第02讲 直线方程综合大题归类
目录
思维导图 2
高考分析 2
学习目标 3
知识要点 3
解题策略 9
题型归纳 10
题型01： 求直线方程 10
题型02：三角形中线所在直线问题 16
题型03：三角形高所对应直线方程 20
题型04：解三角形角平分线对应直线 23
题型05：距离问题 31
题型06：求三角形边对应的直线方程 33
题型07：截距与长度 35
题型08：面积最值 38
题型09：折叠问题 43
题型10：三条直线问题 46
题型11： 直线与曲线方程 48
题型12： 直线方程的应用题 49
巩固提升 51
直线方程相关内容在高考中较少以独立综合大题的形式出现，更多是作为解析几何的基础内容，融入到其他综合大题中进行考查。
考查形式与分值：直线方程相关考点单独出解答题的频率较低，一般会与圆、圆锥曲线等结合，作为综合大题中的某一问，如在求圆锥曲线的弦长、直线与圆锥曲线交点坐标等问题中，先设出直线方程再联立求解。若在综合题中涉及，分值大概占4-8分。
常见考点
1.直线方程的建立与求解：根据已知条件（如两点坐标、一点和斜率、直线所过定点及其他约束条件）选择合适的直线方程形式准确求出直线方程，这是解决后续问题的基础。
2.直线与其他图形的位置关系：与圆结合时，常考直线与圆的相交、相切问题，涉及弦长计算、切线方程求解等，需利用点到直线距离公式等；与圆锥曲线结合时，主要考查直线与圆锥曲线的交点情况，通过联立方程，利用韦达定理解决弦长、中点、定点、定值、最值等问题。
3.距离与对称问题：包括点到直线的距离、两平行直线间的距离等的计算，以及点关于直线对称、直线关于直线对称等问题，常作为解题的关键环节出现。
命题特点与趋势
1.注重基础与综合：对直线方程的基本概念、公式等基础内容要求熟练掌握，同时强调其与其他知识板块的融合，突出知识的综合性和交汇性，考查学生综合运用知识解决问题的能力。
2.难度与计算量趋于稳定：整体难度适中，一般不会出现特别复杂的直线方程推导或计算。随着高考命题对数学思维和核心素养考查的加强，更注重通性通法的应用，减少繁琐计算，强调思维的灵活性和逻辑性。
3. 数学思想渗透明显：重点渗透数形结合思想，要求学生能将直线方程的代数形式与几何图形相互转化，通过图形直观分析问题，再利用代数运算求解，同时也会涉及函数与方程、分类讨论等思想。
备考时，应熟练掌握直线方程的各类基础知识和基本方法，加强直线与圆、圆锥曲线等综合题的训练，提升分析问题和解决问题的能力，尤其要注重对数学思想方法的理解与运用。
1. 概念理解：掌握直线的倾斜角、斜率的定义及计算方法，理解直线方程与直线上点的坐标关系。
2. 方程形式：熟练掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等直线方程的推导过程、适用条件及相互转化。
3. 应用能力：能根据已知条件（如两点、一点和斜率、截距等）准确求出直线方程；能利用直线方程解决两直线的位置关系（平行、垂直）判断、交点坐标求解等问题。
4. 思想运用：体会数形结合思想，能将几何问题转化为代数问题求解，反之能用代数运算解释几何意义。
一．直线的方程五种形式的选择
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能 表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.、
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为 的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
二．中点坐标及重心坐标公式
中点坐标公式
，，为的中点，则：
三角形重心坐标公式
三．两条直线的位置关系
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，
有.
两条直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.两条直线的交点
（1）.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.
（2）.两条直线，联立方程组，
若方程组有无数组解，则重合．
或者．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有，则方程组无解，此时两直线平行；
若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
四．距离公式
1．两点间的距离公式
设两点，则.
2．点到直线的距离公式
设点，直线，则点到直线的距离
.
3．两平行线间的距离公式
设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离
.
