(共29张PPT)
第五章 四边形
基础课27 平行四边形及矩形(含多边形)
章前复习思路
互逆
边、角特殊化
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
判定
对称性
面积
边
角
对角线
多边形
特殊
正多边形
四边形
周长
节前复习导图
特殊
平行四边形
及矩形（含多边形）
平行四边形
矩形
多边形
的性质
正多边形
的性质
内角和定理
外角和定理
对角线
定义
性质
判定思路
定义
性质
判定
边、角
对称轴
对称性
外接圆、内切圆
内角、外角
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八上P19－P25，八下P40－P47、P52－P55；
北师：七上P122－P125，八下P134－P149、P153－P157，九上P11－P19；
华师：七下P83－P92，八下P71－P109.
定义：两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形
性质：
平行四边形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
边 对边平行且_____ __________________
__________________
角 对角_____，邻角_____ ∠ABC=_______，∠ABC＋∠BCD=_____ 对角线 ________________ AO=CO，BO=DO 对称性 是中心对称图形 对称中心是两条对角线的交点 — 对角线互相平分
平行
相等
AB∥CD，AB=CD，
BC∥AD，BC=AD
相等
互补
∠ADC
180°
平行四边形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
面积 边长×该边上的高 S ABCD=________
周长 等于两邻边和的2倍 C ABCD=___________
_____________ 【满分技法】 1. 四边形具有不稳定性；
2. 过对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的面积和周长；
3. 平行四边形对角线所分得的4个小三角形面积相等；
4. 相邻两个小三角形的周长差为平行四边形的两邻边之差.
2(AB＋BC)
BC AE
(答案不唯一)
判定：
平行四边形
图形 添加条件 判定定理
________________ _________分别平行的四边形是平行四边形
________________ _________分别相等的四边形是平行四边形
________________________________ _________平行且相等的四边形是平行四边形
________________ 对角线_________的四边形是平行四边形
______________________________ 两组对角_________的四边形是平行四边形
(人教独有)
分别相等
AB∥CD，AD∥BC
两组对边
AB=CD，AD=BC
两组对边
AB∥CD，AB=CD或
AD∥BC，AD=BC
一组对边
AO=OC，OB=OD
互相平分
∠DAB=∠DCB，
∠ADC=∠ABC
定义：有一个角是_____的平行四边形叫做矩形
性质：矩形具有平行四边形的一切性质
矩形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
边 ________________ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
角 四个角都是直角 ________________________________ 对角线 对角线互相____________ _________________ ___________ 对称性 既是轴对称图形(有___条对称轴)，又是中心对称图形 — 面积 等于相邻两边的乘积 S矩形ABCD=AB AD 对边平行且相等
直角
OA=OB=OC=OD，
AC=BD
∠ABC=∠BCD=∠CDA
=∠DAB=90°
平分且相等
2
矩形
判定思路：
多边形的性质
1.内角和定理：n(n≥3)边形的内角和等于____________
2.外角和定理：多边形的外角和都等于_____
3.对角线：过n(n＞3)边形的一个顶点可以引_______条对角线，n边形共有__________条对角线
(n－2)×180°
360°
(n－3)
1.正多边形的各边_____，各内角_____
2.正n(n≥3)边形有___条对称轴
3.正n(n≥3)边形的每一个内角都等于______________________________，每一个外角都等于_______
4.对于正n(n≥3)边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形
5.正n(n≥3)边形有一个外接圆，还有一个内切圆，它们是同心圆
正多边形的性质
相等
相等
n
或180°－
课堂巩固·基础题练考点
平行四边形的性质与判定(7年7考)
命题点
1
类型一 平行四边形的判定(7年3考)
1. (北师八下习题改编)已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.
(2)如图，若E为AB边上一点，F为CD边上一点，且CF＝AE，连接
DE，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形.
