ∽△GAB，
∴∠GPQ＝∠GAB，
∴PQ∥AB，
∵AP∥y轴，BQ∥x轴，
∴四边形APQN和四边形BQPM是平行四边形，
∴AN＝PQ，BM＝PQ，
∴AN＝BM.
解图⑤
课堂巩固·中等题固考法
类型一 反比例函数与几何图形结合
(近5年连续考查)
1. 如图，小强用四个全等的直角三角形拼成了一个“飞镖”
图案，在平面直角坐标系中，“飞镖”图案的中心与坐标原点重合，
Rt△AOB是四个全等三角形中的一个，∠AOB＝90°，
反比例函数y＝ (k≠0)的图象过点A(2 ，2).
(1)求反比例函数的表达式；
解：(1)∵反比例函数y＝ 的图象过点A(2 ，2)，
∴k＝2 ×2＝4 ，
∴反比例函数的表达式是y＝ ；
“飞镖”图案的中心与坐标原点重合，Rt△AOB是四个全等三角形中的
一个，∠AOB＝90°，反比例函数y＝ (k≠0)的图象过点A(2 ，2).
(2)C，D，E分别为其他三个全等三角形的一个顶点，连接BC，CD，
DE，BE，若OA＝2OB，求图中阴影部分的面积.
解：(2)如解图，过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A(2 ，2)，∴OH＝2 ，AH＝2，
∴OA＝ ＝4，
∵OA＝2OB，∴OB＝ OA＝2，
由全等三角形的性质得OE＝OB＝2，
∴AE＝OA－OE＝2，
∴S△ABE＝ AE·OB＝2，
∴S阴影＝4S△ABE＝8.
解图
教材中的经典
◎经典方法 反比例函数图象与三等分角
(北师九上P156读一读改编)我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从
而可以把一个角四等分、八等分…，那么，能否用尺规三等分一个任意
角呢？直到1873年，数学家证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成
的.如下，在研究这个问题的过程中，希腊数学家给出了一种证法，尝试
证明一下吧！
如图①，已知A(1，m)，B是反比例函数y＝ (x＞0)图象上的两点，过
点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，两直线交于点C，连接AB，
OA，OC.
(1)求m的值；
解：(1)∵反比例函数y＝ (x＞0)的图象过点A(1，m)，
∴m＝ ＝2，
即m的值为2；
如图①，已知A(1，m)，B是反比例函数y＝ (x＞0)图象上的两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，两直线交于点C，连接AB，OA，OC.
(2)若AB＝2OA，D为x轴正半轴上一点，求证：∠AOD＝3∠COD.
以下是小军的证明过程：
证明：如图②，过点A作AE⊥AC交OC于点E，
连接BE，
设点B的坐标为(n， )，则C(n，2)，
∴直线OC的函数表达式为y＝ x，∴E(1， )，
∴BE∥x轴，∴AE⊥BE，
易证得四边形AEBC是矩形.
…
请将小军的证明过程补充完整.
解：(2)补充过程如下：
如解图，设AB，CE交于点F，
∴AB＝2AF，AF＝CF，
∴∠CAF＝∠ACF，∴∠AFO＝2∠ACF，
∵AB＝2OA，∴OA＝AF，
∴∠AOC＝∠AFO＝2∠ACF，
∵AC∥x轴，∴∠COD＝∠ACF，
∴∠AOC＝2∠COD，
∴∠AOD＝3∠COD.
解图
F
类型二 反比例函数与一次函数结合
2. 如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且BD＝CD. 若△AOB的面积为4，则k的值为 .
一题多解法
【点拨】①过点B作BE⊥x轴于点E，
②AC＝BD＝CD，∴S△BDO＝S△CDO
＝S△ACO＝ S△AOB，
③△BED≌△COD，∴S△BEO＝S△BCO＝ .
E
解法一：【解析】∵一次函数y＝ax＋b的图象与y轴交于点C，与x轴
交于点D，∴C(0，b)，D(－ ，0)，
∵BD＝CD，∴D为BC的中点，∴B(－ ，－b)，
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝ ，联立y＝ 与y＝ax＋b，得ax2＋bx－k＝0，∴xA＋xB＝－ ，∴xA＝ ，
∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC＝ b· ＋ b· ＝4，
即 ＝4，∴ ＝ ，∴k＝ ＝ .
解法二：【解析】如解图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵BD＝CD，∴AC＝BD＝CD，∴S△BDO＝S△CDO＝S△ACO＝ S△AOB＝ ，
∵∠BED＝∠COD，∠BDE＝∠CDO，
∴△BED≌△COD，∴S△BEO＝S△BCO＝ ，
∴｜k｜＝2S△BEO＝ ，
∵反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，∴k＝ .
解图
回顾思考
选填题可尝试用本节例2第(5)问的结论做一做！是不是很快就解出来了？(共30张PPT)
第三章 函 数
提升课19 函数的实际应用
类型一 费用、利润问题(近7年连续考查)
典例精讲
例 近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结
合，频频出圈，在隋唐洛阳城应天门遗址广场，文创门店以“洛
阳”“河南”等文字为形状，激光雕刻出的立体文字冰箱贴，磨砂质感
简约高级.某工艺品店计划两次购进A、B两款冰箱贴的数量及花费如下
表：
A款(个) B款(个) 总花费(元)
第一次 10 20 850
第二次 8 10 560
(1)求A、B两款冰箱贴每个进价各为多少元；
一题多设问
A款(个) B款(个) 总花费(元)
第一次 10 20 850
第二次 8 10 560
解：(1)设每个A款冰箱贴的进价为a元，每个B款冰箱贴的进价为b元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：每个A款冰箱贴的进价为45元，每个B款冰箱贴的进价为20元；
(2)若A、B两款冰箱贴共购进30个，总花费为y元，其中A款冰箱贴m
个，且购进的A款冰箱贴的数量不少于B款的一半，则需要怎样进货，才
能最省钱？
解：(2)∵购进A款冰箱贴m个，∴购进B款冰箱贴(30－m)个，
根据题意，得y＝45m＋20(30－m)＝25m＋600，
由题意得m≥ (30－m)，解得m≥10.
