第三章不等式单元测试（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

必修1 第三章 不等式单元复习
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.设集合，且，则（ ）
A． B． C．8 D．6
3.已知为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知不等式的解集是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
5.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
6.已知实数，关于x的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是( )
A． B． C． D．
7.已知，则的最小值为（ ）
A.12 B. C. D.
8.设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10.已知关于的的解集是，则（ ）
A． B．
C．关于的不等式的解集是 D．的最小值是
11.已知，下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 .
13.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 .
14.已知均为正实数，，则的最小值是 .
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知不等式的解集是．
⑴求实数的值；
⑵若关于的不等式的解集为，求的取值范围.
16.（本小题满分15分）
解下列关于不等式：⑴；⑵.
17.（本小题满分15分）
关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
⑴有两个正根；⑵一个根大于1，一个根小于1；
⑶一个根在内，另一个根在内.
18.（本小题满分17分）
考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
⑴若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
⑵求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知实数满足．
⑴若，求证：；
⑵若，求证：.
参考答案
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为，所以所以，即，故A，B正确.因为，所以，所以故C正确.
当 时， ，故D错误.故选D.
2.设集合，且，则（ ）
A． B． C．8 D．6
答案：C
解析：由，可得或，即或，而，
因为，所以，可得.故选C.
3.已知为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：若，根据糖水不等式可得，即充分性成立；
若，则，即且，故，即必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.故选C.
4.已知不等式的解集是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意得，解得，故.故选B.
5.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
答案：D
解析：因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.故选D.
6.已知实数，关于x的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：由题可得：，.由，，设，则.所以，
所以，.又，所以，所以.所以，.又，故.故选A.
7.已知，则的最小值为（ ）
A.12 B. C. D.
答案：D
解析：令，则，原代数式变为，
所以，当且仅当
时，取等号，所以的最小值为.故选D.
8.设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：原不等式可变为，因为不等式解集中的整数解恰有3个，且，所以，即.又，则不等式的解为，
且，所以3个整数解是，所以，即，
则，因为，所以，解得，所以的取值范围是.故选C.
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：ABC
解析：由不等式，可得且，即，
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，即1，所以C正确；
对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误.故选ABC.
10.已知关于的的解集是，则（ ）
A． B．
C．关于的不等式的解集是 D．的最小值是
答案：AB
解析：对于A选项，因为的解集为，所以，且和是方程的两根，A正确；
对于B选项，由A得：，所以，
所以，B正确；
对于C选项，由得：，
解得：，即不等式的解集为，C错误；
对于D选项，，
因为，所以，因为在上单调递增，
，D错误.故选AB.
11.已知，下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：BD
解析：对于A选项：令，则
因为在上单调递增，则
故，则最小值为，所以A错误；
对于B选项：由，可得，
则（当且仅当时等号成立），
解得，所以B判断正确；
对于C选项：因为，，
所以
（当且仅当时等号成立），所以C错误；
对于D选项： 由，可得，
则，又，则，
则
（当且仅当时等号成立），所以D正确.故选BD.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：因为，使关于的不等式成立，
则，即，，
因为在上单调递增，所以，所以.
13.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 .
答案：
解析：因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
14.已知均为正实数，，则的最小值是 .
答案：
解析：因为，则，
设，则，且，
所以原式，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知不等式的解集是．
⑴求实数的值；
⑵若关于的不等式的解集为，求的取值范围.
解析：⑴因为不等式的解集是．
所以和是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意，所以实数的值为.
⑵若关于的不等式的解集为，由⑴得即的解集为，
所以，解得，所以的取值范围是.
16.（本小题满分15分）
解下列关于不等式：⑴；⑵.
解析：⑴当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集为
；当时，，方程的两根为，则原不等式的解集为；
当时，①若，即时，原不等式的解集为；②若，即时，原不等式的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
⑵当时，原不等式为，解得，则原不等式的解集为；
当时，原不等式为，其零点为.
①当时，，则原不等式的解集为；
②当时，，则原不等式的解集为；
③当时，，则原不等式的解集为；
当时原不等式为，其零点为.
①当时，，则原不等式的解集为；
②当时，，则原不等式的解集为；
③当时，，则原不等式的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17.（本小题满分15分）
关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
⑴有两个正根；⑵一个根大于1，一个根小于1；
⑶一个根在内，另一个根在内.
解析：⑴令，设的两个根为.
由题得，解得.
⑵令，设的两个根为.
若方程的一个根大于1，一个根小于1，
由于，开口向上，
故只需，解得.
⑶令，设的两个根为.
若方程一个根在内，另一个根在内，
结合开口向上，
则，解得.
18.（本小题满分17分）
考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
⑴若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
⑵求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
解析：⑴由题意可知，当时，，解得：，
由，即，解得：，
因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，
即，所以，
故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.
⑵设该汽车行驶100千米的油耗为升，
则，
令，则，
所以，，
可得对称轴为，由，可得，
当时，即时，
则当时，；
当，即时，
则当时，；
综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
19.（本小题满分17分）
已知实数满足．
⑴若，求证：；
⑵若，求证：.
解析：⑴因为，所以．
因为，所以，当且仅当时等号成立，整理得，所以.
⑵ 因为，且，
所以，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，当且仅当时等号成立．