(共14张PPT)
第一章 数与式
基础课4 分 式
节前复习导图
通分、约分
应用
应用
分式的有
关概念及性质
分式的
运算
分式满足的条件
分式有意义的条件
最简分式
基本性质
加减运算
乘除运算
分 式
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：八上P126－P148；
北师：八下P108－P124；
华师：八下P1－P12.
=(C≠0) 通分
=(C≠0) 约分
分式的有关概念及性质
分式满足的条件(两个条件缺一不可)
1.形如(A，B表示两个整式，B≠0)
2.___中含有字母
分式有意义的条件：_____ 分式值为0的条件：____________
最简分式：___________________________
基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个_______________，分式的
值不变，即
B
B≠0
A=0且B≠0
分子和分母没有公因式的分式
不等于零的整式
通分找最简公分母
分式的运算
加减运算
同分母：分母不变，把分子相加减，即±=______
异分母：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即±=________=_______ (关键是通分)
1.分母中能分解因式的，先分解因式
2.取各分母所有因式的最高次幂的积(数字因式取它们的最小公倍数)作为公分母
±
分式的运算
1.分子、分母中能分解因式的，先分解因式
2.取分子、分母中的相同因式的最低次幂的积(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式
乘除运算
乘法： =____ (关键是约分)
除法：÷= ____=____
约分找公因式
课堂巩固·基础题练考点
分式的相关概念及性质(2021.11)
命题点
1
1. (北师八下习题改编)若a≠b，则下列分式化简正确的是( D )
D
2. (北师八下习题改编)已知分式A＝ .
(1)(2021河南11题考法)若分式A有意义，则实数x的取值范围
是 ；
(2)若分式A＝0，则x的值为 .
x≠1
0
易错提醒·易错变式
提醒：分式的值为0，需要满足分子为0，且分母不为0哦！
变式：若 ＝0，则x的值为 .
－1
分式的化简求值(近7年连续考查)
命题点
2
一阶 通分、约分(近5年连续考查)
3. (北师八下习题改编)化简：
(1) · ＝ ；
(2) ÷ ＝ ；
(3) ＋ ＝ ；
(4)(2025河南7题考法) － ＝ ；
1－a
x＋y
3
x＋1
(5)1－ ＝ ；
【解析】原式＝ － ＝ ＝ ；
(6) ＋ ＝ ；
【解析】原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ；
(7) －a＋1＝ .
【解析】原式＝ －(a－1)＝ ＝ ＝ .
二阶 分式的化简求值(7年2考)
4. [2024河南16(2)题5分]
化简：(＋1)÷ .
解：原式＝ · ＝a＋2.
5. (人教八上习题改编)化简： ÷(x－ ).
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ .
6. (2020河南16题考法)
先化简，再求值：(1－ )÷ ，其中a＝ ＋1.
答题规范
得分要点
运算顺序有括号的先算括号内的，除以一个数或式子等于乘它的倒数
分式化简最终结果要化为最简
解：原式＝ ·
＝ ，
当a＝ ＋1时，
原式＝ ＝ .
7. (北师八下习题改编)
先化简，再求值：(－ )÷ ，其中非零实数a，b满足a＋3b
＋2ab＝0.
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ ，
∵a＋3b＋2ab＝0，∴a＋3b＝－2ab，∴原式＝ ＝－2.
易错提醒
1. 分式化简求值题一定要做到“先”化简，“再”求值；
2. 通分时若有常数项，要记得给常数项乘最简公分母；
3. 分式化简求值时要注意符号的变化，分式的分子要作为一个整体，在
添括号或去括号时，若括号前为负号则添括号或去括号后括号内每一项
都要变号；
4. 代值时要保证原分式在化简过程中每一项分式的分母均不为0；
5. 注意化简结果应为最简分式或整式.(共19张PPT)
第一章 数与式
基础课1 实数及其相关概念(含大小比较)
章前复习思路
科学记数法
互逆
数与式
实 数
代数式
整式
分式
运算 加、减、乘、除、幂
因式分解
性质
约分
通分
运算 加、减、乘、除
概念
运算
混合运算
分类
相关概念
运算
数轴、绝对值
相反数、倒数
四则运算
乘方
数的开方
二次根式
性质
运算
节前复习导图
实数的分类
按定义分
按大小分
正负数的意义
实数的大小
比较
数轴比较法
类别比较法
作差比较法
平方比较法
实数的
相关概念
数轴
绝对值
相反数
倒数
科学记数法
定义
n的确定
实数及其相关概念(含大小比较)
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七上P1－P52，七下P39－P62；
北师：七上P22－P76，八上P20－P40；
华师：七上P9－P80，八上P8－P11，八下P17－P22.