解：(2)由(1)知四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∵CF＝AE，∴CD－CF＝AB－AE，
即DF＝BE，
∵AB∥CD，∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
类型二 平行四边形的性质(7年4考)
2. (2024河南6题3分)如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点
O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F. 若 AB＝4，则EF 的长
为( B )
B
B. 1
D. 2
3. (人教八下习题改编)如图， OABC的顶点O，A，C的坐标分别是
(0，0)，(a，0)，(b，c)，则顶点B的坐标是( B )
A. (a－b，c) B. (a＋b，c)
C. (b－a，c) D. (a±b，c)
B
【解析】∵四边形OABC是平行四边形，∴AO＝BC，AO∥BC，
∴xB－xC＝xA－xO，yB＝yC，
∵点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(a，0)，(b，c)，
∴xB－b＝a，yB＝yC＝c，∴xB＝a＋b，∴点B的坐标为(a＋b，c).
4. (人教八下习题改编)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
AB＝2，BD＝2 ，AC＝2 .
(1)CD＝ ，OA＝ ，OB＝ ；
2
如图， ABCD，AB＝2，BD＝2 ，AC＝2 .
(2)△AOB的面积为 ，四边形ABCD的面积为 4 ，BC边上
的高为 ；
【解析】∵OB＝ ，AB＝2，OA＝ ，
∴()2＋22＝()2，
∴△ABO为直角三角形，∠BAC＝90°，∴S△AOB＝ OA·AB＝ ×
×2＝ ，∴S ABCD＝4S△AOB＝4 ，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝
2 ，∴BC＝ ＝4，设BC边上的高为h，
∵S ABCD＝BC·h，∴4 ＝4h，∴h＝ .
4
思维提升
(3)过点O作一条直线将 ABCD分为两个小四边形，则这两个小四边形
的周长和的最小值是 .
【解析】如解图，过点O作直线OM⊥AD于点
M，交BC于点N，∵AD∥BC，
∴ON⊥BC，此时，两个小四边形的周长的和最小，最小值为12＋2 .
解图
12＋2
M
N
如图， ABCD，AB＝2，BD＝2 ，AC＝2 .
矩形的性质与判定(7年5考)( 快答App·答疑高频考点4 003次)
命题点
2
类型一 矩形的判定(2025.23)
5. (人教八下习题改编)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O.
(1)若∠BAD＝∠ABC＝90°，请添加一个条件，使得四边形ABCD是矩
形，并说明理由；
(1)解：添加条件：∠BCD＝90°.
理由：∵∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；(答案不唯一)
在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(2)证明：∵△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∴OA＝OD，OB＝OC，
∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形.
(2)若四边形ABCD为平行四边形.当△OAB是等边三角形时，求证：四边
形ABCD是矩形.
类型二 矩形的性质(7年4考)
6. (北师九上习题改编)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
E是BD上一点，连接AE，AB＝2，BD＝4.
(1)AC＝ ，AD＝ 2 ，S矩形ABCD＝ 4 ，C矩形ABCD＝
；
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD＝4，在Rt△BAD中，AD＝ ＝ ＝2 ，S矩形ABCD＝AB·AD＝2×2 ＝4 ，C矩形ABCD＝2(AB＋AD)＝4＋4 .
4
2
4
4＋4
(2)∠AOB＝ °，∠ACB＝ °，△AOB的形状为
；
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC＝BD＝4，
∴OA＝OB＝2，
∵AB＝2，∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝∠AOB＝60°，
∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°.
60
30
等边三角
形
6. (北师九上习题改编)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
E是BD上一点，连接AE，AB＝2，BD＝4.
(3)当AE⊥BD时，AE＝ .
【解析】由(2)可知，∠ABO＝60°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，
∴AE＝AB· sin 60°＝ .
6. (北师九上习题改编)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
E是BD上一点，连接AE，AB＝2，BD＝4.
教材中的经典
◎经典方法 矩形折纸—三等分一个直角
(人教八下P64数学活动改编)若我们身旁没有量角器或三角尺，又需作
60°，30°，15°等大小的角，可采用如下方法：
操作一：如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
把纸片展平；
操作二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，且折
痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到线段BN.
求证：∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.
证明：如解图，连接AN，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴EF垂直平分AB，∴AN＝NB，
又∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕为BM，
∴BM垂直平分AN，∠ABM＝∠MBN，
∴AB＝NB，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝30°，∠ABM＝∠MBN＝ ∠ABN＝30°，
∴∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.