∵25＞0，∴y随m的增大而增大，
∴当m＝10时，y取得最小值，此时购进B款冰箱贴的数量为30－10＝
20(个)，
答：当购进A款冰箱贴10个，B款冰箱贴20个时最省钱；
A款冰箱贴的进价为45元，
B款冰箱贴的进价为20元
(3)在实际销售过程中，该店发现当每个B款冰箱贴售价为30元时，月销
量为160个，每涨价1元，月销量减少10个.设该店销售B款冰箱贴的月利
润为w元，每个涨价x元，当每个售价定为多少元时，该店销售B款冰箱
贴的月利润最大，最大月利润为多少元？
解：(3)由题意得，w关于x的函数表达式为w＝(30＋x－20)(160－10x)
＝－10x2＋60x＋1 600＝－10(x－3)2＋1 690，
∵－10＜0，
∴当x＝3时，w取得最大值，最大值为1 690，此时售价为30＋3＝
33(元).
答：当每个B款冰箱贴的售价定为33元时，月利润最大，最大月利润为1
690元.
A款冰箱贴的进价为45元，
B款冰箱贴的进价为20元
针对训练
1. 某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促
销方案，两种方案下购买这种草莓的费用y(元)与购买量x(千克)之间的函
数关系图象如图所示，则线段AB表示的实际意义为
.
当购买10千克的牛
奶草莓时，方案一需要45元，方案二需要50元，方案一比方案二少5元
【解析】∵AB＝50－45＝5，∴AB段表示的实际意义为当购买10千克的牛奶草莓时，方案一需要45元，方案二需要50元，方案一比方案二少5元.
2. (2024河南21题9分)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，
学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午
餐.这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下：
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两
种食品各多少包？
解：(1)设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得
，解得 .(4分)
答：应选用A种食品4包，B种食品2包；(5分)
学校准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下：
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两
种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，
应如何选用这两种食品？
解得a≤3.(7分)
设总热量为w kJ，则w＝700a＋900(7－a)＝－200a＋6 300.
∵－200＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝3时，w最小，此时7－a＝7－3＝4，
答：应选用A种食品3包，B种食品4包.(9分)
解：(2)设选用A种食品a包，则选用B种食品(7－a)包，根据题意，得
10a＋15(7－a)≥90，
类型二 面积、体积问题
典例精讲
例1 (北师九下习题改编)小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2.为了便于管理羊群，小亮的父亲决定用这80 m的栅栏围成如图所示的两个大小相同的矩形羊圈，当围成的羊圈的面积最大时，则此时AB的长为 .
m
【解析】根据题意，得S＝(80－3x)x＝－3x2＋80x＝－3(x－ )2＋
，∵AB＞0，0＜BC≤50，∴x＞0，0＜80－3x≤50，
∴10≤x＜ ，∵－3＜0，
∴当x＝ 时，S取得最大值，
即当围成的羊圈的面积最大时，AB的长是 m.
例2 如图，正三角形ABC的边长为1，D是BC边上一点，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，设AG＝x，当x取 时，△ADG的面积y取最大值，最大值为 .
实例69改编
【解析】∵△ABC是正三角形，AG＝x，∴∠B＝60°，BG＝1－x，
∵DG⊥AB，∴在Rt△DGB中，DG＝BG·tan 60°＝ (1－x)，
∴y＝ AG·DG＝ x· (1－x)＝－ x2＋ x＝－ (x－ )2＋ ，
∵－ ＜0， ≤x＜1，∴当x＝ 时，y取得最大值，最大值为 .
针对训练
1. (人教九上习题改编)如图，有一张边长为6的菱形纸片ABCD，现用它
裁出一个矩形纸片EFGH. 矩形纸片的四个顶点E，F，G，H分别位于
菱形的四条边上，且BE＝BF＝DG＝DH，∠A＝60°.当BE＝
时，矩形纸片EFGH的面积最大，最大值为 .
3
9
【解析】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，设BE＝BF＝DG＝DH＝x，则AE＝AH＝CG＝CF＝6－x，∵∠A＝60°，∴△AHE是
等边三角形，∠ADC＝120°，∴HE＝6－x，如解图，过点D作DP⊥GH于点P，∴HG＝2HP，∠HDP＝ ∠ADC＝60°，
∴HG＝2HP＝2DH· sin ∠HDP＝2x× ＝ x，
设矩形纸片的面积为S，∴S＝ x(6－x)＝－ x2＋
6 x＝－ (x－3)2＋9 ，∵－ ＜0，0＜x＜6，
∴当x＝3时，矩形纸片EFGH的面积最大，最大值为9 .
解图
P
2. (北师九下习题改编)如图，现有长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸
板，准备利用每张纸板制作两个相同的无盖的长方体纸盒(接头处忽略不
计)，在四个直角处裁掉四个边长为x cm的正方形，再在中间裁掉一块正
方形BCFE，再分别沿着虚线折起来，得到两个无盖的长方体纸盒，其中
一个纸盒的底面是矩形ABCD，则单个无盖纸盒的体积最大
为 cm3.
500
【点拨】单个无盖纸盒的底面AB边的长为10，体积V＝10(20－2x)·x
(0＜x＜10).
【解析】根据题意得，单个无盖纸盒的底面AB边的长为 ×(40－2x－20
＋2x)＝ ×20＝10，设单个无盖纸盒的体积为V，则V＝10(20－2x)·x
＝－20x2＋200x＝－20(x－5)2＋500，∵－20＜0，0＜x＜10，
∴当x＝5时，V有最大值，最大值为500，
即单个无盖纸盒体积的最大值为500 cm3.
类型三 抛物线(型)问题(7年3考)
典例精讲
例 (北师九下习题改编)有一移动灌溉装置喷出水柱的
路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离
为1米，喷出的抛物线型水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且
高度为6米.将灌溉装置放置于水平地面，
用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪.以水
平地面为x轴，以喷水装置所在竖直直线
为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
一题多设问
(1)该抛物线型水柱的函数表达式为 ；
【解法提示】由距离喷水头水平距离10米时达到最大高度6米，可知抛物
线的顶点坐标为(10，6)，设喷出的抛物线形水柱轨迹满足的表达式为y
＝a(x－10)2＋6(a≠0)，将点(0，1)代入表达式，得100a＋6＝1，解得a
＝－ ，∴y＝－ (x－10)2＋6＝－ x2＋x＋1，∴抛物线形水柱的函
数表达式为y＝－ x2＋x＋1.
y＝－ x2＋x＋1
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线型水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米.将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪.
