(共23张PPT)
第四章 三角形
提升课26 几何测量问题
节前复习导图
几何测量问题
锐角
三角函数
锐角三角函数
与相似三角形
的实际应用
定义
特殊角的三角函数值
仰角、俯角
坡度(坡比)、坡角
方向角
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九下P60－P85；
北师：九下P1－P27；
华师：九上P100－P101、P105－P124.
我们把锐角∠A的正弦、余弦和正切统称为∠A的三角函数
锐角三角函数
定义：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一个锐角.
则
∠A的正弦：sin A==____
∠A的余弦：cos A==____
∠A的正切：tan A==_____
锐角三角函数
特殊角的三角函数值
示意图
α 30° 45° 60°
sin α ____
cos α _____ ____
tan α _____ 1 ____
1. 仰角、俯角：如图②，图中仰角是____，俯角是____
2. 坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为___，坡度(坡比)
i=tan α=___
3. 方向角：如图④，A点位于O点的__________方向，B点位于O点的__________方向，C点位于O点的__________
_________方向
【易错提醒】东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向
锐角三角函数与相似三角形的实际应用
北偏西45°
∠1
∠2
α
北偏东30°
南偏东60°
(或西北)
对接中招·多设问串核心
类型一 教材常见简单测量方法
1. (人教九下习题改编)如图，为了测量河岸两侧A，B两点之间的距离，在B点同侧选取点C，经测量∠A＝70°，然后在BC的一侧找到一点D，使得BC为∠ABD的平分线，且∠D＝70°，若BD的长为8米，则河岸两侧A，B两点之间的距离为 米.
8
【解析】∵BC为∠ABD的平分线，∴∠ABC＝∠DBC，
在△ABC和△DBC中， ，
∴△ABC≌△DBC(AAS)，
∴AB＝DB＝8米，即河岸两侧
A，B两点之间的距离为8米.
2. (北师九下习题改编)如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方
法估测出了A，B两点间的距离：先在AB外选一点C，然后分别步测出
AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长为3米，由此可估测出A，B
两点间的距离为 米.
6
【点拨】△CMN∽△CAB， ＝ .
3. (北师九下习题、华师九上习题改编)如图，树AB垂直于地面，为测树
高，小明在C处测得∠C＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测
得∠ADB＝30°，计算出树的高度.
解：∵∠ADB＝30°，∠C＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠C＝15°，
∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD＝20，
∵∠ABD＝90°，∴AB＝ AD＝10，
∴树的高度约为10米.
4. (人教九下习题改编)如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平
放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方.已知小明
的眼睛离地面高度为1.5 m，量得小明与镜子(镜子的大小忽略不计)的水
平距离为2 m，小明与旗杆的水平距离为14 m，求旗杆高度.
解：如解图，由题意得，AB＝1.5 m，BC＝2 m，CD＝12 m，
根据镜面反射可知，∠ACB＝∠ECD，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ACB∽△ECD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得ED＝9，
答：旗杆高度约为9 m.
解图
类型二 多步测量问题
(近7年连续考查)
5. (北师九下习题改编)小明家与小华家住在同一栋楼，
他俩想测量所住楼对面商业大厦MN的高(MN不可直接测量，结果保留整
数)，并给出了如下几种方案，请你帮助他们完成计算.
(1)方案一：如图①，小华站在点A处测得商业大厦顶部
N的仰角为45°，向前走了35米到达点B处测得商业大厦
顶部N的仰角为61°，已知小华的眼睛到地面的高度
AC(BD)为1.7米，点A，B，M在同一水平线上(BM不
可直接测量)，MN⊥AB，试求商业大厦MN的高；
( sin 61°≈0.87， cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)
一题多设问
图①
解：如解图①，连接CD并延长交MN于点E，
由题意可知，四边形ABDC，四边形BMED均为矩形，
∴ME＝BD＝AC＝1.7，CD＝AB＝35，
设EN＝x，
在Rt△CEN中，∵∠ECN＝45°，
∴CE＝EN＝x，∴DE ＝CE －CD ＝x－35，
在Rt△DNE中，tan∠NDE＝ ＝ ≈1.80，
解得x≈78.75，
∴MN＝EN＋ME≈78.75＋1.7＝80.45≈80米，
答：商业大厦MN的高约为80米
解图①
E
(2)方案二：如图②，小明与小华在楼顶的B处，测
得商业大厦顶部N的仰角为38°，测得商业大厦底
部M的俯角为30°，已知AB⊥AM，MN⊥AM，
AB＝34米，点A，M在同一水平线上，试求商业
大厦MN的高；( sin 38°≈0.62， cos 38°≈0.79，
tan 38°≈0.78， ≈1.73)
图②
解:如解图②，过点B作BC⊥MN于点C，
∴四边形ABCM是矩形，∴CM＝BA＝34，
在Rt△BCM中，tan∠MBC＝tan 30°＝ ，
∴BC＝ ，
在Rt△BCN中，tan∠NBC＝tan 38°＝ ，
∴NC＝BC·tan 38°＝ ·tan 38°≈46，
∴MN＝CM＋NC≈34＋46＝80米，
答：商业大厦MN的高约为80米；
解图②
C
(3)方案三：小明将自己的方案记录如下：
【项目主题】测量商业大厦MN的高度
【测量示意图】
图③
【测量过程及数据说明】如图③，选取与商业大厦底M在同一水平地面
上的E，G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5米的标杆EF和GH，两
标杆间隔EG为94.2米，并且商业大厦MN、标杆EF和GH在同一竖直平
面内.从标杆EF前进1.2米到D处(即ED＝1.2米)，从D处观察N点，
N，F，D三点在同一直线上；从标杆GH前进3米到
C处(即CG＝3米)，从C处观察N点，N，H，C三点
也在同一直线上，且点M，E，D，G，C在同一直线上；
【测量任务】请你根据以上数据求出商业大厦MN的高度；
图③
解：设MD＝x，则MC＝MD＋DG＋CG＝x＋94.2－1.2＋3＝x＋
96，
∵MN⊥MC，EF⊥MC，
∴MN∥EF，
∴△NMD∽△FED，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
