7.3.2正弦型函数的性质与图象同步练习（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第三册

7.3.2　正弦型函数的性质与图象
基础过关练
考点一　正弦型函数的性质
1.(多选题)已知函数f(x)=3sin,下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)恒满足f(x+π)=f(x)
B.直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴
C.点是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)在上单调递增
2.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期不小于π,且f(x)≤ f 恒成立,则ω的值为　　　　.
3.试写出一个函数f(x),使其满足以下三个条件:函数的周期为π;函数的图象关于直线x=对称;函数在上单调递减.则f(x)的解析式可以为f(x)=　　　　.
4.已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,2π]上的单调递增区间;
(3)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.
考点二　正弦型函数的图象及其变换
5.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数解析式是(　　)
A.y=sin　　　　B.y=sin
C.y=sin　　　　D.y=sin
6.为了得到函数f(x)=sin的图象,可以把正弦曲线上所有的点先向右平移　　　　个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的　　　　,纵坐标不变;也可以先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的　　　　,纵坐标不变,再将所得图象向右平移　　　　个单位.
7.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的图象按以下顺序进行变换:①向左平移个单位;②横坐标变为原来的,纵坐标不变;③向上平移1个单位;④纵坐标变为原来的3倍,若最终可得到g(x)=sin x的图象,则f(x)=　　　　.
考点三　函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f(x)=(　　)
A.2sin　　　　B.2sin
C.2sin　　　　D.2sin
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2),则f(x)的解析式为　　　　,x0的值为　　　　.
考点四　三角函数图象与性质的综合应用
10. (多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则下列结论中正确的是(　　)
A.φ=
B.f(x)在区间上单调递增
C.直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴
D.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x2-x1|的最小值为
11.如果将函数f(x)=sin(3x+φ)(-π<φ<0)的图象向左平移个单位后所得的图象关于y轴对称,那么φ=　　　　.
12.将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　.
13.已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)在用“五点法”作函数f(x)的图象时,列表如下:
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 0
完成上述表格,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)求函数f(x)在区间上的值域.
能力提升练
考点　正弦型函数的图象与性质的应用
1.将函数y=sin 的图象向右平移φ个单位后得到f(x)的图象,若f(x)的最大负零点在区间上,则φ的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.设函数f(x)=sin(ωx-φ)(ω>0,|φ|<π).若f=0,f=,且f(x)的最小正周期T大于2π,则(　　)
A.ω=,φ=-　　　　B.ω=,φ=
C.ω=,φ=-　　　　D.ω=,φ=
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于(　　)
A.　　　　B.0
C.+2　　　　D.-2
4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1的图象过原点,且关于点对称,若函数f(x)在上单调,则f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
5.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π),f(4)=f(2)-6,且f(x)在[2,4]上单调.设函数g(x)=f(x)-1,且g(x)的定义域为[-5,8],则g(x)的所有零点之和为(　　)
A.0　　　　B.4　　　　C.12　　　　D.16
6.已知函数f(x)=sin-的定义域为[m,n](m7.已知函数f(x)=2sin,若f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是　　　　.
8.已知f(x)=sin,其中φ∈,且f=f,若函数f(x)在区间上有且只有三个零点,则θ的取值范围为　　　　.
9.已知函数f(x)=2sin(ω>0),若f(x)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上有且只有一个零点,则ω的取值范围是　　　　.
10.已知A,B,C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的三个交点,如图所示.其中,点A(0,),B,C两点的横坐标分别为x1,x2,若x2-x1=,则f(x)=　　　　.
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),其中A>0,ω>0,0<φ<π,函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为,且在x=处取到最小值-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下,若关于x的方程g(x)=m+2在x∈上有两个不同的实根,求实数m的取值范围.
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)图象的对称中心的坐标;
(3)当x∈时,方程f(x)=有两个不相等的实数根x1,x2,且x1答案
基础过关练
1.ABC　f(x)的最小正周期T==π,所以f(x+π)=f(x),故A正确;
令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,当k=0时,x=,所以直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,当k=0时,x=-,所以点是函数f(x)图象的一个对称中心,故C正确;
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,显然f(x)在上不单调,故D错误.
2.答案　1
解析　因为函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期不小于π,所以≥π,所以0<ω≤2,因为f(x)≤f恒成立,所以f为f(x)的最大值,所以ω+=+2kπ,k∈Z,所以ω=1+8k,k∈Z,因为0<ω≤2,所以ω=1.
