24.2.2直线和圆的位置关系
【题型1】用切线性质求角度或证角相等 5
【题型2】用切线性质求边长或证边相等 7
【题型3】切线的判定 9
【题型4】与切线长定理有关的线段的计算 10
【题型5】与切线长定理有关的角的计算 12
【题型6】三角形内切圆和内心 13
【题型7】多边形的内切圆 14
【题型8】三角形的内心与外心的综合 16
【题型9】直线和圆的位置关系 17
知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r． 1.（2024秋 平凉月考）⊙O中，圆的半径为8cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,则⊙O和直线AB公共点有（ ）个 A．0B．2C．无数D．3
2.（2024秋 睢宁县期中）⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和⊙O的位置关系是（ ） A．相切B．相交C．相离D．不能确定
【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2024秋 淮北期末）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连结OM、ON．若∠N=38°，则∠MON度数为（ ） A．38°B．42°C．52°D．62°
【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2024秋 南岗区期末）下列说法中，正确的是（ ） A．90°的圆周角所对的弦是直径B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线D．长度相等的弧是等弧
【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 1.（2024秋 夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ） A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°-∠PD．10，90°+∠P
【知识点6】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1.（2024秋 海港区期末）下列说法：
①平分弦的直径垂直于弦
②三点确定一个圆，
③相等的圆心角所对的弧相等
④垂直于半径的直线是圆的切线
⑤三角形的内心到三条边的距离相等
其中不正确的有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2024 漳州模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠ADB=90°，AC，BD相交于点G，E，F分别是AB，BD的中点，连接AF，EF，DE．若点F为△ABC的内心，BF=4，则下面结论错误的是（ ） A．∠CAF=∠BAFB．C．EF=2D．
【题型1】用切线性质求角度或证角相等
【典型例题】如图，在⊙O中，AB是⊙O的切线，连接OB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接AC，AD，＝，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为（ ）
A.40° B.35° C.30° D.25°
【举一反三1】如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，点E在上，连接BD、BE、EA，若∠P＝40°，则∠E的度数为（ ）
A.50° B.65° C.115° D.130°
【举一反三2】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝20°，则∠D＝（ ）
A.20° B.40° C.50° D.60°
【举一反三3】如图，在△ABC中，O是边BC上的一点，以点O为圆心的⊙O与边AC相切于点A，E是半圆BED上的一点，连接AE，DE，若∠C＝32°，则∠AED的度数为 ．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 度．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A、B是切点，l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论．
【举一反三6】在⊙O中，延长直径AB至点C，以AC为一边的等腰三角形△CAD，CA＝CD，底边DA与⊙O交于点E，直线EF是⊙O的切线，交CD于点F．如图，当∠C＝40°时，求∠A和∠EFD的大小.
【题型2】用切线性质求边长或证边相等
【典型例题】如图，A、B是⊙O上的两点，连接AB并延长到C，CD与⊙O相切于点D，且CD⊥AC，若AB＝BC＝4，则CD＝（ ）
A. B. C. D.4
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD．若AD平分∠CAB，，则线段AC的长是（ ）
A.2 B. C. D.
【举一反三2】如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 ．
【举一反三3】如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，CA与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，且BC2=BA·BD，则BC的长为 ．
【举一反三4】【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l,在直线l上取点C，使得
∠CAE为锐角．
【举一反三5】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.求证：AP=BP.
