双曲线 专项训练（含解析）-2026届高三数学一轮复习

双曲线
一、单项选择题
1.双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±3x D.y=±4x
2.若点P是双曲线C:=1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则“|PF1|=8”是“|PF2|=16”的(　　)
A.既不充分也不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.充分不必要条件
3.若双曲线=1(a>0,b>0)上的一点到焦点(-,0)的距离比到焦点(,0)的距离大b,则该双曲线的方程为(　　)
A.-y2=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.x2-=1
4.如图,已知F1,F2为双曲线=1的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2+8x+7=0相切,且双曲线的左焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
6.已知双曲线C:=1(b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2或
7.已知F1,F2为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,P为双曲线右支上的动点(非顶点),则△PF1F2的内切圆恒过定点(　　)
A.(,0) B.(,0)
C.(,0) D.(a,0)
8.已知双曲线=1(a>0,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.(,+∞)
B.(,+∞)
C.(2,+∞)
D.(,+∞)
9.已知A,B分别是双曲线C:-y2=1的左、右顶点,P是双曲线C上的一动点,直线PA,PB与x=1交于M,N两点,△PMN,△PAB的外接圆面积分别为S1,S2,则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.1
二、多项选择题
10.已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
11.若P是双曲线C:x2-y2=2上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则下列结论中正确的是(　　)
A.双曲线C的虚轴长为
B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为2
C.|PF1|的最小值是2-
D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2
12.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,如图,利用了双曲线的光学性质:F1,F2是双曲线的左、右焦点,从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P,经点P反射后,反射光线的反向延长线过F1;当P异于双曲线顶点时,双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.若双曲线C的方程为=1,则下列结论正确的是(　　)
A.射线n所在直线的斜率为k,则k∈(-)
B.当m⊥n时,|PF1|·|PF2|=32
C.当n过点Q(7,5)时,光线由F2到P再到Q所经过的路程为13
D.若点T坐标为(1,0),直线PT与C相切,则|PF2|=12
13.用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,也即圆锥曲线.探究发现:当圆锥轴截面的顶角为2α时,若截面与轴所成的角为β,则截口曲线的离心率e=.例如,当α=β时,e=1,由此知截口曲线是抛物线.如图,圆锥SO中,M,N分别为SD,SO的中点,AB,CD为底面的两条直径,且AB⊥CD,AB=4,SO=2.现用平面γ(不过圆锥顶点)截该圆锥,则(　　)
A.若MN γ,则截口曲线为圆
B.若γ与SO所成的角为60°,则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C.若M,A,B∈γ,则截口曲线为抛物线的一部分
D.若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分,则O γ
三、填空题
14.设双曲线C:=1的左焦点和右焦点分别是F1,F2,点P是C右支上的一点,则|PF1|+的最小值为　　　　　.
15.已知O为坐标原点,F1(-1,0),F2(1,0),Q(0,3),向量m=(1,-2),动点P满足∥m,写出一个a,使得有且只有一个点P同时满足||PF1|-|PF2||=2a(016.如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-,AB⊥BD,则E的离心率为　　　　　.
图1
图2
答案
1.C　由方程x2-=1,知a=1,b=3,所以渐近线方程为y=±x=±3x.故选C.
2.D　a=4,b=3,c==5,当点P在左支时,|PF1|的最小值为c-a=1,当点P在右支时,|PF1|的最小值为a+c=9,因为|PF1|=8,则点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义|PF2|-|PF1|=|PF2|-8=2a=8,解得|PF2|=16;当|PF2|=16,点P在左支时,|PF1|=8;点P在右支时,|PF1|=24;推不出|PF1|=8;故为充分不必要条件.
3.D　由题知c=,根据题意,由双曲线的定义知2a=b,又a2+b2=c2,所以5a2=5,得到a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.
4.B　由题意|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,cos∠PF1F2 ==cos 30°=,所以c=a,b=a,双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x.
5.D　因为圆C:x2+y2+8x+7=0的圆心为C(-4,0),半径r=3,又因为双曲线=1的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,双曲线的左焦点(-c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d==b,由题意可知c=4,b=3,可得a2=c2-b2=7,所以该双曲线的方程为=1.
6.A　由双曲线方程=1(b>0),令=0,解得y=±x,∴双曲线的渐近线为y=±x,又渐近线为y=x,∴b=1,又a=,∴c==2,∴e=
7.B　双曲线=1(a1>0,b1>0),,则长轴长为2a1,焦距为2c1,P为双曲线右支上的动点(非顶点),F1,F2为双曲线的两个焦点,设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2分别切于M,N,Q,如图所示,
则根据双曲线的定义及圆的性质可知:|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1Q|-|F2Q|=2a1,
又|F1Q|+|F2Q|=2c1,得|F1Q|=c1+a1,|F2Q|=c1-a1,故Q为双曲线的右顶点.
