27.2.2相似三角形的性质
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比 4
【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方 6
【题型3】相似三角形的判定与性质的综合 9
【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2024秋 婺城区期末）如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于（ ） A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】D 【分析】相似三角形的对应角相等，据此解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=80°，
∴∠C=80°，
故选：D． 【知识点2】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025 雁塔区校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，与AC交于点D．若BC=2，则CD的长度为（ ） A．1B．3C．D．
【答案】D 【分析】先利用等腰三角形以及三角形内角和，求得∠ABC=∠C，再利用角平分线，求得，然后计算出∠BDC，推出AD=BD=BC，最后证明△BCD∽△ACB，然后利用对应边成比例求得答案． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠DBC=∠A=∠ABD，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴BD=AD，BD=BC，
∵∠C=∠C，∠DBC=∠A，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∵BC=2，
∴，
∴，
∴2CD+CD2=4，
∴（舍去负值），
故选：D．
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】如图，已知，若的长度为12，则的长度为（ ）
A.9 B.12 C.16 D.20
【答案】A
【解析】
解：∵， ∴，
∴，
故选：A．
【举一反三1】如图，在中，，，，则的长为（ ）
A. B.8 C.10 D.16
【答案】C
【解析】
解：，， ∴，，
，，
四边形是平行四边形，，
故选C．
【举一反三2】两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.不同的对应边上的高的比不同
【答案】A
【解析】
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴它们的对应边上的高比为1：4．
故选：A．
【举一反三3】如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .
【答案】
５
【解析】
解：如图，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，2），B（5，3）， ∴OA=2，BD=3，OD=5，
由反射定律可得：∠ACO=∠BCD，
又∵∠AOC=∠BDC=90°， ∴△AOC∽△BDC，
∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3， ∴OC=2，OD=3，在Rt△BCD中，CD=3，BD=３
∴BC＝＝
又∵AC：BC=2：3， ∴AC＝， ∴AC+BC＝5
. .故选5.
【举一反三4】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为______________．
【答案】113°或92°
【解析】∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.
【举一反三5】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，
求证：AD·AB＝AE·AC
【答案】
解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∴，
∴AD AB=AE AC．
【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】如图，已知DE∥FG∥BC，且将△ABC分成面积相等的三部分，若BC=15，
则FG的长度是（ ）
A.5 B.10 C.4 D.7.5
【答案】A
【解析】解：∵FG∥BC， ∴△AFG∽△ABC，
故选A．
【举一反三1】将放大到3倍，得到，则与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：将放大到3倍，得到，
，
与的面积比是，
故选：D．
【举一反三2】如图，在中，E为边上一点，且，连接交于点F，连接，若，则 ．
【答案】35
【解析】解：由平行四边形的性质，得到AD∥BC，AD=BC
∵， ∴
∵AD∥BC， ∴
∴： =4：25，的高：的高=2：5
∴=25，的高：的高=7：5
∵和的底相同， ∴=
故答案为：35
【举一反三3】已知：如图，中，，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M．
(1)已知点M是BC的中点．求证：；
(2)已知，四边形BCED的面积为42，求的面积．
【答案】（1）证明：，，，
，， ，
又点M是BC的中点，，．
（2），， 则，
，，，
，
，
设，则，四边形BCED的面积为42，
， 解得， ．
【解析】
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC的面积．
【答案】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，=，AB边上的中线CD＝4 cm，
∴＝，
∴C′D′＝4 cm×2＝8 cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8 cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，=，△ABC的周长为20 cm，
∴＝，
∴C△A′B′C′＝20×2＝40(cm)，
∴△A′B′C′的周长为40 cm；
（3）∵△ABC∽△A′B′C′，=，△A′B′C′的面积是64 cm2，
∴＝＝，
∴S△ABC＝64÷4＝16(cm2)，
∴△ABC的面积是16 cm2．
【题型3】相似三角形的判定与性质的综合
【典型例题】如图，点P是△ABC的重心，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接PC，若△ABC的面积为1，则△PDC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：连接AP并延长交BC于点E，
∵点P是△ABC的重心， ∴BE＝EC＝BC，，从而可得，
∴，
∵PD∥BC， ∴， ∴，
∵PD∥BC， ∴∠APD＝∠AEC，∠ADC＝∠ACE， ∴△APD∽△AEC，
∴， ∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，点P是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A.5 B. C. D.
【答案】B
【解析】解：过点作，，
∵四边形是矩形，∴， ∴， ∴，
∵， ∴，
同理：， ∴， ∴，
∴， ∴，
即为点到矩形的两条对角线和的距离之和是：．
故答案为：．
【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，BC＝10，则DE＝（ ）
A.4 B.5 C.6 D.
【答案】A
【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ，
∵AD＝2，BD＝3，BC＝10，， ∴DE＝4，
故选：A．
【举一反三3】为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【答案】 /30度 /
【解析】 解：∵为等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，
∴，，
∵， ∴， ∴，
∴，即， 解得，
故答案为：，．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=8，则AD= ．
【答案】
【解析】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAE．
∵∠ADE=∠B， ∴△ABD∽△ADE，
∴， 即， ∴
∴，或（不合题意，舍去）．
故答案为．
【举一反三5】如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE CD＝AD CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF＝AF．
【答案】证明：（1）∵AE CD＝AD CE，
∴，
∵∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD，
∴，
∴DE∥AB；
（2）∵BD是DF和AB的比例中项，
∴BD2＝DF AB，
∵AD＝BD，
∴AD2＝DF AB，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴＝1，
∴DF＝AF．
【举一反三6】如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8．
（1）求证：△EOB∽△ABC；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，
又∠EOB＝∠ABC＝90°，
∴△EOB∽△ABC；
（2）解：∵△EOB∽△ABC
∴＝，
∵△BCE的面积为8，
∴BC OE＝8，
∵＝，
∴BC OE＝16，
∴AB OB ＝BC OE，
∴k＝AB BO＝BC OE＝16，
则反比例函数的解析式为：y＝．27.2.2相似三角形的性质
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比 2
【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方 3
【题型3】相似三角形的判定与性质的综合 4
【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2024秋 婺城区期末）如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于（ ） A．20°B．40°C．60°D．80°
【知识点2】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025 雁塔区校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，与AC交于点D．若BC=2，则CD的长度为（ ） A．1B．3C．D．
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】如图，已知，若的长度为12，则的长度为（ ）
A.9 B.12 C.16 D.20
【举一反三1】如图，在中，，，，则的长为（ ）
A. B.8 C.10 D.16
【举一反三2】两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.不同的对应边上的高的比不同
【举一反三3】如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .
【举一反三4】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为______________．
【举一反三5】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，
求证：AD·AB＝AE·AC
【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】如图，已知DE∥FG∥BC，且将△ABC分成面积相等的三部分，若BC=15，
则FG的长度是（ ）
A.5 B.10 C.4 D.7.5
【举一反三1】将放大到3倍，得到，则与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，E为边上一点，且，连接交于点F，连接，若，则 ．
【举一反三3】已知：如图，中，，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M．
(1)已知点M是BC的中点．求证：；
(2)已知，四边形BCED的面积为42，求的面积．
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC的面积．
【题型3】相似三角形的判定与性质的综合
【典型例题】如图，点P是△ABC的重心，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接PC，若△ABC的面积为1，则△PDC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点P是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A.5 B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，BC＝10，则DE＝（ ）
A.4 B.5 C.6 D.
【举一反三3】为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=8，则AD= ．
【举一反三5】如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE CD＝AD CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF＝AF．
【举一反三6】如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8．
（1）求证：△EOB∽△ABC；
（2）求反比例函数的解析式．