【题型3】切线的判定
【典型例题】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60°
【举一反三1】如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是（ ）
A.OA2+PA2＝OP2 B.PA⊥OA C.∠P＝30°，∠O＝60° D.OP＝2OA
【举一反三2】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A.∠A＝50°，∠C＝40° B.∠B﹣∠C＝∠A C.AB2+BC2＝AC2 D.⊙A与AC的交点是AC中点
【举一反三3】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，⊙P与坐标轴相切．
【举一反三4】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB＝30°，点D在AB上由点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E在AC上，AE＝DE，ED，CB的延长线相交于点F．求证：EF是⊙O的切线；
【题型4】与切线长定理有关的线段的计算
【典型例题】如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与
⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，DE=3，则OD的长为（ ）
A.2 B. C. D.4
【举一反三1】如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是⊙O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则S△PQA=S四边形PROQ．
对上述结论描述正确的是（ ）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②③正确 D.①②③④都正确
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，O为BC的中点，⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则⊙O的半径长为 ．
【举一反三3】如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
【题型5】与切线长定理有关的角的计算
【典型例题】如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（ ）
A.35° B.45° C.60° D.70°
【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠C=50°，则∠PBA等于（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【举一反三2】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
【举一反三3】如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，连接OA，OB，OP，若∠APB＝60°，AP＝2．
（1）∠APO＝ ，BP＝ ；
（2）∠AOB＝ ；
（3）连接AB，△ABP是 三角形．
【举一反三4】如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为 ；
（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为 度．
【举一反三5】如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
【题型6】三角形内切圆和内心
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.65°
【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（ ）
A.50° B.100° C.115° D.120°
【举一反三2】如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠B＝50°，则∠AOC＝ ．
【举一反三3】如图，有一块三角形余料ABC，∠B＝90°，BC＝3m，AB＝4m，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形DEFG使它的四个顶点都在△ABC边上且＝；
方案二，如图2，作△ABC的内切圆O，它与三边分别相切于点G、H、I．
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
【举一反三4】已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．
（1）若AB＝6，AC＝4，BC＝8，求CE之长；
（2）若∠A＝70°，求∠BOC的度数．
【题型7】多边形的内切圆
【典型例题】如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
A.60 B.55 C.45 D.50
【举一反三1】如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【举一反三2】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
【举一反三3】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
【举一反三4】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【举一反三5】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【题型8】三角形的内心与外心的综合
【典型例题】如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
A.50° B.55° C.60° D.80°
【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A.35° B.30° C.25° D.20°
【举一反三2】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为 ．
【举一反三3】已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 ．
【举一反三4】如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）BD与DE相等吗？为什么？
（2）若∠BAC＝90°，DE＝2，求△ABC外接圆的半径．
【题型9】直线和圆的位置关系
【典型例题】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.平行
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离
【举一反三2】在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
【举一反三3】以点（1，2）为圆心画⊙P，若⊙P的半径r＝1，则⊙P与x轴的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
【举一反三4】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.包含
【举一反三5】在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 ．
【举一反三6】⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【举一反三7】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 ．
【举一反三8】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．24.2.2直线和圆的位置关系
【题型1】用切线性质求角度或证角相等 9
【题型2】用切线性质求边长或证边相等 14
【题型3】切线的判定 20
【题型4】与切线长定理有关的线段的计算 26
【题型5】与切线长定理有关的角的计算 30
【题型6】三角形内切圆和内心 34
【题型7】多边形的内切圆 38
【题型8】三角形的内心与外心的综合 41
【题型9】直线和圆的位置关系 46
【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r． 1.（2024秋 平凉月考）⊙O中，圆的半径为8cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,则⊙O和直线AB公共点有（ ）个 A．0B．2C．无数D．3
【答案】B 【分析】根据直线与圆心之间的距离与半径比较即可得出结果 【解答】解：在⊙O中，圆的半径为8cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,
