1.1.2 空间向量的数量积
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内容导图
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(
新知要点探究
)
知识点1 空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉=那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)，λ∈R
交换律 a·b=b·a
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·cb=c，(a·b)·c≠a·(b·c).
知识点2 空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a，b同向时，a·b=；
当a，b反向时，a·b=-.
(4)a·a=|a|2或|a|=.
(5)|a·b|≤.
(6)cos θ=.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
(
思路方法总结
)
1、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定．
方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．
2、求空间向量数量积的步骤：
第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
第四步：代入求解．
3、空间向量的模长
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：．
将其推广：
4、利用向量法证明垂直关系的步骤
第一步：将已知的几何问题转化为向量问题；
第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量；
第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0；
第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论．
(
典例·举一反三
)
题型一 数量积的概念及运算律
1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 求向量的数量积
3．已知向量是空间中三个两两垂直的单位向量，，则的值为（ ）
A．0 B．-20 C．20 D．40
4．已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12 B． C． D．
5．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在三棱锥中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．已知四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点，则 .
10．已知空间向量满足，，，，则的值为 .
题型三 向量的夹角及应用
11．已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
13．如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
15．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
题型四 向量垂直问题
16．已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且，，⊥，则实数k的值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
17．已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
18．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．
(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
题型五 利用数量积求模
21．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）
A． B． C．2 D．
22．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
23．如图所示，已知平面，则 ．
24．如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．
25．如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
26．如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离.
27．如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，.
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，求的长.
题型六 投影向量
28．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（ ）.
A． B． C． D．
30．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
31．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在非零向量使得，则
B．已知向量，则在方向上的投影向量是
C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是
D．若{，}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
题型七 数量积最值范围问题
32．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
33．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
34．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
35．已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
36．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ．
37．已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 .
38．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；（2）的模（表示向量、的夹角）．
在正方体中，有以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A． B．与共线
C． D．与正方体表面积的数值相等
39．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
40．如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．
(1)求点Q的轨迹围成图形的面积；
(2)求的最大值．1.1.2 空间向量的数量积
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新知要点探究
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知识点1 空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉=那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)，λ∈R
交换律 a·b=b·a
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·cb=c，(a·b)·c≠a·(b·c).
知识点2 空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a，b同向时，a·b=；
当a，b反向时，a·b=-.
(4)a·a=|a|2或|a|=.
(5)|a·b|≤.
(6)cos θ=.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
(
思路方法总结
)
1、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定．
方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．
2、求空间向量数量积的步骤：
第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
第四步：代入求解．
3、空间向量的模长
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：．
将其推广：
4、利用向量法证明垂直关系的步骤
第一步：将已知的几何问题转化为向量问题；
第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量；
第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0；
第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论．
(
典例·举一反三
)
题型一 数量积的概念及运算律
1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.
【详解】对于①，，①正确；
对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.
2．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；
对B：因为，故选项B错误；
对C：因为，故选项C正确；
对D：因为，故选项D错误．
故选：C.
题型二 求向量的数量积
3．已知向量是空间中三个两两垂直的单位向量，，则的值为（ ）
A．0 B．-20 C．20 D．40
【答案】A
【分析】先转化为坐标，再应用数量积坐标运算求解即可.
【详解】由向量是空间中三个两两垂直的单位向量，
所以
.
故选：A
4．已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积公式得到答案.
【详解】.
故选：D
5．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论．
【详解】因为，
所以，
又，，，，
所以．
故选：A．
6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化.
【详解】
连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，
故，又，
.
故选：C
7．已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算逐项检验即可得结论.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，因，则，故A正确；
对于B，因则，故B错误；
对于C，因则，故C正确；，
对于D，因，则，故D正确.
故选：ACD.
8．在三棱锥中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由向量的线性运算得到，从而说明，即可求解.
【详解】，
，
，即，所以是等腰三角形.
故选：C
9．已知四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点，则 .
【答案】
【分析】计算出、的值，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】由题意可得，，
，
因此，.
故答案为：.
10．已知空间向量满足，，，，则的值为 .
【答案】
【分析】利用空间向量数量积的运算性质求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
题型三 向量的夹角及应用
11．已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可得出，两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，进而可得出的值，从而可得出的值.
【详解】解：∵，
∴，且，，，
∴，，
∴，
∴，且，
∴.
故选：B.
12．空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值，
【详解】，故
所以.
故选：D．
13．如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】设向量，且，
可得，
则，所以，
，
所以，
且，
所以.
故选：B.
14．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
【分析】根据题意，得到，，进而求出，根据，即可判断B的大小；利用上述方法求得，，即可判断C和D的大小，进而可以判断出三角形的形状.
【详解】，，
为锐角，
同理：，，D和C都为锐角，
∴为锐角三角形.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量的加减运算法则与向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
15．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用向量的基底表示计算，设，，，根据它们的模长相等和两两之间互相垂直可得数量积为零，将和表示成，计算得，可得；（2）将表示为的形式，然后计算，以及它们的模长，再代入计算余弦值即可.
【详解】设，，，
根据题意得，且
∴，.
∴，
∴，即.
（2）∵，∴，，
∵，
∴.
∴异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】利用向量的基本定理计算需要注意：
（1）选择向量的基底，在空间中需要选择不共面的三个向量作为基底向量；
（2）判断基底向量的模长以及计算出它们两两之间的数量积；
（3）将所求向量表示为基底向量的形式，即，然后计算所求向量的数量积即可.
题型四 向量垂直问题
16．已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且，，⊥，则实数k的值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】B
【分析】，分别为取自直线a，b上的单位向量，且⊥，则＝＝1，0，运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理解关于k的方程，即可得到.
【详解】，分别为取自直线a，b上的单位向量，且⊥，
则＝＝1，0，
0，
即为，
解得.
