抛物线 专项训练（含解析）-2026届高三数学一轮复习

抛物线
一、单项选择题
1.已知动圆P与定圆C:(x-2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=-1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是(　　)
A.y2=4x B.y2=-4x
C.y2=8x D.y2=-8x
2.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)
A.2 B.3
C.6 D.9
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,O为坐标原点,当∠PFO=时,|PF|=6,则p=(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
4.已知点P是抛物线C:y2=4x上的动点,点P到y轴的距离为d,Q(-3,3),则|PQ|+d的最小值为(　　)
A.5 B.+1
C.-1 D.4
5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为(　　)
A.3 B.
C.5 D.
6.探照灯、汽车前灯的反光曲面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置,通过镜面反射就变成了平行光束,如图所示,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,灯口直径是80 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离为(　　)
A.20 cm B.10 cm
C.30 cm D.40 cm
7.在平面直角坐标系xOy中,已知点M(2,1)为抛物线E:x2=2py(p>0)上一点,若抛物线E在点M处的切线恰好与圆C:x2+(y-b)2=2(b<0)相切,则b=(　　)
A.- B.-2
C.-3 D.-4
8.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,圆C2:(x-1)2+y2=,点M(3,0),若点P,Q分别在C1,C2上运动,则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(x,4)在C上,|AF|=5,则p的值可能是(　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),点A,B在C上,且弦AB的中点到直线x=-2的距离为5,则(　　)
A.p=16
B.线段AB的长为定值
C.A,B两点到C的准线的距离之和为14
D.|AF|·|BF|的最大值为49
11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,其准线与x轴交于点M,经过点M的直线l与抛物线交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法正确的是(　　)
A.=5
B.存在∠AMF=50°
C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆
D.当△ABF的面积为4时,直线l的倾斜角为
三、填空题
12.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　　.
13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,若点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点,则|QF|=　　　　　.
14.动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,则动点M(x,y)的轨迹方程为　　　　　　　　.
15.过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为　　　　　.
16.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点T(2,0)的直线l与抛物线交于A,B两点,与y轴的负半轴交于C点,已知S△BCF∶S△ACF=1∶2,则|BF|=　　　　　.
17.已知抛物线x2=2ay(a>2)的焦点为F,P为抛物线上一点,且满足|PF|=5,设直线PF的倾斜角为θ,若cos θ=,则点P的坐标为　　　　　.
答案
1.C　设P点坐标为(x,y),C(2,0),动圆的半径为r,则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,|PC|=1+r,P在直线的右侧,故P到定直线的距离d=x+1=r,所以|PC|-d=1,即-(x+1)=1,化简得y2=8x.
2.C　设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.
3.B　如图,过P作C的准线的垂线,垂足为P1,作FE⊥PP1,垂足为E,
由∠PFO=,得∠PFE=,
所以|PE|=|PF|=3,
所以|P1E|=6-3=3,即p=3.
4.D　∵抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).P到直线x=-1的距离等于|PF|,∴P到y轴的距离d=|PF|-1,∴d+|PQ|=|PF|+|PQ|-1.∴当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(-3,3),F(1,0),∴|QF|=5,∴d+|PQ|的最小值为5-1=4.
5.B　由题意知抛物线的准线方程为x=-1,分别过点M,N作准线的垂线,垂足为M',N',根据抛物线的定义得|MF|=|MM'|,|NF|=|NN'|,所以|MF|+|NF|=|MM'|+|NN'|,所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|+|NF|)=,所以线段MN的中点到y轴的距离为-1=
6.B　在纵断面内,以反射镜的顶点(即抛物线的顶点)为坐标原点,过顶点垂直于灯口直径的直线为x轴,建立直角坐标系,如图所示,由题意可得A(40,40).设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),于是402=2p·40,解得p=20.所以抛物线的焦点到顶点的距离为=10,即光源到反射镜顶点的距离为10 cm.
7.C　由点M(2,1)为抛物线E:x2=2py(p>0)上一点,可得4=2p,解得p=2,所以抛物线E的方程为x2=4y,由y=x2,可得y'=x,则y'|x=2=2=1,所以抛物线在M(2,1)处的切线斜率为1,则切线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.圆C:x2+(y-b)2=2(b<0)的圆心为(0,b),半径为,又抛物线E在点M处的切线恰好与圆C相切,可得,解得b=-3或b=1(舍去).
