8.2.2两角和与差的正弦、正切 同步练习(含解析)-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

文档属性

名称 8.2.2两角和与差的正弦、正切 同步练习(含解析)-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册
格式 docx
文件大小 50.8KB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-10-20 14:42:09

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文档简介

8.2.2 两角和与差的正弦、正切
基础过关练
考点一 给角求值
1.(2025山东菏泽第一中学月考)sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55°=(  )
A.-    B.-    C.    D.
2.(多选题)(2025浙江海宁高级中学月考)下列各式中,计算结果为1的是(  )
A.sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°
B.cos 43°cos 137°-sin 43°sin 137°
C.
D.sin220°+cos2340°
3.(2025吉林第二中学期末)求值:
(1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=    ;
(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°=    ;
(3)=    .
考点二 给值求值
4.(2025黑龙江哈尔滨六校联考)已知角α的终边上一点P(3,-4),则sin=(  )
A.-    B.    C.    D.
5.(2024山东临沂月考)已知tan(α+β)=,tan=,则tan的值是(  )
A.    B.    C.    D.
6.(2025甘肃甘南期中)在△ABC中,已知tan A,tan B为方程x2-6x+9=0的两个根,则tan C=    .
7.(2025吉林松原五校期末联考)已知α∈,且sincos -cossin =,则cos α=    .
8.已知锐角θ满足cos=-,则sin=    .
考点三 给值求角
9.(2025江苏南京期中)在△ABC中,若tan B+tan C+tan Btan C=,则A=(  )
A.    B.    C.    D.
10.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,则α的值为(  )
A.    B.    C.    D.
11.(2024上海闵行月考)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,且β∈,则β=    .
12.(2025天津南开中学月考)已知α,β均为锐角,tan α=,cos β=,则α+β= .
考点四 辅助角公式
13.(2025广东肇庆期中)函数f(x)=|sin x-cos x|的最小正周期是(  )
A.    B.    C.π    D.2π
14.(2024河南洛阳月考)已知sin α+cos=,则sin=    .
15.(2024辽宁沈阳第二中学期中)求值:=    .
能力提升练
考点一 利用两角和与差的正弦、正切公式求值
1.=(  )
A.-1    B.1    C.    D.-
2.(2025山东济宁期末)已知0<α<,0<β<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则=(  )
A.    B.    C.    D.
3.(2024辽宁鞍山第六中学质检)已知α,β均为锐角,sin α=3sin βcos(α+β),则tan α取得最大值时,tan(α+β)的值为(  )
A.    B.
C.1    D.2
4.(多选题)已知α,β∈,2sin(α+β)=sin α·sin β,则下列说法正确的是(  )
A.tan αtan β的最小值为16
B.tan α+tan β的最大值为8
C.+的最小值为-1
D.-≤tan(α+β)<-
5.(2025辽宁抚顺期末)如图,角α的终边与单位圆在第一象限交于点P,且P的横坐标为,半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q,Q关于x轴的对称点为Q',角β的终边在OQ'上,则sin β=    .
6.(2025河南信阳期中)已知函数f(x)=acos 2x+sin 2x(07.(2024山东青岛五十八中阶段检测)已知函数f(x)=sin 2x-cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值;
(2)设α是锐角, f =,求sin α的值.
考点二 利用两角和与差的正弦、正切公式求角
8.(2024山东泰安新泰一中期末)已知0<β<α<,P(1,4)为角α终边上一点,且sin αsin+cos αcos=,则β=(  )
A.    B.    C.    D.
9.(2024陕西宝鸡期末)若角α,β满足2(cos2α·cos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,则α的值可能为(  )
A.-    B.-    C.    D.
10.(2025山东东营期末)已知α,β都是锐角,2α+β=,tan αtan =2-,则α=    .
答案
基础过关练
1.C sin 65°cos 35°-cos 65°cos 55°
=sin 65°cos 35°-cos 65°cos(90°-35°)
=sin 65°cos 35°-cos 65°sin 35°
=sin(65°-35°)=sin 30°=.
2.ACD sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,故A满足题意;
cos 43°cos 137°-sin 43°sin 137°=cos(43°+137°)=cos 180°=-1,故B不满足题意;
==tan(60°-15°)=tan 45°=1,故C满足题意;
sin220°+cos2340°=sin220°+cos2(360°-20°)=sin220°+cos220°=1,故D满足题意.
3.答案 (1) (2)0 (3)
解析 (1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=.
(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°=cos(20°+70°)=cos 90°=0.
(3)==tan(45°+15°)=tan 60°=.
4.D ∵点P(3,-4)是角α终边上一点,
∴cos α==,sin α==-,
∴sin=sin cos α+cos sin α=×+×=.
5.B 因为tan(α+β)=,tan=,
所以tan=tan===.
6.答案 
解析 因为tan A,tan B为方程x2-6x+9=0的两个根,所以tan A+tan B=6,tan Atan B=9,
所以tan C=-tan (A+B)=-=.
7.答案 -
解析 因为sincos -cossin =sin=sin α=,且α∈,
所以cos α=-=-.
8.答案 
解析 因为θ∈,所以θ+∈,
又cos=-,所以sin=,
所以sin=sin=×-=.
9.C 因为tan B+tan C+tan Btan C=,
所以tan A=-tan (B+C)===-,
因为A∈(0,π),所以A=.
10.C ∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π).
∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵β∈,sin β=-,∴cos β=.
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=×+×=,∴α=.
11.答案 
解析 由题意可得sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=,即sin β=-,又β∈,所以β=.
12.答案 
解析 因为cos β=,β为锐角,
所以sin β==,
则tan β===,
故tan(α+β)===1,
由α,β均为锐角,得α+β∈(0,π),所以α+β=.
13.C f(x)=|sin x-cos x|=,将正弦函数y=sin x的图象向右平移个单位,再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到y=sin的图象,然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方,得到f(x)=的图象,所以函数f(x)的最小正周期为=π.
14.答案 -
解析 因为sin α+cos=sin α+cos αcos+sin αsin=sin α+cos α=sin α+cos α==sin=,所以sin=,
则sin=-sin=-.
15.答案 -2
解析 
=
==,
因为sin 40°-sin 50°=sin(45°-5°)-sin(45°+5°)
=-2cos 45°sin 5°=-2×sin 5°=-sin 5°,
所以原式===-2.
能力提升练
1.D tan 60°=tan(10°+50°)=,
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°.

