函数专题 讲义（无答案）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

函数
【思考练习】
1.已知，，则 .
2.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
3.已知函数，在R上恒成立，则的取值范围为 .
4.已知函数在区间有两个零点，则2a+b取值范围是 .
5.已知函数，记，若在区间是增函数，则a的取值范围是 .
6.已知a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b的取值范围是 .
【知识梳理】
知识点一、函数的概念和性质
考点1、函数的概念
一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
考点2：函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
考点3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
考点4：函数的定义域和区间
定义域的表示及区间的表示
考点5：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【常用结论】
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
知识点二、值域和最值
1.值域的定义及意义
2.最值的定义及其几何意义
定义：设函数的定义域为A，
（1）如果存在，使得对于任意的，都有，
那么，我们称是函数的最大值，记为．
（2）如果存在，使得对于任意的，都有，
那么，我们称是函数的最小值，记为．
几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
知识点三、函数单调性的证明及判定
4.定义法证明函数单调性的步骤：
（1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且；
（2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式；
（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
（4）判断：根据定义做出结论。
5.常见的函数单调性等价形式
1）函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
（2）函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
6.函数单调性的常见判定方法。
（1）定义法；
（2）图像法：作出函数图像，数形结合；
（3）直接法：利用已知函数的结论，比如一次函数、二次函数、反比例函数、勾函数、桥函数等的单调性；
（4）抽象函数的适当变形；
（5）复合函数的单调性根据“同增异减”来判断；
（6）导数法（选择性必修二内容）.
知识点四. 函数单调性的性质与结论
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性判定
对于符合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在的单调性如下表所示，简记为“同增异减”.
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
知识点五. 函数的奇偶性
(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为A.
如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；
如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.
(2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
注：如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称，由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
奇函数、偶函数性质
(1)奇函数的图象关于原点对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数.
偶函数的图象关于y轴对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.
(2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(3)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a注：若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).
要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
知识点六. 函数的周期性与对称性
1.轴对称：①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称：①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
2..与周期有关的几个结论：①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
若，则的周期为：（周期扩倍问题
3.周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
4.奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
题型一：函数的定义
【例题1】（多选）下列函数中表示同一函数的是（ ）
A． B.
C. D.
【练习1】设，则f(f(-2))=( ).
A.-1 B. C. D.
【例题2-1】已知区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题2-2】设集合，，则 .
【例题2-3】函数中，自变量x的取值范围是 ．
【练习2-1】函数的定义域为 .
【练习2-2】已知函数，，则函数的定义域为 .
【练习2-3】已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练习2-4】若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【练习2-5】设函数．
(1)当时，求函数的定义域；
(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围．
【例题2-4】已知，则的解析式为　　
A． B． C． D．
题型二：值域与最值
【例题3-1】已知函数，则在区间，函数的最小值为 ；在区间R内，函数的最小值为 。
【例题3-2】
（1）求函数的值域和定义域.
（2）求函数的值域与定义域.
（3）求函数的值域与定义域.
（4）函数的值域.
【练习3-1】设函数，若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 。
题型三：单调性的证明与判定
【例题4】判断函数的单调性.
【例题4-1】已知定义在上的函数f(x)对任意，恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且当00，判断f(x)在上的单调性.
【练习4】函数f(x)是定义在[1,4]上的减函数，求满足不等式的a的集合.
题型四：单调性的性质与结论
【例题5】已知函数f(x)=对 x1,x2∈R且x1≠x2,有>0,则实数a的取值范围是　　　　.
【练习5】已知函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减.
题型五：函数的奇偶性
【例题6】已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并证明结论；
(2)求函数在上的最值．
【例题6-1】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域和值域均为
B．为偶函数
C．的单调递减区间为
D．不等式的解集为
【练习6】已知函数的定义域为R，对任意的实数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数 C．为偶函数 D．为R上的增函数
题型六：周期与对称性
【例题7】函数，满足，当，，则______.
【练习7】已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【课堂检测】
1.下列各组函数是同一函数的是　　
A．与 B．与
与 D．与
2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
B． C． D．
3.函数的值域是 .
4.在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
【课后练习】
1.下列各组函数是同一函数的是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
2.（多选）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
D．
3.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
B． C． D．
4.已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
5.已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并用定义证明．