8.D　因为焦点F到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C1:y2=4x,F(1,0),所以圆C2的圆心(1,0)恰好在焦点F处,
所以|PQ|max=|PF|+,设P(x,y),
则|PQ|max=x+,|PM|=,
所以,
令2x+3=t(t≥3),则x=,所以,当,即t=时,取得最小值,最小值为
9.AC　由点A(x,4)在抛物线y2=2px上,可得A点横坐标x=,因为|AF|=5,由抛物线定义得=5,解得p=2或p=8.
10.CD　由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),所以=4,则p=8,A错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦AB的中点到直线x=-2的距离为5,可得+2=5,所以x1+x2=6,当AB过点F时,由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1+4+x2+4=x1+x2+8=14;当x1=x2=3时,|AB|=8,所以AB的长不是定值,B错误;A,B两点到C的准线的距离之和与|AF|+|BF|相等,值为14,C正确;|AF|·|BF|≤()2=49,当且仅当|AF|=|BF|=7时,等号成立,故|AF|·|BF|的最大值为49,D正确.
11.AD　对A项,由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,则M(-1,0),显然当直线AB的斜率为0,即直线AB的方程为y=0,此时不合题意,设直线AB的方程为x+1=my,联立抛物线方程y2=4x,得y2-4my+4=0,Δ=16m2-16>0,解得m>1或m<-1,y1+y2=4m,y1·y2=4,=4x1,=4x2,则=16x1x2,16=16x1x2,则x1x2=1,=(x1,y1),=(x2,y2),则=x1x2+y1y2=1+4=5,A正确;对B项,当直线AB与抛物线相切时,∠AMF最大,则Δ=16m2-16=0,解得m=±1,根据抛物线对称性取m=1分析:此时直线方程为y=x+1,此时直线斜率为1,则∠AMF=45°,因此不存在∠AMF=50°,B错误;对C项,假设存在以AB为直径且经过焦点F的圆,则=0,=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),则=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=0,x1+x2=my1-1+my2-1=m(y1+y2)-2=4m2-2,
即2-(x1+x2)+y1y2=0,即2-(4m2-2)+4=0,m=±,满足m>1或m<-1,即存在以AB为直径且经过焦点F的圆,C错误;
对D项,S△ABF=|MF||y2-y1|=2=4,即m=±,此时直线斜率为±,则直线l的倾斜角为,故D正确.
12　因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+
13.3　由题知F(1,0),设Q(x0,y0),A(4,0),其中x0≥0,则|QA|=,由于点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点,∴x0=2.∴|QF|=x0+1=3.
14.y=0(x<0)或y2=8x　∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x,又x轴上点(0,0)左侧的点到y轴的距离比它到(2,0)点的距离小2,∴M点的轨迹方程为y=0(x<0).综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x.
15.6　易知切线的斜率存在,设其方程为y=kx,k≠0,则由题意,得圆C的圆心为(-2,0),半径r=由,解得k=±由圆与抛物线的对称性,不妨取直线y=x.直线y=x与曲线y2=2px(p>0)交于点P,则由得P(p,p).因为|OP|=8,所以(p)2+(p)2=64,解得p=6.
16+1　设F到直线AC的距离为d,因为S△BCF∶S△ACF=1∶2,可得,所以BC∶AC=1∶2,所以,即xA=2xB且xA,xB>0,设直线AB的方程为x=ty+2,联立方程组整理得y2-4ty-8=0,则Δ=16t2+32>0,=4xA,=4xB,所以yAyB=-8,则xAxB==4,联立方程组解得xA=2,xB=,由抛物线的定义,可得|BF|=xB++1.
17.(-4,1)　由题可知F(0,),准线方程为y=-,如图,过P作PG⊥l交l于点G,则PG=PF=5,过F作FE⊥PG交PG于点E,则EG=2OF=a,∠PFE=θ,PE=5-a或PE=a-5,
又由cos θ=以及倾斜角范围θ∈[0,π)得sin θ=,所以有a=2或a=8,又a>2,故a=8,此时x2=2ay=16y,yP=5-=1,将yP=1代入x2=16y得xP=4(舍去)或xP=-4,故点P坐标为(-4,1).