24.2.1点和圆的位置关系
【题型1】点和圆的位置关系 3
【题型2】点和圆的位置关系与最值问题 4
【题型3】确定圆的条件 6
【题型4】三角形的外接圆和外心 7
【题型5】反证法 8
【知识点1】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d=r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 1.（2024秋 新吴区期末）⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=6cm,则点A与⊙O的位置关系为（ ） A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定
2.（2024秋 阜宁县期末）已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ） A．4B．5C．6D．7
【知识点2】确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 1.（2024 长安区校级模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ） A．圆心与半径B．直径C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点
2.（2024秋 潍城区期中）下列条件中，可以画出唯一一个圆的是（ ） A．已知圆心B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点D．已知圆上一点
【知识点3】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 1.（2024 埇桥区校级三模）如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（ ） A．4B．C．D．8
【题型1】点和圆的位置关系
【典型例题】⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（ ）
A.d＞5 B.d＜5 C.d＝5 D.d＝10
【举一反三1】⊙O的半径为5，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.不能确定
【举一反三2】已知⊙O的半径是5，若OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定
【举一反三3】已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ．
【举一反三4】已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；
（2）如果点N位于⊙P内或外或上，那么PN取值范围是什么？
（3）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．
【举一反三6】由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
【题型2】点和圆的位置关系与最值问题
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（ ）
A.3 B.3.5 C. D.
【举一反三1】如图，在矩形ABCD中AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A.8 B.2 C.10 D.
【举一反三2】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A.a B.b C.a+b D.a﹣b
【举一反三3】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A.a B.b C.a+b D.a﹣b
【举一反三4】如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（ ）
A.1.4 B. C. D.2.6
【举一反三5】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝ ．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是 ．
【举一反三7】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝ ．
【题型3】确定圆的条件
【典型例题】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A.以点O为圆心 B.以10 cm长为半径 C.以点A为圆心，4 cm长为半径 D.经过已知点M
【举一反三1】下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A.圆心与半径 B.直径 C.平面上的三个已知点 D.三角形的三个顶点
【举一反三2】已知直线l：y＝x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为 时，过P、A、B不能作出一个圆．
【举一反三3】如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
【举一反三4】已知直线l：y=x+4，设点P为直线l上一动点，而点A（0，2），点B（2，0）不在直线l上.当P的坐标为 （-1，3）时，请通过计算判断过P，A，B三点能不能作出一个圆．
【题型4】三角形的外接圆和外心
【典型例题】如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，连接AB，若∠ACB＝40°，则∠D的度数为（ ）
A.20° B.25° C.50° D.40°
【举一反三1】如图，等边三角形ABC内接于⊙O．若AB＝4，则⊙O的半径OB的长是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上（不含端点），连接AD，BD，CD．
（1）∠ADC＝ °；
（2）若AD＝1，CD＝3，则BD的长为 .
【举一反三3】小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【题型5】反证法
【典型例题】用反证法证明“△ABC中至少有两个锐角”，第一步应为（ ）
A.假设△ABC中至多有一个锐角 B.假设△ABC中有一个直角 C.假设△ABC中有两个直角 D.假设△ABC中有两个锐角
【举一反三1】已知：如图，△ABC．
求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
④∵∠A+∠B＝180°，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【举一反三2】如图，两条直线m、n被直线l所截，已知∠1≠∠2．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：（1）四边形EFCD是平行四边形．
（2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直．
【举一反三4】用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．24.2.1点和圆的位置关系
【题型1】点和圆的位置关系 4
【题型2】点和圆的位置关系与最值问题 7
【题型3】确定圆的条件 13
【题型4】三角形的外接圆和外心 15
【题型5】反证法 18
【知识点1】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d=r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 1.（2024秋 新吴区期末）⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=6cm,则点A与⊙O的位置关系为（ ） A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定
【答案】C 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵d=OA=6cm,r=5cm,
∴d＞r,
∴点A在圆外，
故选：C． 2.（2024秋 阜宁县期末）已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ） A．4B．5C．6D．7
【答案】D 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为6，点P在⊙O外，
∴OP＞6，