(2)若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，假如草坪不存
在，求x的取值范围；
解：(2)由(1)得y＝－ (x－10)2＋6，
∴对称轴为直线x＝10.
∵喷水头的横坐标为0，
∴喷水头关于对称轴对称的点的横坐标为20.
∵水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，
∴x的取值范围为0≤x≤20且x≠10
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线型水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米.将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪.
(3)(二次函数与一元二次方程的关系)求草坪上能够灌溉的点与灌溉装置的
最大水平距离；
解：(3)设坡面的表达式为y＝kx(k≠0)，由坡度为1∶10可知k＝ ，
∴坡面的表达式为y＝ x，
联立 ，
整理得x2－18x－20＝0，
解得x＝9＋ 或x＝9－ (不符合题意，舍去)，
∴草坪上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为(9＋ )米；
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线型水柱在距离喷水
头水平距离10米处达到最高，且高度为6米.将灌溉装置放置于水平地面，
用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪.
(4)(二次函数的最值)求水柱与坡面之间的最大铅垂高度；
解：如解图，设抛物线上一点P(t，－ t2＋t＋1)，
过点P作PQ⊥x轴交直线OA于点Q，则Q(t， t)，
∴PQ的长为d＝－ t2＋t＋1－ t＝－ t2＋ t＋1，
∵－ ＜0，0≤t≤9＋ ，∴函数图象开口向下，d有最大值，
当t＝－ ＝9时，d最大＝－ ×92＋ ×9＋1＝5.05，
∴水柱与坡面之间的最大铅垂高度为5.05米
解图
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线型水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米.将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪.
(5)若到喷水头水平距离为15米的A处及其右侧种植有银杏树.
①若点A处的银杏树高度为4米，则水柱是否会碰到这棵银杏树；
解：①如解图，设银杏树顶点为点B，连接AB，
将x＝15代入y＝ x，得y＝ ，
∴点A的坐标为(15， )，
∵ ＋4＝ ，
∴点B的坐标为(15， )，
将x＝15代入y＝－ x2＋x＋1，得y＝ ，
∵ ＜ ＜ ，∴水柱会碰到银杏树；
解图
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线型水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米.将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一坡度为1∶10的坡地草坪.
(5)若到喷水头水平距离为15米的A处及其右侧种植有银杏树.
②(二次函数图象的平移)由于在树干部分涂有防虫药物不能灌溉，则工作
人员应将灌溉装置水平向左至少移动多少米，才能避开对树干的灌溉？
解：②设灌溉装置水平向左平移的距离为h m(h＞0)，
则平移后的抛物线表达式为y＝－ (x－10＋h)2＋6，
将A(15， )代入，得－ (15－10＋h)2＋6＝ ，
解得h1＝3 －5，h2＝－3 －5(不符合题意，舍去)，
答：应将灌溉装置水平向左至少移动
(3 －5)米，才能避开对树干的灌溉.
针对训练
1. (2024河南22题改编)圆圆用发射器(发射器的高度忽略不计)将一个小球
从地面竖直向上抛出，满足这样的关系式：h＝－5t2＋vt(不计空气阻
力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，t(s)是抛出后
所经历的时间.
(1)当小球距离地面的高度最大时，求小球运动的时间(用含v的式子表
示)；
解：(1)∵h＝－5t2＋vt，－5＞0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝－ ＝ 时，小球距离地面的高度最大；
h＝－5t2＋vt(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，t(s)是抛出后所经历的时间.
(2)当圆圆以10 m/s的初速度竖直向上抛出时，小球的高度能达到5.4 m
吗？请作出判断，并说明理由；
解：(2)小球的高度不能达到5.4 m，理由如下：
当v＝10 m/s时，h＝－5t2＋10t，
∵－5＜0，∴当t＝－ ＝1时，h最大，
即当t＝1时，h最大为5，
∵5＜5.4，∴小球的高度不能达到5.4 m；
h＝－5t2＋vt(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，t(s)是抛出后所经历的时间.
(3)按(2)中的初速度发射小球，若方方在圆圆抛出小球之后将另一个完全
相同的小球以相同的初速度从地面竖直向上抛出，这两个小球在某一时
刻的高度均为4.2 m，求方方与圆圆抛球的时间差.
解：(3)由题意得4.2＝－5t2＋10t，
∴5t2－10t＋4.2＝0，
解得t1＝0.6，t2＝1.4，
t2－t1＝0.8，
答：方方与圆圆抛球的时间差为0.8 s.(共19张PPT)
2026河南数学
第三章 函 数
提升课17 函数图象与系数的关系
对接中招·多设问串核心
类型一 由系数判断函数图象(2023.9)
一、已知一个函数图象，判断另一个函数图象
例1 (2023河南9题改编)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次
函数y＝bx＋a的图象一定不经过( B )
B
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
二、函数图象共存问题
例2 (北师九下习题改编)一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ (k，b
均为常数)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是( B )
B
【解析】A. 一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，则k＞
0，b＜0，则k－b＞0，∴反比例函数y＝ 的图象经过第一、三象
限，故本选项不符合题意；B. 一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、
二、四象限，则k＜0，b＞0，则k－b＜0，∴反比例函数y＝ 的图
象经过第二、四象限，∴B选项符合题意，C. 选项不符合题意；
D. 函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，当k－b＜0时，函数y＝ 的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意.
三、函数图象加减类型
例3 (人教九上习题改编)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与
一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2－bx－c的图象
可能是( A )
A
【解析】观察题图可知，a＜0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2－bx
－c的图象开口向下，∵二次函数的对称轴为直线x＝－ ＝ ＜0，
∴对称轴在y轴的左侧.
∵在二次函数y＝ax2－bx－c中，当x＝0时，y＝－c＞0，
∴该二次函数的图象与y轴的正半轴相交，∴选项A正确.
