8.2.4 三角恒等变换的应用
基础过关练
考点一 求值问题
1.若cos α=,且α∈,则cos +sin的值为( )
A. B. C. D.
2.(2025广东深圳高级中学月考)若α是第三象限角,且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-,则tan 的值为( )
A.-5 B.5 C.- D.
3.(2025江苏无锡一中期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为( )
A. B. C. D.
4.(2024江西鹰潭期末质量检测)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)的值为( )
A. B.- C.- D.
5.计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°= .
6.(2024江西景德镇期末)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos与tan的值.
考点二 三角函数式的化简与证明
7.(2025湖南师大附中期中)若α∈[0,2π]且+=sin -cos ,则α的取值范围是( )
A.[0,π] B.
C.[π,2π] D.
8.化简的结果为( )
A.tan α B.tan 2α C. D.
9.已知180°<α<360°,化简:= .
10.(2025辽宁沈阳皇姑月考)
(1)化简:;
(2)求值:①sin 50°(1+tan 10°);
②cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°·cos 20°.
11.化简下列各式:
(1);
(2).
考点三 三角恒等变换的综合应用
12.(2024河南焦作博爱第一中学月考)函数f(x)=sincos是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
13.(2025上海徐汇开学考试)在△ABC中,若sin Asin B=cos2 ,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
14.定义向量=(a,b)的“伴随函数”为f(x)=asin x+bcos x,函数f(x)=asin x+bcos x的“伴随向量”为=(a,b).
(1)写出向量=(1,-1)的伴随函数f(x),并直接写出f(x)的最大值;
(2)求函数f(x)=sin2+2sincos -3cos2+1的伴随向量的模.
15.(2025云南昆明期末)如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=,C是扇形弧上的一个动点,矩形ABCD内接于扇形,记∠POC=x,矩形ABCD的面积为f(x).
(1)求f(x);
(2)求f(x)的最大值及此时x的值;
(3)若f(x)≥,求x的取值范围.
16.在△ABC中,求证:
(1)sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C;
(2)sin A+sin B-sin C=4sin sin cos .
能力提升练
考点 三角恒等变换的应用
1.(2025辽宁阜新期末)已知sin α+sin β=,tan =,则cos α+cos β=( )
A. B. C. D.1
2.(2024辽宁大连滨城高中联盟月考)若α+β=,则cos2α+cos2β的取值范围是( )
A. B.
C. D.[0,1]
3.(2024四川成都第十二中学模拟)已知f(θ)=cos 4θ+cos 3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)内的三个不同零点,则下列结论不正确的是( )
A.∈{θ1,θ2,θ3}
B.θ1+θ2+θ3=π
C.cos θ1cos θ2cos θ3=-
D.cos θ1+cos θ2+cos θ3=
4.(2025四川资阳乐至中学月考)已知函数f(x)=sin 2x+sin+a,若对于任意的x1,x2,x3∈, f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立,则a的取值范围为( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[1,+∞) D.(-∞,1]
5.(2025江西宜春丰城中学段考)已知函数f(x)=cos 3x-cos 2x,x∈(0,π),若f(x)有两个零点x1,x2(x1
A. B.- C. D.-
6.(2025辽宁辽阳期末)已知sin=-,α∈,则sin= .
7.(2024山东高中名校统一调研)已知△ABC的内角分别为A,B,C,且满足cos+2sin=0,则+的最小值为 .
8.(2025江西上饶期中)已知α,β满足sin α+cos β=,cos α+sin β=,则sin(α-β)= .
9.(2023江苏盐城中学月考)已知tan γ=.
(1)若α+β=,求tan γ的值;
(2)若α,β,γ都为锐角,求的最大值.
答案
基础过关练
1.B ∵α∈,∴∈.
∴cos===,
sin ===.
∴cos +sin =+=.
2.A 由已知及两角差的正弦公式得,sin α=-,
∵α是第三象限角,∴cos α=-.
∴tan ===-5.
3.C 由积化和差公式可得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)]=[cos(α+2β)+cos α],
故=,解得cos(α+2β)=-=.
4.B 由和差化积公式,得cos α+cos β=2cos·cos =,sin α-sin β=2cossin=-,
两式相除,可得tan=-,
所以tan(α-β)==-.
5.答案
解析 sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]
=(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
6.解析 因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.
解法一:因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,
所以0<<,
所以cos==
=,
sin==.
所以tan==.
解法二:同解法一,求得cos =.
由0<α-β<π,cos(α-β)=,
得sin(α-β)==.
所以tan===.
7.C 由半角公式cos =±和sin =±可得+=+,结合已知得+=-cos +sin ,又α∈[0,2π],所以∈[0,π],所以∈,所以α∈[π,2π].
8.B =
==tan 2α.
9.答案 cos α
解析 原式=
=
==.
因为180°<α<360°,
所以90°<<180°,
所以cos<0,
所以原式=cos α.
10.解析 (1)原式====sin αcos α=sin 2α.
(2)①原式=sin 50°=sin 50°×=sin 50°×=====1.
②cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=[cos(40°+20°)+cos(40°-20°)]-[cos(80°+40°)+cos(80°-40°)]+[cos(80°+20°)+cos(80°-20°)]
=-+cos 100°+=+(cos 20°-cos 40°+cos 100°)
=+[cos(30°-10°)-cos(30°+10°)-sin 10°]
=+(2sin 30°sin 10°-sin 10°)=.