解图
题后反思
怎么将一个锐角三等分呢？你能证明吗？
解：如解图①，N为矩形纸片ABCD的边 AD上的一
点，连接 BN，在 AB上取一点P，折叠纸片，使 B，P
两点重合，展平纸片，得到折痕 EF；折叠纸片，使点
B，P分别落在 EF，BN上，得到折痕 l，点 B，P的
对应点分别为 B'，P'，展平纸片，连接 BB'，P'B'，则
BB'是∠NBC的一条三等分线.
解图①
证明：如解图②，设l与EF交于点O，连接BO并延长
交P'B'于点K，
由折叠的性质可得，EF垂直平分PB，直线l垂直平分
BB'，∠PBB'＝∠P'B'B，
∴∠BEB'＝90°，OB＝OB'，∠OBB'＝∠OB'B，
在△EBB'和△KB'B中， ，
∴△EBB'≌△KB'B(ASA)，
∴∠B'KB＝∠BEB'＝90°，BE＝B'K，
解图②
∵PB＝P'B'，E为PB的中点，
∴K为P'B'的中点，∴BK垂直平分P'B'，
∴∠B'BK＝∠P'BK，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥AB，
∵EF⊥AB，∴EF∥BC，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∴∠B'BC＝∠B'BK＝∠P'BK，
∴BB'是∠NBC的一条三等分线.
解图②
多边形及其性质(2022.9)
命题点
3
7. (人教八上习题改编)一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的3倍.
(1)该多边形的内角和为 ，边数为 ；
(2)若该多边形为正多边形，则一个外角的度数为 ；
(3)过该多边形的一个顶点可以引 条对角线，该多边形共有 条
对角线；
(4)若该多边形为正多边形，则共有 条对称轴.
1 080°
八
45°
5
20
8 (共22张PPT)
第五章 四边形
提升课29 四边形中的学习方法及思维方式
大单元思维 研究图形的方法：定义—性质—应用
主题一 探究“新定义四边形”的性质及应用(筝形、邻对等四边形)
1. (人教八上数学活动改编)如图①，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB
＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
(1)性质探究
证明：①BD平分∠ABC；
(1)证明：①在△ABD和△CBD中， ，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD＝∠CBD，
即BD平分∠ABC；
证明：②∵AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵AB＝CB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
即AC⊥BD；
(1)性质探究
证明：②AC⊥BD；
(2)性质应用
如图②，在筝形ABCD中，∠B＝60°，DE∥BC
交AB于点E，AB＝8，DE＝6，求AD的长.
在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
(2)解：如解图，连接AC，BD交于点O，过点E作
EF⊥BD于点F，
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8，
由(1)得BD垂直平分AC，
∴AO＝CO＝ AC＝4，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
解图
又∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴ED＝EB＝6，
∴BF＝BE· cos 30°＝6× ＝3 ，DF＝DE· cos 30°
＝6× ＝3 ，∴BD＝BF＋DF＝6 ，
∵BO＝BC· cos 30°＝8× ＝4 ，
∴DO＝BD－BO＝2 ，
∴在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ＝2 .
解图
2. 定义：有一组邻角相等且对角线相等的四边形叫做邻对等四边形.
(1)概念理解
根据邻对等四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是邻对等四边形的
是 ；(从下列选项中选出两个)
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 平行四边形
【解法提示】∵矩形和正方形的四个内角都是直角，且对角线都相等，
∴A，C选项一定都是邻对等四边形，
∵菱形和平行四边形的对角线不一定相等，
∴B，D选项不一定是邻对等四边形.
AC
(2)性质探究
如图①，四边形ABCD是一个邻对等四边形，其中，AB＞CD，∠ABC＝∠BCD，连接AC，BD，且AC＝BD. 求证：∠BAC＋∠BDC＝180°.
证明：如图①，延长CD至点E，使得CE＝BA，连接BE，
在△ECB和△ABC中， ，
∴△ECB≌△ABC(SAS)，∴BE＝AC，∠E＝∠BAC，
∵AC＝BD，∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E，∴∠BDE＝∠BAC，
∵∠BDE＋∠BDC＝180°，∴∠BAC＋∠BDC＝180°.