技巧性解法
分类讨论法：分四种情况讨论：
1. a＞0，b＞0；
2. a＞0，b＜0；
3. a＜0，b＞0；
4. a＜0，b＜0.
观察交点或定点位置：根据表达式确定两个函数图象的交点坐标或某个
函数图象过定点，排除不符合题意的选项，固定其中一个函数图象，判
断另一个函数图象
将复合函数用已知的单一函数表示，结合函数图象的交点判断系数
正负：
复合函数 解题思路
y＝0 观察函数图象与x轴的交点的横坐标
y1－y2＝0 观察函数y1与y2图象交点的横坐标
y1＋y2＝0 观察函数y1与y2关于x轴对称的函数图象交点的横坐标
再根据系数正负判断所求函数图象
类型二 二次函数图象与系数a，b，c之间的关系
例4 (人教九上习题改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线
x＝1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或
“＝”填空.
(1)a 0，b 0，c 0；
(2)b2－4ac 0；
(3)2a＋b 0，2a－b 0；
(4)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(5)4a－2b＋c 0，4a＋2b＋c 0；
(6)9a－3b＋c 0，9a＋3b＋c 0.
＞
＜
＜
＞
＝
＞
＜
＜
＞
＜
＞
＜
满分技法
根据函数图象判断相关结论：
结论形式 解题思路
2a＋b
2a－b
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标
4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x＝－2，看纵坐标
9a－3b＋c 令x＝－3，看纵坐标
9a＋3b＋c 令x＝3，看纵坐标
课堂巩固·中等题固考法
类型一 由系数判断函数图象(2023.9)
1. 已知反比例函数y＝ 的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2＋2x＋
2k的图象大致为( A )
A
2. 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则y＝－kx＋b与y＝ 的
图象为( A )
A
3. 二次函数y＝mx2＋m和正比例函数y＝mx的图象大致是( C )
C
4. 如图，一次函数y＝kx＋m(k≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图
象如图所示，则函数y＝ax2＋(b＋k)x＋c＋m的图象可能是( D )
D
【点拨】①由二次函数图象可知a，c的正负，由对称轴和a可知b的正负，②由一次函数图象可知k，m的正负.
【解析】由题图可知，a＜0，c＜0，k＜0，m＜0，－ ＜0，
∴b＜0，∴b＋k＜0，c＋m＜0，∴函数y＝ax2＋(b＋k)x＋(c＋m)中，
∵a＜0，∴开口向下，∵a＜0，b＋k＜0，∴对称轴在y轴左侧，
∵c＋m＜0，∴与y轴交点在y轴的负半轴上，∴D选项符合题意.
5. 函数y＝ax2＋x＋b与y＝bx＋a＋1(ab≠0)在同一坐标系
中的图象可能为( C )
C
【解析】当x＝1时，两个函数值都为a＋b＋1，即两函数交点的横坐标
为1，∴选项B，D图象不正确；A选项中，由二次函数的图象可知a＞
0，对称轴在y轴左侧，b＞1，由一次函数图象可知，b＞0，0＜a＋1＜
1，解得－1＜a＜0，与二次函数图象中a＞0不符，∴选项A图象不正
确；C选项中，由一次函数图象可知，b＞0，a＜－1，∴－ ＞0，C
选项图象符合.
类型二 二次函数图象与系数a，b，c之间的关系
6. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴的交点为(0，3)，
它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：
①c＝3；
②abc＜0；
③a－b＋c＞0；
④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的其中一个根在2，3之间，
正确的有 .(填序号)
①②④
【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴的交点为
(0，3)，∴c＝3，故①正确；
∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴b＝－2a＞0，
∵c＞0，∴abc＜0，故②正确；由图象可知，
当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，故③错误；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，
与x轴的一个交点在－1，0之间，∴与x轴的另一个交点在2，3之间，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的其中一个根在2，3之间，
故④正确，故正确的有①②④.(共26张PPT)
第三章 函 数
基础课12 一次函数的图象与性质
节前复习导图
上加下减、
左加右减
一次函数的
图象与性质
一次函数的
图象与性质
一次函数表达式的确定
一次函数
图象的平移
两条直线在
同一平面内
的位置关系
方法
步骤
两条直线平行、
重合或相交(垂直
或关于垂直于坐
标轴的直线对称)
相交(一般情况)
一次函数
k决定图象的倾
斜方向和增减性
b决定图象与
y轴的交点位置
图象（草图）
经过的象限
与坐标轴交点
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八下P86－P109；
北师：八上P79－P101；
华师：八下P43－P54，P59－P64.
一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函数，图象为过原点的一条直线) k决定图象的倾斜方向和增减性 k___0 从左向右看图象呈上升趋势“/” y随x的增大而_____ k___0 从左向右看图象呈下降趋势“\” y随x的增大而_____ b决定图象与y轴的交点位置 b___0 交点在 正半轴上 b=0 交点在原点上 b____0 交点在 负半轴上 b＞0 交点在正半轴上 b___0 交点在 原点上 b＜0
交点在负半轴上
图象 (草图)
＞
=
增大
＜
减小
＞
＜
一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函数，图象为过原点的一条直线) 图象 (草图)
经过的象限 一、二、三 一、三 __________ 一、二、四 __________ 二、三、四
与坐标轴 的交点 与x轴的交点坐标为_________(即令y=0)，与y轴的交点坐标为_______
(即令x=0) (0，b)
一、三、四
二、四
(－，0)
【满分技法】 对于正比例函数y=kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，求出k即可确定表达式
一次函数表达式的确定
一设：设一次函数表达式为y=kx＋b(k≠0)
二列：找出函数图象上的两个点，代入y=kx＋b中，得到二元一次方程组
三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值
四还原：将所求待定系数k，b的值代入y=kx＋b中即可
方法：待定系数法
步骤
_____________
_____________
_____________
_____________
一次函数图象的平移
直线
y=kx＋b
(k≠0)
简记为“左加右减，上加下减”
y=kx＋b－m
y=k(x＋m)＋b
y=k(x－m)＋b
y=kx＋b＋m
在同一平面直角坐标系中，已知直线y1=k1x＋b1和y2=k2x＋b2.
