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2025~2026学年度第一学期数学期中模拟卷（广东专用）
八年级数学
时间：120分钟，满分：120分
检测范围：北师大版八年级上册第一章~第四章
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．在实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．5，7，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．
3．在直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ）
A．4 B．3 C． D．
6．如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知函数的图象经过点，则比较的大小为（ ）
A． B． C． D．无法比较
8．若n为整数，且，则n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小：4 （填“＞”“＜”或“＝”）．
12．已知线段平行于轴，且点，，那么 ．
13．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ．
14．直线与坐标轴围成的的面积是 ．
15．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
（1）
（2）
17．已知点和点，且线段轴．
（1）求的值；
（2）求线段的长．
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）和关于x轴对称，请在坐标系中画出；
（2）求的面积；
（3）在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值．
四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分）
19．规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题．
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
……
（1） ；
（2） ；
（3）求出的值．
20．为了认真落实2024年全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一条跳绳；
B网店：足球和跳绳都打九折．
已知要购买足球60个，跳绳x条（）．
（1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用和；（不必写出自变量取值范围）
（2）若，求x的值；
（3）对比A、B两家网店优惠方案，试简要说明何时在哪家网店购买更划算？
21．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
（1）【已有认识】既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．
【拓展运用】如图2，点、点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴中点表示的数是 ．（直接写出答案）
（2）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的，其中，，，并求出的面积，以及点到边的距离．
（3）【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中、两点的距离，显然是转化为求△的斜边长．下面以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，
所以，
所以由勾股定理可得，．
【拓展运用】①在图5中，设，轴，轴，于点，则_________，_________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，（直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点，为轴上任一点，则的最小值为________；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________．（直接写出答案）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形．
解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为．
由图形可知：．
整理得
．
故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中．
（1）【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求：
①的面积；
②的长．
（2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求：
①点和点的坐标．
②点到轴的距离．
23．综合探究：
如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且．
（1）直接写出的值：____________，____________，____________．
（2）当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
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八年级数学
时间：120分钟，满分：120分
检测范围：北师大版八年级上册第一章~第四章
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．在实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
无理数有：，，共个．
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．5，7，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．能根据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，判定是否是直角三角形即可得到答案．
【详解】解：A．，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．在直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，根据关于轴的对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
4．下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键.
根据函数的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数；
对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数；
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离是横坐标的绝对值，进行作答即可．
【详解】解：依题意，点到轴的距离是
故选：A
6．如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，勾股定理，首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数．
【详解】解：根据题意可得：，，,
，
，
点到 原 点 的 距 离 为 ，且点在 原 点 左 侧 ，
点表示的数是，
故选：B．
7．已知函数的图象经过点，则比较的大小为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，判断出一次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
8．若n为整数，且，则n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
9．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．
【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律．设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化确定变化的规律，结合，即可求解．
【详解】解：设第次跳动至点，
观察发现：，，，，，，，，，，..．
∴，，，，（为自然数），
∵，
∴，
即．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小：4 （填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】先求出，再比较根号内的数即可求解．
【详解】解：∵，16＜20，∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．
12．已知线段平行于轴，且点，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求解即可．
【详解】线段平行于轴，
故答案为：．
13．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键．根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答．
【详解】解：∵是49的算术平方根，
，
解得，
的立方根是，
，
解得：．
当，时，，
∴的立方根是，
故答案为：．
14．直线与坐标轴围成的的面积是 ．
【答案】8
