8.2.3 倍角公式
基础过关练
考点一 给角求值
1.(2024山东日照校级联合考试)2sin 15°cos 15°=( )
A. B. C. D.
2.(2025重庆实验外国语学校月考)sin2-sin2=( )
A. B. C.- D.-
3.(2024辽宁东北育才学校期中)sin 20°cos 20°-cos225°=( )
A.1 B. C.-1 D.-
4.(2024四川成都树德中学月考)设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有( )
A.a>b>c B.aC.a5.的值为( )
A. B. C. D.2
6.cos cos sin cos = .
考点二 条件求值
7.(2025吉林通化梅河口五中月考)已知sin=,则sin=( )
A.- B. C.- D.
8.(2025黑龙江大庆实验中学期末)若tan=,则sin 2α=( )
A.- B. C.- D.
9.(2024辽宁沈阳一模)已知sin+cos=1,则cos=( )
A. B.- C. D.-
10.(2025四川泸州月考)已知tan=,tan=,则tan(α-2β)=( )
A.- B.-
C. D.
11.已知角α在第一象限内,且cos α=,则=( )
A. B. C. D.-
12.(2025辽宁省实验中学模拟)已知<α<,且cos-cos α=,则sin= .
13.(2024宁夏银川一模)已知cos x+sin x=,则= .
14.(2025山东烟台期末)已知=3.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
考点三 倍角公式的综合运用
15.(2025山东新航标联考)函数f(x)=sin 2x-2cos2x在区间上的最大值为( )
A. B.-1 C.1 D.
16.(2025广东佛山模拟)函数f(x)=sin x+sin 2x在区间(0,3π)上的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
17.(2025山东泰安月考)函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值为 .
18.(2024福建厦门一中月考)若方程sin2x-=在(0,π)上的解为x1,x2(x119.证明:(1)cos 4α+4cos 2α+3=8cos4α;
(2)=tan α+;
(3)-2cos(α+β)=;
(4)=tan4A.
20.(2025福建福宁古五校教学联合体期中)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x-.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0.
能力提升练
考点 倍角公式的应用
1.(2025安徽宿州开学考试)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美与黄金分割相关.黄金分割数ω=可以表示成2sin 18°,则=( )
A.2 B. C.-1 D.+1
2.(2024江西南昌期末)已知α为锐角,且tan α+tan=1,则=( )
A. B.-3 C.-2 D.
3.(2025江苏徐州期中)已知α,β为锐角,cos(α+β)=,cos αsin β=,则cos 2(α-β)=( )
A.- B. C.- D.
4.(2025辽宁鞍山段考)已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则=( )
A.- B.- C. D.
5.(2025江西百师联盟期中)已知函数f(x)=4cos2-2(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.(2024山西大同第二中学校期末)若θ∈,sin θcos=cos 2θ,则tan 3θ=( )
A.4 B. C.5 D.
7.(2025河北秦皇岛调研)已知-<α<,2tan β=tan 2α,tan(β-α)=-8,则sin α=( )
A.- B. C. D.-
8.(多选题)(2025山东淄博桓台一中段考)若=-,则tan(k∈Z)的值可能是( )
A. B. C.2 D.3
9.计算下列各式的值:
(1)= ;
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°= .
10.(2025江苏宿迁期中)已知向量m=,n=,
设函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若f =-,且<α<π,求sin α的值;
(3)在△ABC中,若f =1,求sin B+sin C的取值范围.
答案
基础过关练
1.A 2sin 15°cos 15°=sin 30°=.
2.D sin2-sin2=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos =-.
3.D sin 20°cos 20°-cos225°=sin 40°-=sin 40°-sin 40°-=-.
4.C a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°·sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,
b==tan 26°=>=sin 26°,c====sin 25°,
因为当0°sin 25°>sin 24°,故a5.B 原式=
===.
6.答案
解析 原式=
==
===sin =.
7.D sin=sin=cos=cos=1-2sin2=1-2×=.
8.A ∵tan===,解得tan α=-,
∴sin 2α=2sin αcos α====-.
9.B 由sin+cos=1得cos θ+cos θ+sin θ=1,即cos θ+sin θ=1,即cos=1,则cos=,
∴cos=2cos2-1=-.
10.B 由tan=,
得tan===,
因此tan(α-2β)=tan
===-.
11.C 因为cos α=,且角α在第一象限内,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin α·cos α=,
所以原式=
==.
12.答案 -
解析 因为cos-cos α=,
所以cos α+sin α-cos α=,
所以sin α-cos α=sin=,
因为<α<,所以α-∈,
所以cos=-=-,
所以sin=2sincos=2××=-.