∴3＜8，
即r＞d,
∴⊙O与直线AB的位置关系是相交，
∴⊙O与直线AB有2个公共点，
故选：B． 2.（2024秋 睢宁县期中）⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和⊙O的位置关系是（ ） A．相切B．相交C．相离D．不能确定
【答案】C 【分析】因为圆心到直线的距离大于半径，所以直线l与圆相离． 【解答】解：（1）∵4＞2，
∴d＞r,
∴直线l与⊙O相离，
故选：C． 【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2024秋 淮北期末）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连结OM、ON．若∠N=38°，则∠MON度数为（ ） A．38°B．42°C．52°D．62°
【答案】C 【分析】由切线的性质得到∠OMN=90°，由直角三角形的性质求出∠MON=90°-∠N=52°． 【解答】解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，
∴半径OM⊥MN，
∴∠OMN=90°，
∵∠N=38°，
∴∠MON=90°-∠N=52°．
故选：C． 【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2024秋 南岗区期末）下列说法中，正确的是（ ） A．90°的圆周角所对的弦是直径B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线D．长度相等的弧是等弧
【答案】A 【分析】每个选项都画出反例图形，根据图形判断即可． 【解答】解：A、根据圆周角定理得：90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项正确；
B、
如图1，符合条件，当AB和CD不垂直，故本选项错误；
C、
如图2，AB⊥OC，AB过半径OC端点O，但是AB不是圆的切线，故本选项错误；
D、如图3，
弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误；
故选：A． 【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 1.（2024秋 夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ） A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°-∠PD．10，90°+∠P
【答案】C 【分析】根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB． 【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC，
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10；
如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB，
∴∠AOB=180°-∠P，
∴∠COD=90°-∠P．
故选：C． 【知识点6】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1.（2024秋 海港区期末）下列说法：
①平分弦的直径垂直于弦
②三点确定一个圆，
③相等的圆心角所对的弧相等
④垂直于半径的直线是圆的切线
⑤三角形的内心到三条边的距离相等
其中不正确的有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D 【分析】举出反例图形，即可判断①②③④；根据角平分线性质即可推出⑤． 【解答】解：如图
∵弦CD和直径AB，符合AB平分弦CD，且AB是直径，但AB和CD不垂直，∴①错误；
∵在同一直线上的三点不能确定一个圆，∴②错误；
∵如图圆心角∠COD=∠AOB，但弧AB和弧CD不相等，∴③错误；
∵如图CD⊥半径OA，但CD不是圆的切线，∴④错误；
∵根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等，∴⑤正确；
∴不正确的有4个，
故选：D． 2.（2024 漳州模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠ADB=90°，AC，BD相交于点G，E，F分别是AB，BD的中点，连接AF，EF，DE．若点F为△ABC的内心，BF=4，则下面结论错误的是（ ） A．∠CAF=∠BAFB．C．EF=2D．
【答案】D 【分析】根据点F为△ABC的内心，确定点F为△ABC的三条角平分线的交点，即可判断A；根据∠C=∠ADB=90°，得出∠DFA=∠DAF=45°，确定，即可判断B；根据EF是△ABD的中位线，证明△BEF∽△BAD，根据相似三角形的性质和三角形中位线定理即可解出DF=AD=4，EF=2，可判断C；根据勾股定理求出BE，再根据直角三角形性质得出DF=BE，即可判断D． 【解答】解：∵点F为△ABC的内心，
∴点F为△ABC的三条角平分线的交点，
∴，故A正确，不符合题意；
∵∠C=∠ADB=90°，
∴，
∴∠DFA=∠DAF=45°，
∴DA=DF，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，∠EFB=∠ADC=90°，
∴，
∵BF=4，
∴DF=AD=4，EF=2，故C正确，不符合题意；
∴
∵E是AB的中点，
∴，故D错误，符合题意；
故选：D．
【题型1】用切线性质求角度或证角相等
【典型例题】如图，在⊙O中，AB是⊙O的切线，连接OB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接AC，AD，＝，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为（ ）
A.40° B.35° C.30° D.25°
【答案】D
【解析】解：连接OA、OD，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∵，
∴∠DOC＝∠AOB＝50°，
∵圆心角∠DOC和圆周角∠DAC所对的弧是，
∴，
即∠DAC的度数为25°．
故选：D．
【举一反三1】如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，点E在上，连接BD、BE、EA，若∠P＝40°，则∠E的度数为（ ）
A.50° B.65° C.115° D.130°
【答案】C
【解析】解：连接DE，
∵AD是圆的直径，
∴∠AED＝90°，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴直径DA⊥PA，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，
∴∠BOD＝∠AOP＝50°，
∴∠BED＝∠BOD＝25°，
∴∠AEB＝∠AED+∠BED＝90°+25°＝115°．
故选：C．
【举一反三2】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝20°，则∠D＝（ ）
A.20° B.40° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】解：连接OC，
∵∠A＝20°，OA＝OC，
∴∠COD＝40°，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，O是边BC上的一点，以点O为圆心的⊙O与边AC相切于点A，E是半圆BED上的一点，连接AE，DE，若∠C＝32°，则∠AED的度数为 ．
【答案】29°
【解析】解：连接OA，如图，
∵⊙O与边AC相切于点A，￢
∴OA⊥CA，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝32°，
∠AOC＝90°﹣∠C＝58°，
∴∠B＝∠AOC＝29°，
∴∠AED＝∠B＝29°．
故答案为：29°．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 度．
【答案】35
【解析】∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与⊙O相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A、B是切点，l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】解：l1∥l2，
证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，AB是⊙O的直径
∴l1⊥AB，l2⊥AB，
∴∠1=∠2=90°
∴∠1+∠2=180°
∴l1∥l2．
【举一反三6】在⊙O中，延长直径AB至点C，以AC为一边的等腰三角形△CAD，CA＝CD，底边DA与⊙O交于点E，直线EF是⊙O的切线，交CD于点F．如图，当∠C＝40°时，求∠A和∠EFD的大小.