11.解析 (1)原式=
===tan.
(2)原式=
==
=.
12.D f(x)=sin+sin=sin2x++1=sin+.
故f(x)是最小正周期T==π的非奇非偶函数.
13.B 由已知得[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cos C).因为A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.易知-π14.解析 (1)由题意可知向量=(1,-1)的伴随函数f(x)=sin x-cos x.
f(x)=sin x-cos x=sin,当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,最大值为.
(2)f(x)=sin2+2sincos-3cos2+1=+sin x-+1=sin x-2cos x,
故伴随向量=(1,-2),故||==.
15.解析 (1)根据题意可知AD=BC=sin x,OB=cos x,OA=AD=sin x,
所以f(x)=AB·AD=(OB-OA)·AD
=·sin x=cos xsin x-sin2x
=sin 2x+(cos 2x-1)=sin 2x+cos 2x-
=sin-,
即f(x)=sin-.
(2)由(1)知f(x)=sin-,
易得2x+∈,显然当2x+=时,f(x)max=-=,此时x==.
(3)由f(x)≥,可得sin-≥,即sin≥,
因为2x+∈,所以≤2x+≤,解得≤x≤,
即满足题意的x的取值范围为.
16.证明 (1)左边=sin2A+-=sin2A+(cos 2C-cos 2B)=sin2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C)=sin(B+C)[sin(B+C)+sin(B-C)]=sin(B+C)·2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C=右边,
∴等式得证.
(2)左边=sin(B+C)+2sincos=2sin·cos+2sincos=2cos·=4sinsincos=右边,
∴等式得证.
能力提升练
1.B 依题意得,sin α+sin β=2sin cos =,
则sin cos =,
又tan ==,
故cos cos =,
所以cos α+cos β=2cos cos =.
2.C cos2α+cos2β=+
=1+(cos 2α+cos 2β)=1+cos·cos
=1+cos(α+β)·cos(α-β)=1+cos·cos(α-β)
=1-cos(α-β).
∵cos(α-β)∈[-1,1],∴cos2α+cos2β∈.
3.B 不妨设θ1<θ2<θ3.
令cos 4θ+cos 3θ=0,得cos 4θ=-cos 3θ=cos(π-3θ),
所以4θ=π-3θ+2kπ,k∈Z或4θ=3θ-π+2kπ,k∈Z,
即θ=+,k∈Z或θ=-π+2kπ,k∈Z,
又θ∈(0,π),所以θ1=,θ2=,θ3=,故A中结论正确;
θ1+θ2+θ3=++=,故B中结论错误;
cos θ1cos θ2cos θ3=coscoscos=coscos·cos=
====-,故C中结论正确;
cos θ1+cos θ2+cos θ3=cos+cos+cos=-
=
=-
=,故D中结论正确.
4.A 若对于任意的x1,x2,x3∈,f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立,则2f(x)min≥f(x)max,x∈,
由和差化积公式得f(x)=2sincos+a=sin+a,
由x∈,得2x+∈,
易知f(x)=sin+a在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)≤sin +a=+a,即f(x)max=+a,
f(x)min=min=+a,
则2≥+a,解得a≥0.
5.B 易知f(x)=cos 3x-cos 2x=cos-cos=-2sin sin .
令f(x)=0,得sin sin =0,
因为x∈(0,π),所以∈,所以sin >0,
故sin =0,可得=kπ,k∈Z,即x=kπ,k∈Z,
因为x∈(0,π),所以x=或x=,
又x1所以cos x1cos x2=cos cos
==
===-.
6.答案
解析 因为sin=-cos α=-,所以cos α=,
因为α∈,所以∈,
所以sin =-=-,cos ==,
所以sin=sin cos +cos sin =-×+×=.
7.答案 16
解析 由已知得cos+2sin=sin+2sin=0,
所以sincos+cossin+2sincos-cossin=0,所以3sincos=cossin,
易知,∈,所以3tan=tan>0,
又sin A=,sin C=,
所以+
=+
==+16tan
≥2=16,
当且仅当=16tan,即tan=时取等号,
所以+的最小值为16.
知识拓展
万能公式:
①sin α=;②cos α=.
8.答案
解析 因为sin α+cos β=,cos α+sin β=,
所以(sin α+cos β)2=sin2α+cos2β+2sin αcos β=①,(cos α+sin β)2=cos2α+sin2β+2cos αsin β=②,
①+②得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2sin αcos β+2cos α·sin β=,即2+2sin(α+β)=,所以sin(α+β)=-,
又sin α+sin β=2sin cos ,sin α-sin β=2cos ·sin ,所以sin2α-sin2β=2sin ·cos ·2cos ·sin =sin(α-β)sin(α+β)=-sin(α-β),
①-②得sin2α+cos2β-cos2α-sin2β+2sin αcos β-2cos αsin β=2(sin2α-sin2β)+2(sin αcos β-cos α·sin β)=2(sin2α-sin2β)+2sin(α-β)=2×sin(α-β)+2sin(α-β)=,解得sin(α-β)=.
9.解析 (1)tan γ===tan.
因为α+β=,所以tan γ=tan==2-.
(2)因为tan γ=tan,所以γ+kπ=,k∈Z,则2γ+2kπ=α+β,k∈Z,
又因为α,β,γ均为锐角,所以2γ=α+β,
则
=
=
≤=3,
当且仅当即α=β=γ时,等号成立,
因此的最大值为3.