四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2025九上·游仙开学考）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
2．（2025九上·游仙开学考）若存在，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·游仙开学考）现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025九上·游仙开学考）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．，3，5 D．5，12，12
5．（2025九上·游仙开学考）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．40
6．（2025九上·游仙开学考）如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（ ）
A．16时的温度约为1℃ B．在-3℃以上的时间约为16小时
C．温度是-1℃的时刻只有10时 D．温度最低的时刻是4时
7．（2025九上·游仙开学考）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·游仙开学考）某女子体操队5名队员的身高分别为，某男子体操队5名队员的身高分别为，则关于这两个队的队员身高，下列描述正确的是（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同 C．众数相同 D．方差相同
9．（2025九上·游仙开学考）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·游仙开学考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14
11．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
12．（2025九上·游仙开学考）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2025九上·游仙开学考）在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，点P的坐标为，则点P到直线l的最短距离为 ．
14．（2025九上·游仙开学考）点是直线上的两点，则 (填或或)
15．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为 ．
16．（2025九上·游仙开学考）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为 ．
17．（2025九上·游仙开学考）如果直线l是由直线向下平移得到，且直线l过点，那么直线l的函数表达式为 ．
18．（2025九上·游仙开学考）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有 ．
三、解答题
19．（2025九上·游仙开学考）计算：
（1）
（2）
20．（2025九上·游仙开学考）2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的 ，本次调查数据的中位数是 ，本次调查数据的众数是 ；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？
（3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数．
21．（2025九上·游仙开学考）龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策．
优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费．
优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费．
（1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式．
（2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算．
22．（2025九上·游仙开学考）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
23．（2025九上·游仙开学考）已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
24．（2025九上·游仙开学考）如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若点为中点时，求的长；
（3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，
∴A、B、D选项不符合题意；
∵菱形的对角线不一定相等，
∴菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形对角相等，邻角互补；菱形四边相等；菱形对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组对角，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知，∵存在，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由题意得，然后根据的化简，平方差公式约分化简解答即可．
3．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排序得3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4，
∵去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，
∴x=3，
故答案为：A
【分析】先将数从小到大排序，再根据中位数的定义结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得，而，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
选项B：6，8，10．最长边为10，计算得，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意．
选项C：，3，5．最长边为5，计算得，而，故本选项不符合题意．
选项D：5，12，12．最长边为12，计算得，而，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项解答即可．
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由矩形性质可知，，
∵、是与的中点，
∴是的中位线，
∴（cm），
同理，，
∴四边形的周长为20cm.
故选：B．
【分析】利用三角形中位线定理可以求出四边形的四条边都是5cm，从而可知其周长为20cm。
6．【答案】C
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：A、由图象可知，16时的温度约为1℃，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，从8时到24时的温度在-3℃以上，持续时间为16小时，故B选项不符合题意；
C、由图象可知，10时和20时的温度均为-1℃，故C选项符合题意；
D、由图象可知，温度最低的时刻时4时，约为-5℃，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用图像分析求解即可。
7．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：在中，随的增大而减小，
，
函数图象在二、四象限，
，
，
函数的图象在一、三象限，
故选：B．
【分析】首先由 的图象特征判断出，然后根据得出，那么可知函数的图象是一条经过原点，向右倾斜的直线.
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：某女子体操队5名队员的身高的中位数为：161，众数为：161，
平均数为：，
方差为：，
某男子体操队5名队员的身高的中位数为：183，众数为：183，
平均数为：，
方差为：，
综上所述，这两个队的队员身高的方差相同．
故选：D．
【分析】分别求出两组数据的平均数、中位数、众数和方差即可判断对错。
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ），
∴，
∵为中点，，，
∴．
设
∵，
∴，
解方程得，
∴，
故选：D．
【分析】根据已知条件不难得出点B坐标为然后利用中点公式可以求出点N坐标为，由于M是动点，故可以设参数表示其坐标，根据条件，利用两点间的距离公式建立关于x的方程求解即可。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11，
故选：B．
【分析】对于直角三角形ABC而言，由勾股定理可知，而AC2，BC2，AB2分别是以AC、BC、AB为边长的正方形的面积，所以从图形角度来看，就是以AC、BC为边长的正方形的面积之和等于以AB为边长的正方形的面积。
11．【答案】A
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故选：A．
【分析】首先在直角三角形中易求，，由于点D是边的中点 可知，利用菱形的性质可得，结合折叠的性质可知，在中由勾股定理可求，从而可知EF=3，于是EA=EF=3，故。
12．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
平分，于点H，
，
又∵，
和是等腰直角三角形，
∴，
，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，，故正确；
，
，
，，，
，，
∴平分，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：D．
【分析】利用矩形的性质和角平分线的性质易得和是等腰直角三角形，结合条件 易证，即可判断①；通过角的和差计算，易得，，即可判断②③；连接，构造全等三角形，可证，利用等角的余角相等即可得到，利用等腰三角形的判定即可判断④.
