圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练
考点目录
公切线问题 公共弦问题
对称问题
(
考点一
公切线问题
)
1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径，
由圆方程得，半径，则，解得.
故选：D
2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离，
对于，圆心，半径，
对于，圆心，半径，
所以，则，即或.
故选：D
3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
4．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，
又圆的半径为1，所以切线长为，
故选：C．
6．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知圆，半径，圆，半径.
∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴，
∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.
又，∴代表点到直线的距离的5倍.
∵圆心到直线的距离为1，
∴圆环内的点到直线的距离，
∴的取值范围为.
故选：C.
7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中·多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由题知，两圆半径，
所以，
故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图，
的中点为两圆外切切点，
当公切线过的中点，且与垂直时，
因为，所以公切线的方程为，即；
当公切线与平行，且到公切线的距离为时，
设公切线的方程为，
所以，解得或，
所以公切线的方程为或．
综上所述，公切线的方程为或或.
故选：BCD．
8．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条.
【答案】
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为，
的圆心坐标为，半径为，
则圆心距为，
故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条，
故答案为：3
9．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，
∴，半径为，
因为，
∴，半径为，
若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，
∴，
由于，故，
解得，即的最小值为，
故答案为：.
10．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 .
【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一）
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆心距为，故两圆外切，
两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为，
切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为；
切线平行于直线，且到直线的距离为，
设平行于直线切线方程为，
则或，
所以切线的方程分别为.
故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）.
11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，.
(1)探求与是否垂直；
(2)若，判断与圆的位置关系；
(3)若，求圆与圆公切线的条数.
【答案】(1)答案见解析
(2)相离
(3)0
【详解】（1）因为，
若，则与垂直；
若，则与不垂直.
（2）当时，，圆，
则圆的圆心为，半径为，
因圆心到直线的距离为，
与圆相离.
（3）当时，圆，圆，
则圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆得圆心距为，
则圆与圆内含，其公切线的条数为0.
12．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为.
因为圆过点和，根据圆的标准方程.
对于点有，即 ①.
对于点有，即 ②.
将②代入①可得：.
展开得.
移项化简得，即，解得.
把代入②得.
所以圆的标准方程为.
（2）如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线.
圆心到切线（即）的距离（ ），
圆心到切线（即）的距离（ ），
两个式子比，得到由 .化简得到，
则或者.即或者.
当时，代入方程（ ），得到，两边平方整理得，解得或.
当时，代入方程（ ），同样得到，解得.
由于且由图知道，因此，.
故满足题意的的斜率为.
13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程.
【答案】(1)
(2)相交；或
【详解】（1）依题意，设，则，即，
所以，则，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为，
圆：的圆心，半径为，
所以，显然，则圆和圆相交，
所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在，
不妨设为，即，
则有，则，解得或，
当时，得，解得或，
当时，，此时公切线方程为；
当时，，此时公切线方程为；
当时，得，方程无解；
综上，公切线方程为或.
14．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程.
【答案】(1)，
(2)，和
【详解】（1）圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，
已知圆，圆，即，
两圆方程相减可得公共弦直线方程为.
点到的距离为，所以公共弦长为.
（2）结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3，
圆与圆有一条公切线为：.
直线与的交点为.
设另一条公切线的方程为，即，
则点到公切线的距离，解得.
此时满足点到直线的距离为1，
所以另一条公切线的方程为，即
综上，两圆的公切线方程为和.
(
考点二
公共弦问题
)
1．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴两圆方程相减得，，化简得.
故选：B.
2．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选：A
3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆，则圆心，半径，
点为直线上一动点，设，
由题意知在以PC为直径的圆上，
且圆心为，半径为，
则此圆的方程为，
化简得：，
与圆相减，得直线AB的方程：，
即，由，解得，
所以直线过定点.
故选：A.
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
【答案】B
【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，
由圆，则圆心，半径，
点到公共弦所在直线的距离，
公共弦长为，则，解得或，
由圆，整理可得，
则，所以或.
故选：B.
5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．两圆相交 B．直线的方程为
C．两圆有两条公切线 D．线段的长为
【答案】ACD
【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1，
圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确；
对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确；
对于D，点到直线的距离为，
所以．故D正确.
故选：ACD
6．（25-26高二上·云南·阶段练习·多选）已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为 D．两圆的公切线有2条
【答案】ABD
【详解】对于A，的圆心，半径，
的圆心，半径，
计算两圆心之间的距离，
比较d与，，
因为，所以两圆相交，选项A正确.
对于B，即，
即，
相减并化简得：，选项B正确.
对于C，圆心，，根据斜率公式，选项C错误.
对于D，两圆位置关系为相交，相交的两圆公切线有两条，选项D正确.
故选：ABD.
7．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
【答案】
【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为.
法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，
圆的圆心到直线的距离，
故公共弦长为.
故答案为：.
8．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.
9．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆，圆．
(1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值；
(2)若圆与直线相交于两点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，得，解得．
，，
两式相减得．
又两圆公共弦所在直线的方程为，即，
所以，即，满足，故；
（2）圆化为标准方程：．设圆的半径为．
在中，取的中点，连接，如图．
因为，所以．
又因为为圆心到直线的距离，所以，
所以，解得．
10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设圆的方程是①，
由于圆是的外接圆，故，，三个点都在圆上，
所以它们的坐标都满足①的解，把它们的坐标依次代入①的方程，
得到关于，，的一个三元一次方程组，，解得，
所求的圆的方程是，标准方程是.