图①
E
2. 定义：有一组邻角相等且对角线相等的四边形叫做邻对等四边形.
拓展提升
如图②，已知△ABC，∠C＞∠B＞∠A，请你在下图中作一个邻对等四
边形ABCD，使得点D在AC的上方.(要求：尺规作图，不写作法，保留
痕迹)
图②
解：邻对等四边形ABCD如解图②所示(答案不唯一).
解图②
数学思想 “特殊到一般”的思维
主题二 探究特殊四边形中“对角线”和“边”的关系
(正方形→菱形→平行四边形)
3. (2025 ·人教八下习题改编)小明同学在进行四边形大单元整合知识
时，试图用“特殊到一般”的思想方法研究四边形的边长与对角线的关
系，下面是他的探究过程.
(1)观察发现
如图①，正方形ABCD的对角线长为m，则AB2＋BC2＝
(用含m的代数式表示)；
m2
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形且对角线为m，∴AC＝m，∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2＝m2.
(2)操作探究1
如图②，菱形ABCD的对角线AC长为m，BD长为n，则AB2＋BC2
＝ (用含m，n的代数式表示)；
m2＋ n2
【解法提示】设AC与BD交于点O，∵菱形ABCD的对角线AC长为m，BD长为n，∴AC⊥BD，AB＝BC，AO＝CO＝ m，BO＝DO＝ n，∴AB2＝AO2＋BO2＝ m2＋ n2，
∴AB2＋BC2＝2AB2＝ m2＋ n2.
(3)操作探究2
如图③，在 ABCD中，对角线AC长为m，BD长为n，猜想AB2＋BC2
的值并说明理由(用含m，n的代数式表示).
解：AB2＋BC2＝ m2＋ n2；
理由：如解图，过点A作AE⊥BC于点E，过
点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AE＝DF，BE＝CF，
解图
在Rt△AEC中，m2＝AC2＝AE2＋EC2＝AE2＋(BC－BE)2，
在Rt△BDF中，n2＝BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋(BC＋CF)2＝AE2＋(BC＋BE)2，
∴m2＋n2＝AE2＋(BC－BE)2＋AE2＋(BC＋BE)2
＝2AE2＋2BE2＋2BC2
＝2AB2＋2BC2，
∴AB2＋BC2＝ m2＋ n2.
解图
主题三 探究特殊四边形的“角平分线四边形”
的形状(正方形→矩形→平行四边形)
4. 综合与实践
(1)课本再现
如图①，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有
个等腰直角三角形；
8
(2)深入探究
如图②，在矩形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别为∠DAB，
∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线，AE与DF交于点M，BE与CF交
于点N.
①求证：四边形EMFN是正方形；
(2)证明：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB＋∠EBA＝ (∠DAB＋∠ABC)＝ ×180°＝90°，
∴∠AEB＝90°，
同理可证∠DFC＝∠DMA＝∠BNC＝90°，
∴四边形EMFN是矩形，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠MAD＝∠MDA＝45°，
∴△MDA是等腰直角三角形，
∴DM＝MA，
同理可证△FDC，△ABE是等腰直角三角形，
且△FDC≌△EAB，
∴AE＝DF，
∴ME＝MF，
∴四边形EMFN是正方形；
(2)深入探究
如图②，在矩形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别为∠DAB，
∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线，AE与DF交于点M，BE与CF交
于点N.
②连接EF，求证：EF＝AB－BC；
证明：②如解图，延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H，连接
MN，
∵AM是∠DAB的平分线，
∴∠DAG＝∠BAG，
∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠DGA，
∴∠DAG＝∠DGA，∴DG＝AD，
∵CD＝AB，∴CG＝CD－DG＝CD－AD，
同理可证AH＝AB－CB，
∴CG＝AH，∴四边形AHCG是平行四边形，
解图
由①知，四边形EMFN是正方形，
∴∠MNF＝∠DCF＝45°，EF＝MN，
∴MN∥CD，
∴四边形CGMN是平行四边形，
∴MN＝CG＝CD－AD，
∴EF＝AB－BC；
解图
(3)结论应用
如图③，在四边形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别为∠DAB，
∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线，AE与DF交于点M，BE与CF交
于点N. 若四边形EMFN是矩形，试判断四边形ABCD的形状，并证明.