实数的分类
按定义分
整数
分数
有限小数或无限循环小数
有理数
无理数：_______________
无限不循环小数
【满分技法】无理数的四种常见形式：
1.开方开不尽的数，如，，________________
2._____________________，如sin 60°，cos 45°
3.______________________，如2π，
4.有规律的无限不循环小数，如0.101 001…(相邻两个1之间依次多一个0)
(答案不唯一)
含有根号的三角函数值
π及化简后含有π的数
按大小分：正数、0、负数
【满分技法】1. 既不是正数也不是负数的数是__；
2. 非负数包括________
正负数的意义：常用正负数表示两种具有_________的量，如“＋5”表示向东5米，则“－5”表示________
0
正数和0
相反意义
向西5米
实数的分类
非零实数a的相反数____.特别地，0的相反数为___
实数a，b互为相反数 a＋b=___
数轴上表示互为相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到原点的距离_____，这两个点关于_____对称
数轴
表示方法及三要素：
_____与数轴上的点是一一对应的
实数
相反数
－a
0
相等
0
原点
实数的相关概念
数轴上表示数a的点到原点的_____，离原点越远的数的绝对值越____
实数的相关概念
非零实数a的倒数是___.特别地，倒数是它本身的数为____，0没有倒数
实数a，b互为倒数 ab=___
绝对值
|a|=
a(a＞0)
0(a=0)
____ (a＜0)
即|a|具有非负性
注：绝对值最小
的实数是0
距离
－a
大
1
倒数
±1
－2的绝对值|－2|＝2，3的绝对值|3|＝3
与原点的距离为2，
与原点的距离为3
实数的大小比较
类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____
数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____
作差比较法：a－b＞0 a＞b；a－b=0 _____；a－b＜0 ______
平方比较法：a＞ a2____b(b≥0)
a=b
小
大
＞
a＜b
科学记数法
定义：把一个数表示成a×10n的形式(1≤|a|＜10，n为整数)
n的确定：当原数的绝对值大于或等于10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1或等于原数变为a时，小数点向左移动的位数；当原数的绝对值大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)或等于原数变为a时，小数点向右移动的位数.
【满分技法】1.常见计数单位：1千=____，1万=____，1亿=____，1万亿=____
2.常见计量单位：1 mm=_____m，1 μm=_____m，1 nm=_____m，
1 km=____m，1 kg=____g，1吨=____kg(用10n表示)
103
104
108
1012
10－3
10－6
10－9
103
103
103
1. 批注近7年中招考情：需关注命题评估后2019～2025年考查频次及
规律；
2. 选取近4年中招真题：重点做2022年版课标出来后，2022～2025年中招
试题；
3. 重现“教材经典”，各版本教材优势互补：选取河南三套数学教材(北
师、人教、华师)中“经典问题”、“经典图形”、“经典结论”、“经
典方法”等，助力高效回归教材.
课堂巩固·基础题练考点
实数的分类(7年2考)
命题点
1
1. (2025河南1题3分)在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作＋4
个，那么该队失3个球记作( B )
A. ＋3个 B. －3个
C. ＋4个 D. －4个
B
2. (北师八上习题改编)下列各数中： ， ， sin 60°，－π，1，
0， ，－5， ，0.57，3.1 ，0.123 456 789 10…(小数部分由相继的正
整数组成)，有理数有 ，
负数有 .
3. (2020河南11题考法·结论开放)请写出一个绝对值比3小的无理数
.
， ，1，0， ，－5， ，0.57，3.1
，－π，－5
－ (答案不唯一)
实数的相关概念(7年6考)
命题点
2
4. (2024河南1题改编)(1)如图，数轴上点A表示的数是( B )
A. －4 B. －3 C. 3 D. 4
(2)在(1)的基础上，点A表示的数的相反数是 ，绝对值是 ，倒
数是 ；
(3)距离数轴原点2个单位长度的点表示的数为 .
