28.2.2应用举例
【题型1】解直角三角形的应用——高度宽度问题 4
【题型2】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 6
【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 6
【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 8
【知识点1】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 张家口一模）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（ ）厘米．（结果精确到0.1厘米，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A．2.5B．2.6C．2.7D．2.8
【知识点2】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2024秋 蚌埠期末）小明沿着坡比为的山坡向上走了300m,则他升高了（ ） A．mB．150mC．mD．100m
2.（2025 沂源县一模）2024年我国粮食产量首次突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带AB把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度AB=20米．①用计算器求输送带AB部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为：；②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米；③坡角为∠B；④；以上说法正确的个数是（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点3】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 农安县一模）如图所示，塔底B与观测点A在同一水平线上．为了测量铁塔的高度，在A处测得塔顶C的仰角为α，塔底B与观测点A的距离为80米，则铁塔的高BC为（ ） A．80sinα米B．米C．80tanα米D．米
【知识点4】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 1.（2024秋 长兴县期末）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使其到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是（参考：≈1.414，≈1.732）（ ） A．366B．634C．650D．700
2.（2024秋 金堂县期末）如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ） A．200米B．200米C．米D．400米
【题型1】解直角三角形的应用——高度宽度问题
【典型例题】如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.m B.5m C.5m D.10m
【举一反三1】如图所示，要在离地面5 m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2 m、l2＝6.2 m、l3＝7.8 m、l4＝10 m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
【举一反三2】当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面400 km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方的A处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距( )
(地球半径约为6 400 km，π≈3，sin 20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留整数)．
A.2133 km B.2217 km C.2298 km D.7467 km
【举一反三3】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高m，测得m， m．则建筑物的高是 m．
【举一反三4】某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)
【题型2】解直角三角形的应用——仰角俯角问题
【典型例题】在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A.米 B.25米 C.米 D.50米
【举一反三1】如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为( )
A.20米 B.(20－8)米 C.(20－28)米 D.(20－20)米
【举一反三2】如图所示，自动扶梯段的长度为20米，倾斜角A为，高度为 米．（结果用含的三角函数表示）
【举一反三3】某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已 知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据）
【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题
【典型例题】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长( )
A.2 km B.(2＋)km C.(4－2) km D.(4－) km
【举一反三1】科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，再沿南偏东方向行驶一段距离后到达风景区C．若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为（ ）（结果精确到0.1km；参考数据：）
A.4.1km B.5.2km C.5.9km D.7.9km
【举一反三2】一艘轮船以18海里/时沿北偏东60°的方向航行，上午九时，测得小岛A在正东方向，3小时后，看见小岛在南偏东30°方向上，此时船与小岛的距离为( )
A.27海里 B.18海里 C.27海里 D.18海里
【举一反三3】小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为__________米．
【举一反三4】南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)
(参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)
【举一反三5】在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距3千米的A、B两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂A北偏东60°方向、工厂北偏西45°方向有一点P，以P点为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？(参考数据：≈1.4，≈1.7)
【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题
【典型例题】斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度．如图，斜坡的斜面坡度为（ ）
A.1：4 B.4：1 C. D.
【举一反三1】如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ）
A.8m B.10m C. D.
【举一反三2】 若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（ ）
A.100sinαm B. m C. m D.100cosαm
【举一反三3】 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．
【举一反三4】如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4 m，B、C在同一水平地面上．
(1)求斜坡AB的水平宽度BC；
(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5 m，EF＝2 m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5 m时，求点D离地面的高．(≈2.236，结果精确到0.1 m)28.2.2应用举例
【题型1】解直角三角形的应用——高度宽度问题 7
【题型2】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 9
【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 11
【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 14
【知识点1】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 张家口一模）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（ ）厘米．（结果精确到0.1厘米，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A．2.5B．2.6C．2.7D．2.8
【答案】C 【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2厘米，则CE=2厘米，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度． 【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
∴BD=OD=2厘米，
∴CE=BD=2厘米．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵tan37°=≈0.75，
∴OE≈2.7（厘米）．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7厘米．
故选：C． 【知识点2】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2024秋 蚌埠期末）小明沿着坡比为的山坡向上走了300m,则他升高了（ ） A．mB．150mC．mD．100m
【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了300m,根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i=1：，
∴tan∠A=1：=，
∴∠A=30°，
∵AB=300m,
∴BE=AB=150（m）．
∴他升高了150m.
