7.1.2弧度制及其与角度制的换算同步练习（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.1.2弧度制及其与角度制的换算同步练习（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 210.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-20 14:37:32 | ||
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文档简介
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
基础过关练
考点一 弧度制及角度与弧度的互化
1.420°角对应的弧度大小和终边所在的象限分别是( )
A.,第一象限 B.,第一象限
C.,第二象限 D.,第二象限
2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B.-π C.π D.-π
3.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为 .
考点二 用弧度制表示终边相同的角
4.下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ+(k∈Z)
B.k·360°-(k∈Z)
C.k·360°-210°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
5.用弧度制表示终边落在阴影部分内的角θ的集合为 .
6.已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在[-4π,π]上找出与α终边相同的角.
考点三 扇形的弧长公式及面积公式
7.已知一个扇形的圆心角为,面积为3π,则该扇形的弧长为( )
A.π B.π C.2π D.6π
8.已知扇形的面积为8,其圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为 .
9.在面积为定值S的扇形中,扇形的周长最小时,半径是 .
10.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.图1是一个扇环形砖雕,其形状可视为将扇形OCD截去同心扇形OBA后所得的图形,如图2,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为 m2.
能力提升练
考点一 弧度制及终边相同的角
1.已知k∈Z,下列各组角中,终边相同的是( )
A.2kπ与kπ B.2kπ+π与4kπ±π
C.kπ+与2kπ± D.与kπ±
2.午夜零时时针和分针重合,则午夜零时后,时针和分针第1次重合所需时间为 小时,第3次重合时时针所转过的弧度为 rad.
3.图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧上(不包括C,D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为 .
考点二 扇形的弧长公式和面积公式及其应用
4.军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一等份的弧所对的圆心角称为1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米,两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=( )
注:(i)当扇形的圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等;(ii)取π等于3进行计算.
A.30密位 B.60密位
C.90密位 D.180密位
5.《九章算术》是中国古代的一部数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算,其中将圆环形或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝).书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为( )
A.600平方步 B.640平方步
C.660平方步 D.700平方步
6.蚊香(如图1)具有悠久的历史.某校数学社团用软件制作的“蚊香”如图2所示,画法如下:作一个边长为1的等边△ABC,然后以B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D(记为第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧,……,以此类推,当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为( )
A.8π B.10π
C.18π D.20π
7.中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.π- B.π-
C.π D.π
8.把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则劣弧BC的长是( )
A. B. C. D.
9.已知圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程为( )
A.2π B.π
C.π D.π
10.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成,两岸连接点间距离为60米,外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为 米.
11.分别以等边三角形的每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是 .
12.如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.
答案
基础过关练
1.A 420°=420×=.因为420°=360°+60°,且60°角为第一象限角,所以420°角为第一象限角,其终边位于第一象限.
2.B 分针按顺时针方向转,每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的角度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化为弧度数为-840×=-π.
3.答案 α<β<γ<θ=φ
解析 解法一(角度化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,因为<<1<,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β==°=18°,γ=1≈57.30°,φ=°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
4.C -=°=-210°,所以与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-(k∈Z)或k·360°-210°(k∈Z).
5.答案 θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z
解析 330°角的终边与-30°角的终边相同,
又-30°=-,75°=75×=,
∴终边落在阴影部分内的角θ的集合为θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z.
6.解析 (1)α=1 200°=1 200×==+3×2π.因为<<π,角α与的终边相同,
所以角α是第二象限角.
(2)由(1)可得与角α终边相同的角为2kπ+,k∈Z.
令-4π≤2kπ+≤π,k∈Z,得-≤k≤,k∈Z,
所以k=-2或k=-1或k=0.
故在[-4π,π]上与角α终边相同的角是-,-,.
7.C 设扇形的半径为r,圆心角为α,弧长为l,面积为S,
由题意得所以l=2π.
8.答案 12
解析 设扇形的弧长为l,半径为r,由扇形圆心角的弧度数是4,可得l=4r,又因为S扇=lr=8,即×4r2=8,所以r2=4,故r=2.故扇形的周长为l+2r=4r+2r=6r=12.