B
3
3
－
±2
5. 如图，刘老师借助刻度尺画了一条数
轴，则这条数轴上点P对应的实数为( A )
A. －4 B. －2 C. 1 D. 2
A
新考法
注意单位长度变化
教材中的经典
◎经典问题 绝对值在实际生活中的应用
(人教七上P14T8改编，北师七上P33T5)小红和她的同学共买了6袋标注质
量为450 g的食品，她们对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果
(用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标注质量的克数)如下：
－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40
哪袋食品的质量更标准？为什么？
解：第2袋食品的质量更标准，它比标注质量多10g，与标注质量相差最小.
科学记数法(7年5考)
命题点
3
6. (人教七上习题改编)用科学记数法表示下列数据：
(1)125 000 000＝ ；
(2)5 874万亿＝ ；
(3)0.000 000 002 26＝ ；
(4)15.6 μm＝ m；
(5)一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作6×104秒可做运
算 次.
1.25×108
5.874×1015
2.26×10－9
1.56×10－5
2.4×1014
实数的大小比较(2023.1)
命题点
4
7. (北师七上习题改编)写出一个比－2小的数是 .
8. (2023河南1题改编)在－1，0，2和 中，最大的数是 ，最小的数
是 .
－3(答案不唯一)
2
－1
9. (2025北京考法·实数数轴)实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则
a，－a，｜b｜，－c的大小关系为 .(用
“＜”连接)
【解析】由数轴得，a＜b＜0＜c，｜a｜＜｜c｜，∴－c＜a，｜b｜
＜－a，∴－c＜a＜｜b｜＜－a.
－c＜a＜｜b｜＜－a (共21张PPT)
第一章 数与式
基础课2 实数的运算(含二次根式)
节前复习导图
特殊情况
平方根、
算术平方根
与立方根
实数的运算
二次根式
的有关概念
二次根式
的性质
二次根式
的运算
二次根式
的估值
非负数
零次幂
乘方
负整数指数幂
常见的开方
特殊角的三角函数值
去绝对值符号
-1 的奇偶次幂
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
最简二次根式
加减
乘法
实数的运算
（含二次根式）
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七上P1－P52，七下P39－P62，八下P1－P20，九下P65－67；
北师：七上P22－P76，八上P20－P52，九下P8－P11；
华师：七上P10－P59、P61－P65，八上P1－P16，八下P17－P21，九上P1－P16、P108－109.
平方根、算术平方根与立方根
考查点 定义 总结
平方根 实数a(a≥0)的平方根为______，其中____为a的算术平方根.0的平方根为0 1.一个正数的平方根有两个，它们互为_______；
2.负数没有平方根；
3.所有的数都有一个立方根，且与原数同号；
4.平方根等于它本身的数是___；算术平方根等于它本身的数是______；立方根等于它本身的数是_______
算术
平方根 立方根 实数a的立方根为___ ±
相反数
0，±1
0
0，1
零次幂：a0=___ (a≠0)
乘方：an=，如(－)2=___，(－3)2=___，()2=___，(－3)3=_____，
(－)3=－， ()3=____
负整数指数幂：a－p=(a≠0，p为正整数)，特别地，a－1=___ (a≠0)，
如(－)－1=____，(－)－2=___(口诀：倒底数，反指数)
常见的开方：=___，=___，=___，=___，=___
实数的运算
1
9
－27
－3
4
3
2
3
2
实数的运算
【满分技法】先比较绝对值符号内两数的大小，再根据绝对值的非负性去绝对值符号，如|－1|=－1，|1－|=－1
特殊角的三角函数值
sin 30°=cos 60°=___，cos 30°=sin 60°=____，
sin 45°=cos 45°=____，tan 30°=____，
tan 60°=____，tan 45°=___
去绝对值符号：|a－b|=
_____ (a＞b)
0 (a=b)
______(a＜b)
1
a－b
b－a
实数的运算
___(n为偶数)，如(－1)2 026=___
____(n为奇数)，如(－1)2 025=_____
－1的奇偶次幂：(－1)n=
－1
1
1
－1
二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子
二次根式有意义的条件：____________________
二次根式的有关概念
最简二次根式：同时满足两个条件
1.被开方数不含_____(分母中不含根号)
2.被开方数不含能_________的因数或因式
开得尽方
被开方数大于或等于0
分母
二次根式的性质
()2=___(a≥0)； =|a|=
a(a≥0)
____ (a＜0)
双重非负性：二次根式
被开方数a≥0
≥0
a
－a
= (a___0，b___0)； =(a___0，b___0)
＞
≥
≥
≥
加减：一般地，二次根式加减时，可以先将各二次根式分别化成_____________，再将被开方数_____的二次根式进行合并
乘法： =_____ (a≥0，b≥0) 除法：=____ (a≥0，b＞0)
二次根式的运算
最简二次根式
相同
1.先对二次根式平方
2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数
3.对以上两个整数开方
4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间
二次根式的估值
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.常见的非负数有a2，|b|，(c≥0)，最小的非负数是___
2.若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为___，如：若a2＋|b|＋=0，则a2=|b|==___，a=b=c=___，反之亦然
非负数
0
0
0
0
算术平方根、平方根、立方根(7年6考，均在实数运算中涉及)
课堂巩固·基础题练考点
命题点 1
1. (华师八上习题改编)填空：
(1)－27的立方根是 ；
(2)(－5)2的算术平方根是 ，平方根是 ；
(3) 的平方根是 .