故选：B.
17．已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B
【分析】由向量的垂直的数量积表示求得，从而由数量积的定义可得，再得出角的大小．
【详解】因为与互相垂直,所以,
,
又,所以.
故选：B.
18．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.
【详解】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误.
故选：D.
19．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由题知和均为等边三角形且边长均相等，进而利用为基底表示，再根据求解即可.
【详解】解：因为四棱锥是正四棱锥，
所以，四边形为正方形，，
因为，
所以和均为等边三角形且边长均相等，
所以，，
因为点为的中点，，
所以，
因为
所以，，
即 ，解得.
故选：C
20．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．
(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.
（2）通过证明来证得结论成立.
【详解】（1）连接，则
（2），
所以
，
所以.
题型五 利用数量积求模
21．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.
【详解】
.
故选：B
22．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长.
【详解】∵二面角的大小为，，，
∴，.
由题意得，，
，
∴，
∴，即线段的长为.
故选：B.
23．如图所示，已知平面，则 ．
【答案】12
【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解.
【详解】，
,
因为平面，平面，
所以，，
所以，
则.
故答案为：
24．如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．
【答案】.
【分析】设，，，则构成空间的一个基底，把用基底表示出来取其模长即可.
【详解】设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，则.
又，，，，.
.
故答案为：
25．如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
【详解】（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
26．如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离.
【答案】.
【分析】利用空间向量的加法的三角形法则得到，两边平方，再利用向量的数量积公式计算，开方求解即可.
【详解】因为平面，平面，所以 ，
，所以与的夹角为，
因为，，
所以
，所以，即A，D两点间的距离为.
【点睛】本题主要考查了空间向量的三角形法则、数量积公式，用空间向量的运算意义和运算解决立体几何问题.
27．如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，.
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空间线性运算即可求解；
（2）由（1）平方即可求解.
【详解】（1）
.
（2）
，
，，
即.
题型六 投影向量
28．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可.
【详解】，，，
，，
，，.
故选：C.
29．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案.
【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D.
连接，，，则，在上的投影向量是.
设上底面的半径为r，则，.
故在上的投影向量是.
故选：C
30．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解.
【详解】在四面体中，因为，
设，且，，
则，
在上的投影向量为.
故选：B
31．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在非零向量使得，则
B．已知向量，则在方向上的投影向量是
C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是
D．若{，}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
【答案】BD
【分析】选项A可由向量的运算性质判断；选项B根据投影向量的定义判断；选项C将向量的夹角转化为数量积进行运算；选项D根据共线向量基本定理进行运算.
【详解】选项A，，则，所以或，所以A错误；
选项B，在方向上的投影向量的长度为，所以投影向量为，B正确；
选项C，，则，所以；当与共线时，，，则k的取值范围是，C错误；
选项D，不是基底，即共线，则存在，使得，，故，或，所以D正确；
故选：BD.
题型七 数量积最值范围问题
32．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】画出大致立体图，转化为平面向量的数量积，数形结合可得.
【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，则．
因为正四面体的棱长为3，所以，所以.
设内切球的半径为，则，，解得，
当为内切球的直径时最长，此时，，
，
因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为．
故选：C.
33．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案.
【详解】
，当且仅当与重合时，等号成立，
故的最小值为12.
故选：D
34．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
【答案】ABD
【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.
【详解】，则，故，A正确；
，，，故，B正确；
连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；
过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，
D正确.
故选：ABD.
35．已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
【答案】BC
【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案.
【详解】设的中点为，连接，则，则，
即点在以为球心，以1为半径的球面上．
如图，因为，所以．
因为正四面体的棱长为，所以，，又，
所以．设，
则．
因为，所以．
故选：BC
36．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围.
【详解】由已知E为棱上的动点，设，
因为，
所以
，
所以向量在向量方向上投影数量为，
又，，
，
所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为
故答案为：
37．已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，取定空间的基底，利用空间向量的线性运算表示向量，再利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值.
【详解】在棱长为2的正四面体中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得，
由点E，F分别在线段AM，CN上，，令，则，
所以
，又，
，，
故
，
当时，，所以线段EF长度的最小值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量，再利用向量运算求解.
38．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；（2）的模（表示向量、的夹角）．
在正方体中，有以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A． B．与共线
C． D．与正方体表面积的数值相等
【答案】C
【分析】由向量外积的模的定义，代入计算，即可判断A，由线面垂直的性质定理可得，，即可判断B，由向量外积的定义，即可判断CD
【详解】对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，，
则．
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于B，在正方形中，，又因为平面，
平面，所以．又，、平面，所以平面，因为平面，所以，
同理可证，再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于C，由、和构成右手系知，与方向相反，又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误，
对于D，设正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以D正确．
故选:C．
39．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项；根据新定义计算等号左右两边可判断；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断.
【详解】对于，同时与，垂直，，
且，，构成右手系，故成立，故正确.
对于，，，则，故错误.
对于，，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
所以，与共线，且方向相同，
所以，故正确.
对于，，，
所以，故正确.
故选：.
40．如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．
(1)求点Q的轨迹围成图形的面积；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线线平行得四点共面，进而可得Q的轨迹是正六边形OFNEMG，根据三角形的面积公式即可求解，
（2）根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值.
【详解】（1）因为，∴点在平面上，
如图，分别取，，的中点，
连接
因为分别为，的中点，故，
又由正方体可得，，，，
故，，故四边形为平行四边形，故，
故，故四点共面，同理可证四点共面，
故五点共面，同理可证四点共面，
故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形．
故点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，
所以点的轨迹围成图形的面积是．
（2）如图，根据向量数量积的几何意义可得
当位于时，此时在上的投影最大，
故
，
∴的最大值为12．