故选：D． 【知识点2】确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 1.（2024 长安区校级模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ） A．圆心与半径B．直径C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点
【答案】D 【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可． 【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D． 2.（2024秋 潍城区期中）下列条件中，可以画出唯一一个圆的是（ ） A．已知圆心B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点D．已知圆上一点
【答案】C 【分析】根据已知圆心和半径所作的圆就是唯一的进而得出答案． 【解答】解：利用确定一个圆的条件是圆心和半径，只有选项C符合题意．
故选：C． 【知识点3】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 1.（2024 埇桥区校级三模）如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（ ） A．4B．C．D．8
【答案】A 【分析】连接AC，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到AC为直径，∠CAB=30°，进而求出AC的长即可． 【解答】解：连接AC，则：∠CAB=∠BDC=30°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=4，
∴AC=2BC=8，
∴⊙O的半径为；
故选：A．
【题型1】点和圆的位置关系
【典型例题】⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（ ）
A.d＞5 B.d＜5 C.d＝5 D.d＝10
【答案】B
【解析】解：∵⊙O的直径为10
∴⊙O的半径为5，
∵直线l与⊙O相交，
∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：B．
【举一反三1】⊙O的半径为5，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.不能确定
【答案】B
【解析】解：∵圆心在原点O，点P（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
∵5＝5，
∴点P在圆上．
故选：B．
【举一反三2】已知⊙O的半径是5，若OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定
【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径是5，OA＝3，
∴d＜r，
∴点A在⊙O内，
故选：A．
【举一反三3】已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ．
【答案】⊙O外
【解析】设圆的半径为R，
根据题意得2πR2＝25π，解得R＝5，
∵PO＝5.5，
∴PO＞R，
∴点P在⊙O外．
故答案为⊙O外．
【举一反三4】已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ．
【答案】d＞6
【解析】∵⊙O的半径为6，点P在⊙O外，
∴点P到圆心O的距离d的取值范围是d＞6．
故答案为：d＞6．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；
（2）如果点N位于⊙P内或外或上，那么PN取值范围是什么？
（3）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．
【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴线段AB是⊙P的直径，
∵A（0，﹣6），B（8，0），PA＝PB，
∴P（4，﹣3），
∴OP＝＝5，
∴⊙P的半径为5；
（2）∵⊙P的半径为5，
∴当PN>5时，点N在⊙P外部；当PN<5时，点N在⊙P内部；当PN=5时，点N在⊙P上.
（3）∵＝，
∴∠OAM＝∠MAB，
∴AM是∠OAB的平分线．
【举一反三6】由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
【答案】解：过A作AC⊥BD于C，由题意得AB=400km,
∠DBA=45°，所以AC=BC．
在Rt△ABC中，设AC=BC=x.
由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，所以x2+x2=4002，
所以AC=x=200≈282.8（km）．
282.8km＜300km.
所以A市将受到这次沙尘暴的影响．
【题型2】点和圆的位置关系与最值问题
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（ ）
A.3 B.3.5 C. D.
【答案】B
【解析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值为．
故选：B．
【举一反三1】如图，在矩形ABCD中AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A.8 B.2 C.10 D.
【答案】A
【解析】如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值，
矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，
∴OD＝＝13，
∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，
即PD的最小值为8．
故选：A．
【举一反三2】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A.a B.b C.a+b D.a﹣b
【答案】C
【解析】空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【举一反三3】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A.a B.b C.a+b D.a﹣b
【答案】C
【解析】空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【举一反三4】如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（ ）
A.1.4 B. C. D.2.6
【答案】B
【解析】解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，
由勾股定理得：OP＝＝5，
∵OA＝AB，CM＝CB，
∴AC＝OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，
此时AC的最小值＝OM′＝（OP﹣PM′）＝＝，
故选：B．
【举一反三5】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝ ．
【答案】﹣2
【解析】解：连接DC，由以CE为直径作⊙F，BC＝4，AC＝5，
得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，
得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动，
当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，
故AD≥AO﹣OD＝﹣2，
即AD的最小值＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是 ．
【答案】3
【解析】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，
∵CD＝，OC＝OD＝1，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴△OCD为等腰直角三角形，
由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，OQ＝，
由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，
∵P为弦CD的中点，
∴OP＝，
∴PQ＝OP+OQ＝，
∴S△ABP＝AB PQ＝3．
故答案为：3．
【举一反三7】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝ ．
【答案】﹣2
【解析】解：连接DC，由以CE为直径作⊙F，BC＝4，AC＝5，