1.两条直线平行、重合或相交(垂直或关于垂直于坐标轴的直线对称)：
两条直线在同一平面内的位置关系
平行 重合 垂直 相交(关于垂直于坐标轴的直线对称) 系数关系 k1=k2，b1≠b2 k1=k2，b1=b2 k1 k2=－1 k1＋k2=0 b1=b2 b1=－b2 —
图象 关于y轴对称 关于x轴对称 关于垂直于坐标轴的直线对称
两条直线在同一平面内的位置关系
2.相交(一般情况)：
函数与方程(组) 函数与不等式(组)
方程k1x＋b1=0的解为一次函数y1=k1x＋b1图象与x轴的交点的横坐标 ①不等式k1x＋b1＞0的解集为一次函数y1=k1x＋b1图象位于x轴上方自变量x的取值范围；
②不等式k1x＋b1＜0的解集为一次函数y1=k1x＋b1图象位于x轴下方自变量x的取值范围
不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为一次函数y1=k1x＋b1图象位于一次函数y2=k2x＋b2图象上方自变量x的取值范围
课堂巩固·基础题练考点
一次函数的图象与性质(7年7考，仅2023年未考查)
命题点
1
1. 世界各国在天气预报中主要使用摄氏温
标或华氏温标，学生查阅资料后，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122
华氏温度值y(℉)与摄氏温度值x(℃)之间的函数关系可能为( B )
A. 正比例函数 B. 一次函数
C. 二次函数 D. 反比例函数
B
实例70改编
满分技法
当看到一组数据中，x定量增加时，y也是定量增加或减少，则x和y之
间存在一次函数关系.
2. (人教八下习题改编)若正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，2)，
则k的值为( D )
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
D
3. (北师八上习题改编)若a＜－1，则一次函数y＝(a＋1)x＋2－a的图象
可能是( D )
D
【点拨】a＋1＜0，2－a＞0.
4. (北师八上习题改编)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值y随x的增
大而减小，且kb＞0，则下列点坐标一定不在该一次函数图象上的
是( D )
A. (1，－3) B. (－2，1)
C. (－1，－2) D. (1，3)
【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0.
∵kb＞0，∴b＜0，∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经
过第一象限.∵(1，3)位于第一象限，∴此点一定不在该一次函数图象上.
D
5. (人教八下习题改编)已知一次函数y＝－x＋4.
(1)补全表格并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象；
x … －2 －1 0 1 …
y … 5 3 …
解:画出函数图象如解图；
6
4
解图
(2)一次函数的图象不经过第 象限；
(3)一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为 ，与y轴的交点B
的坐标为 ，△AOB的面积为 ；
三
(4，0)
(0，4)
8
(4)若一次函数的图象过点(x1，－2)，(x2，4)，则x1 x2；(填
“＞”“＜”或“＝”)
＞
解图
(5)点P为第一象限内一次函数图象上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
作PM⊥y轴于点M，则矩形OQPM面积的最大值为 .
【解析】设点P的坐标为(x，－x＋4)，
∴S矩形OQPM＝x·(－x＋4)＝－x2＋4x＝
－(x－2)2＋4，
∵－1＜0，
∴当x＝2时，S矩形OQPM取得最大值为4.
4
解图
一次函数表达式的确定(7年5考)
命题点
2
6. (2022河南11题考法)请写出一个不经过第四象限的一次函数的表达
式 .
【解析】∵一次函数的图象不经过第四象限，∴k＞0，b≥0，∴k可以
为1，b可以为2，∴满足题意的一次函数的表达式可以为y＝x＋2(答案
不唯一).
y＝x＋2(答案不唯一)
7. (北师八上习题改编)已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0).
(1)(待定系数法)若y与x成正比例函数关系，且该函数图象经过点
(2，3)，则该函数的表达式为 ；
y＝ x
(2)若y与x满足如图所示的函数图象.
①(待定系数法)该函数的表达式为 ；
【解析】一次函数的图象经过(0，1)，(1，3)两点，∴将(0，1)，(1，3)分别代入y＝kx＋b，得 ，解得 ，
∴该一次函数的表达式为y＝2x＋1.
y＝2x＋1
题后反思
小明说，在如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为
5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2.小明这种确定k的方法有道理
吗？说说你的认识，并用这种方法求一次函数表达式.
解：小明的说法有道理，当x增加1时，y的值的增量为k(x＋1)＋b－(kx
＋b)＝k；∵一次函数的图象经过(0，1)，(1，3)两点，
∴b＝1，
∵x从0变成1时，y从1变成3，
∴k＝ ＝2，
∴该函数的表达式为y＝2x＋1；
温馨提示：当自变量由x1变为x2时，因变量y的变化量为y2－y1＝kx2＋b
－(kx1＋b)＝kx2－kx1，则 ＝k.
②(平移求表达式)将该函数图象向下平移3个单位长度，得到的新函数表
达式为 ；
③该函数图象经过平移后得到的新函数图象的表达式为y＝2x＋5，则平
移方式正确的是( C )
A. 向下平移2个单位长度
B. 向下平移4个单位长度
C. 向左平移2个单位长度
D. 向左平移4个单位长度
y＝2x－2
C
④(根据图象位置关系求表达式)与该函数图象平行且过点(－1，－5)的一
次函数的表达式为 ；与该函数图象垂直且过点(4，1)的一
次函数的表达式为 .
y＝2x－3
y＝－ x＋3
温馨提示
斜率为k1与斜率为k2的两条直线垂直时，有k1·k2＝－1，但该结论不能直接在解答题中使用哦！
一次函数与方程(组)、不等式的关系
命题点
3
8. (华师八下习题改编)在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋2与y＝
mx＋n(m，n为常数，m≠0)的图象如图所示，结合函数图象，回答下
列问题.
(1)关于x的方程mx＋n＝0的解为 ，
关于x的不等式mx＋n＞0的解集为 ；
(2)不等式mx＋n＞－x＋2的解集为 ；
x＝－3
x＞－3
x＞－1
(3)关于x，y的方程组 的解为 .
【解析】二元一次方程组 可转化为 ，观察图象可得函数y＝－x＋2和y＝mx＋n的交点横坐标为－1，将x＝－1代人y＝－x＋2，得y＝3，∴这两个函数图象的交点坐标为(－1，3)，
∴关于x，y的方程组的解为 .
