第三章指数运算与指数函数 单元测试（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第三章 指数运算与指数函数 2025-2026学年 高中数学必修第一册 单元测试（北师大版2019）
时间：120分钟，满分：150分
姓名： 学号： 班级： 分数：
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(共10题；共50分)
1．（5分）＝(　　)
A． 　 B．5 C． 　 D．25
2．（5分）化简 的结果为（　　）
A．5 B． C． D．
3．（5分）已知函数，则（　　）
A．图象关于原点对称，且在上是增函数
B．图象关于原点对称，且在上是减函数
C．图象关于轴对称，且在上是增函数
D．图象关于轴对称，且在上是减函数
4．（5分）若实数满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数且，则（　　）.
A．. B．. C．2. D．4.
6．（5分）已知函数为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．2
7．（5分）已知函数，则满足的实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数图象上不同的两点，到直线的距离相等，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）已知函数 ，若，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(共6题；共30分)
11．（5分）已知函数，若，则　 　.
12．（5分）化简÷ (a>0)的结果是　 　.
13．（5分）已知函数，则不等式的解集是　 　.
14．（5分）若，则　 　．
15．（5分）若命题“，”是假命题，则的取值范围为　 　.
16．（5分）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为　 　．
参考数据：若，则：；；．
三、解答题(共6题；共70分)
17．（8分）计算下列各式的值．
（1）（4分）．
（2）（4分）已知，求a+a﹣1的值．
18．（10分）已知函数（，且）的部分图象如图示．
（1）（4分）求的解析式；
（2）（6分）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
19．（10分）已知函数（，且）.
（1）（4分）若函数的图象过和两点，求在上的值域；
（2）（6分）若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值.
20．（10分）已知函数.
（1）（4分）若，求的值.
（2）（6分）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值.
21．（16分）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，.
（1）（4分）求在上的解析式；
（2）（6分）判断在上的单调性；
（3）（6分）当为何值时，方程在上有实数解.
22．（16分）“绿水青山就是金山银山”，为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）（4分）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）（6分）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1）
（3）（6分）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
答案
1． C
2． B
3． B
4． D
5． D
6． C
7． D
8． C
9． B
10． D
11． 2
12． 1
13．
14．
15．
16． 4
17． （1）解：原式
（2）解：， 等号两边同时平方，
得 ，
所以a+a﹣1＝7
18． （1）解：由图象可知函数经过点和，
所以，解得，
所以函数的解析式是．
（2）解：由（1）知，，
根据题意知，即在有解，
设，则，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，故，
所以，实数m的取值范围是．
19． （1）解：由题意，，，
又因为，解得，，所以，
因为在上单调递增，所以，即，
所以的值域为.
（2）解：当时，在区间上单调递减，
所以，，
因此，解得或（舍去），
所以.
20． （1）解：因为，，
所以，解得，
当时，，
，
（2）解：①当时，在上单调递增，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
②当时，在上单调递减，
所以，
化简得.解得或（舍去）.
综上可得实数的值为3或.
21． （1）是上的奇函数，.
又为最小正周期，.
设，则，
（2）设，
由于所以，，
所以
在上为减函数.
（3）在上为减函数，，即.
同理，在上时，.
又，
当或时，在内有实数解.
22． （1）解：当时，，
所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
（2）解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当时，令，得恒成立，
所以当时，起到净化污水的作用，
当时，令，得，则，
所以，
综上所述当时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
（3）解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为，
所以，，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，，
当时，取最小值12毫克/立方米