同理可证△NMC∽△HGC，
图③
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝64，
经检验，x＝64是原方程的解，且符合实际，
∴ ＝ ，
∴MN＝80米，
∴商业大厦的高度MN约为80米；
图③
(4)方案四：如图④，小华发现住宅楼AB(AB⊥AM)上的点C处挂了一面
镜子，小华在住宅楼AB和商业大厦MN(MN⊥AM)之间走动时，当走到
距离住宅楼AB 1米远的D处时，恰好能从镜子中看到商
业大厦的顶部N，已知小华眼睛E到地面的高度(ED)为
1.7米，镜子到地面AM的距离(CA)为3米(镜子大小忽略
不计)，住宅楼AB和商业大厦之间的距离AM为59米，
点A，D，M在同一水平线上，试求商业大厦MN的
高度；
图④
解：如解图③，过点E作EF⊥AB于点F，过点C作CG⊥MN于点G，
由题意可知，四边形FADE，四边形CAMG为矩形，
∠ECG＝∠NCG，ED＝1.7，
∴MG＝AC＝3，EF＝AD＝1，CG＝AM＝59，
∵EF⊥AB，CG⊥MN，AB⊥AM，MN⊥AM，
∴CG∥EF，∴∠FEC＝∠ECG，
∴∠FEC＝∠GCN，∴△FEC∽△GCN，∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得NG＝76.7，
∴MN＝NG＋MG＝76.7＋3≈80米，
答：商业大厦MN的高度约为80米
解图③
(5)[2025河南21(3)、2020河南18(2)考法]经过以上几个方案进行测量计算
后，小明和小华发现，实际测量过程中会产生一定的误差从而使得测量
结果不准确，请你分析一下误差可能产生的原因.(写出一条即可)
解：测量工具不准确.(答案不唯一，合理即可)(共21张PPT)
第四章 三角形
基础课24 相似三角形
节前复习导图
互
逆
相似三角形
相似三角形的
性质与判定
相似多边形
的性质
性质
判定
判定三角形
相似的思路
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：九下P23－P46；
北师：九上P76－P112；
华师：九上P57－P76.
夹角相等
第三边也对应成比例
相似三角形的性质与判定
性质
1.相似三角形对应角_____，对应边_______
2.相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例
3.相似三角形的周长比等于_______，面积比等于______________
判定
1.两角分别相等，两个三角形相似
2.两边分别成比例，且_____相等，两个三角形相似
3.三边分别成比例，两个三角形______
判定三角形相似的思路
有平行截线——用平行线的性质，找等角
有一对等角，找另一对等角或两邻边对应成比例
有两边对应成比例，找
相似
相等
成比例
相似比
相似比的平方
夹角
1.相似多边形对应角_____，对应边的比等于_______
2.相似多边形的周长比等于_______，面积比等于_____________
【拓展知识】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(运用前需证明)
相似多边形的性质
相似比的平方
相等
相似比
相似比
课堂巩固·基础题练考点
类型一 A字型(7年6考)
1. (北师九上习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上
的点，DE∥BC，且 ＝ .
(1) ＝ ， ＝ ；
【解析】∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，
∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .
(2)设△ADE的边DE上的高为h1，△ABC的边BC上的高为h2，则
＝ ， ＝ ， ＝ .
【解析】由(1)可知，△ABC∽△ADE，且相似比为5∶3，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝()2＝ .
DE∥BC，且 ＝ .
模型分析
1. 正A字型
条件：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，
DE∥BC(或 ＝ ).
图示：
结论：△ADE∽△ABC.
2. 斜A字型
条件：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，∠AED＝
∠B或∠ADE＝∠C.
图示：
结论：△ADE∽△ACB.
教材中的经典
◎经典问题 射影定理
(人教九下P43T7、北师九上P90T3、华师九上P67T2改编)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD＝4，CD＝6，则AD的长为 .
9
【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB＝90°，
∠CDA＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝
90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ，∴AD＝ ＝ ＝9.
满分技法
射影定理图形中的6条线段，已知其中的任意两条，则其他的4条均可以
求出.
教材中的经典
◎经典问题 三角形材料切割正方形零件
(人教九下P58T11改编)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，把它
加工成3个相同大小的正方形零件，底层正方形的边在BC上，点E，G
在AB上，点F，H在AC上.过点A作BC的垂线交BC于点D. 试判断
AD，BC的数量关系并证明.
解：AD＝BC.
如解图，设AD交EF，GH分别为点M，N，每
个正方形的边长为a.
根据题意可知EF∥GH∥BC，
∴△AEF∽△AGH，∴ ＝ ＝ ，
∴AM＝MN＝a，∴AD＝3a，∴ ＝ .
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，∴BC＝3a，∴AD＝BC.
解图
M
N
类型二 8字型(7年2考)
2. (2025三门峡一模)如图，AB∥CD，AD∥BE，AE与CD交于点O，
CD＝3OD，若BE＝15，则线段AD的长为( A )
A. 5 B. 4
C. 3 D. 6
A
【解析】∵AB∥CD，AD∥BE，CD＝3OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，OC＝2OD，∴AD＝BC，
∵AD∥BE，BE＝15，∴△AOD∽△EOC，∴ ＝ ＝ ，
CE＝2AD，∴BC＋CE＝AD＋2AD＝3AD＝15，∴AD＝5.
3. (人教九下习题改编)如图，在4×4的网格中，已知每个小的四边形都是
边长为1的正方形，A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，
则PC的长为 .
【试题链接】相关试题见本书微专题8 网格性质的应用.
【点拨】①如图，CD＝ ，
②△ARC∽△ABQ， ＝ ，RC＝ BQ，
③△BPD∽△RPC， ＝ ＝ ，PC＝ CD.