(共15张PPT)
第三章 函 数
基础课16 二次函数表达式的确定(含图象变化)
节前复习导图
上加下减、左加右减
二次函数表达式的
确定(含图象变化)
待定系数法求
二次函数的表达式
二次函数
图象的变化
表达式已给出
表达式未给出
平移变化
对称变化
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九上P27－P57；
北师：九下P28－P63；
华师：九下P1－P34.
待定系数法求二次函数的表达式
表达式已给出 对于二次函数表达式y=ax2＋bx＋c，若a，b，c中有一个未知，则代入二次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标
【温馨提示】若y=ax2＋bx＋3，则可得出函数图象过点(0，3)，则不能将(0，3)代入函数表达式求a，b的值.
表达式未给出 当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的一般式为y=ax2＋bx＋c(a≠0)
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常设顶点式为y=a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点时，通常设交点式为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴的交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)
1.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(以研究顶点坐标为主)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可
2.从表达式上考虑：二次函数图象平移的规律如下表：
二次函数图象的变化
平移变化
平移前表达式 平移n个单位(n＞0) 平移后表达式 简记
y=a(x－h)2＋k (a≠0) 向左平移n个单位 _______________________ 左“＋”右“－”
向右平移n个单位 _______________________ 向上平移n个单位 _______________________ 上“＋”下“－”
向下平移n个单位 _______________________ y=a(x－h)2＋k－n(a≠0)
y=a(x－h＋n)2＋k(a≠0)
y=a(x－h－n)2＋k(a≠0)
y=a(x－h)2＋k＋n(a≠0)
二次函数图象的变化
对称变化
原表达式及顶点 变化形式 变化后的a值 变化后的顶点坐标 变化后的表达式
y=a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k) 关于x轴对称 －a (h，－k) y=－a(x－h)2－k
关于y轴对称 a (－h，k) y=a(x＋h)2＋k
关于原点 O中心对称 －a (－h，－k) y=－a(x＋h)2－k
课堂巩固·基础题练考点
1. 根据不同条件，求下列抛物线的表达式.
(1)[2025河南22(1)考法]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，x与y的几
组对应值如下表所示，求抛物线的表达式；
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
一题多设问
解：由表格可知c＝3，则抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
将表中(－2，－5)，(2，3)代入，
得 解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
(2)[2022～2023河南22(1)考法]已知抛物线的顶点坐标为(－1，2)，且该抛
物线经过点(0，6)，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线的顶点坐标为(－1，2)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋2(a≠0)，
将点(0，6)代入得a(0＋1)2＋2＝6，解得a＝4，
∴抛物线的表达式为y＝4(x＋1)2＋2＝4x2＋8x＋6
(3)已知抛物线与x轴的两个交点分别为(－2，0)，(1，0)，且经过点
(2，8)，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线图象与x轴的两个交点坐标分别为(－2，0)，(1，0)，
∴设抛物线表达式为y＝a(x＋2)(x－1)(a≠0)，
将点(2，8)代入y＝a(x＋2)(x－1)，
得8＝4a，解得a＝2，
∴y＝2(x＋2)(x－1)＝2x2＋2x－4，
∴抛物线的表达式为y＝2x2＋2x－4
(4)已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过点(2，6)，
求抛物线的表达式；
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，
∴设抛物线的表达式为y＝(x＋1)2＋k，
将点(2，6)代入y＝(x＋1)2＋k，得k＝－3，
∴y＝(x＋1)2－3＝x2＋2x－2，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－2
(5)[2020河南21(1)题考法]如图，抛物线y＝ax2－2x－3(a≠0)与x轴正半
轴，y轴分别交于点A，B，且OA＝OB，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线的表达式为y＝ax2－2x－3，
∴B(0，－3)，∴OB＝3.
∵OA＝OB，∴A(3，0)，
将点A(3，0)代入y＝ax2－2x－3，
得9a－6－3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3
(6)[2019河南23(1)题考法]已知直线y＝－2x－3交x轴于点A，交y轴于
点B，抛物线y＝2x2＋bx＋c的图象经过点A，B，求抛物线的表达式；
解：∵直线y＝－2x－3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(－ ，0)，B(0，－3)，
将A(－ ，0)，B(0，－3)分别代入y＝2x2＋bx＋c中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝2x2＋x－3
(7)在(6)的条件下.
①将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，求平移后
的抛物线表达式；
解：①由(6)得，抛物线y的表达式为y＝2x2＋x－3，
平移后可得抛物线的表达式为y＝2(x－2)2＋(x－2)－3＋4，整理得y＝
2x2－7x＋7；
抛物线的表达式为y＝2x2＋x－3
(7)在(6)的条件下.
②若抛物线y'与y关于原点O中心对称，求抛物线y'的表达式.
解：②由(6)得，抛物线y的表达式为y＝2x2＋x－3＝2(x＋ )2－ ，
∵抛物线y与y'关于原点O中心对称，
∴抛物线y'的顶点坐标为(， )，
∴抛物线y'的表达式为y'＝－2(x－ )2＋ ＝－2x2＋x＋3.
抛物线的表达式为y＝2x2＋x－3(共17张PPT)
第三章 函 数
基础课9 平面直角坐标系中点的坐标特征
章前复习思路
解决问题
应用
研究函数的一般路径
平面直角坐标系与函数
坐标系中点的特征
函数自变量的取值范围
一次函数
反比例函数
二次函数
函数解析式
图象
性质
图象平移
与方程(组)、不等式的关系
①增减性；②对称性；③最值
建模思想
数形结合思想
对称点的坐标特征
函数的应用
函数
点变化的坐标特征
节前复习导图
平面直角坐
标系中点的
坐标特征
对称点的坐标特征
点平移
的坐标特征
点旋转的
坐标特征
点到坐标轴及
点到点之间的距离
各象限内
坐标轴上
各象限角平分线上
与坐标轴垂直的直线
点的坐标
特征
要素
性质
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七下P63－P86，八下P71－P85；
北师：七下P61－P79，八上P53－P73、P75－P78；
华师：八下P28－P42.