(3)解：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵四边形EMFN是矩形，
∴∠EMF＝∠MFN＝∠FNE＝∠NEM＝90°，
∴∠FDC＋∠FCD＝90°，
∵CF，DF分别是∠BCD，∠ADC的平分线，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴AD∥BC，
同理可证AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.(共25张PPT)
第五章 四边形
基础课28 菱形及正方形(含中点四边形)
正方形
节前复习导图
菱形
中点四边形
原图形
中点四边形的形状
定义
性质
判定思路
定义
性质
判定思路
菱形及正方形（含中点四边形）
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八下P55－P69；
北师：九上P2－P10、P20－P29；
华师：八下P110－P128.
定义：有一组邻边_____的平行四边形叫做菱形
性质：菱形具有平行四边形的一切性质
菱形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
边 四条边都_____，两组对边分别_____ ____________________________________
角 两组对角分别_____ ________________ _______________ 对角线 对角线互相_________，每条对角线_____一组对角 ______________________________________________________________________________________ AC⊥BD，OA=OC，OB
=OD，∠ABD=∠CBD=
∠ADB=∠CDB，∠DAC=
∠BAC=∠DCA=∠BCA
相等
相等
平行
AB=BC=CD=DA，AB∥
CD，AD∥BC
相等
∠ABC=∠ADC，
∠DAB=∠DCB
垂直平分
平行
菱形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
对称性 既是轴对称图形(有___条对称轴)，又是中心对称图形 —
面积 等于边长×该边上的高或两条对角线之积的一半 2
判定思路：
菱形
【满分技法】1. 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；
2. 含120°角的菱形的性质(如图)：
(1)△ABC和△ADC是一对全等的等边三角形；(2)BD=AC=AB；
(3)S菱形ABCD=AB2.
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的____________叫做正方形
性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
正方形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
边 四条边都_____，两组对边分别______ _________________________________
角 四个角都是______ ____________________________________ 对角线 对角线相等且_______________，每一条对角线______一组对角 __________________________________________________________________________________________________ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=
∠DAB=90°
平行四边形
相等
平行
AB=BC=CD=DA，AB∥CD，
AD∥BC
直角
平分
互相垂
直平分
AC=BD，AC⊥BD，OA=OB
=OC=OD，∠DAC=∠BAC=
∠ADB=∠CDB=∠ACD=∠ACB=∠ABD=∠CBD=45°
正方形
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图(图形语言)
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有___条对称轴，两条对称轴是两条对角线所在的直线，另外两条对称轴是过对角线交点与边平行的直线 —
面积 等于边长的平方，或对角线之积的一半 4
正方形
判定思路：
中点四边形
原图形 任意四边形 对角线相等的 四边形(如矩形) 对角线垂直的 四边形(如菱形) 对角线垂直且相等
的四边形(如正方形)
中点四边形(四条边的中点)形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
课堂巩固·基础题练考点
菱形的性质及判定(7年6考)
命题点
1
类型一 菱形的判定(7年2考)
1. (人教八下习题改编)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
且AB＝5，AO＝4，BO＝3，求证： ABCD是菱形.
证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，
∴AB2＝AO2＋BO2，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
类型二 菱形的性质(7年4考)
2. (2021河南6题3分)关于菱形的性质，以下说法不正确的是( B )
A. 四条边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形
B
3. (北师九上习题改编)如图①，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于
点O.
(1)若∠BAD＝120°，则△ABC是 三角形，∠CBD
＝ °，AB∶BD＝ ∶ ；
等边
30
1
(2)若AC＝6，BD＝8.
①菱形ABCD的边长为 ，面积为 ；点A到BC的距离
为 ；
②(2022河南5题考法)如图②，分别以点A和点B为圆心，
以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直
线MN，与边AB交于点E，连接OE，则OE的长为 .