五．对称问题
1.中点坐标公式：
2.中心对称：点A(，)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－,2n－)；曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0；特别地，点P(，)关于原点的对称点为(，)．
3.轴对称：（1）点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点(，)，满足如下关系：
4.特殊的轴对称：（i）点P(，)关于x轴、y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(，－)、(－，)、(2m－，)、(,2n－)、(，)、(－，－)、(－m，＋m)、(－＋n，－＋n)
5.曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴，y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．
（一）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
（二）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（三）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（四）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
（五）常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为 ．
点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ．
六.直线系方程的应用
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
直线方程综合性大题解题策略
1. 定方向：明确问题核心
快速拆解题目，确定核心任务，如求直线方程、判断位置关系、计算距离或与圆/圆锥曲线结合的综合问题。
识别关键条件，如定点、斜率、截距、位置关系（平行/垂直）等，关联对应的直线方程形式或公式。
2. 选形式：巧设直线方程
根据已知条件选择最优方程形式，避免漏解或复杂计算。
已知一点和斜率/倾斜角：用点斜式。
已知斜率和y轴截距：用斜截式。
已知两点坐标：用两点式或先求斜率再用点斜式。
已知x、y轴截距：用截距式（注意截距为0时不适用）。
含参数或需统一形式时：用一般式（Ax + By + C = 0）。
处理斜率不确定的情况（如直线过定点），优先设点斜式，并补充讨论斜率不存在的情形（即垂直于x轴的直线），避免丢解。
3. 联方程：解决交汇问题
当直线与圆、椭圆、抛物线等结合时，按“联立方程→消元化简→利用韦达定理/判别式”的流程解题。
1. 设出直线方程（含参数时需标注参数范围）。
2. 联立直线方程与曲线方程，消去x或y，得到一元二次方程（ax + bx + c = 0）。
3. 计算判别式Δ = b - 4ac，判断交点个数（Δ>0相交，Δ=0相切，Δ<0无交点）。
4. 若有交点，用韦达定理得x +x = -b/a、x x = c/a，为后续求弦长、中点、定点等铺垫。
4. 用公式：突破关键计算
5. 重思想：优化解题逻辑
数形结合：通过画图直观分析直线与曲线的位置关系、定点位置等，辅助确定解题思路。
分类讨论：当直线斜率是否存在、参数取值范围不确定时，需分情况讨论，确保答案全面。
函数与方程思想：将几何问题转化为代数方程问题，通过解方程或分析函数性质（如最值）求解。
6. 验结果：规避常见错误
检查直线方程形式的适用条件，如斜截式是否遗漏斜率不存在的直线。
验证联立方程消元是否正确，韦达定理应用时确保一元二次方程二次项系数不为0。
计算距离、弦长时，注意公式中符号和根号内表达式的正确性，避免计算失误。
题型01： 求直线方程
【典型例题1】.如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．
(1)当线段的中点为时，求的方程；
(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）根据题意可得的方程，再设，根据中点的坐标公式求解坐标，进而求得的斜率，再根据点斜式可得的方程；
（2）同（1）将的中点坐标代入得到，进而求得的斜率，再根据点斜式求得的方程即可.
（1）由于射线与轴正半轴的夹角分别为和，射线：．：．
设，的中点为点，由中点坐标公式求得，．
点坐标，点坐标．故的斜率为，又，：．
（2）的中点在直线上，，即，
，：．
【典型例题2】直线l经过点，
（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.
（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线方程为，由直线l经过点可得，
（1）由题可得，解得，，，
则直线方程为；
（2），，∴，
当且仅当，时面积取最小值，
则直线方程为.
【变式训练1-1】.在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.(1)求对角线所在直线方程；
(2)已知直线过点，与直线的夹角余弦值为，求直线的方程.
（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）
【答案】(1)(2)或
【解析】（1）由的中点在直线上，结合垂直关系得出对角线所在直线方程；
（2）由点在直线上，得出直线的倾斜角为或，再由点斜式写出方程.
(1)
由题意可知，的中点在直线上，
对角线所在直线方程为，即
(2)
点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为
则直线的倾斜角为或
，
当直线的倾斜角为时，，即
故直线的方程为：
当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即
【变式训练1-2】.已知直线的方程为，直线的方程为.
(1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
(2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）通过联立和的方程求得点的坐标，对直线是否过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（2）对于、的位置关系进行分类讨论，由此求得的值.
（1）
由，解得，所以点的坐标为.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.
当直线在两坐标轴上的截距均为零时，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
（2）
当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；
当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；
当直线过直线与的交点时不能构成三角形，此时，解得.
综上，或或2，故实数的取值的集合为.
【变式训练1-3】已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和.
（1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形 面积最小时直线的方程.
【答案】（1）或；（2）8
【解析】（1），定点，
直线在轴上的截距相等，
若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即，
若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即，
综上，直线的方程为或；
（2）由题可得直线斜率存在，设为，可得，
则直线l的方程为，
令，得，令，可得，
则 面积，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
三角形面积的最小值为.