=
=
=-tan 60°=-.
2.C ∵0<α<,0<β<,∴α+β∈(0,π),
又cos(α+β)=,
∴sin(α+β)==,
即sin αcos β+cos αsin β=,
又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
∴sin αcos β=,cos αsin β=,
则===.
3.D sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β=3sin βcos(α+β),
则sin(α+β)cos β=4sin βcos(α+β),所以tan(α+β)=4tan β=4tan(α+β-α)=4×(*),
因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以tan(α+β)>0,(*)式可整理为tan α==,
因为tan(α+β)+≥2=4,当且仅当tan(α+β)=,即tan(α+β)=2时,等号成立,所以04.AD 因为2sin(α+β)=2sin αcos β+2cos αsin β=sin αsin β,且α,β∈,所以tan αtan β=2(tan α+tan β)≥4,即tan αtan β≥16,当且仅当tan α=tan β=4时,等号成立,故A正确.
tan αtan β=2(tan α+tan β)≤,所以tan α+tan β≥8,当且仅当tan α=tan β=4时,等号成立,故tan α+tan β的最小值为8,故B错误.
+=-1+tan α+tan β=+-1≥2-1=-1,当且仅当tan αtan β=时,等号成立,结合A中分析,所以+>-1,故C错误.
tan(α+β)==,因为tan αtan β≥16,所以tan(α+β)∈,故D正确.
5.答案 -
解析 由已知可得,点P的坐标为,则sin α=,cos α=.
因为半径OP绕原点O逆时针旋转后与单位圆交于点Q,所以以OQ为终边的角大小为α+,
又Q关于x轴的对称点为Q',角β的终边在OQ'上,
所以β=-,
所以sin β=-sin=-,
=-=-.
6.答案 
解析 因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,且0所以f=acos +sin =a+=1,解得a=,
所以f(x)=cos 2x+sin 2x=sin,
当x∈时,令t=2x+,则t∈,
因为方程f(x)=m(m∈R)在上恰有1个实数根,且函数g(t)=sin t在上单调递增,在上单调递减,
g=sin =,g=sin =,g=1,
所以m的取值范围是.
7.解析 (1)f(x)=sin 2x-cos=sin 2x-cos 2x-sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin.
因为x∈,所以2x-∈,
所以sin∈,
所以函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
(2)由(1)知f=sin=sin=.
因为α为锐角,所以α∈,
所以α+∈.
因为sin=<,所以α+∈,
所以cos=,
所以sin α=sin=sincos -cossin =×-×=.
8.D 由题意得sin α==,cos α==.
由sin αsin+cos αcos=,
得sin αcos β-cos αsin β=,即sin(α-β)=.
∵0<β<α<,∴0<α-β<,∴cos(α-β)=,
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×=.
∵0<β<,∴β=.
9.B 由2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,得2(cos αcos β+sin αsin β)(cos αcos β-sin αsin β)
=2cos(α-β)cos(α+β)×
=2[sin(α+β)cos(α-β)+sin(α-β)cos(α+β)]
=2sin[(α+β)+(α-β)]
=2sin 2α=1,
所以sin 2α=,
所以2α=+2kπ,k∈Z或2α=+2kπ,k∈Z,
即α=+kπ,k∈Z或α=+kπ,k∈Z,
逐项检验可得α的值可能为-.
10.答案 
解析 由2α+β=,可得α+=,故tan==,因为tan αtan =2-,
所以tan α+tan =(-1),
可将tan α,tan 看成方程t2-(-1)t+2-=0的两根,解得t=2-或t=1,
因为α,β都是锐角,且2α+β=,
所以解得<α<,而tan =tan ==2-,故tan α=1,则α=.