9.答案
解析 设扇形的半径为r,圆心角为α,
则扇形的弧长为αr,
由题意得S=αr2,故α=,
所以扇形的周长C=2r+αr=(2+α)r=r=2r+,由基本不等式得C=2r+≥2=4,
当且仅当2r=,即r=时,等号成立,
故扇形的周长最小时,半径是.
10.答案
解析 ∠AOB=100°=,
因为OA=0.2 m,AD=0.3 m,所以OD=0.5 m,
所以S扇形OCD=×∠AOB×OD2=××=(m2),S扇形OAB=×∠AOB×OA2=××=(m2),则该扇环形砖雕的面积S=S扇形OCD-S扇形OAB=-=(m2).
能力提升练
1.B A中,因为2kπ的终边在x轴的非负半轴上,kπ的终边在x轴上,所以2kπ与kπ不是终边相同的角;B中,2kπ+π与4kπ±π是终边相同的角;C中,因为kπ+的终边落在直线y=x上,2kπ±的终边落在y=x(x≥0)和y=-x(x≥0)两条射线上,所以kπ+与2kπ±不是终边相同的角;D中,因为的终边落在坐标轴上,kπ±的终边落在y轴上,所以与kπ±不是终边相同的角.
2.答案 ;-
解析 设从午夜零时起,分针走了t小时后与时针重合,
易知分针每小时转过的弧度为-2π,时针每小时转过的弧度为-,
则当时针和分针重合时,有2πt-t=2kπ,k∈N*,解得t=k,k∈N*.
当k=1时,t=.
当k=3时,t=,这时时针所转过的弧度为-×=-.
3.答案
解析 每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度.
由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z.
又小明3分钟时第一次到达劣弧上,所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,解得k=3,所以θ=.
4.A 由题意得,1密位==弧度.因为圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等,所以α==弧度.因为÷=30,所以迫击炮转动的角度为30密位.
5.C 由题意得,外周圆弧的半径r外==25步,内周圆弧的半径r内==19步,
因此该“环田”的面积S=×5×(252-192)=660平方步.
6.B 由题意知,每段圆弧所对的圆心角均为,则第一段圆弧的长度为×1=,第二段圆弧的长度为×2=,第三段圆弧的长度为×3=2π,第四段圆弧的长度为×4=,第五段圆弧的长度为×5=,
所以当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为++2π++=10π.
7.A 如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,由AB=CD=4,知OB=OC,且CD=AB,则点E,F分别为BC,AD的中点.
由BC∥AD,可得=,即==,解得OB=3,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形OAD-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=××72-×3×=-.
8.D 过点O作OH⊥AB于H,连接OA,OB.
可得OH=OB,AB∥CD,
所以∠OBH=,所以∠BOD=,所以∠BOC=,
所以劣弧BC的长是×2=.
9.D 设第i(i∈N+)次滚动后A点、B点的位置为Ai,初始位置的A记为A0,B记为B0,如图,可知4次滚动后,A点到达圆周上的A4处,8次滚动后,A点到达圆周上的A8处,12次滚动后A点第一次回到点P的位置,相当于正方形在圆内滚动了三圈.
因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,
设第i(i∈N+)次滚动后点A走过的路程为si,
则s1=A1B1=×1=,s2=A1A8=×=,s3=s1=,s4=0,
又s1+s2+s3+s4=s5+s6+s7+s8=s9+s10+s11+s12,
所以点A所走过的路程为3(s1+s2+s3+s4)=π.
10.答案 (40+30)π
解析 设月牙泉的两岸连接点分别为Q,T,外岸圆弧所在圆的圆心为O,内岸圆弧所在圆的圆心为P,月牙泉的示意图如图所示.连接QT,PQ,PT,PO.
易得PO⊥QT.由题意可知QT=60米,PQ=60米,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,所以∠QPT=.所以游客步行的路程为×60+π×30=(40+30)π米.
11.答案 18π-18
解析 由弧长公式可得·AB=2π,解得AB=6,所以由弧和线段AB所围成的弓形的面积为×6×2π-×62=6π-9,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9)+×62=18π-18.