同上分析,当双曲线方程为=1(a>0,b>0)时,F1,F2为双曲线的两个焦点,P为双曲线右支上的动点(非顶点),设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2分别切于M,N,Q,可知Q为双曲线的右顶点,此时双曲线长轴长为2,右顶点坐标Q(,0).所以此时△PF1F2的内切圆恒过定点(,0).
8.A　由题意可知:双曲线的渐近线方程为y=±x,设点A(x,y),则可取C(-y,x),则整理得,解得b2>a2,即c2-a2>a2,可得>2,则e=,所以该双曲线离心率的取值范围是(,+∞).
9.A　由已知得,A(-2,0),B(2,0),由双曲线的对称性,不妨设P(x,y)在第一象限,所以kPA=,kPB=,所以kPA·kPB=,设直线PA的方程为y=k(x+2),k>0,则直线PB的方程为y=(x-2),同时令x=1,则yM=3k,yN=-,所以|MN|=3k+,k>0,设△PMN,△PAB的外接圆的半径分别为r1,r2,由正弦定理得,2r1=,2r2=,所以,当且仅当3k=,即k=时,等号成立,所以
10.ACD　对于A,若m>n>0,则mx2+ny2=1可化为=1,因为m>n>0,所以,即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;对于C,若mn<0,则mx2+ny2=1可化为=1,此时曲线C表示双曲线,由mx2+ny2=0可得y=±x,故C正确;对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,y=±,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确.
11.BC　由双曲线C:x2-y2=2,得双曲线C:=1,设双曲线C的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c.选项A,得b=,故双曲线C的虚轴长为2,故A错误.选项B,得a=,c=2,则|F1F2|=4,得|PF1||PF2|=4,故△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=2,故B正确.选项C,易知|PF1|min=c-a=2-,故C正确.选项D,易得双曲线C的焦点坐标为(±2,0),渐近线方程为x±y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为,故D错误.
12.ABD　因为双曲线C的方程为=1,所以a=3,b=4,c=5,渐近线方程为y=±x,选项A,因为直线PF2与双曲线有两个交点,所以k∈(-),即A正确;选项B,由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a=6,若m⊥n,则=(2c)2=100,因为-2|PF1|·|PF2|,所以36=100-2|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=32,即B正确;选项C,|PF2|+|PQ|=(|PF1|-2a)+|PQ|=|F1Q|-2a=-2×3=7,即C错误;选项D,因为PT平分∠F1PF2,由角分线定理知,,所以,又因为|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|-|PF2|=6,解得|PF2|=12,即D正确.
13.BCD　对于A选项,由题意知过MN的平面与底面不平行,则截口曲线不为圆,故A错误;对于B选项,平面γ与SO所成的角为60°,所以β=,因为OD=OS=2,所以∠OSD=,即α=,所以e=<1,所以平面γ截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分,故B正确;对于C选项,因为SO⊥平面ABD,AB 平面ABD,所以SO⊥AB,因为AB⊥CD,CD∩SO=O,CD,SO 平面SOD,所以AB⊥平面SOD,又因为SD 平面SOD,所以SD⊥AB,又SO=OD,M为SD的中点,所以SD⊥OM,AB∩OM=O,AB,OM 平面MAB,所以SD⊥平面MAB,所以平面γ与SO所成的角为∠SOM=,∠OSD=,所以β=,α=,e==1,故C正确;对于D选项,截口曲线是离心率为的双曲线的一部分,则,所以cos β=1,因为β∈[0,],所以β=0,所以平面γ∥OS,故平面γ不经过原点O,故D正确.
14.8　a=2,b=,c=5,|PF2|≥c-a=3,
|PF1|=|PF2|+2a=|PF2|+4,|PF1|+=|PF2|++4,|PF2|≥3,
而函数y=x++4(x>0)在[3,+∞)上单调递增,所以当且仅当x=3时,ymin=8.
15　由||PF1|-|PF2||=2a(02a,知点P在以F1,F2为焦点的双曲线上,c=1,b2=1-a2.设P(x,y),因Q(0,3),则=(-x,3-y),m=(1,-2),由于m,y=-2x+3.若直线y=-2x+3与双曲线的一条渐近线平行,此时直线与双曲线只有一个交点.所以-=-2,解得a=
16　如图,连接F1B,F1A,则F1,A,C和F1,B,D都三点共线,
设|F2B|=x,则|F1B|=x+2a.由cos∠F1AB=cos(π-∠BAC)=,
所以sin∠F1AB=,
所以tan∠F1AB=,又因为AB⊥BD,所以tan∠F1AB=,即|AB|=|F1B|,sin∠F1AB=,即|F1A|=|F1B|,又因为|F2A|=|AB|-|F2B|,因此|F1A|-|F2A|=x+a=2a,即x=a,在Rt△F1F2B中,(2c)2=(x+2a)2+x2=10a2,即c2=a2.故e=