【解析】如解图，设AB与网格线交于点R，取格点Q，连接RC，CQ，BQ，则A，C，Q三点在同一条直线上，D，B，Q三点在同一条直线上，根据题意可知AC＝CQ＝2，AQ＝DQ＝4，BQ＝3，BD＝1，∠Q＝90°，∴CD＝ ＝ ＝2 ，
∵RC∥BQ，∴△ARC∽△ABQ，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴RC＝ BQ＝ ，
∵BD∥RC，∴△BPD∽△RPC，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴PC＝ CD＝ ×2 ＝ .
解图
模型分析
1. 正8字型
条件：如图，AC与BD交于点O，AB∥CD(或一组内错角相等)
图示：
结论：△AOB∽△COD.
2. 斜8字型
条件：如图，AC与BD交于点O，∠A＝∠D(或∠B＝∠C).
图示：
结论：△AOB∽△DOC.
类型三 其他模型(7年6考)
4. (北师九上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，D，E分别是AB，AC上一点，F是直线BC上一点，连接DE，
DF. 若∠EDF＝45°，求证： ＝ .
【模型链接】一线三等角模型见本书微专题15类型二.
答题规范
得分要点
证明：如解图，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，∴∠1＋∠2＝135°.
∵∠EDF＝45°，∴∠2＋∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴△ADE∽△BFD，
∴ ＝ .
等量代换推导出一组角相等
比例必须是对应边的比，顺序不能错
对应顶点的字母写在对应的位置上
解图
5. (北师九上习题改编)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED，
∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE，求证：△ACE∽△ABD.
证明：∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ＝ ，
∵∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵ ＝ ，∴△ACE∽△ABD.
【模型链接】手拉手模型见本书微专题15类型一.(共23张PPT)
第四章 三角形
基础课23 全等三角形
全等判
定思路
节前复习导图
互逆
性 质
判 定
边、角
周长、面积
中线、高线、
角平分线、中位线
SSS(边边边)
SAS(边角边)
ASA(角边角)
AAS(角角边)
HL
已知两边
已知一边和一角
已知两角
全等三角形
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八上P31－P47；
北师：七下P92－P104；
华师：八上P59－P77.
1.全等三角形的对应边_____，对应角______
2.全等三角形的周长_____，面积_____
3.全等三角形对应的中线、_____、_________、中位线都相等
性质
相等
相等
相等
相等
角平分线
高线
判定
SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL
三边分别相等的两个三角形全等 (基本事实) _______________________________________ (基本事实) _______________________________________ (基本事实) _________________________________________________________ ________________________________________________
两边及其夹角
分别相等的两个三角形全等
一条直角边与
斜边分别相等的两个直角三角形全等
两角及其夹边
分别相等的两个三角形全等
两角分别相等
且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
全等判定思路
1.已知两边
找夹角→SAS
找直角→HL或SAS
找第三边→SSS
2.已知一边和一角
边为角的对边→找另一角→AAS
边为角的邻边
找夹角的另一边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
3.已知两角
找夹边→ASA
找其中一角的对边→AAS
【易错提醒】1.“SSA”不能判定两个三角形全等；
2.“HL”是判定两个直角三角形全等的特有方法，对于一般三角形不适用.
为什么不能判定两个三角形全等 请举出反例，并说明两个图形之间有什么特点
SSA模型见本书微专题7.
课堂巩固·基础题练考点
类型一 平移型
1. (北师七下习题，华师八上习题改编)如图，△ABC≌△DEF，点B，
E，C，F在一条直线上，∠B＝∠DEF＝90°，AC交DE于点O，已
知AB＝10，CF＝6，AO＝CO，则S△OEC＝ .
15
【解析】∵△ABC≌△DEF，AB＝10，CF＝6，∴DE＝AB＝10，BC
＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF＝6，
∵∠B＝∠DEF＝90°，∴OE∥AB，
∵AO＝CO，∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝ AB＝5，CE＝BE＝6，
∴S△OEC＝ ×6×5＝15.
模型分析
解题思路：
1. 找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
2. 找等角：利用平行线性质找对应角相等.
类型二 轴对称型(7年6考)
2. (人教八上习题改编)如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则
CD的长度为( C )
A. 9 B. 6
C. 3 D. 2
【解析】∵△ABD≌△ACE，AE＝3，AB＝6，
∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝6，
∴CD＝AC－AD＝6－3＝3.
C
3. 如图，AB＝AC，DB＝DC，F是AD延长线上的一点.连接BF，CF，求证：∠BFA=∠CFA.
答题规范
得分要点
公共边相等
利用全等三角形性质得出结论
按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等
证明：∵AB=AC，DB=DC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAF=∠CAF，
∵AB=AC，AF=AF，
∴△ABF≌△ACF(SAS)，
∴∠BFA=∠CFA.
模型分析
1. 有公共边
2. 有公共顶点
解题思路：
1. 找等边：找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得到
对应边相等；
2. 找等角：找公共角、对顶角、垂直找直角、等腰等条件得到等角.
类型三 中心对称型(2020.22)
4. (北师七下习题改编)如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷
跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为50 cm，当小明到
水平线CD的距离AM为40 cm时，小颖到地面的距离为 cm.
90
【解析】在△OAM与△OBN中，
∴△OAM≌△OBN(AAS)，∴BN＝AM＝40 cm，
∴小颖到地面的距离为50＋40＝90 cm.
，
5. (北师八下习题改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，点E，F是对角线BD上的两点，BF＝DE，若△ABE的面积为6，则△CDF的面
积为 .
6
【点拨】△ABE≌△CDF(SAS).
【解析】∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵BF＝DE，∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴S△CDF＝S△ABE＝6.
模型分析
1. 共顶点
2. 不共顶点
解题思路：
1. 找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
2. 找等角：对顶角相等或利用平行线性质找对应角相等.
