第七章三角函数 单元检测（含答案）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章　三角函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若角α的终边上有一点P(2,y),且sin α=-,则y=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.±1　　　　D.2
2.我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月表400千米,已知月球半径约为1 738千米,则嫦娥五号绕月每旋转弧度飞过的路程约为(π≈3.14)(　　)
A.1 069千米　　　　B.1 119千米
C.2 138千米　　　　D.2 238千米
3.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为(　　)
4.已知cos=,且-π<α<-,则cos=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
5.已知f(x)=sin,ω>0,若存在x1,x2∈,且x1A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=3,若|α-β|的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴方程是(　　)
A.x=-　　　　B.x=-
C.x=　　　　D.x=
7.将函数f(x)=2cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.如图,直线AB与单位圆C相切于点O,射线OP从OA出发,绕着点O逆时针旋转,在此过程中,记∠AOP=x(0A.当x=时,S=-
B. x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)
C. x∈,都有f=f(x)+
D. x∈,都有f+f=π
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-
D.若β为锐角,则2β为钝角
10.已知f(x)=-tan,则下列说法正确的有(　　)
A. f(x)图象的对称中心为,k∈Z
B. f(x)的最小正周期为
C. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
D.若f(x)≥1,则x∈,k∈Z
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.ω=
B.φ=
C.若f(x)在(0,m)上恰好有三个零点,则D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),m≠0,则=　　　　　.
13.函数f(x)=Asin(2x+φ)的部分图象如图所示,对于任意的x1,x2∈[a,b],若f(x1 )=f(x2 ),f(x1+x2 )=,则φ等于　　　　.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ).若f为奇函数,f为偶函数,且f(x)在上没有最小值,则ω的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x+φ).
从条件①f(x)图象的一条对称轴为直线x=;②f(0)=中任选一个作为已知条件,并解决下列问题.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用五点法作出f(x)在一个周期内的图象,并写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)直接写出f(x)的图象可由y=sin 2x的图象经过怎样的变换得到.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m,轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P到水面的距离z(单位:m,在水面下时z取为负数)表示为时间t(单位:min)的函数;
(2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距离水面的高度相等,求时间t.
18.(17分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图象.
(1)当x∈时,求g(x)的值域;
(2)令F(x)=f(x)-3,若对任意x都有[F(x)]2-(2+m)·F(x)+2+m≤0恒成立,求m的最大值.
19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质.
(1)当x∈R时,若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围;
(2)已知a>0, f(x)是定义在R上的奇函数,且满足:
①在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1;
②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0.
求证:函数y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)在x∈R上不具有“4关联”性质.
答案
1.B　根据题意可知=-,所以y=-1.
2.D　嫦娥五号绕月飞行的半径约为400+1 738=2 138(千米),所以嫦娥五号绕月每旋转弧度飞过的路程为×2 138≈×2 138≈2 238(千米).
3.D　∵x∈[-π,π],关于原点对称,且f(-x)===f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除A、C;
f ==<0,∴排除B.
4.A　∵-=,∴α-=-.
∵-π<α<-,∴-<+α<-.
∵cos=,∴sin=-,
∴cos=cos=sin=-.
5.B　f(x)=sin.当0,解得ω>.
6.B　由题意得最小正周期T=3π,∴ω==,
∴f(x)=2sin+1.
∵f(x)的图象关于点对称,∴f =2sin+1=1,即sin=0,
∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=-.∴f(x)=2sin+1.
令x-=+kπ,k∈Z,解得x=π+kπ,k∈Z.当k=-1时,x=-,当k=0时,x=π,
∴离原点最近的对称轴方程为x=-.
7.A　由题意得g(x)=2cos=2cos.
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
即函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
当k=0时,g(x)的单调递增区间为;当k=1时,g(x)的单调递增区间为.
因为函数g(x)在区间和上均单调递增,
所以解得a∈.
8.D　设射线OP与单位圆交于点D,连接OC,OD.
易知当0当故当0在旋转过程中,阴影部分的面积不断变大,故不存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),故B错误.
当x∈时, f=+x-sin(π+2x)=+x+sin 2x≠+f(x),故C错误.
x∈, f+f=-x-sin(π-2x)++x-sin(π+2x)=-x-sin 2x++x+sin 2x=π,故D正确.
9.BC　对于A,因为-=-2π且为第二象限角,
所以-是第二象限角,A错误;
对于B,若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的半径r==3,
因此该扇形的面积S=πr=π×3=,B正确;
对于C,若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α==-,C正确;
对于D,若β为锐角,不妨取β=,则2β=,为直角,D错误.
10.BD　A中,令2x+=,k∈Z,则x=-+,k∈Z,即f(x)图象的对称中心为,k∈Z,故A错误;B中,f(x)的最小正周期T==,故B正确;C中,根据正切函数的单调性可知f(x)无单调递增区间,故C错误;D中,f(x)≥1,即tan≤-,故-+kπ<2x+≤-+kπ,k∈Z,解得-+11.ACD　A选项,设f(x)的最小正周期为T,由题图可知,T=2×(4-1)=6,即ω==,A正确;
B选项,由题图可知A=2,故f(x)=2sin,
将(1,2)代入解析式得2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,k∈Z,
又φ∈(0,π),所以φ=,B错误;
C选项,由以上分析知f(x)=2sin,
当x∈(0,m)时,x+∈,
因为f(x)在(0,m)上恰好有三个零点,所以m+∈(3π,4π],解得D选项,由A知f(x)的最小正周期为6,
易知f(1)=2, f(2)=2sin =1, f(3)=2sin=-1,
f(4)=-2, f(5)=2sin=-1, f(6)=2sin=1,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+1-1=2,D正确.