各象限内 第一象限：x＞0，y＞0
第二象限：___________
第三象限：___________
第四象限：___________
注：坐标轴上的点不属于任何象限
坐标轴上 点M1在x轴上：y=___
点M2在y轴上：x=___
原点的坐标：_______
点的坐标特征
x＜0，y＜0
x＜0，y＞0
x＞0，y＜0
(0，0)
0
0
各象限角 平分线上 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则x1=y1
点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则x2=_____
与坐标轴 垂直的直线 垂直于x轴的直线l1上的点的____坐标相同
垂直于y轴的直线l2上的点的____坐标相同
点的坐标特征
纵
－y2
横
P(a，b) P′(a，－b)
P(a，b) P′_________
P(a，b) P′___________
对称点的坐标特征
口诀：关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号
【知识拓展】1.点(a，b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m－a，b)；
2.点(a，b)关于直线y=n对称的点的坐标为(a，2n－b)；
3.中点坐标公式：若M(a，b)，N(c，d)为坐标系中任意两点，则MN的中点坐标为(，)
(－a，－b)
(－a，b)
点平移的坐标特征
点P的坐标 平移方式 平移后点P′的坐标 口诀
(x，y) 向左平移a个单位 (x－a，y) 左右平移
横坐标：左减右加
向右平移a个单位 (x＋a，y) 向上平移b个单位 _________ 上下平移
纵坐标：上加下减
向下平移b个单位 _________ (x，y＋b)
(x，y－b)
要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度；
性质：1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
点旋转的坐标特征
点到坐标轴及点到点之间的距离
1.如图①，点P(a，b)到x轴的距离为___，到y轴的距离为___，到原点的距离为_________；
2.如图②，在x轴(y=0)或平行于x轴的直线：y=b(b≠0)上的两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间的距离是|x1－x2|；
3.如图③，在y轴(x=0)或平行于y轴的直线：x=a(a≠0)上的两点P1(a，y1)，P2(a，y2)间的距离是|y1－y2|.
|b|
|a|
点到坐标轴及点到点之间的距离
【知识拓展】1.如图④，点P(a，b)到平行于x轴的直线y=m的距离为_______，点P(a，b)到平行于y轴的直线x=n的距离为______；
2.如图⑤，已知坐标平面内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2==______________________________.
|b－m|
|a－n|
课堂巩固·基础题练考点
点到坐标轴及点到点之间的距离
命题点
1
1. (人教七下习题改编)在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).
(1)若点A在x轴上，则a的值为 ；
(2)若点A在第一象限，则a的取值范围是 ；
－
－ ＜a＜2
1.在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).
(3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为
；
【解法提示】∵AB∥y轴，∴点A和点B的横坐标相同，即2－a＝5，解
得a＝－3，∴点A的坐标为(5，－8).
(5，－8)
1.在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).
(4)若点A在第二、四象限的角平分线上，则点A到直线x＝1的距离
为 ，点A与点(3，－2)之间的距离为 ；
【解法提示】∵点A在第二、四象限的角平分线上，∴2－a＝
－(3a＋1)，解得a＝－ ，∴点A的坐标为(，－ )，则点A到直线
x＝1的距离为 ，点A与点(3，－2)之间的距离为
＝ .
1.在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).
(5)若点A到x轴的距离是到y轴距离的4倍，则a的值为 .
【解法提示】∵点A到x轴的距离是到y轴距离的4倍，∴4｜2－a｜＝
｜3a＋1｜，解得a＝1或9.
1或9
图形变换点的坐标特征(近7年连续考查)
命题点
2
2. (北师八上习题改编)在平面直角坐标系中，已知点A(2，3).
(1)点A关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐
标为 ，关于原点对称的点的坐标为 ；
(2)点A关于直线x＝3对称的点的坐标为 ，点A关于直线y
＝ 对称的点的坐标为(2，－1)；
(3)点A先向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的点B的
坐标为 ，连接AB，则线段AB的中点坐标为 ；
(2，－3)
(－2，3)
(－2，－3)
(4，3)
1
(－3，5)
(－ ，4)
(4)(2025河南18题考法)连接OA，线段OA绕原点O顺时针旋转90°，点
A对应的点A1的坐标为 ，线段OA绕原点顺时针旋转180°，
点A对应的点A2的坐标为 ；
【解法提示】如解图，过点A作AB⊥y轴于点B，过点A1
作A1C⊥x轴于点C，∵∠AOB＋∠AOC＝∠AOC＋
∠A1OC＝90°，∴∠AOB＝∠A1OC，∵OA＝OA1，
∴△ABO≌△A1CO，∴AB＝A1C，OB＝OC，
∴A1(3，－2)，将线段OA绕原点顺时针旋转180°，
则点A2与点A关于原点O对称，则A2(－2，－3).
解图
(3，－2)
(－2，－3)
(5)若点A平移后的对应点C落在x轴上，则平移的最小距离为 .
【方法链接】图形与坐标见本书P103微专题3；线段最值问题见本书P118
微专题10.
3 (共21张PPT)
第三章 函 数
提升课11 分析判断函数图象
对接中招·多设问串核心
类型一 实际问题中函数图象的分析判断
(7年3考)
例1 (北师八上习题改编)已知A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地匀速前往B地，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离
s(km)与时间t(h)之间的关系，其函数关系图象如图所示.
(1)(图象分析)下列说法正确的是( D )
A. 乙出发1.5 h后，甲才出发
B. 甲的速度为40 km/h，乙的速度为20 km/h
D. 甲比乙提前3 h到达B地
D
(2)(图象转化)从两人出发直至均到达B地的过程中，能表示甲、乙两人之
间距离d(km)随时间t(h)变化的函数关系图象是( C )
C
题后反思·易错变式
反思：在同一个实际问题中，由于因变量y表示的意义不同，函数图
象的呈现也会有所差异，那么不同的图象对于提取题干的信息各有什
么优点呢？
解：(1)中图象可以直观体现甲、乙两人的速度大小，与A地距离等信
息，(2)中图象可以直观体现甲、乙两人的距离，何时相遇等信息；
变式：如果y轴表示甲、乙两人与B地的距离，你能画出他们的函数图
象吗？
解：画出函数图象如解图所示.