【变式训练1-4】过点作直线，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为原点．
（1）若 ABO的面积为9，求直线的方程；
（2）若 ABO的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程．
【答案】（1）或；（2）8，．
【解析】（1）设，，其中，，
则由直线的截距式方程得直线的方程为．
将代人直线的方程，得．
依题意得，，即，
所以，从而，
所以，整理得：，
解得，，
因此直线的方程为或，
整理得，或．
（2）根据题意，结合（1）得：
，
当且仅当，即，时取等号，
因此直线的方程为，即．
【变式训练1-5】设直线的方程为.
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当 AOB面积最小时，求 AOB的周长及此时的直线方程；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）周长为；直线方程为；（3）.
【解析】
解：(1)由得，
则，解得，
所以不论为何值，直线必过一定点；
(2)由得，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号.
，，
AOB的周长为；
直线方程为.
(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数，
即，均为正整数，而a也为正整数，
所以直线的方程为.
【变式训练1-6】已知直线
（1）证明：直线 过定点；
（2）若直线交轴负半轴于点 ，交轴正半轴于点，为坐标原点，设 AOB 的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）见解析（2）最小值为4，直线的方程为
【解析】（1）证明：由已知得，
无论取何值，∴时， ，时，，
直线过定点．
（2）令得点坐标为
令得点坐标为
∴
当且仅当，即时取等号．
即 AOB的面积的最小值为4，此时直线的方程为．即．
题型02：三角形中线所在直线问题
【典型例题1】.已知直线，，，记．
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）在 ABC中，求边上中线长的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据对称的性质，结合互相垂直的两条直线的斜率的性质，通过解方程组、中点坐标公式进行求解即可；
（2）根据两条直线的斜率关系可以判断出 ABC是直角三角形，最后利用直角三角形的性质，结合两点间距离公式进行求解即可.
（1）当时，直线的方程为，所以直线的斜率为2，设过原点与直线垂直的直线斜率为，所以，因此直线的方程为：
，设直线与直线的交点为，所以点的坐标是方程组的解，解得：，所以点的坐标为，设原点关于直线的对称点坐标为，
所以有：，即原点关于直线的对称点坐标为；
（2）因为，
所以直线与直线互相垂直，
故 ABC是直角三角形，因此边上中线长为，
解方程组：，即，
解方程组：，即，
因此，当时，有最小值，所以边上中线长的最小值.
【典型例题2】已知 ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；
(2)求 ABC的边的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案.
（2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案.
（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，.
【变式训练2-1】在 ABC中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2)或.
【解析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程.
（2）按直线过的中点及与平行求出方程即得.
（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，
而边中线所在的直线方程为，
由，解得，则，设点，则点，
于是，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，，，
由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或，
当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，
当直线时，直线的斜率为，方程为，即，
所以直线l的方程为或.
【变式训练2-2】.在平面直角坐标系中，已知 ABC的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的一般方程；
（2）边上中线的方程为，且 ABC的面积为4，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）利用点斜式方程写出直线的方程得解；
（2）求出，由点在中线上，得①，由的面积为4得到②，解①②即得解.
（1）∵直角坐标系中，已知的三个顶点，，
∴的斜率为，采用点斜式设直线方程为，
∴边所在直线的一般方程为.
（2）由题知，中点，代入中线方程，得.
∵点在中线上，把点坐标代入①，
点到直线的距离为，，
∵ ABC的面积等于，化简得②，
联立①②，求得或，所以，点的坐标为或.
【变式训练2-3】.已知 ABC的顶点，，边上的中线的方程为，边所在直线的方程为
(1)求边所在直线的方程，化为一般式；
(2)求顶点的坐标.
【答案】(1)。(2)
【解析】（1）先由已知两点求出斜率，再利用点斜式写出直线方程，最后化为一般方程即可；
（2）点为中线和直线的交点，联立直线和直线的方程即可求解.
(1)解：由，所以
所以直线的方程为：化为一般式为：
(2)解：由题知，点为中线和直线的交点
所以联立直线和直线的方程：
解得：，所以点的坐标为：
【变式训练2-4】已知 ABC的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；
（2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值.
（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，即.
（2）由点在轴上，设，则线段的中点，
由点在直线上，得，得，即，
又点在直线上，因此，解得，
所以的值为.
题型03：三角形高所对应直线方程
【典型例题1】.在 ABC中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点坐标：
(2)求直线的方程.