13.答案 -
解析 原式===3×=-.
14.解析 (1)==3,解得tan α=2.
(2)
==cos 2α.
由(1)知tan α=2,
所以=2,
又sin2α+cos2α=1,
所以cos α=±,
所以原式=cos 2α=2cos2α-1=-.
一题多解
cos 2α=cos2α-sin2α====-.
15.C f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1,
因为x∈,所以2x-∈,
故函数f(x)的最大值为2-1=1.
16.B 令f(x)=0,则sin x+sin 2x=sin x+2sin xcos x=sin x(1+2cos x)=0,
故sin x=0或1+2cos x=0,
又x∈(0,3π),
所以x=π或x=2π或x=或x=或x=,
故函数f(x)共有5个零点.
17.答案 -4
解析 f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=+,
∵-1≤cos x≤1,∴结合二次函数的性质可知当cos x=1时, f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4.
18.答案 -
解析 由00,所以0<2x-<π,
根据正弦函数的性质可知=x1+x2-=,所以x1+x2=,且0<2x1-<<2x2-<π,所以cos==,
所以sin(2x1-2x2)=2sin(x1-x2)cos(x1-x2)
=2sincos
=2sincos
=2sincos
=-2cossin
=-2××=-.
19.证明 (1)左边=2cos22α-1+4cos 2α+3
=2(cos22α+2cos 2α+1)=2(cos 2α+1)2
=2(2cos2α-1+1)2=8cos4α=右边,得证.
(2)左边==
=tan α+=右边,得证.
(3)左边=-2cos α·cos β+2sin αsin β
=2cos βcos α+-2cos αcos β+2sin αsin β
===右边,得证.
(4)左边==
==tan4A=右边,得证.
20.解析 (1)依题意,f(x)=sin 2x+·-=sin 2x-cos 2x=sin,
由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由(1)及f(x0)=,得sin=,
由x0∈,得2x0-∈,
而sin=∈,则2x0-∈,
因此cos==,
所以cos 2x0=cos=coscos -sinsin =×-×=.
能力提升练
1.A ====2.
2.C 因为α为锐角,所以tan α>0,则tan α+tan=tan α+=tan α+=1,整理可得tan2α-3tan α=0,所以tan α=3(tan α=0舍去),
所以======-2.
3.D 因为α,β为锐角,所以0<α+β<π,
又cos(α+β)=,所以sin(α+β)==,
即sin αcos β+cos αsin β=,结合cos αsin β=,
可得sin αcos β=-=,
故sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=-,
故cos 2(α-β)=1-2sin2(α-β)=1-2×=.
4.A ∵cos θ-sin θ=-,
∴1-sin 2θ=,∴sin 2θ=-.
∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-=-=-=-,
∴==(cos θ+sin θ)=-.
5.C f(x)=4cos2-2=2cos,
令t=2ωx+,因为x∈[0,π],所以t∈,
令cos t=0可得t=kπ+,k∈Z,
因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,所以≤2πω+<,解得ω∈.
6.D 因为sin θcos=cos 2θ,所以sin θ·=(cos2θ-sin2θ),即·sin θ(cos θ-sin θ)=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ),
因为θ∈,所以cos θ-sin θ=cos>0,所以3sin θ=cos θ+sin θ,所以tan θ==,
所以tan 2θ===,所以tan 3θ=tan(2θ+θ)===.
7.D 易得tan β=tan[(β-α)+α]==,又tan 2α=,2tan β=tan 2α,所以=2×,整理,得tan3α=-8,解得tan α=-2.因为-<α<,所以-<α<0,所以由可得sin α=-.
8.CD ==sin θ·(cos θ-sin θ)===-,
即2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=-或tan θ=3.
当k=2m(m∈Z)时,tan=tan(mπ+θ)=tan θ=-或3;当k=2m-1(m∈Z)时,tan=tan=tan=-=2或-.
9.答案 (1)1 (2)
解析 (1)原式====1.
(2)原式=sin 10°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 40°·cos 20°=···
=·=·=.
10.解析 (1)f(x)=sinsin+sin xcos x
=cossin +sin 2x
=sin +sin 2x
=cos 2x+sin 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)f =sin=-,
由<α<π,得<α+<,
则cos=-=-,
则sin α=sin=sincos-cossin =-×+×=.
(3)f=sin=1,
由A∈(0,π),得A+∈,
所以A+=,则A=,
则sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B
=sin,
由B∈,得B+∈,
所以sin∈,
则sin∈,
所以sin B+sin C的取值范围是.