4.2.1认识一次函数 课件（23张ppt）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
4.2.1认识一次函数

第四章
一次函数
02
01
理解均匀递增、递减现象；
(重点)
能根据均匀的变化规律列关系式并判断未来变化趋势。
(难点)
学 习 目 标
情境导入
2020年，我国人均生活用水量：1.城镇（含公共用水）207L/d；
2.农村100 L/d。
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗?
先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
新知探究
(1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min,记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表.
请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少?
认识一次函数的现象(一)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}时间 t/min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
漏水量 V/mL
新知探究
(2)下表是小明通过实验得到的数据。
时间 t/min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
漏水量V/mL
5.5
11.0
16.5
22.0
27.5
33.0
38.5
44.0
49.5
55.0
...
做一做：请根据小明的得到的数据，在坐标纸上描出（t,V）对应的点。
认识一次函数的现象(一)
新知探究
(2)下表是小明通过实验得到的数据。
时间 t/min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
漏水量V/mL
5.5
11.0
16.5
22.0
27.5
33.0
38.5
44.0
49.5
55.0
...
算一算：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗?
解：一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟。
由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，
则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L。
一年漏水量：一年按 365 天算，
一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L.
即不够一个人一年使用.
认识一次函数的现象(一)
新知探究
(3)分析小明的数据，你能写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系吗？
解析：根据小明得到的数据，在平面直角坐标系中描出(v, t)对应的点；故据图和数据得出结论：
V = 5.5t
时间 t/min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
漏水量V/mL
5.5
11.0
16.5
22.0
27.5
33.0
38.5
44.0
49.5
55.0
...
认识一次函数的现象(一)
新知探究
认识一次函数的现象(一)
【思考·交流】
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
共同之处：体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势。
不同之处：由于实验条件、操作手法等差异，
导致测量出的具体数据有差别。
新知探究
认识一次函数的现象(一)
【思考·交流】
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（2） 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？
因素：有仪器精度、环境条件、操作规范性等.
影响：表格中相同时间漏水量数值不同；
图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；
表达式一次项系数和常数项可能会改变.
新知探究
认识一次函数的现象(一)
【思考·交流】
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
(3)假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化? 为什么?
表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）.
表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大.
图象：更陡,斜率增大.
新知探究
认识一次函数的现象(二)
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}燃烧时间
t/min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l/cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
(1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出( t,l )对应的点。
O
1
2
3
4
5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
新知探究
认识一次函数的现象(二)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}燃烧时间
t/min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l/cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
（2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
燃烧 10 min后这根香可燃烧部分的长度为:
22.4－0.5×(10－1)＝17.9(cm)。
新知探究
认识一次函数的现象(二)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}燃烧时间
t/min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l/cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
(3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
(4)试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
香初始长 22.9 cm，燃尽需 45.8 min。
????????.????????.????=
?
l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t
新知探究
在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min,香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢?
解析：因为香的原材料分布均匀，结构较为一致，在燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定，外界环境因素在实验设定范围内相对固定时，就会出现这种随着时间等量变化的情况。
所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
认识一次函数的现象(二)
烧水升温：恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升。
汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。
新知探究
生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。
典例分析
请回答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
解：上表反映了温度和距离地面高度之间的关系， 距离地面高度是自变量，温度是因变量。
距离地面高度(km)
0
1
2
3
4
…
温度(℃)
20
14
8
2
－4
…
例 “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象。下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量得到的表格。
典例分析
距离地面高度(km)
0
1
2
3
4
…
温度(℃)
20
14
8
2
－4
…
(2) t 与 h 之间的关系式是 。
根据表格数据知当高度每上升 1 km 时，温度下降 6 ℃，
∴ t＝－6h＋20；
例 “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象。下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量得到的表格。
典例分析
(3)你能估计温度为－19℃时，距离地面的高度是多少吗?
将t＝－19代入t＝－6h＋20，可得：－6h＋20＝－19，
解得 h＝6.5，
答：温度为－19℃时，距离地面的高度是6.5 km
距离地面高度(km)
0
1
2
3
4
…
温度(℃)
20
14
8
2
－4
…
例 “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象。下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量得到的表格。

基础巩固练
1．如图，是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子．随着放入骰子数量的增加,水杯中的水面会升高，这样的升高 （填“是”或“不是”）“均匀”变化的．
不是
【分析】理解茶杯的形状和水面高度的变化规律是解题的关键．根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度.

基础巩固练
2．变量????，???? 的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当x=?5时，y 的值是( )
?
????
…
?2
?1
0
1
2
3
…
????
…
?8
?1
6
13
20
27
…
…
0
1
2
3
…
…
6
13
20
27
…
A. ????????? B. ????? C. 41 D. 75
?
A

基础巩固练
3.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费。为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写了下表。
时间 x/min
0
5
10
15
20
25
30
水量 y/mL
0
30
60
90
120
150
180
(1)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 x ，纵轴表示水量 y ，画出函数图象；
解：(1)利用描点法画出函数图象,如图所示。

基础巩固练
3.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费。为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写了下表。
时间 x/min
0
5
10
15
20
25
30
水量 y/mL
0
30
60
90
120
150
180
(2)试写出漏水量 y 与漏水时间 x 的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量。
(2)由题意，得关系式 y ＝6x,
一天:24×60 min＝1440 min，即 x＝1440 min，
则 y＝6×1440＝8640 mL＝8.64 (L),
故这种漏水状态下一天的漏水量为 8.64 L。
课堂小结