类型四 其他模型(7年3考)
6. (人教八上习题改编)已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上
的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°.
∵∠BCA＋∠DCE＋∠ACE＝180°，
∴∠BCA＋∠DCE＝90°.
∵∠BCA＋∠A＋∠B＝180°，∴∠BCA＋∠A＝90°，
∴∠DCE＝∠A，
在△ABC和△CDE中， ，
∴△ABC≌△CDE(ASA)，∴BC＝DE.
【模型链接】一线三等角模型见本书微专题15类型二.
7. (人教八上习题改编)如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，
D，E在同一直线上，连接BE. 求∠AEB的度数.
解：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，
∴∠AEB＝∠CEB－∠CED＝60°.
【模型链接】手拉手模型见本书微专题15类型一.
8. (北师九上习题改编)如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，∠DCE的顶点
在∠AOB的平分线OC上，两边分别与射线OA，OB交于点D，E. 求
证：CD＝CE.
证明：如解图，过点C分别作CM⊥OA于点M，
CN⊥OB于点N，
∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，CM＝CN，
∴∠MCO＝∠OCN＝30°，
∴∠MCN＝∠MCO＋∠OCN＝60°，
解图
∟
N
∟
M
∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠MCD＋∠DCN＝∠DCN＋∠NCE，
∴∠MCD＝∠NCE，
∴在△CDM和△CEN中， ，
∴△CDM≌△CEN(ASA)，∴CD＝CE.
【模型链接】对角互补模型见本书微专题15类型四.
解图
∟
N
∟
M
9. (人教八下习题改编)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，
CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，判断BE，DF，EF之间的数
量关系并证明.
解：EF＝BE＋DF；
证明：如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD
与AB重合，得到△ABF'，
由旋转的性质得，△ADF≌△ABF'，
∴∠DAF＝∠BAF，∠D＝∠ABF'，AF＝AF'，
解图
F'
∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠ABE＝∠ABF'＝90°，
∴∠ABE＋∠ABF'＝180°，∴F'，B，E三点共线.
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF'＝∠BAF'＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF'中， ，
∴△AEF≌△AEF'(SAS)，∴EF＝EF'，
∵EF'＝BE＋BF'＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.
【模型链接】半角模型见本书微专题15类型三.
解图
F'(共15张PPT)
第四章 三角形
提升课25 全等、相似类比探究
对接中招·多设问串核心
例 (人教九下习题改编)问题情境
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，E是DB上一
点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，交CD于点G.
(1)特例证明
如图①，当AC＝BC时，求证：DG＝DE；
证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG＋∠AEF＝∠DCE＋∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG≌△CDE(ASA)，
∴DG＝DE；
∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，交CD于点G.
(2)类比探究
如图②，当AC≠BC时，求证： ＝ .
证明：(2)∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BAC＝∠B＋∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∵AF⊥CE，∴∠DAG＋∠AEF＝∠DCE＋∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，∴△ADG∽△CDE，∴ ＝ ＝ .
题后反思
类比两问的证明过程，你发现它们之间有什么共同点？有什么不同点？
解：相同点：图形不同，条件相同情况下判断DG与DE之间的数量关
系；
不同点：图形变化：等腰Rt△ACB变为非等腰Rt△ACB；研究对象：
△ADG≌△CDE变为△ADG∽△CDE.
课堂巩固·中等题固考法
1. (北师九上习题改编)综合与实践
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在射线CB上运动，连接
AD，在AD左侧作∠ADP＝∠C，过点A作线段AE，使AE⊥AD，交
DP于点E，连接BE.
(1)操作发现
若∠C＝45°，如图①所示，线段BE，CD的数量关系为
，直线BE，CD的位置关系为 ；
BE＝CD
BE⊥CD
【解法提示】∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，∴∠ABC＝45°，AB＝
AC，∵∠DAE＝90°，∠ADP＝∠C＝45°，∴∠BAE＝∠CAD，
AD＝AE，∴△EAB≌△DAC(SAS)，∴EB＝DC，∠EBA＝∠C＝
45°，∴∠EBC＝90°，∴EB⊥CD.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADP＝∠C，AE⊥AD.
(2)类比探究
如图②所示，若∠C＝α，则(1)中直线CD，BE的位置关系是否仍然成
立？请说明理由.
解：仍然成立，理由如下：
∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，∠ADP＝∠C，
∴ ＝ ＝tan C，
又∵∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB∽△DAC，∴∠EBA＝∠C，
又∵∠C＋∠ABC＝90°，∴∠EBA＋∠ABC＝90°，
即∠EBC＝90°，∴BE⊥CD.
2. (华师八下习题，人教八下习题改编)问题探究
(1)操作发现
如图①，在等边△ABC中，点B，C在直线MN上，E为BC边上的一
点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接
CF，则线段CF与BE的数量关系是 ，线段CF与直线MN
所夹锐角的度数是 ；
CF＝BE
60°
【解法提示】如解图①，过点E作EK∥AC交AB于点K. 由旋转的性质得AE＝EF，∠AEF＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠CAB
＝∠ABC＝60°，AB＝BC，∵EK∥AC，∴∠BEK＝∠ACB＝60°，∠BKE＝∠CAB＝60°，∴△BEK是等边三角形，∴BK＝BE，
∠BKE＝60°，∴AK＝EC，∠AKE＝120°，
∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝∠ABC＋∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝60°，∴∠EAK＝∠FEC，在△EAK和△FEC中， ，△EAK≌△FEC(SAS)，
∴EK＝FC，∠AKE＝∠ECF＝120°，
∴∠FCN＝60°，
∵BE＝EK，∴CF＝BE.
解图①
K
(2)类比探究
如图②，在正方形ABCD中，点B，C在直线MN上，E为边BC上的任
意一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连
接CF，试探究线段BE与CF的数量关系及线段CF与直线MN所夹锐角
的度数，并说明理由.