13．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
，
令，
，
点在的图象上，
设过点P平行与直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，此时点P到直线l有最短距离，
联立方程组得：，
消去得：，
当时，即，
解得：，
过点P的直线的解析式为，
如图：过点作，
当时，，，
，，
当时，
，即：，
，即：，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
解得：，
点P到直线l的最短距离为，
故答案为：．
【分析】利用直线解析式不难求出，，，，在中，根据勾股定理得，在三角形ABC中利用面积法即可求出。
14．【答案】>
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵点是直线上的两点，且，
∴．
故答案为：
【分析】根据k为负数可知直线向左倾斜，y随x增大而减小，自变量越大，函数值越小。
15．【答案】36
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设，
则
又∵在中，，，
∴
∴的值为，
故答案为：．
【分析】对于直角三角形ABC而言，由勾股定理可知，而AC2，BC2，AB2分别是以AC、BC、AB为边长的正方形的面积，所以从图形角度来看，就是S1+S2等于以AB为边长的正方形的面积。
16．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，点A的纵坐标为2，
∵ 函数的图象过点，
∴将y=2代入，即，解得，
∴点坐标为，
由图可知，当时，，
函数的图象经过点，
时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】利用正比例函数的解析式可确定点A的坐标. 由图可知，当x＞1时，的图象在上方；当时，的图象在x轴上方，即，由此即可得出不等式组的解集.
17．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：设直线l是由直线向下平移m个单位得到，
∴直线l为：，
∵直线l过点，
∴，
解得：，
∴直线l为：
故答案为：．
【分析】互相平行的直线k值相等，可以设直线l的解析式为，再将点代入即可求出m值，从而得到直线l的解析式。
18．【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，即点F是的中点，故①正确；
如图所示，过点作于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
延长交于点，作，，
，，
，，
在中，，
．
∵，
，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
在与中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线，
∴，故④正确；
在等腰与等腰中，
，
，
，
四边形是正方形，，，
，，
，
，故②错误，
综上分析可知，①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用正方形的性质，结合已知条件，易得，即可判断①；过点作于点，结合已知，再利用正方形的性质及三角形全等的判定易得，延长交于点，作，，可证是等腰直角三角形，利用勾股定理可得，即可判断③；通过证明，可得，即可判断④；结合已知，利用等腰三角形的性质及线段的和差可得，即可判断②.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用二次根式的乘除法公式可以先化简乘除法部分，再将同类二次根式合并即可；
(2)本题需要用到完全平方公式和平方差公式计算：
20．【答案】（1）25；3；3
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1），
∴，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数，
∴中位数为，
由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为；
故答案为：25，3，3；
【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数即可计算出m的值，根据中位数、众数的的定义，结合统计图即可求解；
（2）根据统计图中的信息，根据平均数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体，用2000乘以3小时及以上的人数占比即可求解.
21．【答案】（1）解：由题意，得；
当时，；
当时，
（2）解：由，得，
，得，
，得，
∴当时，选择方案一较合算；
当时，两种方案费用相同；
当时，选择方案二较合算
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意，方案一中每位学生的票价为元，那么x个学生的费用就是24x元，方案二中当学生人数不超过30时，每位学生的票价为元，总费用为27x元，而人数超过30时，总费用为(15x+450)元；
(2)围绕24x与15x+450的大小关系分三种情况讨论，可以得出不同人数范围下，哪种方案更合算。
22．【答案】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形，∴CD＝EF；
（2）解：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由：∵AE＝CE，∴△ADE的面积＝△DEC的面积，∵四边形DCFE是平行四边形，∴△DEC的面积＝△ECF的面积，∴△ADE的面积＝△ECF的面积，∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 DE为△ABC的中位线， 再求出 DE＝FC ，最后证明即可；
（2）先求出 △ADE的面积＝△DEC的面积， 再求出 △ADE的面积＝△ECF的面积， 最后求解即可。
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
∴，，
∵将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，
，，
∵，
∴，
∵，，
；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质、图形的翻折，即可证明；
（2）利用，即可得到，再利用矩形的性质、图形的翻折，即可证明四边形是平行四边形，再利用菱形的判定即可证明结论.
