随机事件的概率与古典概型 专项训练（含解析）-2026届高三数学一轮复习

随机事件的概率与古典概型
一、单项选择题
1.掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则(　　)
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A=B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
2.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(　　)
A.0.5 B.0.1
C.0.7 D.0.8
3.袋中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球.从袋中随机摸出1个小球,观察颜色后放回,同时放入一个与其颜色大小相同的小球,然后再从袋中随机摸出1个小球,则两次摸到的小球颜色不同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A+发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过32的素数中,随机选取两个不同的数,能够组成孪生素数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7.河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从阳数和阴数中各取一数分别记为a,b,则满足|a-b|≥2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
8.一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球,这4个球都是红色的概率为P1,恰好有三个红色和一个白色的概率为P2,恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3,四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为(　　)
A.17 B.19
C.21 D.以上都不正确
二、多项选择题
9.某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A表示随机事件“两次都投中”,事件B表示随机事件“两次都未投中”,事件C表示随机事件“恰有一次投中”,事件D表示随机事件“至少有一次投中”,则下列关系正确的是(　　)
A.A D
B.B∩D=
C.A∪B=B∪D
D.A∪C=D
10.下列说法中正确的有(　　)
A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AB)=0
B.若事件A与事件B是对立事件,则P(A+B)=1
C.某人打靶连续射击三次,则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,已知其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是(　　)
A.P(B)= B.P(A∪B)=
C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)
三、填空题
12.从1,3,9,27,81中任取2个数,它们均小于这5个数的平均数的概率是　　　.
13.通过手机验证码注册某应用软件时,收到的验证码由四位数字随机组成,如某人收到的验证码(a1,a2,a3,a4)满足a114.连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b,则使直线x-2y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=5相交的概率为　　　　　.
15.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　　.
四、解答题
16.(15分)一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到绿球的概率;
(2)如果是n个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么n是多少
17.(15分)从0,1,2,3这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个.构成数对(x,y),x为第一次取到的数字,y为第二次取到的数字.设事件A=“第一次取出的数字是1”,B=“第二次取出的数字是2”.
(1)写出此试验的样本空间及P(A),P(B)的值;
(2)判断A与B是否为互斥事件,并求P(A∪B).
答案
1.A　设A={1,3},B={1,5},则A∩B={1},A∪B={1,3,5},∴A≠B,A∩B表示向上的点数是1,A∪B表示向上的点数为1或3或5.
2.A　因为随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,所以P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,所以P()=1-P(A)=1-0.5=0.5.
3.B　若第一次从袋中摸出1个白球,则放入1个白球,第二次摸出黑球的概率为,若第一次从袋中摸出1个黑球,则放入1个黑球,第二次摸出白球的概率为,故两次摸到的小球颜色不同的概率为
4.D　从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有=21(种)不同的取法,若两数不互质,则不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=故选D.
5.C　掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果,依题意知P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(B)=1-,因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=
6.B　不超过32的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31共11个,又素数对(p,p+2)为孪生素数,所以不超过32的素数组成的孪生素数对有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)共5对,所以能够组成孪生素数的概率为P=
7.C　若从阳数和阴数中各取一数分别记为a,b,则样本点(a,b)共有5×5=25(个),满足|a-b|<2的样本点有(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10),共9个,记事件B为满足|a-b|<2的事件,则P(B)=,所以满足|a-b|≥2的事件的概率为P()=1-P(B)=1-
8.C　设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a,b,c,d.由题意得,则有b=bc=abcd,即a=4b+3=3c+2=2d+1.经验证,玻璃球的个数的最小值为21,此时a=11,b=2,c=3,d=5.
9.ABD　选项A,事件A表示“两次都投中”,事件D表示“至少有一次投中”,故A D,故A正确;选项B,事件B和事件D是对立事件,故B∩D= ,故B正确;选项C,事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”,而事件B∪D表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有一次投中”,故C错误;选项D,事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”,故A∪C=D,故D正确.
10.ABC　事件A与事件B互斥,则A,B不可能同时发生,所以P(AB)=0,故A正确;事件A与事件B是对立事件,则事件B即为事件,所以P(A+B)=1,故B正确;事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生,且二者必有一个发生,所以为对立事件,故C正确;事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生,即“丙分得的是红牌”,所以不是互斥事件,故D错误.
11.ABC　由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;P(B)=,P(A)=,P(C)=,则P(A∪B)=,故ABC正确,故D错误.故选ABC.
12　这5个数的平均数为x=(1+3+9+27+81)=24.2,这5个数中小于平均数的有1,3,9,从这5个数中任取2个数的取法有(1,3),(1,9),(1,27),(1,81),(3,9),(3,27),(3,81),(9,27),(9,81),(27,81),共10种,任取2个数均小于平均数的情况有(1,3),(1,9),(3,9),共3种,所以从这5个数中任取2个数,它们均小于这5个数的平均数的概率P=
13　∵a1=2,214　连掷骰子两次试验结果共有36种,要使直线x-2y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=5相交,则,即满足|a-2b|<5,符合题意的(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)共21种,由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P=
15　从8张卡片中随机抽出3张,则样本空间中样本点的个数为=56.因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等,则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5,共3种,所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点的个数为3,所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为
16.解 (1)从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9=90种,即n(Ω)=90,设事件A=“两次取出的都是红球”,则n(A)=4×3=12,设事件B=“第一次取出红球,第二次取出绿球”,则n(B)=6×4=24,设事件C=“第一次取出绿球,第二次取出红球”,则n(C)=6×4=24,设事件D=“两次取出的都是绿球”,则n(D)=6×5=30,且事件A,B,C,D两两互斥.∴第二次取到绿球的概率为P(B∪D)=
(2)由题意P(D)=,则n(Ω)=n(D)=72,
又n(Ω)=(n+6)(n+5)=72,
∴n=3或-14,n∈N*,即n=3.
17.解 (1)样本空间Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)},所以n(Ω)=12,因为A={(1,0),(1,2),(1,3)},B={(0,2),(1,2),(3,2)},
所以n(A)=3,n(B)=3.从而P(A)=,P(B)=
(2)因为A∩B={(1,2)},故A与B不是互斥事件.又A∪B={(1,0),(1,2),(1,3),(0,2)(3,2)}.所以n(A∪B)=5.从而P(A∪B)=