解：CF＝ BE，线段CF与直线MN所夹锐角的度数为45°.理由如下：
如解图②，在BA上取一点K，使得BK＝BE，连
接EK.
由旋转的性质得AE＝EF，∠AEF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∵BK＝BE，
∴∠BKE＝∠BEK＝45°，AK＝EC，EK＝ BE，
∴∠AKE＝135°，
解图②
K
∵∠AEN＝∠AEF＋∠FEC＝∠ABC＋
∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴∠EAK＝∠FEC，
在△EAK和△FEC中， ，
∴△EAK≌△FEC(SAS)，
∴EK＝FC＝ BE，∠AKE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCN＝180°－∠ECF＝180°－135°＝45°.
解图②
K(共22张PPT)
第四章 三角形
基础课22 特殊三角形及其性质
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
等腰直角三角形
节前复习导图
特殊三角形
及其性质
边、角
边角关系
重要线段
对称性
面积计算公式
常见图形
判定
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八上P75－P84，八下P21－P39；
北师：八上P1－P12，八下P1－P21；
华师：八上P78－P84、P107－P117，九上P102－P103.
图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形
图形
边 两腰相等 三边相等 1.两直角边互相垂直 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2=c2
角 两底角相等 每一个角都等于60° 两锐角和等于90° 1.两锐角均为45°
2.两锐角和等于90°
3.两底角相等
图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形
图形
边角关系 等边对等角； 等角对等边 — 30°角所对的直角边是斜边的一半 —
重要线段 三线合一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 对称性 是轴对称图形， 有1条对称轴 是轴对称图形， 有3条对称轴 — 是轴对称图形，
有1条对称轴
图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形
图形
面积计 算公式
常见图形 图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形
判定 课堂巩固·基础题练考点
等腰三角形的性质及判定(7年9考，仅2022年未考查)
命题点 1
1. (北师八下习题，华师八上习题改编)如图，在△ABC中，∠ACB＝
120°，AC＝BC＝4.
(1)AB的长为 ；
【解法提示】如解图①，过点C作CF⊥AB于点F，
∴BF＝BC· cos 30°＝2 .
∵AC＝BC，∴F为AB的中点，∴AB＝2BF＝4 .
解图①
4
∟
F
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4.
(2)△ABC的面积为 ；
【解法提示】由(1)可知CF＝BC· sin 30°＝2，
∴S△ABC＝ AB·CF＝4 .
4
解图①
∟
F
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4.
(3)D为AB上一点(不与A，B重合)，若△BCD是等腰三角形.
①∠BCD的度数为 ，BD的长为 ；
75°或30°
4或
【解法提示】∵在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝30°.∵△BCD为等腰三角形，∴∠BCD＝∠B＝30°或∠BCD＝
(180°－∠B)＝75°；∵△BCD为等腰三角形，∴BD＝BC＝4或BD＝CD，当BD＝CD时，∠B＝∠BCD＝30°，如解图②，过点D作DG⊥BC于点G，∴BG＝ BC＝2，
∴BD＝ ＝ ，综上所述，BD的长为4或 .
解图②
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4.
②若点E为边AB上不同于D的一点，且BD＝DE＝AE，判断△CDE的
形状并证明.
解：△CDE是等边三角形.
证明：由(1)可知AB＝4 ，
∵BD＝DE＝AE，∴BD＝DE＝AE＝ ，
∴由(3)①可知∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝120°，BD＝CD＝ ，
如解图③，则∠EDC＝60°，CD＝DE，
∴△CDE是等边三角形.
解图③
题后反思
你发现△ACE是什么特殊三角形吗？给出你的理由吧！
解：△ACE是等腰三角形.理由：由(3)②可知△CDE是等边三角形，则
∠CEB＝60°，∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝30°＝∠A，即△ACE是等
腰三角形.
教材中的经典
◎经典图形 黄金三角形
(人教八上P77T1、北师八下P4T3、华师八上P84T1改编)黄金三角形是
指底和腰之比为黄金比的等腰三角形.经了解，一个内角为36°的等腰三
角形是黄金三角形，当顶角为36°时，它的底和腰之比为 ，当底角
为36°时，它的腰和底之比为 .请你任选一种证明其为黄金三角形.
证明：当顶角为36°，如解图，在等腰△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
作∠ACB的平分线交AB于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝72°＝∠B，
∴AD＝CD＝BC，△BDC∽△BCA.
设AD＝CD＝BC＝a，AC＝AB＝ka，
则 ＝ ，即 ＝ ，
解图
解得k＝ (负值已舍去)，
∴底和腰之比为 ＝ ＝ ；
当底角为36°，如解图，△ADC即满足，腰和底之比即为
＝ ＝ .(任选其一证明即可)
解图
直角三角形的性质及判定(近7年连续考查)( 快答
App·答疑高频考点3 162次)
命题点
2
2. (人教八上习题改编)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连
接CD.
(1)如图①，若AC＝3，BC＝4.
①AB＝ ，CD＝ ；
5
【解析】∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝ ＝5.
∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD＝ AB＝ .
②点C到AB的距离为 ；
【解析】设点C到AB的距离为h，根据题意可知，S△ABC＝ AC·BC＝
AB·h，∴h＝ ，即点C到AB的距离为 .
2. (人教八上习题改编)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接CD.
(2)如图②，若∠B＝30°，AC＝2.
①AB＝ ；
【解析】∵∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4.
4
2. (人教八上习题改编)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接CD.
②E为边BC上一动点，若△DBE为直角三角形，则DE的长为 .
【解析】由(2) ①可得，AD＝BD＝CD＝
AB＝2.分情况讨论，①如解图①，若
∠DEB＝90°，则DE＝ BD＝1；②如解
图②，若∠EDB＝90°，则DE＝BD·tan
30°＝ .综上所述，DE的长为1或 .
解图
1或
如图②，若∠B＝30°，AC＝2.