－3
5
±5
±2
二次根式(近7年连续考查)
命题点
2
2. (2025河南11题3分)请写出一个使 在实数范围内有意义的x的
值： .
2(答案不唯一)
拓展训练
(1)若 有意义，则x的取值范围是 ；
(2)若 有意义，则x的取值范围是 .
x＜5
x≤5且x≠0
3. (北师八上习题改编)在－ ， ， ， 中，是最简二次根式的
是 － ， ；能与 进行合并的是 － ， .
－ ，
－ ，
4. (北师八上习题改编)计算：
(1) ＝ ，(－ )2＝ ；
(2) － ＝ ，2 ＋ ＝ 3 ；
(3) × ＝ 3 ， × ＝ ；
(4) ÷ ＝ ， ＝ ；
(5)(2023河南23题运算涉及) ＝ 2 －2 .
3
3
3
3
6
2 －2
5. (新人教七下习题改编)将面积为3 cm2的正方形按照如图所示的方式，
向外等距扩0.5 cm，得到新的正方形，则与新正方形的边长最接近的整
数是 .
3
【解析】根据题意可知原正方形的边长为 cm，
∴新正方形的边长为(＋1)cm，
∵1＜1.5＜ ＜2，
∴ 更接近整数2，则 ＋1更接近整数3.
实数的运算(7年6考，仅2022年未考查)
命题点
3
6. 计算：(－1)2 026－ ×2 .
答题规范
得分要点
分别化简每一项，注意负数的奇偶次幂的正负性
计算结果要化为最简
解：原式＝1－8
＝－7.
7. 计算：｜－5｜－23＋0.50.
解：原式＝5－8＋1
＝－2.
8. [2025河南16(1)题5分]
计算： ＋(π－1)0－ × .
解：原式＝2＋1－3
＝0.
9. 计算： ＋()－2－｜1－ ｜.
解：原式＝－3＋4－ ＋1
＝2－ .
10. 计算：(2－ )0＋(－ )－1－ .
解：原式＝1－3－
＝－ .
11. 计算：15×3－1－ ＋4 cos 60°.
解：原式＝15× －9＋4×
＝5－9＋2
＝－2.
教材中的经典
◎经典问题 填幻方
(人教七上P21实验与探究、北师七上P189综合与实践、华师七上P8阅读
材料改编)幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛
书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，小华探究“幻方”
时，提出了一个问题：如图，将0，－2，－1，1，2这五个数分别填在三
阶幻方的其中五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三
个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 .(写出一个符合题意的数即可)
0(或2或－2)
【解析】如解图，在五个小正方形内分别填入a，b，c，d，e，根据题意知a＋b＋c＝d＋b＋e，即a＋c＝d＋e，从五个数中选出符合a＋c＝d＋e的数即可，①－2＋2＝－1＋1，此时中间位置填0；②－1＋0＝－2＋1，此时中间位置填2；③0＋1＝2＋(－1)，此时中间填－2，
∴填入中间位置的小正方形内的数可以是0或2或－2.
解图
非负数
命题点
4
12. (北师八上习题改编)若 ＋(y－3)2＝0，则xy＝ .
【解析】根据题意，得x＋2＝0，y－3＝0，则x＝－2，y＝3，
∴xy＝－6.
