4.2 第2课时 一次函数与正比例函数 课件（14张ppt）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
4.2认识一次函数
第2课时一次函数与正比例函数
第四章
一次函数
温故复习
1.函数的概念是什么？
一般地，如果在一个变化过程中有 x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有 与它对应，那么我们称 ，其中x是自变量.
2.函数的表示方法有哪些？
两个变量
唯一的值
y是x的函数
情境导入
在弹簧限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物品的质量x(单位：kg)的关系如下表所示:
(2)你能写出y与x之间的关系吗？并说明理由.
y=0.5x + 3，y是x的函数
(1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是均匀的吗？
均匀的
因为所挂物品每增加1kg,弹簧长度都增长0.5cm.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
弹簧长度y=初始长度+单位质量增长的长度
新知探究
某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
{D7AC3CCA-C797-4891-BE02-D94E43425B78}汽车行使路程x/km
0
50
100
150
200
300
耗油量
y/L
0
4
8
12
16
24
(2) 你能写出y与x的关系吗?
y = ???????????? x
?
(3) 你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
z = 40－ ???????????? x
?
油箱剩余油量z(L)等于原有油量减去行驶xkm耗油量y.
每行驶1km耗油???????????? L
?
新知探究
在上面的情境中，我们得到
y=0.5x + 3， y = ???????????? x， z = 40－ ???????????? x，
?
（2）变量的次数都是一次；
（1）都是含有两个变量的等式；
共同特征
（3）自变量x的系数都不为0；
他们有什么共同的特征？
新知探究
1.一次函数的概念（知识归纳）：
如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，称 y是x的正比例函数。即正比例函数可以表示为y=kx (k ≠ 0）。
对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“均匀”的。
新知探究
2. 一次函数的步骤（知识归纳）：

典例分析
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解析：由路程=速度×时间，y=60x ,
则y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解析：由圆的面积公式，得y=πx2,
则 y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解析：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=5x+15,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.

典例分析
例2: 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35km/h。
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位km/h）与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义：
解析：刹车开始时汽车的速度为120km/h，
每过1 s其速度减少35km/h,
于是经过t s汽车的速度减少35t km/h,
所以y与t的关系式是y=-35t+120,
其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，
b=120表示刹车开始时汽车的速度。

典例分析
例2: 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35km/h。
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。
解析：汽车停止时速度y=0,
解方程0=-35t+120,得t=247≈3.43。
因此，该汽车从刹车到停止所需时间大约为3.43s
?
y与t的关系式是
y=-35t+120

基础巩固练
1.下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②③ B. ①④
C. ①③④ D. ②③④
B
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数.
≠2
=-2

基础巩固练
3.某种大米单价是3.8元/kg,当购买x kg大米时，需要花费为y元。y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
解析：由总价=单价×数量，得出y=2.2x；
那么y是x的一次函数，y也是x的正比例函数。

基础巩固练
(2)当x=0.5时，求y的值。
解析：当x=0.5时，y=350×0.5+500=675 km/h.
4.如图，甲、乙两地相距500km，一列”复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h 的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离。
(1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
解析： 根据题意得y=350x+500，
则y是x的一次函数．
v=350km/h
甲
乙
丙
课堂小结
一次函数与正比例函数
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
特别提醒：正比例函数是特殊的一次函数
一次函数形式：y=kx+b（k≠0）
特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数