3. (人教八下习题改编)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝
60°，点A(0，1)，C(1，0)，则B点坐标为 .
(＋1， )
【点拨】①如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
AC＝OA .BC＝ AC，
②∠BCD＝45°，CD＝BD＝ BC.
∟
D
【解析】如解图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A(0，1)，C(1，0)，∴OA＝OC＝1，∴∠ACO＝
45°，AC＝ .在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，
∴BC＝ AC＝ ，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝45°，在Rt△BCD中，CD＝BD＝ ＝ ，∴OD＝ ＋1，∴B(＋1， ).
解图
∟
D(共24张PPT)
第四章 三角形
基础课21 一般三角形及其性质
节前复习导图
一般三角形
及其性质
三角形
的分类
三角形的
边、角关系
三角形中的
特殊线段
及直线
按边分
按角分
三边关系
角的关系
中线
高线
角平分线
中位线
垂直平分线
三角形的性质
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八上P1－P18；
北师：七下P81－P91，八下P22－P32、P150－P152；
华师：七下P72－P82，九上P77－P79.
按角分：锐角三角形、____________、钝角三角形
三角形的分类
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底≠腰的等腰三角形
____________
三角形的性质：三角形具有稳定性
等边三角形
直角三角形
任意一个外角_____与它不相邻的两个内角之和
任意一个外角_____任何一个与它不相邻的内角
三角形的边、角关系
三边关系：三角形任意两边之和_____第三边，任意两边之差_____第三边
【满分技法】判断给定的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短线段的和是否大于最长线段
角的关系
内角和定理：____________________________
外角和：三角形的外角和为______
大于
小于
三角形三个内角的和等于180°
360°
等于
大于
等角
边角关系：同一个三角形中，等边对_____，大边对大角；等角对等边，大角对大边
内、外角
关系
三角形中的特殊线段及直线
特殊线段/直线 性质(文字语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸
线段 中线 AD是△ABC的中线 三角形三条中线的交点为三角形的重心
高线 AD是△ABC的高线 ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥____ (∠ADB=∠ADC=90°) 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心
BC
CD
三角形中的特殊线段及直线
特殊线段/直线 性质(文字语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸
线段 角平 分线 AD是△ABC的角平分线 (1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心；
(2)内心到三角形三边距离相等
中位线 DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=__BC 【适用情况】在三角形中遇到某一边中点时，常构造三角形中位线，可简单地概括为“已知中点找中位线”
∠DAC
三角形中的特殊线段及直线
特殊线段/直线 性质(文字语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸
直线 垂直 平分 线 DE是△ABC中BC边上的垂直平分线(中垂线) ∵DE是△ABC中BC边上的垂直平分线， ∴DE⊥BC，BE=____，BD=____ (1)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点；
(2)外心到三角形三个顶点的距离相等
CD
CE
课堂巩固·基础题练考点
三角形及边角关系
命题点
1
1. (人教八上习题改编)空调安装在墙上时，一般都会用三角形支架进行固定，这种固定方法应用的几何原理是 .
三角形具有稳定性
2. (北师七下习题改编)若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个等腰三角形，则a的值为 .
5
一题多解法
解法一：【解析】根据题意可知，a的值可取2或5，当a＝2时，2＋2＜
5，∴不能构成三角形；当a＝5时，满足任意两边之和大于第三边，两边
之差小于第三边，∴a＝5.
解法二：【解析】根据三角形的三边关系可知，5－2＜a＜5＋2，即3＜
a＜7，∵三条线段要组成等腰三角形，∴a＝5.
3. (人教八上习题，华师七下习题改编)如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，已知∠B＝42°，∠C＝36°，∠BAD＝66°.
(1)∠BAC的度数为 ，∠ADC的度数为 ；
【解析】∵∠B＝42°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝
102°.∵∠B＝42°，∠BAD＝66°，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝
108°.
102°
108°
(2)△ABC的形状为 三角形(填“钝角”“锐角”或“直角”)；
【解析】由(1)可知，∠BAC＝102°＞90°，∴△ABC为钝角三角形.
钝角
(3)AD，CD的大小关系为 ；AD，AB的大小关系为
.
【解析】由(2)可知，∠ADC＝108°，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝180°
－∠ADC－∠C＝36°＝∠C，∴AD＝CD，∠ADB＝∠C＋∠DAC
＝72°＞∠B，∴AD＜AB.
AD＝CD
AD
＜AB
3. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，已知∠B＝42°，∠C＝36°，∠BAD＝66°.
题后反思
你能判断△ADC的形状吗？给出你的理由吧！
解：△ADC是等腰三角形.理由:由(3)可知AD＝CD，∴△ADC是等腰三
角形.
三角形中的重要线段(近7年连续考查)( 快答App·答疑
高频考点256次)
命题点
2
4. (2025河南6题3分)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，
△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与
网格线的交点，连接DE，则DE的长为( B )
B
【点拨】①如图，取格点G，H，
＝ ＝ ＝ ，
②DE是△ABC的中位线，DE＝ BC.
A. B. 1 C.
G
H
【解析】如解图，取格点G，H，由网格的性质可知，
EG∥CH，∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
∴D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝ BC＝1.
解图
G
H
5. (北师八下习题改编)在△ABC中，AB＝3 ，AC＝5，D为直线BC
上一点，连接AD.
(1)若AD为BC边上的中线， ＝ ；
△ABD和△ACD的周长差为 ；
1
3 －5
【解法提示】∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，设点A到BC的距离为h，∴ ＝ ＝1.
∵BD＝CD，∴C△ABD－C△ACD＝AB＋BD＋AD－AC－CD－AD
＝AB－AC＝3 －5.
(2)若AD为BC边上的高，且AD＝3.
①BC的长为 ；
【解法提示】如解图①，当BC边上的高AD在△ABC内部时，
在Rt△ACD中，AC＝5，AD＝3，由勾股定理得CD＝4，
在Rt△ABD中，AB＝3 ，AD＝3，由勾股定理得BD＝6，则BC＝BD＋CD＝10；如解图②，当BC边上的高AD在△ABC的外部时，则点D一定在BC的延长线上，此时BC＝BD－CD＝2.