得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，
得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动，
当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，
故AD≥AO﹣OD＝﹣2，
即AD的最小值＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【题型3】确定圆的条件
【典型例题】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A.以点O为圆心 B.以10 cm长为半径 C.以点A为圆心，4 cm长为半径 D.经过已知点M
【答案】C
【解析】∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确．
【举一反三1】下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A.圆心与半径 B.直径 C.平面上的三个已知点 D.三角形的三个顶点
【答案】C
【解析】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；
B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；
C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；
D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】已知直线l：y＝x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为 时，过P、A、B不能作出一个圆．
【答案】（2，﹣2）
【解析】设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），点B（0，2），
∴解得
∴y＝﹣2x+2．
解方程组得
∴当P的坐标为（2，﹣2）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
【举一反三3】如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
【举一反三4】已知直线l：y=x+4，设点P为直线l上一动点，而点A（0，2），点B（2，0）不在直线l上.当P的坐标为 （-1，3）时，请通过计算判断过P，A，B三点能不能作出一个圆．
【答案】解：设直线AB的解析式为：y=kx+b,
由题意得：，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-x+2，
解方程组，得
∴直线y=x+4和直线y=-x+2相交于点（-1，3）
∴点（-1，3）与点A、点B在同一条直线上，
∴当P的坐标为（-1，3）时，过P，A，B三点不能作出一个圆
【题型4】三角形的外接圆和外心
【典型例题】如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，连接AB，若∠ACB＝40°，则∠D的度数为（ ）
A.20° B.25° C.50° D.40°
【答案】C
【解析】解：∵AC为圆O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝50°，
∴∠A＝∠D＝50°，
故选：C．
【举一反三1】如图，等边三角形ABC内接于⊙O．若AB＝4，则⊙O的半径OB的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：作OD⊥AB于点D，连接OA，则∠ODB＝90°，OA＝OB，
∵AB＝4，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB＝×360°＝120°，
∴∠OBD＝∠OAD＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴OD＝OB，
∴BD＝＝＝OB＝2，
∴OB＝，
故选：B．
【举一反三2】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上（不含端点），连接AD，BD，CD．
（1）∠ADC＝ °；
（2）若AD＝1，CD＝3，则BD的长为 .
【答案】（1）60；（2）2
【解析】解：（1）等边三角形ABC内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°；
故答案为：60；
（2）如图4，在CD上取点E，使DE＝AD，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
则△ADE是等边三角形，
则AD＝AE，
又∠ABD＝∠ACE，∠ADC＝∠ABC＝60°，∠AED＝60°，
∠ADB＝∠AEC＝120°，
则△ABD≌△ACE．
所以BD＝CE＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
【举一反三3】小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：①分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于D、E两点，连接DE；
②分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于G、F两点，连接GF；
③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，以OA的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置．
【题型5】反证法
【典型例题】用反证法证明“△ABC中至少有两个锐角”，第一步应为（ ）
A.假设△ABC中至多有一个锐角 B.假设△ABC中有一个直角 C.假设△ABC中有两个直角 D.假设△ABC中有两个锐角
【答案】A
【解析】解：用反证法证明“△ABC中至少有两个锐角”，第一步应为△ABC中最多有一个锐角，
故选：A．
【举一反三1】已知：如图，△ABC．
求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
④∵∠A+∠B＝180°，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
2、∵∠A+∠B＝180°，
3、∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．
4、因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
故选：D．
【举一反三2】如图，两条直线m、n被直线l所截，已知∠1≠∠2．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 ．
【答案】m∥n
【解析】求证：m与n不平行．
用反证法证明时，先假设m∥n．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：（1）四边形EFCD是平行四边形．
（2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直．
【答案】证明：（1）∵点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴DE和EF都是△ABC的中位线．
∴ED∥BC，EF∥AC．
∴ED∥FC，EF∥DC．
∴四边形EFCD是平行四边形．
（2）假设线段EC与FD垂直．
由（1）知，四边形EFCD是平行四边形，则平行四边形EFCD是菱形．
∴EF＝DE．
由（1）知，DE和EF都是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，EF＝AC．
∴BC＝AC．
∴这与BC、AC均不相等相矛盾．
∴该假设不成立．
∴线段EC与FD不垂直．
【举一反三4】用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．
【答案】已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE．
求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
证明：假设Rt△ABC与Rt△DEF不全等，
则BC≠EF，
在EF上取点G，使EG＝BC，
在△ABC和△DEG中，
，
∴△ABC≌△DEG（SAS），
∴AC＝DG，
∵AC＝DF，
∴DG＝DF，
∴∠DGF＝∠F＜90°，
∴∠E＜∠DGF＜90°，
这与已知∠E＝90°，相矛盾，
∴假设Rt△ABC与Rt△DEF不全等不成立，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