【答案】解：（Ⅰ）如图①，连接OE，则OE＝OA，
∴∠A＝∠OEA，
∵CA＝CD，∠C＝40°，
∴∠A＝∠D＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠D＝∠OEA，
∴CD∥OE，
∵直线EF是⊙O的切线，
∴EF⊥OE，
∴∠EFD＝∠OEF＝90°，
∴∠A和∠EFD的度数分别是70°和90°．
【题型2】用切线性质求边长或证边相等
【典型例题】如图，A、B是⊙O上的两点，连接AB并延长到C，CD与⊙O相切于点D，且CD⊥AC，若AB＝BC＝4，则CD＝（ ）
A. B. C. D.4
【答案】A
【解析】解：解法一：连接OD，OB，过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE＝AB＝2，
∵CD⊥AC，OE⊥AB，
∴∠ACD＝∠OEC＝90°，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OE＝CD，OD＝CE＝BE+BC＝2+4＝6，
∴OB＝OD＝6，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝4，
∴OE＝CD＝4；
解法二：∵AB＝BC＝4，
∴AC＝AB+BC＝4+4＝8，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴CD2＝CB CA＝4×8＝32，
∴CD＝4或CD＝﹣4（舍去）；
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD．若AD平分∠CAB，，则线段AC的长是（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】解：连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴∠BDO＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠CAB=60°
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD＝∠BAD=30°
∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°
∴CD=AD
∵∠B＝∠BAD=30°
∴，
∴CD=
在Rt△ACD中，AD=，CD=，由勾股定理，得
AC=
故答案为：C．
【举一反三2】如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 ．
【答案】2
【解析】解：如图，连接AB，AP．
根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，
此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，
在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，
∴PB＝＝2．
则PB最小值是2．
故答案为：2．
【举一反三3】如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，CA与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，且BC2=BA·BD，则BC的长为 ．
【答案】2
【解析】解：连接OC、CD，如图，
∵CA与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CA，
∴∠OCA＝90°，
∵∠CAB＝90°，∴OC∥AB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ABC＝∠OBC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BCD＝∠A，∠CBD＝∠ABC，
∴BC2＝BA·BD，即BC2＝4×6，
解得BC＝2．
故答案为：．
【举一反三4】【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l,在直线l上取点C，使得
∠CAE为锐角．
【答案】（1）解：
∵α=60°，OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=α=60°，
∵AC与圆相切，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAE=30°．
故答案为：30．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC=2r,
∴OA=OE=CF=DF=r,
∵∠OAC=∠ADC=90°，
∴∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠OAE=∠ACD，
∵OA=OE，CF=DF，
∴∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF，
在△OAE和△FCD中，
∠OEA=∠FDC，∠OAE=∠FCD，OA=CF,
∴△OAE≌△FCD（AAS），
∴AE=CD，
∵AD=AE+ED，
∴BC=CD+ED．
即无论α在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立．
【举一反三5】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.求证：AP=BP.
【答案】证明：如图，连接OP，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，
∴OP⊥AB，
∵OP过O，
∴AP=BP．
【题型3】切线的判定
【典型例题】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60°
【答案】C
【解析】连接OC，∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠B+∠DFB＝90°，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴∠B+∠EFC＝90°，
∵∠ECF＝∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
故选：C．
【举一反三1】如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是（ ）
A.OA2+PA2＝OP2 B.PA⊥OA C.∠P＝30°，∠O＝60° D.OP＝2OA
【答案】D
【解析】∵OA2+PA2＝OP2，
∴△OAP为直角三角形，
∴OA⊥PA，
∴PA为⊙O的切线，所以A、B选项不符合题意；
∵∠P＝30°，∠O＝60°，
∴∠OAP＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA为⊙O的切线，所以C选项不符合题意；
∵OP＝2OA不能确定∠OAP＝90°，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【举一反三2】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A.∠A＝50°，∠C＝40° B.∠B﹣∠C＝∠A C.AB2+BC2＝AC2 D.⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【解析】A．∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
B．∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
C．∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D．∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，⊙P与坐标轴相切．
【答案】1或3或5
【解析】设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝3；
③当⊙P只与y轴相切时，
∵PC＝，
∴AP＝AC+PC＝5，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
【举一反三4】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB＝30°，点D在AB上由点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．
【答案】证明：连接OC，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠CBA＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD＝∠DCB＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CD＝CE，
∴∠ECA＝∠DCA＝60°，
∴∠ECO＝∠ECA+∠OCA＝60°+30°＝90°，
∴EF为⊙O的切线．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E在AC上，AE＝DE，ED，CB的延长线相交于点F．求证：EF是⊙O的切线；
【答案】证明：如图，连接DO，CD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠DCO＝90°，
∴∠A＝∠ADE＝∠DCO＝∠ODC，
∴∠ODC+∠EDC＝∠ADE+∠EDC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