5
24
【解析】由作图可知，MN垂直平分线段AB，∴E为AB的中点，
∵O是AC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝ AB＝ ×5＝ .
教材中的经典
◎经典方法 用三角形纸片折叠出菱形
(北师九上P10T5)如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，
使∠A为菱形的一个内角吗？
类比折法，请你用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形.(保留作图痕迹，不
写作法)
解:如解图①，先折出△ABC的角平分线AD，然后折叠∠A，使点A落
在AD上，并折出折痕A'F，展开后就可以得到所要求的菱形.
作出菱形AEDF如解图②.
解图①
解图②
正方形的性质及判定(7年7考)
命题点
2
类型一 正方形的判定(2019.15)
4. (人教八下习题改编)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O.
(1)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件
(写出一个即可)，使四边
形ABCD是正方形；
【判定依据】 ；
∠ABC＝90°
有一个角是直角的菱形是正方形；(答案不唯一)
(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件 (写出一个即
可)，使四边形ABCD是正方形；
【判定依据】 ；
AB＝AD
一组邻边相等的矩形是正方形；(答案不唯一)
(3)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件
(写出一个即可)，使四边形ABCD是正方形；
【判定依据】
.
AB＝AD且∠ABC＝
90°
一组邻边相等且有一个角是直角的
平行四边形是正方形.(答案不唯一)
类型二 正方形的性质(7年6考)
5. (北师九上习题改编)如图①，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相
交于点E，AC＝4.
(1)∠BAC＝ ，∠AED＝ ；
(2)BD＝ ，AE＝ ，AB＝ ；
45°
90°
4
2
2
(3)正方形ABCD的周长为 ，面积为 ，
点E到BC的距离为 ；
8
8
(4)如图②，F是BC延长线上一点，且CF＝AC，连接AF，则∠DAF
＝ .
22.5°
【解析】∵CF＝AC，∴∠CAF＝∠CFA，
∵∠CAF＋∠CFA＝∠BCA＝45°，
∴∠CFA＝ ∠BCA＝22.5°，
∵AD∥BF，∴∠DAF＝∠CFA＝22.5°.
正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AC＝4.
6. (人教八下习题改编)如图，正方形OABC的边长为2，以点O为坐标原
点建立平面直角坐标系，BC与x轴交于点E. 若E恰好是BC的中点，则
点B的坐标为 .
(，－ )
【点拨】①如图，过点B作BF⊥x轴于点F，
BE＝CE＝1，OE＝ ，
②△OCE∽△BFE，利用相似可求出BF，EF.
∟
F
【解析】如解图，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵E是BC的中点，OC＝BC＝2，∴BE＝CE＝1，
∴OE＝ ＝ ，由题易得△OCE∽△BFE，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴BF＝ ，EF＝ ，
∴OF＝OE＋EF＝ ，
∵点B在第四象限，∴点B的坐标为(，－ ).
∟
F
7. 感知：如图①所示，四边形ABCD是正方形，G是线段BC上的任意一
点，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF∥DE，且交AG于点F，
求证：AF－BF＝EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAG＋∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°，
∴∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAG，
∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BFA，∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AE＝BF，∴AF－BF＝AF－AE＝EF；
拓展：如图②所示，若点G在CB的延长线上，上述其余条件不变，则
AF，BF，EF存在怎样的等量关系？猜想并证明这一结论.
解：AF＋BF＝EF，证明如下：
由感知得AB＝AD，∠AED＝90°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵BF∥DE，∴∠AFB＝180°－∠E＝90°，
∴∠E＝∠AFB，∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AE＝BF，∴AF＋BF＝AF＋AE＝EF.
DE⊥AG，BF∥DE
中点四边形
命题点
3
8. (北师九上习题改编)如图，已知平面内四点A，B，C，D，其中任意
三点不共线，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连
接AC. 当D点在△ABC的外部且位于AC边右侧时，四边形EFGH
是( A )
A
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
【解析】由题意易得，HG为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，
∴HG∥AC，HG＝ AC，EF∥AC，EF＝ AC，∴HG∥EF，HG
＝EF，∴四边形EFGH是平行四边形.