【答案】(1)C(－4，－2)(2)5x－7y＋6＝0
【解析】（1）先求出AC所在的直线的方程，再求两直线的交点即可；
（2）设出B点坐标，表示出M点坐标，利用和CM所在的直线方程解出B点坐标，进而求得直线 的方程.
(1)边AC上的高BE所在的直线方程为，
故边AC所在的直线的斜率为1，
所以边AC所在的直线的方程为，即，
因为CM所在的直线方程为4x－5y＋6＝0，
由解得，所以C(－4，－2)
(2)设B(x0，y0)，M为AB中点，则M的坐标为，由，解得，
所以B（3，3），又因为C(－4，－2)，
所以直线BC的方程为，化简得5x－7y＋6＝0.
【典型例题2】.已知 ABC的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为．
(1)求顶点A的坐标；
(2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，求所在直线方程，与AD所在直线方程联立方程组求顶点A的坐标；
（2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，求出，可求直线的方程.
（1）， 所在直线方程为，即，
由，得：，所以
（2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，
即，解得：，即，
所以，即直线的方程.
【变式训练3-1】.已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；
（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；
(1)解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．
(2)设，则，解得．∴．∴．
∴直线BC的方程为，即为．
【变式训练3-2】.已知 ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.
【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为.
【解析】由边上的高所在直线的方程可求得直线的斜率，又直线AC过点，从而根据点斜式即可求解边所在直线方程；由是中线所在直线方程，设中点，则，根据点B在直线上，可得B点坐标，从而即可求解边所在直线的方程.
解：因为边上的高所在直线的方程为，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以，又直线AC过点，所以边所在直线方程为，即；
因为是中线所在直线方程，所以设中点，则，
所以，因为点B在直线上，所以，解得，
所以，因为所在的直线的斜率为，
所以边所在直线方程为，即.
【变式训练3-3】已知 ABC的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得.
（2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程.
（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，
直线方程为，即，
由，解得，
所以点的坐标是.
（2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上，
因此，解得，即得点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
题型04：解三角形角平分线对应直线
【典型例题1】已知 ABC的顶点边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.
（2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.
（1）由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点，
所以直线的方程为：，即.
（2）选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点，
由，解得，即点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
显然点在直线上，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
选②，边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，即点A坐标为，
设点，则的中点在直线上，即，
整理得，又点在直线上，即，
由，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
【典型例题2】已知 ABC的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设，由中点在上，点在直线上，联立方程求出的坐标；
（2）求出关于的对称点的坐标，即可求出直线的方程.
（1）设，顶点的坐标为，
由中点在上，
可得：，即，
又由于点在直线上，得，
联立解得，即；
（2）顶点的坐标为，
设A点关于的对称点为，
则有，解得，即，
显然点在BC边所在的直线上，且，
得直线的方程为：，
所以直线的方程为：.
【典型例题3】.已知 ABC的一个顶点，且，∠B.的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.
【答案】所在直线的方程是，所在直线的方程，所在直线的方程是.
【分析】先求得关于直线，的对称点，，由此求得直线的方程，再求得点B、C的坐标，从而求得直线AB、AC的方程.
【详解】解：记∠B的角平分线交于点，的角平分线交于点.由角平分线的性质，知点关于直线，的对称点，均在直线上.
∵直线的方程为，，则，解得，∴.
∵直线的方程为，∴同理求得，
∴直线的方程是，即，这也是所在直线的方程.
由，得，由，得，
∴所在直线的方程是，所在直线的方程是.
【变式训练4-1】.在中，已知，.
(1)若直线过点，且点A，到的距离相等，求直线的方程；
(2)若直线为角的内角平分线，求直线的方程.
【答案】(1)或(2)
【解析】（1）因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或，分直线过线段的中点和两种情况讨论即可；
（2）因为直线为角的内角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，求出点的坐标，即可求出直线方程．
(1)解：因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或，
当直线过线段的中点时，线段的中点为，的斜率，则的方程为，即，当时，的斜率，则的方程为，即，
综上：直线的方程为或；
(2)因为直线为角的内角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，
设，则有， 得，即，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即．2.
【变式训练4-2】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）利用直线的斜截式方程及两直线垂直关系，结合直线的点斜式方程及两直线相交求交点坐标的方法即可求解.
（2）利用角平分线的性质及点关于线对称，再根据（1）的结论及直线的两点式方程即可求解.
（1）由，得，所以直线的斜率为，
因为,所以，即，
所以直线的直线方程为：，即，
由，解得.
所以点的坐标为.