24．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，利用SAS证明，即可得到，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可；
（2）延长交的延长线于，即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线性质证明结论；
（3）连接，过点作于，即可得到，进而得到，然后利用勾股定理求出长解答即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
1 / 1四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2025九上·游仙开学考）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，
∴A、B、D选项不符合题意；
∵菱形的对角线不一定相等，
∴菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形对角相等，邻角互补；菱形四边相等；菱形对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组对角，据此逐一判断得出答案.
2．（2025九上·游仙开学考）若存在，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知，∵存在，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由题意得，然后根据的化简，平方差公式约分化简解答即可．
3．（2025九上·游仙开学考）现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排序得3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4，
∵去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，
∴x=3，
故答案为：A
【分析】先将数从小到大排序，再根据中位数的定义结合题意即可求解。
4．（2025九上·游仙开学考）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．，3，5 D．5，12，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得，而，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
选项B：6，8，10．最长边为10，计算得，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意．
选项C：，3，5．最长边为5，计算得，而，故本选项不符合题意．
选项D：5，12，12．最长边为12，计算得，而，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项解答即可．
5．（2025九上·游仙开学考）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由矩形性质可知，，
∵、是与的中点，
∴是的中位线，
∴（cm），
同理，，
∴四边形的周长为20cm.
故选：B．
【分析】利用三角形中位线定理可以求出四边形的四条边都是5cm，从而可知其周长为20cm。
6．（2025九上·游仙开学考）如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（ ）
A．16时的温度约为1℃ B．在-3℃以上的时间约为16小时
C．温度是-1℃的时刻只有10时 D．温度最低的时刻是4时
【答案】C
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：A、由图象可知，16时的温度约为1℃，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，从8时到24时的温度在-3℃以上，持续时间为16小时，故B选项不符合题意；
C、由图象可知，10时和20时的温度均为-1℃，故C选项符合题意；
D、由图象可知，温度最低的时刻时4时，约为-5℃，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用图像分析求解即可。
7．（2025九上·游仙开学考）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：在中，随的增大而减小，
，
函数图象在二、四象限，
，
，
函数的图象在一、三象限，
故选：B．
【分析】首先由 的图象特征判断出，然后根据得出，那么可知函数的图象是一条经过原点，向右倾斜的直线.
8．（2025九上·游仙开学考）某女子体操队5名队员的身高分别为，某男子体操队5名队员的身高分别为，则关于这两个队的队员身高，下列描述正确的是（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同 C．众数相同 D．方差相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：某女子体操队5名队员的身高的中位数为：161，众数为：161，
平均数为：，
方差为：，
某男子体操队5名队员的身高的中位数为：183，众数为：183，
平均数为：，
方差为：，
综上所述，这两个队的队员身高的方差相同．
故选：D．
【分析】分别求出两组数据的平均数、中位数、众数和方差即可判断对错。
9．（2025九上·游仙开学考）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ），
∴，
∵为中点，，，
∴．
设
∵，
∴，
解方程得，
∴，
故选：D．
【分析】根据已知条件不难得出点B坐标为然后利用中点公式可以求出点N坐标为，由于M是动点，故可以设参数表示其坐标，根据条件，利用两点间的距离公式建立关于x的方程求解即可。
10．（2025九上·游仙开学考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11，
故选：B．
【分析】对于直角三角形ABC而言，由勾股定理可知，而AC2，BC2，AB2分别是以AC、BC、AB为边长的正方形的面积，所以从图形角度来看，就是以AC、BC为边长的正方形的面积之和等于以AB为边长的正方形的面积。
11．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故选：A．
【分析】首先在直角三角形中易求，，由于点D是边的中点 可知，利用菱形的性质可得，结合折叠的性质可知，在中由勾股定理可求，从而可知EF=3，于是EA=EF=3，故。
12．（2025九上·游仙开学考）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
平分，于点H，
，
又∵，
和是等腰直角三角形，
∴，
，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，，故正确；
，
，
，，，
，，
∴平分，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：D．
【分析】利用矩形的性质和角平分线的性质易得和是等腰直角三角形，结合条件 易证，即可判断①；通过角的和差计算，易得，，即可判断②③；连接，构造全等三角形，可证，利用等角的余角相等即可得到，利用等腰三角形的判定即可判断④.