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，先求出的坐标，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴的面积为；
故答案为：8．
15．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，
在中，米，米，
米，
在中，米，米，
（米）．
故这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
（1）
（2）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，
（1）首先化简二次根式，然后再计算加减即可；
（2）利用乘法分配律先算乘法，然后再计算加减即可；
关键是掌握运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
【详解】（1）
（2）
17．已知点和点，且线段轴．
（1）求的值；
（2）求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题干条件可知、两点的横坐标相同，据此进行解答；
（2）由上问结果可求出、两点坐标，用较大纵坐标减去较小纵坐标即为长度，即可求解．
【详解】（1）∵和点，且轴，
∴，
∴．
（2）由（1）可得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，得到两点的横坐标相同是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）和关于x轴对称，请在坐标系中画出；
（2）求的面积；
（3）在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为2
(3)图见解析，的最小值为
【分析】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题．
（1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案．
【详解】（1）解：如图所示；
；
（2）解：的面积为：；
（3）解：连接，交轴于点，
此时长度最小，
最小值为．
故答案为：．
四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分）
19．规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题．
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
……
（1） ；
（2） ；
（3）求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识．
（1）利用题中规律即可求出的值即可；
（2）根据的变化规律直接得出答案即可；
（3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：结合已知数据，可得：；
故答案为：；
（3）解：
．
20．为了认真落实2024年全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一条跳绳；
B网店：足球和跳绳都打九折．
已知要购买足球60个，跳绳x条（）．
（1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用和；（不必写出自变量取值范围）
（2）若，求x的值；
（3）对比A、B两家网店优惠方案，试简要说明何时在哪家网店购买更划算？
【答案】(1)；；
(2)；
(3)当时，选择网店更划算；当时， 选择两个网店都划算；当时，选择网店更划算．
【分析】本题考查的是一次函数的应用；
（1）分别根据A、B两家网店的优惠方式列函数关系式即可；
（2）由再建立一元一次方程求解即可；
（3）分三种讨论，可得答案．
【详解】（1）解：A店购买可列式：；
在网店B购买可列式：；
（2）解：当时，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）可得：当时，，此时两个网店的优惠相同；
当，即时，，选择网店更划算；
当，即时，，选择网店更划算．
21．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
（1）【已有认识】既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．
【拓展运用】如图2，点、点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴中点表示的数是 ．（直接写出答案）
（2）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的，其中，，，并求出的面积，以及点到边的距离．
（3）【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中、两点的距离，显然是转化为求△的斜边长．下面以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，
所以，
所以由勾股定理可得，．
【拓展运用】①在图5中，设，轴，轴，于点，则_________，_________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，（直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点，为轴上任一点，则的最小值为________；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)图见解析，的面积为2；点到边的距离为；
(3)①，；②；③
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
（1）利用勾股定理以及实数与数轴的关系即可求解；
（2）利用勾股定理结合网格的特点作出，再利用割补法求解即可；
（3）①根据图形直接写出即可；
②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值；
③根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴数轴中点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：，，，
如图所示，
的面积为，
点到边的距离为；
（3）解：①∵，轴，轴，于点，则，，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；
故答案为：，；
②作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，
∵，
∴，
∵，
，
即的最小值为；
故答案为：；
③，
故原式表示点到和的距离之和．
由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小．
利用公式，原式．
故答案为：．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形．
解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为．
由图形可知：．
整理得
．
故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中．
（1）【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求：
①的面积；
②的长．
（2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求：
①点和点的坐标．
②点到轴的距离．
【答案】(1)①7 ②
(2)①点，点 ②
【分析】此题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）①根据正方形网格的特点，分别求出，，，，进而根据可得出答案；
②由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长；
（2）①对于，当时，，当时，，由此可得点和点的坐标；
②过点作轴于，由①得，，则，由三角形的面积公式可求出，再由勾股定理求出，然后再由三角形的面积公式即可求出的长．
【详解】（1）解：①如图2所示：
依题意得：四边形为正方形，且，
，
又，，，
，
，
，
，
②在中，由勾股定理得：，
是的边上的高，
，
；
（2）①对于，
当时，，
当时，，，
点，点；
由①可知：，，
在中，由勾股定理得：，
，垂足为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
轴于，
，
，
．
23．综合探究：
如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且．
（1）直接写出的值：____________，____________，____________．
（2）当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，P的坐标为
(3)存在，点的坐标为或，理由见解析
【分析】（1）非负性求出，勾股定理求出的值即可；
（2）设点的坐标为，利用分割法求面积，列出方程进行求解即可；
（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：设点的坐标为，由（1）可知：，
即
解得：；
的坐标为；
（3）解：存在，理由如下：
①当，过点作，则：，
，
，
∵，，
∴，轴，
，
，
，
点的坐标为
②当，如图，设，
，
，
，
即，
解得；
的坐标为；
③当，不符合题意
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负性，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想，是解题的关键．