（2）由题意根据内角平分线的性质，可得关于直线的对称点在直线上.
设，则由和垂直，且的中点在上，
可得，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
【变式训练4-3】已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求点的坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）利用两直线的交点坐标公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解；
（2）利用点关于直线对称的坐标公式以及两直线的交点坐标公式求解.
【详解】（1）由解得,
所以点的坐标为，
又为边的中点，所以，
又边上的高所在的直线方程为，
其斜率为，所以直线的斜率为，
所以边所在的直线方程为，
即.
（2）设关于直线方程对称的点为，
则，解得，
则，
又角的平分线所在的直线方程为，
所以点在直线上，
所以直线的方程为，
即，
联立，解得，故点的坐标为.
【变式训练4-4】.已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程．
【答案】
【解析】根据斜率公式和中点坐标公式求出点关于直线的对称点为的坐标，根据对称性和直线的两点式方程求出边所在直线方程.
设点关于直线的对称点为，
直线的斜率为，于是有解方程组，得，所以点的坐标为．
点也在边所在的直线上，
所以边所在直线方程为：，化简可求得方程为.
【变式训练4-5】在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
【答案】(1)，(2)
【解析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标；
（2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程.
（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，得，故，
又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以
又
所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为，
由，得，
所以点A和点C的坐标为，；
（2）由（1）知AC所在直线方程为，
所以直线l的斜率为，
因为，所以直线l所在的方程为，即，
所以直线l的斜截式方程为.
【变式训练4-6】已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可；
（2）根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程.
（1）设，则由题意可知①，
又，所以②，
联立①②方程解得，即；
（2）
设关于直线的对称点，则有的中点在直线上，
即，解之得，
显然直线为的角平分线，即直线与重合，
则，所以直线的方程为.
题型05：距离问题
【典型例题1】已知三条直线，，，且与间的距离是．
（1）求的值．
（2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
①点在第一象限；
②点到的距离是点到的距离的；
③点到的距离与点到的距离之比是．
【解析】解：（1）将直线的方程化为，
两条平行线与间的距离，
由，解得．
（2）假设存在点，设点，．若点满足条件②，则点在与，平行的直线上，
且，解得或，
所以或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有，
即，
所以或．
由于点在第一象限，所以排除．
联立方程和，
解得（舍去）；
联立方程和，
解得，所以存在点，同时满足三个条件．
【典型例题2】.两平行直线，分别过，.
(1)，之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【解析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可；
（2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围.
(1)
当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，.
故两直线方程为或.
(2)
如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，又两平行直线，不重合，故.
【变式训练5-1】.已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．
【答案】或
【解析】根据两条平行线之间的距离及解得的线段的长度，可推测出直线与、的夹角，利用正切函数的两角和公式即可求解直线的斜率，进而得出直线方程.
两条平行线之间的距离，截得的线段长为，推得直线与、的夹角为45°．
设直线的斜率为，故解得：或则直线的方程为：或.
整理得：或.
【变式训练5-2】.已知直线与的方程分别为，，直线平行于，直线与的距离为，与的距离为，且，求直线的方程．
【答案】或
【分析】由平行关系可设且，由平行直线间距离公式可构造方程求得，由此可得直线方程.
【详解】，可设且，
由两平行直线间的距离公式得：；又，，则．
，，则，或，
解得：或，
直线的方程为或．
题型06：求三角形边对应的直线方程
【典型例题】.在等腰中，，顶点的坐标为，直角边所在的直线方程为，求边和所在的直线方程．
【答案】直线为或，直线为．
【解析】利用点斜式写出直线，根据等腰直角三角形性质，应用到角公式求的斜率为，最后由点斜式写出直线.
由题设，则，故直线为，整理得；
由为等腰三角形，若的斜率为，则，解得或，
所以直线为或，即或.
综上，直线为，直线为或.
【变式训练6-1】.已知过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR的面积的最小值．
【答案】
【解析】设l的方程，求出P、Q的坐标，得到PR和QS的方程，利用平行线间的距离公式求出|RS|，由四边形PRSQ为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形PRSQ的面积的最小值．
直线l的方程为，即
令，得，令，得
所以，．
从而PR和QS的方程分别为和，
又，所以．
由点到直线的距离公式，得，．所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形PQSR的面积的最小值为．
【变式训练6-2】.已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
【答案】(1)(2)直线的方程为：，直线的方程为：
【解析】（1）根据两点的坐标求得直线的方程.