12.解析 由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△C'OB'的面积为,故题中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为-=.
基础过关练
考点一 弧度制及角度与弧度的互化
1.420°角对应的弧度大小和终边所在的象限分别是( )
A.,第一象限 B.,第一象限
C.,第二象限 D.,第二象限
2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B.-π C.π D.-π
3.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为 .
考点二 用弧度制表示终边相同的角
4.下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ+(k∈Z)
B.k·360°-(k∈Z)
C.k·360°-210°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
5.用弧度制表示终边落在阴影部分内的角θ的集合为 .
6.已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在[-4π,π]上找出与α终边相同的角.
考点三 扇形的弧长公式及面积公式
7.已知一个扇形的圆心角为,面积为3π,则该扇形的弧长为( )
A.π B.π C.2π D.6π
8.已知扇形的面积为8,其圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为 .
9.在面积为定值S的扇形中,扇形的周长最小时,半径是 .
10.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.图1是一个扇环形砖雕,其形状可视为将扇形OCD截去同心扇形OBA后所得的图形,如图2,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为 m2.
能力提升练
考点一 弧度制及终边相同的角
1.已知k∈Z,下列各组角中,终边相同的是( )
A.2kπ与kπ B.2kπ+π与4kπ±π
C.kπ+与2kπ± D.与kπ±
2.午夜零时时针和分针重合,则午夜零时后,时针和分针第1次重合所需时间为 小时,第3次重合时时针所转过的弧度为 rad.
3.图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧上(不包括C,D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为 .
考点二 扇形的弧长公式和面积公式及其应用
4.军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一等份的弧所对的圆心角称为1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米,两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=( )
注:(i)当扇形的圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等;(ii)取π等于3进行计算.
A.30密位 B.60密位
C.90密位 D.180密位
5.《九章算术》是中国古代的一部数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算,其中将圆环形或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝).书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为( )
A.600平方步 B.640平方步
C.660平方步 D.700平方步
6.蚊香(如图1)具有悠久的历史.某校数学社团用软件制作的“蚊香”如图2所示,画法如下:作一个边长为1的等边△ABC,然后以B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D(记为第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧,……,以此类推,当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为( )
A.8π B.10π
C.18π D.20π
7.中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.π- B.π-
C.π D.π
8.把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则劣弧BC的长是( )
A. B. C. D.
9.已知圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程为( )
A.2π B.π
C.π D.π
10.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成,两岸连接点间距离为60米,外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为 米.
11.分别以等边三角形的每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是 .
12.如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.
答案
基础过关练
1.A 420°=420×=.因为420°=360°+60°,且60°角为第一象限角,所以420°角为第一象限角,其终边位于第一象限.
2.B 分针按顺时针方向转,每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的角度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化为弧度数为-840×=-π.
3.答案 α<β<γ<θ=φ
解析 解法一(角度化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,因为<<1<,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β==°=18°,γ=1≈57.30°,φ=°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
4.C -=°=-210°,所以与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-(k∈Z)或k·360°-210°(k∈Z).
5.答案 θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z
解析 330°角的终边与-30°角的终边相同,
又-30°=-,75°=75×=,
∴终边落在阴影部分内的角θ的集合为θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z.
6.解析 (1)α=1 200°=1 200×==+3×2π.因为<<π,角α与的终边相同,
所以角α是第二象限角.
(2)由(1)可得与角α终边相同的角为2kπ+,k∈Z.
令-4π≤2kπ+≤π,k∈Z,得-≤k≤,k∈Z,
所以k=-2或k=-1或k=0.
故在[-4π,π]上与角α终边相同的角是-,-,.
7.C 设扇形的半径为r,圆心角为α,弧长为l,面积为S,
由题意得所以l=2π.
8.答案 12
解析 设扇形的弧长为l,半径为r,由扇形圆心角的弧度数是4,可得l=4r,又因为S扇=lr=8,即×4r2=8,所以r2=4,故r=2.故扇形的周长为l+2r=4r+2r=6r=12.