二、填空题
13．（2025九上·游仙开学考）在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，点P的坐标为，则点P到直线l的最短距离为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
，
令，
，
点在的图象上，
设过点P平行与直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，此时点P到直线l有最短距离，
联立方程组得：，
消去得：，
当时，即，
解得：，
过点P的直线的解析式为，
如图：过点作，
当时，，，
，，
当时，
，即：，
，即：，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
解得：，
点P到直线l的最短距离为，
故答案为：．
【分析】利用直线解析式不难求出，，，，在中，根据勾股定理得，在三角形ABC中利用面积法即可求出。
14．（2025九上·游仙开学考）点是直线上的两点，则 (填或或)
【答案】>
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵点是直线上的两点，且，
∴．
故答案为：
【分析】根据k为负数可知直线向左倾斜，y随x增大而减小，自变量越大，函数值越小。
15．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为 ．
【答案】36
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设，
则
又∵在中，，，
∴
∴的值为，
故答案为：．
【分析】对于直角三角形ABC而言，由勾股定理可知，而AC2，BC2，AB2分别是以AC、BC、AB为边长的正方形的面积，所以从图形角度来看，就是S1+S2等于以AB为边长的正方形的面积。
16．（2025九上·游仙开学考）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，点A的纵坐标为2，
∵ 函数的图象过点，
∴将y=2代入，即，解得，
∴点坐标为，
由图可知，当时，，
函数的图象经过点，
时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】利用正比例函数的解析式可确定点A的坐标. 由图可知，当x＞1时，的图象在上方；当时，的图象在x轴上方，即，由此即可得出不等式组的解集.
17．（2025九上·游仙开学考）如果直线l是由直线向下平移得到，且直线l过点，那么直线l的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：设直线l是由直线向下平移m个单位得到，
∴直线l为：，
∵直线l过点，
∴，
解得：，
∴直线l为：
故答案为：．
【分析】互相平行的直线k值相等，可以设直线l的解析式为，再将点代入即可求出m值，从而得到直线l的解析式。
18．（2025九上·游仙开学考）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有 ．
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，即点F是的中点，故①正确；
如图所示，过点作于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
延长交于点，作，，
，，
，，
在中，，
．
∵，
，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
在与中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线，
∴，故④正确；
在等腰与等腰中，
，
，
，
四边形是正方形，，，
，，
，
，故②错误，
综上分析可知，①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用正方形的性质，结合已知条件，易得，即可判断①；过点作于点，结合已知，再利用正方形的性质及三角形全等的判定易得，延长交于点，作，，可证是等腰直角三角形，利用勾股定理可得，即可判断③；通过证明，可得，即可判断④；结合已知，利用等腰三角形的性质及线段的和差可得，即可判断②.
三、解答题
19．（2025九上·游仙开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用二次根式的乘除法公式可以先化简乘除法部分，再将同类二次根式合并即可；
(2)本题需要用到完全平方公式和平方差公式计算：
20．（2025九上·游仙开学考）2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的 ，本次调查数据的中位数是 ，本次调查数据的众数是 ；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？
（3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数．
【答案】（1）25；3；3
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1），
∴，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数，
∴中位数为，
由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为；
故答案为：25，3，3；
【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数即可计算出m的值，根据中位数、众数的的定义，结合统计图即可求解；
（2）根据统计图中的信息，根据平均数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体，用2000乘以3小时及以上的人数占比即可求解.
21．（2025九上·游仙开学考）龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策．
优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费．
优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费．
（1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式．
（2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算．
【答案】（1）解：由题意，得；
当时，；
当时，
（2）解：由，得，
，得，
，得，
∴当时，选择方案一较合算；
当时，两种方案费用相同；
当时，选择方案二较合算
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意，方案一中每位学生的票价为元，那么x个学生的费用就是24x元，方案二中当学生人数不超过30时，每位学生的票价为元，总费用为27x元，而人数超过30时，总费用为(15x+450)元；
(2)围绕24x与15x+450的大小关系分三种情况讨论，可以得出不同人数范围下，哪种方案更合算。
22．（2025九上·游仙开学考）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形，∴CD＝EF；
（2）解：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由：∵AE＝CE，∴△ADE的面积＝△DEC的面积，∵四边形DCFE是平行四边形，∴△DEC的面积＝△ECF的面积，∴△ADE的面积＝△ECF的面积，∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 DE为△ABC的中位线， 再求出 DE＝FC ，最后证明即可；
（2）先求出 △ADE的面积＝△DEC的面积， 再求出 △ADE的面积＝△ECF的面积， 最后求解即可。
23．（2025九上·游仙开学考）已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
∴，，
∵将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，
，，
∵，
∴，
∵，，
；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质、图形的翻折，即可证明；
（2）利用，即可得到，再利用矩形的性质、图形的翻折，即可证明四边形是平行四边形，再利用菱形的判定即可证明结论.
24．（2025九上·游仙开学考）如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若点为中点时，求的长；
（3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，利用SAS证明，即可得到，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可；
（2）延长交的延长线于，即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线性质证明结论；
（3）连接，过点作于，即可得到，进而得到，然后利用勾股定理求出长解答即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
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