－6 (共27张PPT)
第一章 数与式
基础课3 整式及因式分解
节前复习导图
合并同类项
实质
乘法公式
特殊
互逆
代数式
整式的
相关概念
整式的运算
因式分解
列代数式
代数式求值
单项式
多项式
整式
同类项
加减运算
幂的运算
乘法运算
目的
基本方法
整式及
因式分解
回归教材·结构化过考点
【对接教材】人教：七上P53－P76，八上P94－P125；
北师：七上P77－P104，七下P1－P36，八下P91－P106；
华师：七上P81－P118，八上P17－P52.
列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来.
代数式
(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
代数式求值
(2)整体代入法：
(整体思想)
1.观察已知条件和所求代数式的关系
2.将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式
整式：单项式和多项式统称为整式
同类项：___________________________________________ (所有的常数项都是同类项)
整式相关概念
单项式
定义：由数或字母的_____表示的式子(单独的一个数或一个字母也是单项式)
系数：单项式中的_____因数
次数：一个单项式中，所有字母的指数的___
多项式
定义：几个单项式的____
项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做_______
次数：多项式中次数最高项的次数，如2xy3＋x2y的次数为4
乘积
数字
和
和
常数项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
加减运算
(实质：合
并同类项)
整式的运算
合并同类项
1.字母和字母的______不变
2.同类项的系数和作为新的系数，如2xy2＋3xy2=_____
去括号法则
括号前是“＋”号，去括号时，括号内各项不变号：a＋(b＋c)=a___b___c
括号前是“－”号，去括号时，括号内每一项都变号：a－(b＋c)=a___b___c
－
指数
5xy2
＋
＋
－
幂的运算
(m，n为
正整数)
同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即am an=_____
同底数幂相除：__________________，
即am÷an=_____(a≠0，且m＞n)
幂的乘方：___________________，即(am)n=____
积的乘方：________________________________________，
即(ab)n=_____
anbn
am＋n
底数不变，指数相减
am－n
底数不变，指数相乘
amn
积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
整式的运算
单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的_____不变，作为积的因式，如2a2 2a3b=(2×2) a2＋3b=4a5b
单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如a(b＋c)=ab＋ac
多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.如(a＋b)(c＋d)=_______________
乘法运算
整式的运算
指数
ac＋ad＋bc＋bd
平方差公式：__________________；完全平方公式：__________________
乘法公式
(a＋b)(a－b)=a2－b2
(a±b)2=a2±2ab＋b2
因式分解
目的
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式
2.必须分解到每一个多项式都不能再分解为止
基本方法
提公因式法
公式：ma＋mb＋mc=___________
公因式
的确定
系数：取各项系数的最大公约数
字母：取各项相同的字母或因式
指数：取各项相同字母的最低次数
公式法
a2－b2____________
a2±2ab＋b2_______
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
【易错警示】因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，二者不可混淆
因式分解
基本方法
一般步骤：
列代数式及其求值(2023.11)
命题点
1
课堂巩固·基础题练考点
1. (北师七上习题改编)根据题意完成下列问题.
(1)[2024河南21(1)考法]一张桌子m元，一把椅子n元，则8张桌子和3把椅
子共需要 元；
(2)[2022河南20(1)考法]一个长方形的宽为a cm，长比宽的2倍多3 cm，这
个长方形的周长为 cm，面积为 cm2.
(8m＋3n)
(6a＋6)
a(2a＋3)或(2a2＋3a)
2. (人教七上习题改编)若x＝－2，则代数式x2＋x＋3的值为 .
3. (华师七上习题改编)已知x－y＝4，xy＝5，则(x＋y)2的值为 .
5
36
整式的相关概念(2024.11)
命题点
2
4. (2024河南11题考法)写出一个次数为5，系数为－2的单项式
.
5. (人教七上习题改编)若关于a，b的代数式－3a2bx与9ayb是同类项，
则xy的值是 .
【解析】∵关于a，b的代数式－3a2bx与9ayb是同类项，∴x＝1，
y＝2，∴xy＝12＝1.
－2x5(答
案不唯一)
1
整式的运算(7年5考)
命题点
3
6. (2024河南7题3分)计算 的结果是( D )
A. a5 B. a6 C. aa＋3 D. a3a
【解析】原式＝(aa)3＝a3a.
D
提醒：
易错提醒·易错变式
＝na，表示n个a相加
＝an，表示n个a相乘
变式1：计算 的结果是 .