【题型4】与切线长定理有关的线段的计算
【典型例题】如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与
⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，DE=3，则OD的长为（ ）
A.2 B. C. D.4
【答案】B
【解析】解：
设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，则四边形AMON是正方形．
∵DE、DA是⊙O的切线，
∴DE=DN=3，
∵AD=4，
∴AN=ON=4-3=1，
在Rt△OND中，OD===．
故选：B．
【举一反三1】如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是⊙O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则S△PQA=S四边形PROQ．
对上述结论描述正确的是（ ）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②③正确 D.①②③④都正确
【答案】C
【解析】解：如图：
由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，因此点A是PO的中点，
故①正确；
∵PO是⊙A的直径，
∴∠PQO=∠PRO=90°，
∴PQ⊥OQ，PR⊥OR，
∴直线PQ，PR都是⊙O的切线，
故②正确；
直线PQ，PR都是⊙O的切线，根据切线长定理，可知 PQ=PR，
故③正确；
∵PQ=PR，OQ=OR，PO=PO，
∴△POQ≌△POR，
∴S△POQ=S△POR，
∴S△POQ=S四边形PROQ．
∵点A是PO的中点，
∴S△PQA=S△POQ=S四边形PROQ
故④错误．
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，O为BC的中点，⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则⊙O的半径长为 ．
【答案】3
【解析】解：连接OA，OE，OD，
∵AB、AC与⊙O相切于D、E两点，
∴∠OEC=∠ODB=∠AEO=∠ADO=90°，
∵点O为BC的中点，
∴OB=OC=BC，
∵OE=OD，
∴Rt△OEC≌Rt△ODB（HL），
∴∠C=∠B，
∴AC=AB，AO⊥BC，
∴∠CAO=∠BAC=30°，
∴AO=6，
∴OE=OD=AO=3，
即⊙O的半径长为3，
故答案为：3．
【举一反三3】如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
【答案】解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
【题型5】与切线长定理有关的角的计算
【典型例题】如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（ ）
A.35° B.45° C.60° D.70°
【答案】D
【解析】解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PBA＝∠PAB＝55°，
所以∠P＝70°．
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠C=50°，则∠PBA等于（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】A
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠C=50°，
∴∠AOB=2∠C=100°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA==40°，
∴∠PBA=90°-40°=50°．
故选：A．
【举一反三2】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
【答案】76
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°．
【举一反三3】如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，连接OA，OB，OP，若∠APB＝60°，AP＝2．
（1）∠APO＝ ，BP＝ ；
（2）∠AOB＝ ；
（3）连接AB，△ABP是 三角形．
【答案】（1）30°，2（2）120°（3）等边
【解析】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，
∴OP平分∠APB，PB＝PA＝2，
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝×60°＝30°，
故答案为：30°，2；
（2）∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠APB＝120°；
故答案为：120°；
（3）∵PA＝PB，∠APB＝60°，
∴△ABP为等边三角形．
故答案为：等边．
【举一反三4】如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为 ；
（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为 度．
【答案】（1）5 （2）115
【解析】（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；
∴PA＝PB＝5；
（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，
∵PA、PB分别切⊙O 于A、B；
∴∠PAO＝∠PRO＝90°
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；
∴∠AFB＝∠AOB＝65°，
∵∠AFB+∠BCA＝180°
∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°．
【举一反三5】如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
【答案】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
【题型6】三角形内切圆和内心
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.65°
【答案】B
【解析】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠OAB+∠OBC＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝45°，
故选：B．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（ ）
A.50° B.100° C.115° D.120°
【答案】C
【解析】解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠OBC＝∠ABO＝∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣25°﹣40°＝115°，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠B＝50°，则∠AOC＝ ．
【答案】115°
【解析】解：∵∠B＝50°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝130°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝65°，
∴∠AOC＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
【举一反三3】如图，有一块三角形余料ABC，∠B＝90°，BC＝3m，AB＝4m，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形DEFG使它的四个顶点都在△ABC边上且＝；
方案二，如图2，作△ABC的内切圆O，它与三边分别相切于点G、H、I．
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
【答案】解：设DE＝x，则AD＝4﹣x，
∵＝，
∴＝，解得x＝，
∴S正方形＝（）2＝；
∵△ABC中，∠B＝90°，BC＝3m，AB＝4m，
∴AC＝＝5m．
∵点O是△ABC的内心，
∴OI＝OG＝OH＝r，
∴（AB+BC+AC） r＝AB BC，即（4+3+5）r＝4×3，解得r＝1，
∴S⊙O＝π．
∵＜π，
∴方案二利用率高．
【举一反三4】已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．
（1）若AB＝6，AC＝4，BC＝8，求CE之长；
（2）若∠A＝70°，求∠BOC的度数．
【答案】解：（1）由切线长定理可知：AE＝AF，BD＝BF，CE＝CD，
设CE＝CD＝x，则BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝4﹣x．
根据题意得：8﹣x+4﹣x＝6．
解得：x＝3．
∴CE＝3；
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB，
∵∠A＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+A
＝90°+35°
＝125°．
【题型7】多边形的内切圆
【典型例题】如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
