28.2.1解直角三角形
【题型1】解直角三角形 2
【题型2】解直角三角形的简单应用 2
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 济南期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（ ） A．B．C．D．
【题型1】解直角三角形
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( )
A.18 B.2 C.12 D.
【举一反三1】如图，在中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，那么边AC的长为__________．
【举一反三3】在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cos B＝，则BC的长是__________．
【举一反三4】如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．
【题型2】解直角三角形的简单应用
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2.则sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠A＝45°，tanB＝，BC＝10，则AB的长为________．
【举一反三3】如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由．
【举一反三4】△ABC的三边长分别为AB＝1，BC＝，AC＝，求∠ACB的正弦值．28.2.1解直角三角形
【题型1】解直角三角形 2
【题型2】解直角三角形的简单应用 4
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 济南期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【解答】解：如图，设小正方形边长为1，AE⊥CE，
∴AE=4，CE=3，
∵△ACE是直角三角形，
∴AC2=AE2+CE2，
∴，
∴，
故选：C．
【题型1】解直角三角形
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( )
A.18 B.2 C.12 D.
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝，∵cosA＝，AB＝6，∴AC＝AB＝2，故选B.
【举一反三1】如图，在中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在中，，，，
∵， ∴
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，那么边AC的长为__________．
【答案】m·sin α
【解析】∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，则sinα＝，∴AC＝AB·sinα＝m·sin α.
【举一反三3】在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cos B＝，则BC的长是__________．
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8，cos B＝，∴＝，∴BC＝.
【举一反三4】如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．
【答案】解：在中，
∵，，， ∴
∵ ∴
∴
【题型2】解直角三角形的简单应用
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2.则sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝＝3，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin ∠ACD＝sinB＝＝.故选C.
【举一反三1】如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中, ，
AB==, ∴的长为 ，
故选A
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠A＝45°，tanB＝，BC＝10，则AB的长为________．
【答案】14
【解析】过C作CD⊥AB，交AB于D点，在Rt△BCD中，tanB＝＝，BC＝10，设BD＝4k，则CD＝3k，根据勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即(4k)2＋(3k)2＝102，解得k＝2或k＝－2(舍去)，∴BD＝8，CD＝6，又∠ADC＝90°，∠A＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝6，则AB＝AD＋DB＝6＋8＝14.
【举一反三3】如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由．
【答案】解：能画出一个半径为的圆．理由如下：
当取最大张角时，过点作于，如图2，
，，，，
在中，，，
，
能画出一个半径为的圆．
【举一反三4】△ABC的三边长分别为AB＝1，BC＝，AC＝，求∠ACB的正弦值．
【答案】解 如图，过B作BD⊥AC于D.设CD＝x，则AD＝－x.∵在Rt△BCD中，BD2＝BC2－CD2＝2－x2，在Rt△BAD中，BD2＝AB2－AD2＝1－(－x)2，2－x2＝1－(－x)2，解得x＝，∴BD2＝2-（）2＝，BD=，sin∠ACB＝＝÷＝.