故选：B． 2.（2025 沂源县一模）2024年我国粮食产量首次突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带AB把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度AB=20米．①用计算器求输送带AB部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为：；②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米；③坡角为∠B；④；以上说法正确的个数是（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B 【分析】根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可． 【解答】解：①按键顺序不对，最后两个步骤“DMS”和“=”应该互换位置，故①错误；
②∵，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC=ABsinA=12米，故②正确；
③坡角为∠A，故③错误；
④∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：B． 【知识点3】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 农安县一模）如图所示，塔底B与观测点A在同一水平线上．为了测量铁塔的高度，在A处测得塔顶C的仰角为α，塔底B与观测点A的距离为80米，则铁塔的高BC为（ ） A．80sinα米B．米C．80tanα米D．米
【答案】C 【分析】根据题意可得∠ABC=90°，AB=80米，∠CAB=α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：根据题意得：，
∴BC=tanα AB=80tanα（米）．
故选：C． 【知识点4】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 1.（2024秋 长兴县期末）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使其到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是（参考：≈1.414，≈1.732）（ ） A．366B．634C．650D．700
【答案】B 【分析】首先过点M作MN⊥AC于点N，由题意可求得∠MAN=30°，∠MCN=45°，然后设MN=x,由三角函数的性质，可表示出AN与CN，继而可得方程：x+x=1000，解此方程即可求得答案． 【解答】解：如图：过点M作MN⊥AC于点N，
根据题意得：∠MAN=60°-30°=30°，∠BCM=75°，∠DCA=60°，
∴∠MCN=180°-75°-60°=45°，
设MN=x米，
在Rt△AMN中，AN==x（米），
在Rt△CMN中，CN==x（米），
∵AC=1000米，
∴x+x=1000，
解得：x=500（-1），
∴AN=x≈634．
故选：B． 2.（2024秋 金堂县期末）如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ） A．200米B．200米C．米D．400米
【答案】A 【分析】在Rt△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意∠AOB=90°-60°=30°，OA=400米，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=AO=200米．
故选：A．
【题型1】解直角三角形的应用——高度宽度问题
【典型例题】如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.m B.5m C.5m D.10m
【答案】B
【解析】如图，作CH⊥AB于H.在Rt△CBH中，∵∠CHB＝90°，BC＝5，∠CBH＝45°，∴sin45°＝，∴CH＝BC×5×＝5.故选B.
【举一反三1】如图所示，要在离地面5 m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2 m、l2＝6.2 m、l3＝7.8 m、l4＝10 m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
【答案】B
【解析】方法1：∠ACD＝90°－60°＝30°，设拉线AC＝x，则AD＝x，则x2＝x2＋52，AC＝x＝≈5.77， (负值已舍去)．方法2：CD＝5米，∠A＝60°，∴AC＝＝5÷＝≈5.77米，所以最好选用l2，故选B.
【举一反三2】当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面400 km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方的A处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距( )
(地球半径约为6 400 km，π≈3，sin 20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留整数)．
A.2133 km B.2217 km C.2298 km D.7467 km
【答案】A
【解析】∵AQ是⊙O的切线，∴OQ⊥AQ，∴∠OQA＝90°，∴在Rt△OQA中，OQ＝6 400 km，OA＝OP＋PA＝6400＋400＝6800 km，∴cos∠QOA＝＝≈0.94，∴∠QOA≈20°；∴的长＝≈2133 km.∴从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距2133 km.故选A.
【举一反三3】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高m，测得m， m．则建筑物的高是 m．
【答案】
【解析】
解：由题意可得， ，
， ，
故答案为．
【举一反三4】某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)
【答案】解 (1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，
∴CD＝80×cos30°＝80×＝40(cm)
．(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，
∴OC＝AC×tan30°＝165×＝55(cm)，
∴OD＝OC－CD＝55－40＝15(cm)，
∴AB＝AO－OB＝AO－OD＝55×2－15＝95(cm)．
【题型2】解直角三角形的应用——仰角俯角问题
【典型例题】在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A.米 B.25米 C.米 D.50米
【答案】A
【解析】
解：设米， 在中，，
，即， 整理得：米，
在中，，
，即， 整理得：米，
∵米， ∴，即，解得：，
侧这栋楼的高度为米．
故选：A．
【举一反三1】如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为( )
A.20米 B.(20－8)米 C.(20－28)米 D.(20－20)米
【答案】C
【解析】根据题意，得AB＝8米，DE＝20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°，在Rt△ADE中，AE＝DE＝20米，∴BE＝AE－AB＝20－8(米)，在Rt△BCE中，CE＝BE·tan 45°＝(20－8)×1＝20－8(米)，∴CD＝CE－DE＝20－8－20＝20－28(米)；故选C.