【解析】原式＝(a·a)3＝(a2)3＝a6.
a6
【解析】∵ ＝9×3n＝32×3n＝32＋n， ＝
9n＝ ，∴2＋n＝2n，解得n＝2，即n的值为2.
变式2：若 ＝ ，则n的值为 .
2
7. (北师七下、人教八上、华师八上共有习题)如图，在边长为a的正方形
中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形(无重叠
部分)，通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式
是( A )
A. a2－b2＝(a＋b)(a－b) B. a(a－b)＝a2－ab
C. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 D. a(a＋b)＝a2＋ab
A
8. (2021河南4题改编)计算：
(1)2a2－a2＝ ；
(2)a2·a＝ ；
(3)(a3)2＝ ；
(4)(－3a)2＝ ；
(5)(a＋1)2＝ ；
(6)(a＋1)(a－1)＝ ；
(7)2a6÷a2＝ ；
(8)a(a－2b)＝ .
a2
a3
a6
9a2
a2＋2a＋1
a2－1
2a4
a2－2ab
9. [2025河南16(2)题5分]
化简：(x＋1)2－x(x＋2).
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－2x
＝1.
10. (华师八上习题改编)
化简：(m－3)(2m＋1)－2(m2＋1).
解：原式＝2m2＋m－6m－3－2m2－2
＝－5m－5.
11. (北师八下习题改编)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(6x2y＋2xy2)
÷2x，其中x＝－2，y＝ .
答题规范
得分要点
按照整式的运算顺序依次计算各项的值，平方差公式需使用正确
代入求值时，不要忘记系数
合并同类项，将式子化到最简
解：原式＝x2－y2＋3xy＋y2
＝x2＋3xy，
当x＝－2，y＝ 时，
原式＝(－2)2＋3×(－2)× ＝2.
数字指数幂的运算(7年2考)
命题点
4
12. (2022河南8题3分)《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，
万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万
×1亿.则1兆等于( C )
A. 108 B. 1012 C. 1016 D. 1024
【解析】1兆＝1万×1万×1亿＝104×104×108＝1016.
C
因式分解
命题点
5
13. (人教八上习题改编)分解因式：
(1)x2－xy＝ ；
(2)2x2－8＝ ；
(3)x2＋2xy＋y2＝ .
x(x－y)
2(x＋2)(x－2)
(x＋y)2
教材中的经典
◎经典方法 x2＋(p＋q)x＋pq的因式分解
(人教八上P121阅读与思考改编)x2＋(p＋q)x＋pq型式子是数学学习中常
见的一类多项式，可以通过x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)将某些二次
项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将式子x2＋3x＋2分解因式，
这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，可得
x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)；也可以用十字相乘的形式表示：先分解二次项
系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常
数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉
相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图：
这样，也可以得到x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2).
利用上述两种方法，将x2－7x＋12因式分解.
解：方法一：令x2－7x＋12＝x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，
这个式子的二次项系数是1，常数项12＝－3×(－4)，一次项系数－7＝
－3＋(－4)，
则p＝－3，q＝－4，
∴x2－7x＋12＝(x－3)(x－4).
方法二：十字交叉如解图，
∴x2－7x＋12＝(x－3)(x－4).
解图
代数推理(2025.13新增考查)
命题点
6
14. (2025河南13题3分)观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变
化规律，可得第n个式子为 .
2nxn
变式
14.1 系数增加正负号
观察2x，－4x2，6x3，－8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n
个式子为 .
【试题链接】相关试题见本书微专题1规律探索(从特殊到一般的推理).
(－1)n－12nxn
15. (北师七上习题改编)从1～9这九个数字中任选两个数字，由这两个数
字组成两个不同的两位数，先把他们相加，然后再用所得的和除以所选
两个数字之和，结果是 .
【解析】设选的十位上数字为a，个位上数字为b，数字为10a＋b，调
换后数字为10b＋a，根据题意得，(10a＋b＋10b＋a)÷(a＋b)＝
11(a＋b)÷(a＋b)＝11，则结果为11.
11
16. 设 是一个四位数，若a＋b＋c＋d可以被3整除，求证：这个四位数也能被3整除.
证明： ＝1 000a＋100b＋10c＋d＝(a＋b＋c＋d)＋(999a＋99b
＋9c)，
∵(999a＋99b＋9c)能被3整除，a＋b＋c＋d可以被3整除，
∴ 也能被3整除.
新课标
实例66节选