3.答案　-sin 2x(答案不唯一)
解析　由条件可设f(x)=Asin(ωx+φ),由函数的周期为π,可知ω的值可以为2,因为函数的图象关于直线x=对称,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,所以φ=kπ,k∈Z,不妨取φ=0,则f(x)=Asin 2x,当x∈时,2x∈,又函数在上单调递减,所以A<0,则A的值可以为-1,所以满足条件的一个函数f(x)的解析式为f(x)=-sin 2x(答案不唯一).
4.解析　(1)f(x)的最小正周期T===π.
(2)f(x)=2sin=-2sin,
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
又x∈[0,2π],所以k可取0,1,
所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.
(3)因为x∈,所以2x-∈,
所以当2x-=-,即x=0时,f(x)max=-2×=;
当2x-=,即x=时,f(x)min=-2×1=-2.
5.C　将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,得到y=sin=sin的图象,
将y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象.
6.答案　;;;
解析　将正弦曲线y=sin x先向右平移个单位,得到函数y=sin的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin的图象.
将正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin 2x的图象,再将所得图象向右平移个单位,得到函数f(x)=sin的图象.
解后反思
　　在图象变换时需要注意在先平移后伸缩和先伸缩后平移两种变换次序中,平移的量一般是不同的.
7.答案　sin-1
解析　对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的图象,由变换①得到y=Asin+B=Asin+B的图象,
然后由变换②和③得到y=Asin+B+1的图象,
再由变换④得到y=3Asin+3(B+1)的图象,即为g(x)=sin x的图象,
则
可得A=,B=-1,ω=,φ=2kπ-,k∈Z,
又|φ|<,故φ=-,则f(x)=sin-1.
8.A　由题图可得A=2,=-=,
即T==π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),
又f(x)的图象过点,
所以2sin=2sin=2,
所以-+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin.
9.答案　f(x)=2sin;
解析　由题意作出f(x)的简图,如图.
由图象知A=2,函数f(x)的最小正周期T=2×2π=4π,∴ω==,∴f(x)=2sin,
又f(0)=2sin φ=1,∴sin φ=,
又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
∵f(x0)=2sin=2,
∴x0+=+2kπ,k∈Z,∴x0=4kπ+,k∈Z,
又(x0,2)是函数图象在y轴右侧的第一个最高点,
∴x0=.
10.ACD　由题中图象知, f(x)max=1,f(x)min=-1,∴A=1.
又f(x)的最小正周期T=4×=π,∴ω==2,
∴f(x)=sin(2x+φ),又f(x)的图象经过点,∴f=sin=1,
∴+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin.
对于A,φ=,A正确;
对于B,当x∈时,2x+∈,易知当x∈时,正弦函数y=sin x单调递减,B错误;
对于C,f=sin=sin=1,为f(x)的最大值,故直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,C正确;
对于D,∵|f(x1)-f(x2)|=2=f(x)max-f(x)min,
∴|x2-x1|min==,D正确.
11.答案　-
解析　将函数f(x)=sin(3x+φ)的图象向左平移个单位,得到y=sin=sin3x++φ的图象.
由题意得y=sin为偶函数,
所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,
又φ∈(-π,0),所以φ=-.
12.答案　(0,2]
解析　由题意得g(x)=2sin=2sin ωx.
因为0≤x≤,ω>0,所以0≤ωx≤ω.
因为函数g(x)在区间上单调递增,
所以ω≤,所以ω≤2.又ω>0,所以0<ω≤2.
13.解析　(1)补充完整的表格如下:
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 -2 0
易得f(0)=f(π)=-, 则f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)因为x∈,所以2x-∈,
所以sin∈.
所以函数f(x)在区间上的值域为[-2,].
能力提升练
1.D　由题意可得f(x)=sin ,
令f(x)=sin =0,则=kπ,k∈Z,
则x=2kπ+φ,k∈Z,又因为≤φ≤π,
所以取k=-1,得到f(x)的最大负零点为-2π+φ,
由题意可知-2π+φ∈,
解得φ∈.
2.C　由f(x)的最小正周期T大于2π,可得>,
因为f=0,f=,所以=+=,
所以T=3π,又ω>0,所以ω==,
所以f(x)=sin,
由f=sin=,即sin=1,可得-φ=+2kπ,k∈Z,则φ=--2kπ,k∈Z,因为|φ|<π,所以k=0,φ=-.
3.B　由题图可知,A=2,最小正周期T=8,则ω==,故f(x)=2sin,
又f(0)=0,|φ|<,所以φ=0,故f(x)=2sin x.
根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=, f(2)=-f(6)=2, f(4)=f(8)=0,
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]=0.