A.60 B.55 C.45 D.50
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F，
∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，
∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25，
∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故选：D．
【举一反三1】如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】D
【解析】∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得AD＝11．
【举一反三2】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】C
【解析】设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
【举一反三3】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】46
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝23，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46．
【举一反三4】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【答案】6
【解析】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE
＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE
＝BN+BM
＝3+3
＝6．
【举一反三5】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【答案】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE＝BN+BM＝3+3＝6．
【题型8】三角形的内心与外心的综合
【典型例题】如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
A.50° B.55° C.60° D.80°
【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠C＝80°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∴∠ANB＝80°，
∵M为△ABC的内心，
∴AM、BM为∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAM＝∠BAC，∠ABM＝∠ABC，
∴∠BAM+∠ABM＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝50°，
∴∠AMN＝50°，
在△AMN中，∠MAN＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣50°﹣80°＝50°．
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A.35° B.30° C.25° D.20°
【答案】C
【解析】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴，
∴∠CAD＝∠CBD＝25°，
故选：C．
【举一反三2】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为 ．
【答案】16°
【解析】解：如图，连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝2×37°＝74°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°，
∵OB＝OC，
∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣148°）＝16°，
故答案为：16°．
【举一反三3】已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 ．
【答案】60°或108°
【解析】解：①当∠BAC是锐角时，如图所示：
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝60°．
②当∠BAC是钝角时，如图，
∵∠BIC＝90°+∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BA′C，
∴2∠BA′C＝90°+∠BAC，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴2（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝108°．
故答案为：60°或108°．
【举一反三4】如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）BD与DE相等吗？为什么？
（2）若∠BAC＝90°，DE＝2，求△ABC外接圆的半径．
【答案】解：（1）DE＝DB．
理由：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）连接CD，如图所示：由（1）得：，
∴CD＝BD＝DE＝2，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴△ABC外接圆的半径：r＝．
【题型9】直线和圆的位置关系
【典型例题】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.平行
【答案】C
【解析】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴r＝3，
∵d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离
【答案】B
【解析】作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4 cm，
∴CD＝BC＝2 cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故答案为：B．
【举一反三2】在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
【答案】B
【解析】连接CO，
∵CA＝CB，点O为AB中点，
∴OC⊥AB，
∵以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，
∴点C到AB的距离等于⊙C的半径，
∴⊙C与AB的位置关系是相切，
故选：B．
【举一反三3】以点（1，2）为圆心画⊙P，若⊙P的半径r＝1，则⊙P与x轴的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
【答案】A
【解析】解：∵点P的坐标为（1，2），
∴点P到x轴的距离是2，
∵⊙P的半径r＝1，1＜2，
∴以点P（1，2）为圆心，⊙P与x轴的位置关系相离，
故选：A．
【举一反三4】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.包含
【答案】A
【解析】解：这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交，
故选：A．
【举一反三5】在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 ．
【答案】相切
【解析】∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3，
∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，
∴该圆与y轴的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【举一反三6】⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相切
【解析】解：∵⊙O的直径为15cm，×15＝7.5（cm），
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，
∴圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，
∴l与⊙O相切，
故答案为：相切．
【举一反三7】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 ．
【答案】r＝4.8或6＜r≤8
【解析】解：当直线AB和圆相切时，圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高，
过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
∴；
当圆与直线AB相交，此时半径要大于AC且半径不大于BC，
∴6＜r≤8；
故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．
【举一反三8】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】d＞3
【解析】∵直线l与⊙O相离，⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d＞3．