【举一反三2】如图所示，自动扶梯段的长度为20米，倾斜角A为，高度为 米．（结果用含的三角函数表示）
【答案】
【解析】
解：，（米），
故答案为：．
【举一反三3】某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已 知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据）
【答案】
解：由题意得，四边形是矩形，
∴，，
∵， ∴（米），
∴（米），
答：实验楼的高度为25米．
【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题
【典型例题】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长( )
A.2 km B.(2＋)km C.(4－2) km D.(4－) km
【答案】C
【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.
【举一反三1】科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，再沿南偏东方向行驶一段距离后到达风景区C．若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为（ ）（结果精确到0.1km；参考数据：）
A.4.1km B.5.2km C.5.9km D.7.9km
【答案】D
【解析】
解：作于D，
小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，
导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，
∴，，∴，，
，，
故选：D
【举一反三2】一艘轮船以18海里/时沿北偏东60°的方向航行，上午九时，测得小岛A在正东方向，3小时后，看见小岛在南偏东30°方向上，此时船与小岛的距离为( )
A.27海里 B.18海里 C.27海里 D.18海里
【答案】B
【解析】解：如图，过B点作BD⊥AC于D.∵∠DAB＝90°－60°＝30°.AB＝18×3＝54(海里)，在Rt△ABD中，BD＝AB·sin∠DAB＝54×＝27(海里)，在Rt△BDC中，∵∠CBD＝30°，∴BC＝＝＝27÷＝18(海里)．故选B.
【举一反三3】小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为__________米．
【答案】200
【解析】由已知，得∠A＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝30°.∴AB＝BP＝400.过点P作PD⊥AB于点D.在直角△PBD中，∠PBD＝60°，∴PD＝PB·sin60°＝200(米)．
【举一反三4】南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)
(参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)
【答案】解 过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由题意得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．
【举一反三5】在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距3千米的A、B两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂A北偏东60°方向、工厂北偏西45°方向有一点P，以P点为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？(参考数据：≈1.4，≈1.7)
【答案】解 过P作PC⊥AB于C，设BC＝x，则AC＝3－x，∵PC∥BF，∴∠CPB＝∠PBF＝45°，∴△PCB是等腰直角三角形，∴PC＝BC＝x，∵∠EAB＝90°，∠EAP＝60°，∴∠PAC＝90°－60°＝30°，tan∠PAC＝，∴tan30°＝＝，∴x＝≈＝1.05＜1.2，答：修筑公路时，这个村庄有一些居民需要搬迁．
【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题
【典型例题】斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度．如图，斜坡的斜面坡度为（ ）
A.1：4 B.4：1 C. D.
【答案】D
【解析】解：由勾股定理可得：， ∴斜坡的斜面坡度为；
故选D
【举一反三1】如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ）
A.8m B.10m C. D.
【答案】B
【解析】解：由在中，，
设，， 则， 则；
又， ；
故选：B．
【举一反三2】 若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（ ）
A.100sinαm B. m C. m D.100cosαm
【答案】A
【解析】如图，∠A=α，∠C=90°，
则他上升的高度BC=ABsinα=100 sinα(米)．
故选A．
【举一反三3】 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．
【答案】4
【解析】解：由题意得：， 即，
由勾股定理得：米，
故答案为：4．
【举一反三4】如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4 m，B、C在同一水平地面上．
(1)求斜坡AB的水平宽度BC；
(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5 m，EF＝2 m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5 m时，求点D离地面的高．(≈2.236，结果精确到0.1 m)
【答案】解 (1)∵坡度为i＝1∶2，AC＝4 m，∴BC＝4×2＝8 m.
(2)作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴＝12，∵DG＝EF＝2 m，∴GH＝1 m，∴DH＝＝(m)，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝5 m，设HS＝x m，则BS＝2x m，∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝ m，∴DS＝＋＝2≈4.5 m.