解图
类型二 几何图形中函数图象的分析判断
(7年2考)
例2 如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点P沿AC从点A向点
C运动，过点P作PE⊥AC交折线AD－DC于点E，F是AB的中点，连
接PB，PF，设AP＝x.
(1)若PE＝y，点P运动时y随x的变化关系
图象如图②所示，则AB的长为( A )
A
A. 2
C. 4
【解析】如解图①，过点D作DM⊥AC于点M，当点
P运动至点M时，点E与点D重合，此时，PE的长度
最大，结合题图②可得，AM＝ ，∵∠BAD＝
60°，∴∠DAM＝30°，∴AD＝ ＝2，
∴AB＝AD＝2；
解图①
(2)(2024河南15题考法迁移)若△APB的面积为y，△CPB的面积为z，点
P运动时y随x变化的关系图象如图③，z随y变化的关系图象如图④，则
下列结论错误的是( A )
A
B. z随y的增大而减小
C. y每增加1，z的减少量相同
D. x越大，z的值就越小
【解析】由题图③可得，AC＝2 ，如解图①，当点P运动至点M
时，AP＝ ，此时，S△APB＝ × ×1＝ ，即a＝ ；由题图④
可得，z随y的增大而减小，且z与y成一次函数关系，
∴y每增加1，z的减少量相同；
∵y随x的增大而增大，z随y的增大而减小，
∴z随x的增大而减小；
解图①
(3)设PF＋PB＝y，点P运动时y随x变化的关系图象如图⑤所示，则点
Q(图象的最低点)的坐标为( A )
A. (2，3)
C. (3，2)
A
【解析】如解图②，连接DF交AC于点P'，连接BD，DP，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB，由题图⑤可知，当x＝0时，y的值为3 ，即点P在点A处时，PF＋PB＝3 ，∴3AF＝3 ，
∴AF＝ ，∴DF＝AF·tan 60°＝3，
∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP，∴△BAP≌△DAP，
∴BP＝DP，
∵PF＋DP≥DF，∴PF＋BP≥DF，∴当点P运动至点P'时，
PF＋PB最小，即yQ的值最小，最小为DF的长，即yQ＝3，
AP'＝ ＝2，即xQ＝2，∴点Q的坐标为(2，3).
解图②
课堂巩固·中等题固考法
实际问题中函数图象的分析判断(7年3考)
命题点
1
1. (2025河南10题3分)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，
在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系
数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的
是( C )
C
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B. 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D. 若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
2. (2024河南10题3分)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一
段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对
这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电
器的总功率P的函数图象(如图①)，插线板电源线产生的热量Q与I的函
数图象(如图②).下列结论中错误的是( C )
C
A. 当P＝440 W时，I＝2 A
B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1 A，Q的增加量相同
D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
3. (2025郑州一模)硫酸钠(Na2SO4)是一种无机化合物，在工业、农业、食
品、医疗等多个领域发挥重要作用.硫酸钠在100 g水中的溶解度y(g)与温
度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是( C )
C
A. 当温度为0 ℃时，硫酸钠在水中不溶解
B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C. 0 ℃～20 ℃时，温度每升高1 ℃，硫酸
钠溶解度的增加量不相同
D. 要使硫酸钠的溶解度不低于43.7 g，温度只能控制在40 ℃～80 ℃
【解析】A. 从图中可以看到，当温度为0 ℃时，溶解度曲线对应的y值
不为0，说明硫酸钠在0 ℃时在水中是溶解的，故该选项不符合题意；B.
观察溶解度曲线，在0 ℃～40 ℃时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增
大，在40 ℃～80 ℃时，溶解度随着温度升高而减小，并非一直增大，故
该选项不符合题意；C. 在0 ℃～20 ℃时，溶解度曲线不是一条直线，这
表明温度每升高1 ℃，硫酸钠溶解度的增加量
不相同，故该选项符合题意；D. 从图中可知，
当温度接近40 ℃时，硫酸钠的溶解度就达到
了43.7 g，并且在40 ℃～80 ℃之间溶解度都
不低于43.7 g，而不是只控制在40 ℃～80 ℃，故该选项不符合题意.
几何问题中函数图象的分析判断(7年2考)
命题点
2
4. (北师九下习题改编)将正方形ABCD与等腰Rt△EFG按如图①的方式
摆放，边FG在直线BC上，∠EGF＝90°，EG＝FG，Rt△EFG以
1 cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重
合时停止运动.在运动过程中，Rt△EFG与正方形重叠部分面积y(cm2)与
运动时间x(s)之间的函数关系图象如图②所示，若b＝2a，则c的值
为( A )
A
A. 8
C. 12
【解析】由题图可得，当点F与B点重合时，Rt△EFG与正方形重叠部分面积最大，即y的值最大，此时，x＝a，y＝ ·a·a＝ a2＝32，解得a＝
8(负值已舍去)，∴FG＝8，
∵b＝2a，∴b＝16，即当点F与点C重合时，
Rt△EFG与正方形重叠部分面积为0，
此时，x＝16，BC＝FG＝8，当8＜x≤16时，
如解图，重合部分为△FCH的面积，
此时CF＝CH＝8－(x－8)＝16－x，
∴y＝ CF·CH＝ (16－x)2，当x＝12时，y＝8.
解图
5. (2023河南10题3分)如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿
直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B. 设点P运动
的路程为x， ＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边
三角形ABC的边长为( A )
A
A. 6 B. 3
【点拨】①如解图，当0≤x≤2 时，PB＝PC，
∠DAB＝∠DAC＝30°，
②点P运动到点D时，AD＝2 ，
③BD＝AD ，∠DAB＝∠DBA＝30°，
④过点D作DE⊥AB，AE＝AD· cos 30°.
解图
【解析】如解图，设等边三角形内一点为D，由图象可知：
当0≤x≤2 时，y＝ ＝1，即PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线上，∴∠DAB＝∠DAC＝30°，
且当点P运动到点D时，AD＝2 .
∵函数图象与x轴交于(4 ，0)，
∴BD＝4 －2 ＝2 ，∴BD＝AD，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°.过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△AED中，AE＝AD· cos 30°＝3，∴AB＝2AE＝6.
解图
