第一章集合单元测试（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

必修一第一章集合单元复习
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A．　　B．　　C．　　D．
2.设集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　 ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
3.设集合．若，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知集合，若集合，则实数的取值范围是（　　）
A．　　 B． C．　　 D．
5.设集合，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.若集合，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知集合，若，则实数的值为 （ ）
A.2 B.0或2 C.或2 D.0或或2
8.给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，是规范数集 B．不是规范数集，不是规范数集
C．是规范数集，不是规范数集 D．不是规范数集，是规范数集
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知集合，若，则实数的值可以为 （ ）
A. B. C. D.
11.已知集合，，若，
则实数的值可能为 （ ）
A. B.0 C.1 D.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.集合，若，则实数的取值范围为 .
13.已知集合，则 .
14.集合有个元素，设的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则
.
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知集合，且.
⑴求实数的值；
⑵若，求的取值范围.
16.（本小题满分15分）
已知全集，集合.
⑴求和；
⑵若集合，且，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知集合.
⑴若，求和；
⑵若，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
设集合，，．
⑴若，求实数的取值范围；
⑵若，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知集合，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
⑴判断集合和集合是否具有“包容”性；
⑵若集合具有“包容”性，求的值；
⑶若集合具有“包容”性，且集合的子集有个，，试确定集合．
参考答案
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A．　　B．　　C．　　D．
答案：A
解析：由不等式，解得，所以，将分别代入不等式
可得符合，所以.故选A.
2.设集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　 ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
答案：C
解析：因为集合，，所以，图中阴影部分表示的集合为：，所以图中阴影部分表示的集合的真子集有：
个.故选C.
3.设集合．若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：因为集合，，所以是方程
的解，则，所以，
所以.故选C.
4.已知集合，若集合，则实数的取值范围是（　　）
A．　　 B． C．　　 D．
答案：D
解析：因为，，所以当时，；当时，，综上所述，.故选D.
5.设集合，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由得，,
因为，所以，，
所以，即的最小值为.故选B.
6.若集合，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：依题意可得，所以A、D均错误；
因为，所以中含无理数元素，所以C错误；
集合中，当时，，所以,所以，所以B正确.故选B.
7.已知集合，若，则实数的值为 （ ）
A.2 B.0或2 C.或2 D.0或或2
答案：B
解析：因为，所以，所以或，解得或
或.当时，，满足题意；当时，
，集合中的元素不满足元素的互异性，舍去；当时，,
，满足题意.综上：.故选B.
8.给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，是规范数集 B．不是规范数集，不是规范数集
C．是规范数集，不是规范数集 D．不是规范数集，是规范数集
答案：D
解析：集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是，所以不是规范数集；
集合，，
，即的相伴数集中的最小数是，所以是规范数集.故选D.
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
答案：AC
解析：由题意可知，当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为或，所以，所以，，，.故选AC．
10.已知集合，若，则实数的值可以为 （ ）
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：由题意可得：.因为，所以，所以.
当时，；当时，，得；当时，，得.综上：.故选BCD.
11.已知集合，，若，
则实数的值可能为 （ ）
A. B.0 C.1 D.
答案：ACD
解析：当时，，满足题意；当时，集合中方程可化为，是一条直线，又集合中方程可化为，也是一条直线，除去点.因为，所以两直线平行或直线过点，则
或，解得.所以的值可能为.
故选ACD.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.集合，若，则实数的取值范围为 .
答案：
解析：由得，因为且，所以，所以实数的取值范围为.
13.已知集合，则 .
答案：
解析：由题意联立方程组，解得，所以.
14.集合有个元素，设的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则
.
答案：
解析：集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况
①含元素的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；
②不含元素，含元素且含有其他元素的子集有个
③不含元素，不含元素，但含其他元素的子集有个
其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为，
④只含元素的子集1个，满足，
综上：所有子集中元素乘积.
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知集合，且.
⑴求实数的值；
⑵若，求的取值范围.
解析：⑴因为，且，所以或，解得
或.当时，，集合内两个元素相同，舍去；当时，成立.所以实数的值为.
⑵由⑴知.因为，所以，所以.
当时，方程无实数根，则，解得；
当时，方程有两个相等的实数根1，则，解得；
当时，方程有两个相等的实数根2，则，此时无解；
当时，方程有两个不相等的实数根1,2，则，
此时无解.综上：实数的取值范围为.
16.（本小题满分15分）
已知全集，集合.
⑴求和；
⑵若集合，且，求实数的取值范围.
解析：⑴因为全集，集合，
所以
所以，.
⑵当，即时，，满足；
当时，因为，由⑴知，
所以，解得.综上：实数的取值范围为.
17.（本小题满分15分）
已知集合.
⑴若，求和；
⑵若，求实数的取值范围.
解析：由不等式，解得，即.
⑴因为，所以，则
所以，.
⑵因为，所以，所以，即.
又，所以，解得.
所以实数的取值范围为.
18.（本小题满分17分）
设集合，，．
⑴若，求实数的取值范围；
⑵若，求实数的取值范围.
解析：⑴由，
当时，，不满足；当时，，
因为，则由得，，解得且.
综上，且.
⑵因为，，
所以当时，即方程无解，所以，解得，
当时，由可得方程的根小于，则有，解得
，综上，实数的取值范围为.
19.（本小题满分17分）
已知集合，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
⑴判断集合和集合是否具有“包容”性；
⑵若集合具有“包容”性，求的值；
⑶若集合具有“包容”性，且集合的子集有个，，试确定集合．
解：⑴集合中的，
所以集合不具有“包容”性．
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．
⑵已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知无解，
所以．综上，．
⑶因为集合C的子集有个，所以集合C中共有个元素，且，又，且中既有正数也有负数，不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
①当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知，；
②当时，同理可得．
综上，中有个元素，且时，符合条件的集合有个，
分别是，，，
或．