4.D　因为f(0)=2sin φ+1=0,所以sin φ=-,即φ=2kπ-,k∈Z或φ=2kπ-,k∈Z.又-π<φ<-,所以φ=-,所以f(x)=2sin+1.因为f(x)的图象关于点对称,所以ω-=kπ,k∈Z,所以ω=+6,k∈Z.当x∈时,由ω>0,得ωx-∈.又函数f(x)在上单调,所以-≤-,所以0<ω≤6.因为ω∈N*,所以取k=0,得ω=6.易知f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期,所以由最小正周期T=得=×=.
5.C　易得f(x)∈[-3,3].
∵f(2)-f(4)=6,∴f(2)=3,f(4)=-3.
又f(x)在[2,4]上单调,∴最小正周期T=2×(4-2)=4,∴ω==,∴f(4)=3sin(2π+φ)=-3,即sin(2π+φ)=sin φ=-1,
又|φ|<π,∴φ=-,∴f(x)=3sin(x-1),
∴g(x)=f(x)-1=3sin(x-1)-1.
令g(x)=0,则sin(x-1)=.
在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin(x-1)的图象与直线y=,如图所示.
由图可知,在x∈[-5,8]上,函数y=sin(x-1)的图象与直线y=有6个交点,∴函数g(x)有6个零点,其和为-2×2+2×2+6×2=12.
6.答案　
解析　易得函数f(x)=sin-的周期为π,
由f(x)≤0,得sin≤,
即-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
不妨在长为一个周期的区间上分析,则取k=0,得-≤x≤,易知当x=-时,f(x)min=f=-,
显然函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,
由f(x)在[m,n](m当n=时,-≤m≤-,故≤n-m≤,
所以n-m的取值范围是.
7.答案　
解析　f(x)=2sin图象的对称轴方程满足ωx+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z.因为f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),所以×≥π,即ω≤1,故<ω≤1.
由k∈Z,可得k+≤ω≤,k∈Z.令k=0,得≤ω≤.
8.答案　
解析　由f =f 可知,函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x==,
所以×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
又φ∈,所以φ=,所以f(x)=sin.
当x∈时,x+∈,由函数f(x)在区间上有且只有三个零点,可得3π<θ+≤4π,解得<θ≤5π.
9.答案　
解析　令-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z,
则-+2kπ≤ωx≤+2kπ,k∈Z,
结合ω>0可得-+≤x≤+,k∈Z,
令k=0,则f(x)的一个单调递增区间为,
又f(x)在区间上单调递增,
所以解得ω≤.
令f(x)=0,得ωx-=k'π,k'∈Z,解得x=+,k'∈Z,
令k'=0,得x=,令k'=1,得x=,令k'=-1,
得x=-,
因为f(x)在区间[0,π]上有且只有一个零点,所以解得≤ω<.
综上,ω的取值范围是.
10.答案　2sin
解析　因为f(0)=2sin φ=,
所以sin φ=,
因为0<φ<π,且由题图知函数f(x)在x=0附近单调递减,所以φ=,由于f(x1)=f(x2)=,
所以sin=sin=,
因为函数f(x)在x=x1附近单调递增,在x=x2附近单调递减,
所以ωx1+=2kπ+,ωx2+=2kπ+,其中k∈Z,
所以ω(x2-x1)=,即=,解得ω=4,
因此f(x)=2sin.
11.解析　(1)由题知函数f(x)的最小正周期T==,解得ω=4,
因为函数f(x)在x=处取到最小值-2,
所以A=2,且f=-2,即2sin=-2,
故+φ=2kπ+,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=,故f(x)=2sin.
(2)将函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,再将所得图象向左平移个单位,可得g(x)=2sin=2cos 2x的图象,
令-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤kπ,k∈Z,
故g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)由(2)得g(x)=2cos 2x.因为方程g(x)=m+2在x∈上有两个不同的实根,所以函数g(x)的图象与直线y=m+2在x∈上有两个交点.作出函数g(x)=2cos 2x,x∈的图象,如图,
由图可知-2解得-4故实数m的取值范围是(-4,-2]∪{0}.
12.解析　(1)由题图知A==2,B==1,且=-=,故T=π,ω==2,
由题图可知f=3,即2sin+1=3,故sin=1,故+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,故f(x)=2sin+1.
(2)令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心的坐标为(k∈Z).
(3)由x∈,可得2x+∈(0,π),
又方程f(x)=在x∈上有两个不相等的实数根x1,x2,且x1所以2x1++2x2+=×2,所以x1+x2=,
且2x1+∈,2x2+∈,
又f(x1)=f(x2)=,
即2sin+1=2sin+1=,
所以sin=sin=,
又sin(x2-x1)=sin=sin=cos,且2x1+∈,
所以sin(x2-x1)=cos===,故sin(x2-x1)的值为.