解图
10或2
5. (北师八下习题改编)在△ABC中，AB＝3 ，AC＝5，D为直线BC上一点，连接AD.
②当BD＞BC时，点C到AB的距离为 ；
【解法提示】∵BD＞BC，∴由(2)①可知，BC＝2，设点C到AB的距
离为h1，∴S△ABC＝ AD·BC＝ AB·h1＝3，∴h1＝ ，即点C到AB
的距离为 .
5. (北师八下习题改编)在△ABC中，AB＝3 ，AC＝5，D为直线BC
上一点，连接AD.
解图
(3)若AD为∠BAC的平分线.
① ＝ ；
【解法提示】如解图③，过点D分别作AB，
AC的垂线交AB，AC于点M，N，
∵AD为∠BAC的平分线，∴DM＝DN，
∴ ＝ ＝ ＝ .
解图③
5. (北师八下习题改编)在△ABC中，AB＝3 ，AC＝5，D为直线BC
上一点，连接AD.
②求证： ＝ .
证明：设BC边上的高为h2，
∴根据题意可知 ＝ ＝ ，
∵由(3)①可得 ＝ ，
∴ ＝ .
5. (北师八下习题改编)在△ABC中，AB＝3 ，AC＝5，D为直线BC
上一点，连接AD.
6. (人教八上习题改编)某地有如图所示的三条交叉公路AB，AC，
BC，为了促进当地旅游发展，文旅局要在△ABC内部空地上修建一个
度假村，使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？(无
需尺规作图)
解：如解图，度假村应该建在∠BAC，∠ABC和∠ACB的角平分线的交点P处.
解图
解：∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，
同理，∠PCB＝∠ACP，
∴∠P＝180°－∠PBC－∠PCB
＝180°－ (180°－∠A)＝90°＋ ∠A，
即∠P＝90°＋ ∠A；
教材中的经典
◎经典图形 三角形内外角角平分线相交形成的角
(人教八上P17T9、北师八上P187T16、华师七下P82T4改编)
1. 如图①，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB；
图①
2. 如图②，点D在BC的延长线上，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACD；
解：由三角形外角性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠PCD＝∠PBC＋∠P，
∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCD＝ ∠ACD，
∴ ∠A＋ ∠ABC＝ ∠ABC＋∠P，
∴∠P＝ ∠A；
3. 如图③，点D，E分别在AB，AC的延长线上，BP，CP分别平分
∠DBC，∠ECB.
探究∠P与∠A之间的数量关系.
解：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝ ∠DBC，∠BCP＝ ∠ECB，
∵在△BPC中，∠P＝180°－∠CBP－∠BCP
＝180°－ (∠DBC＋∠ECB)，
∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180°－ (180°＋∠A)＝90°－ ∠A.
图③(共28张PPT)
第四章 三角形
基础课20 线段、角、相交线与平行线
章前复习思路
线段、角、相交线与平行线
线段和直线
角及其平分线
相交线、平行线
比例线段
全等、相似三角形的性质
全等、相似三角形的判定
三角形
全等、相似三角形
命题
三角形
特殊
等边三角形
直角三角形
性质
面积
判定
角
边角关系
边
重要线段(中线、高线、角平分线、中位线、
垂直平分线)
等腰三角形
等腰直角三角形
解决问题
锐角三角函数
实际应用
节前复习导图
线段、角、相
交线与平行线
线段和直线
黄金分
割比例
角及其
平分线
相交线
平行线
比例线段
命题
两个基本事实
线段的和与差
线段的中点
两点的距离
度分秒的换算
余角、补角
角平分线
对顶角
邻补角
三线八角
点到直线的距离
垂线的性质
线段的垂直平分线
平行公理及推论
平行线的
判定和性质
比例的性质
平行线分线段成比例
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七上P125－P141，七下P1－P27，八上P48－P52、P60－P61，九下P29－P31；
北师：七上P106－P121，七下P38－P54，八上P161－P177，八下P15－P32，九上P76－P85、P95－P98；
华师：七上P138－P153、P159－P184，八上P54－P58、P92－P99，九上P48－P57.
线段的和与差：如图①，在线段AC上取一点B，
则有：____＋BC=AC；AB=____－BC；BC=AC－____
线段的中点：如图②，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，即有AM=_____=AB
两点的距离：连接两点之间的线段长度
线段和直线
两个基本事实
1.直线的基本事实：两点确定一条直线
2.线段的基本事实：两点之间，_____最短
线段
图①
图②
AB
AC
AB
MB
性质：_________________________________，如图③，OC是∠AOB的平分线，D是OC上一点，DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，则DE=____
逆定理：角的内部到角两边距离_____的点在角的平分线上
角及其平分线
度分秒的换算：1°=60′，1′=60″，度、分、秒之间是60进制
余角、补角
余角：若∠1＋∠2=____，则∠1与∠2互为余角
补角：若∠1＋∠2=_____，则∠1与∠2互为补角
性质：同角(等角)的余角_____，同角(等角)的补角_____
角平分线
相等
90°
180°
相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
DF
相等
同位角：∠1与∠5，∠2与____，∠3与∠7，∠4与_____
内错角：∠2与∠8，∠3与____
同旁内角：∠2与∠5，∠3与∠8
相交线(如图④)
对顶角
举例：∠1与∠3，∠2与____，∠5与∠7，∠6与____
性质：对顶角______
邻补角
举例：∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7等
性质：邻补角之和等于_____
∠5
∠4
∠8
相等
180°
三线八角
∠6
∠8
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_______的长度
垂线段
性质：___________________________________________
逆定理：到一条线段两端点_________的点在这条线段的垂直平分线上
相交线(如图④)
垂线的性质
1.在同一平面内，过一点有且只有___条直线与已知直线垂直(基本事实)
2.连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，_______最短
距离相等
一
垂线段
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
平行线
平行公理及推论
公理：经过直线外一点，有且只有_____直线与这条直线平行(基本事实)
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相_____
平行
一条
同位角_____两直线平行(判定是基本事实)
内错角_____两直线平行
同旁内角_____两直线平行
平行线的判定和性质
【温馨提示】1.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.两条平行线之间的距离处处相等
相等
相等
互补
比例线段
比例的性质
性质1：如果=，那么ad=___ (abcd≠0)
性质2(合比性质)：如果=，那么=_____ (bd≠0)
性质3(等比性质)：如果==…=(b＋d＋…＋n≠0)，则=
bc
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).如图⑤，当l3∥l4∥l5时，有=____，=____等
平行线分线段成比例
比例线段
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图⑥，当DE∥BC时，有=____，=____等
如图⑦，当DE∥BC时，有==____
平行线分线段成比例
黄金分割比例：如图⑧，若=____，则线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，且=≈0.618.简记为“==”
命题：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a，
b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2”
1.该命题的条件是_______________________________________________，结论是__________， 该命题是___命题(填“真”或“假”)；
2.“如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”，该命题___1中命题的逆命题(填“是”或“不是”)，该命题是___命题(填“真”或“假”)
命题
a2＋b2=c2
直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c
真
是
真
课堂巩固·基础题练考点
线段和直线
命题点
1
1. (北师七上习题改编)请写出两个将基本事实应用于生活的例子.