12.答案　-3
解析　因为角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),m≠0,所以tan α=2,
则====-3.
13.答案　
解析　由题图可知A=2.设=m,则x1+x2=2m.由三角函数的性质可知2m+φ=2kπ+(k∈Z),则f(x1+x2 )=2sin[2(x1+x2 )+φ]=2sin(2×2m+φ)=2sin[2×(2m+φ)-φ]=2sin=2sin(4kπ+π-φ)=2sin φ=,k∈Z,所以sin φ=,又|φ|≤,所以φ=.
14.答案　6
解析　由题意知f=sin=sin,
因为f为奇函数,所以-ω+φ=k1π(k1∈Z)①.
同理, f =sin=sin,因为f为偶函数,所以ω+φ=+k2π(k2∈Z)②,
①+②并整理,得φ=+π,k1,k2∈Z,
又因为|φ|<,所以φ=±.
当φ=时,代入①得-ω+=k1π(k1∈Z),即ω=2-8k1(k1∈Z),代入②得ω+=+k2π(k2∈Z),即ω=2+8k2(k2∈Z),又ω>0,所以当φ=时,ω=2+8k(k∈N),当x∈时,ωx+∈,
因为f(x)在上没有最小值,所以ω+≤,所以0<ω≤,所以ω=2;
当φ=-时,代入①得-ω-=k1π(k1∈Z),即ω=-2-8k1(k1∈Z),代入②得ω-=+k2π(k2∈Z),即ω=6+8k2(k2∈Z),又ω>0,所以当φ=-时,ω=6+8n(n∈N),当x∈时,ωx-∈,
因为f(x)在上没有最小值,所以ω-≤,所以0<ω≤,所以ω=6.
故ω的最大值是6.
15.解析　(1)f(α)=
==-tan α.(5分)
(2)结合(1)知tan α=-2,
所以===3,(9分)
4sin2α-3sin αcos α====.(13分)
16.解析　(1)若选①,则2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.(2分)
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.(4分)
若选②,则f(0)=2sin φ=,即sin φ=,解得φ=+2kπ,k∈Z或φ=+2kπ,k∈Z.(2分)
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.(4分)
(2)根据五点法列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x)=2sin2x+ 0 2 0 -2 0
(6分)
描点,用光滑曲线相连,可得f(x)在一个周期内的图象,如图.
(9分)
结合图可知,f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(12分)
(3)先将y=sin 2x的图象向左平移个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变即可得到f(x)的图象.(15分)
17.解析　(1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设P(x,y),则点P到水面的距离(单位:m)z=y+2,=sin α,其中α是以Ox为始边,射线OP为终边的角,
由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox=,(2分)
由该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,得∠P0OP=×t=πt,则α=πt-,
则y=rsin α=4sin,则z=4sin+2,t≥0.(4分)
(2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ=,
设Q(xQ,yQ),则=sin,由(1)知,α=πt-,(7分)
所以yQ=4sin=4sin πt,
又P点的纵坐标y=4sin,所以sin πt=sin,(10分)
则πt=πt-+2kπ或πt=π-+2kπ,k∈Z,解得t=k+,k∈N,(*)
由盛水筒P和Q均在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(13分)
则2kπ-<πt<2kπ+,k∈Z,结合(*)式可得t=2k+,k∈N.(15分)
18.解析　(1)由题图知A=1,最小正周期T=4=π,∴ω==2,
∴f(x)=sin(2x+φ).(2分)
把代入,得sin=-1,∴+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=.∴f(x)=sin.(5分)
由题意得g(x)=sin-1=sin-1.(6分)
设k=2x-,x∈,则k∈,∴sin k∈,
即sin∈,g(x)=sin-1∈,
∴当x∈时,g(x)的值域为.(8分)
(2)由(1)可知f(x)=sin∈[-1,1],
∴F(x)=f(x)-3∈[-4,-2].(9分)
令t=F(x),则t∈[-4,-2],
设h(t)=t2-(2+m)t+2+m,由题意得在[-4,-2]上,h(t)max≤0.(12分)
易知h(t)的最大值在t=-4或t=-2时取得,
∴即(14分)
解得∴m≤-.∴m的最大值为-.(17分)
19.解析　(1)易知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],
故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],
则m的取值范围为[-2,2].(2分)
(2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1, f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在[-2a,0]上,当且仅当x=-时, f(x)取得最小值-1,(4分)
由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称,
又f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x),
故2a为函数f(x)的一个周期,故f(x)∈[-1,1],(6分)
易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1].(8分)
当f(x)=1时,x=+2na,n∈Z,当sin πx=1时,x=+2k,k∈Z,
若+2na=+2k,k,n∈Z,则a=,k,n∈Z,
此时y1=sin πx+f(x)=2,为最大值;(11分)
当f(x)=-1时,x=-+2pa,p∈Z,当cos πx=1时,x=2t,t∈Z,
若-+2pa=2t,t,p∈Z,则a=,t,p∈Z,此时y2=cos πx-f(x)=2,为最大值.(14分)
由于≠,k,n,t,p∈Z,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4,
即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,
所以函数y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)在x∈R上不具有“4关联”性质.(17分)