9.答案
解析 设扇形的半径为r,圆心角为α,
则扇形的弧长为αr,
由题意得S=αr2,故α=,
所以扇形的周长C=2r+αr=(2+α)r=r=2r+,由基本不等式得C=2r+≥2=4,
当且仅当2r=,即r=时,等号成立,
故扇形的周长最小时,半径是.
10.答案
解析 ∠AOB=100°=,
因为OA=0.2 m,AD=0.3 m,所以OD=0.5 m,
所以S扇形OCD=×∠AOB×OD2=××=(m2),S扇形OAB=×∠AOB×OA2=××=(m2),则该扇环形砖雕的面积S=S扇形OCD-S扇形OAB=-=(m2).
能力提升练
1.B A中,因为2kπ的终边在x轴的非负半轴上,kπ的终边在x轴上,所以2kπ与kπ不是终边相同的角;B中,2kπ+π与4kπ±π是终边相同的角;C中,因为kπ+的终边落在直线y=x上,2kπ±的终边落在y=x(x≥0)和y=-x(x≥0)两条射线上,所以kπ+与2kπ±不是终边相同的角;D中,因为的终边落在坐标轴上,kπ±的终边落在y轴上,所以与kπ±不是终边相同的角.
2.答案 ;-
解析 设从午夜零时起,分针走了t小时后与时针重合,
易知分针每小时转过的弧度为-2π,时针每小时转过的弧度为-,
则当时针和分针重合时,有2πt-t=2kπ,k∈N*,解得t=k,k∈N*.
当k=1时,t=.
当k=3时,t=,这时时针所转过的弧度为-×=-.
3.答案
解析 每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度.
由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z.
又小明3分钟时第一次到达劣弧上,所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,解得k=3,所以θ=.
4.A 由题意得,1密位==弧度.因为圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等,所以α==弧度.因为÷=30,所以迫击炮转动的角度为30密位.
5.C 由题意得,外周圆弧的半径r外==25步,内周圆弧的半径r内==19步,
因此该“环田”的面积S=×5×(252-192)=660平方步.
6.B 由题意知,每段圆弧所对的圆心角均为,则第一段圆弧的长度为×1=,第二段圆弧的长度为×2=,第三段圆弧的长度为×3=2π,第四段圆弧的长度为×4=,第五段圆弧的长度为×5=,
所以当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为++2π++=10π.
7.A 如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,由AB=CD=4,知OB=OC,且CD=AB,则点E,F分别为BC,AD的中点.
由BC∥AD,可得=,即==,解得OB=3,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形OAD-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=××72-×3×=-.
8.D 过点O作OH⊥AB于H,连接OA,OB.
可得OH=OB,AB∥CD,
所以∠OBH=,所以∠BOD=,所以∠BOC=,
所以劣弧BC的长是×2=.
9.D 设第i(i∈N+)次滚动后A点、B点的位置为Ai,初始位置的A记为A0,B记为B0,如图,可知4次滚动后,A点到达圆周上的A4处,8次滚动后,A点到达圆周上的A8处,12次滚动后A点第一次回到点P的位置,相当于正方形在圆内滚动了三圈.
因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,
设第i(i∈N+)次滚动后点A走过的路程为si,
则s1=A1B1=×1=,s2=A1A8=×=,s3=s1=,s4=0,
又s1+s2+s3+s4=s5+s6+s7+s8=s9+s10+s11+s12,
所以点A所走过的路程为3(s1+s2+s3+s4)=π.
10.答案 (40+30)π
解析 设月牙泉的两岸连接点分别为Q,T,外岸圆弧所在圆的圆心为O,内岸圆弧所在圆的圆心为P,月牙泉的示意图如图所示.连接QT,PQ,PT,PO.
易得PO⊥QT.由题意可知QT=60米,PQ=60米,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,所以∠QPT=.所以游客步行的路程为×60+π×30=(40+30)π米.
11.答案 18π-18
解析 由弧长公式可得·AB=2π,解得AB=6,所以由弧和线段AB所围成的弓形的面积为×6×2π-×62=6π-9,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9)+×62=18π-18.
12.解析 由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△C'OB'的面积为,故题中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为-=.