(1)“两点确定一条直线”：
；
(2)“两点之间，线段最短”：
.
跳高比赛中，只需两个支点就能固定横杆
(答案不唯一)
从A地到B地，架设电线，总是尽可能
沿着线段AB架设(答案不唯一)
2. (新人教七上习题改编)已知线段AB，延长AB至点C，使BC＝ AB，
D是线段AC的中点，如果DC＝2，则AB的长为 .
3
角与角平分线(2025.4新增考查量角器的使用)
命题点
2
3. (人教七上习题，华师七上习题改编)
计算：63°15'34″－25°47'12″＝ .
37°28'22″
易错提醒
进行加减运算时，要同单位加减，满60进1，借1当60.
4. (2025河南4题3分)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( C )
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
【解析】如解图，由量角器可知，∠1＝120°，
∴∠2＝∠1＝120°，即所量内角的度数为120°.
解图
C
5. (人教七上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分
∠ABC交AC于点D. 若CD＝ ，AB＝2，则△ABD的面积是 .
【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，
BD平分∠ABC，CD＝ ，AB＝2，∴DE＝CD＝ ，
∴△ABD的面积是 ×AB·DE＝ ×2× ＝ .
解图
∟
E
6. (北师七上习题改编)如图，已知点O在直线AB上，OC为一条射线，
射线OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC. 若∠CON＝68°，则∠AOM
的度数为 °.
22
【解析】∵ON平分∠BOC，∠CON＝68°，∴∠BOC＝2∠CON＝136°，
∵∠BOC＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝44°，
∵OM平分∠AOC，∴∠AOM＝ ∠AOC＝22°.
相交线(7年2考)
命题点
3
类型一 相交线性质求角度(7年2考)
7. (2023河南4题3分)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，
∠2＝30°，则∠AOE的度数为( B )
B
A. 30° B. 50°
C. 60° D. 80°
【解析】∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD－∠2＝80°－30°＝50°.
8. (2022河南3题3分)如图，直线 AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足
为O. 若∠1＝54°，则∠2的度数为( B )
A. 26° B. 36°
C. 44° D. 54°
【解析】∵直线AB，CD相交于点O，∴∠BOD＝∠2，
∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，
∴∠BOD＝∠EOD－∠1＝36°，∴∠2＝36°.
B
类型二 垂线及垂直平分线
9. (北师八下习题改编)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点
D，连接BD. 若BD＝3，CD＝5，则AC的长为 .
【解析】∵△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD，
∵BD＝3，∴AD＝BD＝3，
∵CD＝5，∴AC＝AD＋CD＝3＋5＝8.
8
平行线的判定及性质(7年4考)
命题点
4
类型一 平行线的判定
10. (人教七下习题改编)如图，在四边形ABCD中，延长BC至点E.
(1)若∠B＝∠DCE，则 ∥ ，依据为：
；
AB
CD(或CD，AB)
同
位角相等，两直线平行
(2)若∠D＝∠DCE，则 ∥ ，
依据为： ；
(3)若∠B＋∠A＝180°，则 ∥ ，
依据为： .
AD
BE(或BE，AD)
内错角相等，两直线平行
AD
BE(或BE，AD)
同旁内角互补，两直线平行
类型二 平行线性质求角度(7年4考)
11. (2024河南3题3分)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度
数为( B )
A. 60° B. 50°
C. 40° D. 30°
B
12. (2020河南4题3分)如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数
为( B )
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
B
平行线分线段成比例
命题点
5
13. (人教九下习题改编)透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关
系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘制的一个图案，已
知AB∥CD∥EF， ＝ ， ＝ ，且两侧图象关于消失点O对称，则
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .
黄金分割
命题点
6
14. (北师九上习题改编)如图，乐器上的一根弦AB长度为80 cm，两个端
点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点
D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为
cm.(结果保留根号)
(80 －160)
【点拨】①AC＝DB＝ AB，
②CD＝AC＋BD－AB.
【解析】∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80 cm，∴AC＝
AB＝ ×80＝(40 －40) cm，同理，DB＝(40 －40)cm，
∴CD＝AC＋BD－AB＝2×(40 －40)－80＝(80 －160)cm，
∴支撑点C，D之间的距离为(80 －160)cm.
题后反思
你发现了吗，一条线段的黄金分割点有两处哦！因此在解此类题目时要
注意分类讨论.