（2）由于两圆相交，联立两圆方程，
作差，得，
要使得最长，则此时过点，即为圆的直径，
将点代入得，，结合，得
11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，，
于是有①，
因为点A在圆上运动，即：②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
12．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆，圆.
(1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于、两点，求.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切
圆，得圆心，半径.
又圆，得圆心，半径.
所以圆心距，，
所以，得，解得或.
（2）当时，圆，此时两圆的圆心距，两圆相交.
将两圆方程相减得直线的方程为.
所以圆心到直线的距离，且半径，
由圆的弦长公式得.
(
考点三
对称问题
)
1．（24-25高二下·河南·阶段练习）与圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由圆有，
设圆关于直线对称的圆为，
则有，
所以圆关于直线对称的圆为，
故选：D.
2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设点P坐标为，点Q坐标为.
因为点P和点Q关于直线对称，
所以，整理得：，即点Q坐标为.
因为点P在圆：上，点Q在圆：上，
所以，即.
则是方程组的解，
则圆和圆的位置关系是相切或者相交.
又因为圆的圆心坐标为圆，半径为；
圆的圆心坐标为圆，半径为，
所以两圆的圆心间距离为，
则由两圆的位置关系可得：，解得：.
故选：C.
3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
设，根据题意，点与点关于直线对称，
因此线段的中点在直线上，且与该直线垂直.
即，.化简得.
因为点Q在圆C上，所以，即.
两式结合，得，，即点坐标为.
所以直线的方程为.
设线段中点为，连接.
圆心到直线的距离.
又因为圆的半径为，所以.
.
所以.
故选：C
4．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，
所以点关于直线对称的点在圆上，
又点关于直线对称的点在圆上，
所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为，
所以与两点所在直线，与垂直，故.
故选：D
5．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆:的圆心，半径
，当、、三点共线（点在、两点之间）时，取等号，
点关于轴的对称点为，，
当、、三点共线时，取等号.
所以的最小值为.
故选：B.
6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】圆，即，
圆心为，半径
圆，即，
圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为 ，
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，
其圆心为，半径，
则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接，与直线交于点，
此时点是满足最小的点，
此时，
即的最小值为，
故答案为：
7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ．
【答案】
【详解】圆化成标准方程为：，
所以圆心，半径，
而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等，
即圆心，半径，
所以圆的标准方程为：.
故答案为：
8．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 .
【答案】
【详解】由题意得，圆，化简得，
所以圆心坐标为，半径，
设圆心关于直线的对称点的坐标为
得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为，
所以所求圆的标准方程为.
故答案为：
9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）.
【答案】或或或（写出其中一个即可）
【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线，
∵圆与圆关于直线对称，∴，
∵为圆与圆的公切线，∴，∴，
由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即，
∴，且到的距离为，
∵，∴，，∴，
设其中一条公切线，则，即，
故圆与圆的公切线.
∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离，
∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点，
设与圆相切与点，则，
∵，，∴，
∵，∴轴，轴，
∴故圆与圆的公切线或.
故答案为：或或或（写出其中一个即可）.
10．（24-25高二上·广东·阶段练习）一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M.
(1)求光线从点P到点M经过的路程；
(2)求反射光线所在直线的方程.
【答案】(1)4
(2)或
【详解】（1）设点关于直线的对称点为，
则，解得，即.
又圆心，所以，
则光线从点P到点M经过的路程为.
（2）由题可知反射光线经过点，易知反射光线的斜率存在，
故设反射光线为，即.
又圆心，所以，解得或.
故反射光线所在直线的方程为或.
11．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆．
(1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程；
(2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
设点关于直线对称点，则，
解得，而圆的半径为2，
所以圆的标准方程为.
（2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为，
圆心到直线的距离，
直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为；
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，方程为，即，
所以直线l的方程为或.圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练
考点目录
公切线问题 公共弦问题
对称问题
(
考点一
公切线问题
)
1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中·多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条.
9．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 .
10．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 .
11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，.
(1)探求与是否垂直；
(2)若，判断与圆的位置关系；
(3)若，求圆与圆公切线的条数.
12．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率．
13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程.
14．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程.
(
考点二
公共弦问题
)
1．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．两圆相交 B．直线的方程为
C．两圆有两条公切线 D．线段的长为
6．（25-26高二上·云南·阶段练习·多选）已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为 D．两圆的公切线有2条
7．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
8．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
9．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆，圆．
(1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值；
(2)若圆与直线相交于两点，且，求的值．
10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值.
11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
12．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆，圆.
(1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于、两点，求.
(
考点三
对称问题
)
1．（24-25高二下·河南·阶段练习）与圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆：上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ．
8．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 .
9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）.
10．（24-25高二上·广东·阶段练习）一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M.
(1)求光线从点P到点M经过的路程；
(2)求反射光线所在直线的方程.
11．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆．
(1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程；
(2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程．
