2026届高三数学一轮复习素养提升解答题专项训练《三角函数、三角恒等变换、解三角形》8 易错问题（含解析）

素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形
（八）易错问题
例1. 在中，角的对边分别是，已知.
（1）求；
（2）若，且的周长为，求.
【举一反三1】（河北省衡水市2025-2026学年高三上学期第二次调研18） 在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的面积.
例2. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求b；
（2）若，求正整数c的值.
【举一反三2】已知的内角所对应的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
例3．设的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.
【举一反三3】在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：；②证明：
(2)求三角形面积的最小值．
解析：
素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形
（八）易错问题
例1. 在中，角的对边分别是，已知.
（1）求；
（2）若，且的周长为，求.
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又，
所以或.
（2）由的周长为，，得，
在中，由余弦定理得，即，
则，当时，，于是，，此方程无解；
当时，，于是，解得或，
所以当时，无解；当时，或.
【举一反三1】（河北省衡水市2025-2026学年高三上学期第二次调研18） 在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的面积.
【解析】（1）由及正弦定理得，
又，∴.
∵，∴
（2）由余弦定理知，即，∴，
代入（1）中结论得：.
（3）（外接圆半径），
∴，
∵，且，∴，∴，
①∵，则∴，同理，
∴.∴不成立；
②若，则，∴，
同理，∴.
∴不成立；
③若，则，此时，
∴，，
由正弦定理知.
例2. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求b；
（2）若，求正整数c的值.
【解析】（1）由正弦定理，得，
即，即，
又，所以.
（2）因为，，，
所以，即，
由△ABC为锐角三角形可得，即，
解得，又C为正整数，所以.
【举一反三2】已知的内角所对应的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理得，
整理得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）由（1）知，即.
因为为锐角三角形，所以，解得.
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则，
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是.
例3．设的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.
【解析】（1）由，
故，
所以，所以，
由余弦定理，
因为，所以．
（2）在中，由正弦定理得，解得．
又因为，所以或．

当时，．因为，所以；
当时，．因为，所以，
由，则不符合题意，舍去，
所以，则．
且，
在中，由正弦定理，得，
解得．
又因为为的平分线，所以．
【举一反三3】在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：；②证明：
(2)求三角形面积的最小值．
【解析】（1）若选择①，由条件可知，角都是锐角，过点作与垂直的单位向量，则与垂直的夹角为，则与垂直的夹角为，
因为，所以,
，
,
即；
若选择②，如图，设，，，
则，两边平方后，
则，即
（2），
因为，所以，
所以的面积的最小值为.