（2）结合直线、的倾斜角和斜率，求得直线和直线的方程.
（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．
（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.
题型07：截距与长度
【典型例题1】.在平面直角坐标系中，点，，直线.
(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；
(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.
【答案】(1)最小值为，(2)最大值为，
【解析】（1）首先求出点关于的对称点为的坐标，从而得到直线的方程，再求出两直线的交点坐标，即可所求点的坐标，则的最小值为；
（2）首先求出直线的方程，求出直线与直线的交点坐标，即为，而的最大值为，即可得解.
（1）解：设点关于的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最小.
由，解得，所以，从而的最小值为.
（2）解：由题意知直线的方程为，即.
当为直线与直线的交点时，最大.
由，解得，所以，
从而的最大值为.
【典型例题2】.已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；
（2）方法一：求出直线l过点P，且原点到直线l的最大距离，进行判断；
方法二：先求出当直线的斜率不存在时，原点到直线l的距离，再求出当直线l的斜率存在时，得到相应的方程，由根的判别式进行判断.
（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的方程为，即．，根据题意，得，解得：，
所以直线的方程为．故直线的方程为或．
（2）方法一：不存在．理由如下：
若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，
此时最大距离为，
而，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，令，整理得，则，方程无解，
所以没有符合题意的直线．综上，不存在符合题意的直线．
【变式训练7-1】.一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．
(1)与直线垂直；
(2)交轴、轴的正半轴于，两点，且取得最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）先利用垂直关系求出直线的斜率，从而可求直线的方程；
（2）设直线方程为，求出的坐标后可求，利用基本不等式可求其最小值，从而可求直线方程.
（1）由于直线的斜率，所以所求直线的斜率．
故过点，斜率的直线方程为，即．
（2）设过点的直线方程为，令，得；
令，得．从而有，，所以．
当，即（舍去）时，取得最小值．
所求的直线方程为．
【变式训练7-2】．已知直线过两直线，的交点，且分别交轴、轴的正半轴于两点．
(1)若直线与垂直，求直线的方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的方程．
【答案】(1)(2)最小值为4，.
【解析】（1）联立两直线方程，求交点坐标，根据直线垂直可设直线方程，可代入点，解得答案；
（2）由题意，设直线为截距式方程，表示出点的坐标，根据题意研究所设字母的取值范围，结合两点距离公式以及基本不等式，可得答案.
【详解】（1）联立直线方程可得：，解得，则，
由直线与直线垂直，则可设方程为，
将代入，解得，则得方程为.
（2）由（1）可知，可设直线的方程为，则，，且，即，
当且仅当，即时取等号.
的最小值为4，此时直线l的截距式方程为.
【变式训练7-3】直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B．点O是坐标原点．
(1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当 最小时，求直线l的方程．
【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0
【解析】(1)如图，设＝a，＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式方程是＝1，由直线通过点(2，1)，得＝1，所以.
因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得
S＝×b＝×b＝＝b＋1＋＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＝1.
即直线l的方程为x＋2y－4＝0.
(2)如上图，设∠BAO＝θ，则＝，＝，所以 ＝·＝，
当θ＝45°时， 有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，
(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC边上高线所在的直线的方程．
(2)若直线的方程为（），且直线在轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．
(3)过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．求当取得最小值时直线的方程．
【答案】(1)；(2)或；(3).
【解析】（1）求出BC边上高线所在直线的斜率，再根据点斜式即可得解；
（2）分别求出坐标轴上的截距，再结合已知即可得解；
（3）设不妨取，，，，则，根据数量积的坐标表示结合不等式中“1”的整体代换求出最小值时的值，即可得解.
（1）解：∵，∴BC边上高线所在直线的斜率为，又高线过，
∴高线所在直线方程为，即；
（2）解：由题意直线在两轴上截距都存在，则，令得，令得，
因为直线在轴上截距是轴上截距的，若轴上截距都为0，即直线过原点时，，此时直线为；若轴上截距不为0，则，解得，此时直线为；
综上，直线方程为或；
（3）解：设不妨取，，，，过点P，所以有，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴当取得最小值时，
直线l的方程为，即．
题型08：面积最值
【典型例题1】在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）（2）12
【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则，
所以当时，取得最小值，
此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，
，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为12.
【典型例题2】.已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
【答案】(1)；(2)，直线的方程为.
【解析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.
(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.
（1）方程可化为，要使直线不经过第四象限，则，
解得，所以k的取值范围为.
（2）由题意可得，由取得，取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，此时，直线的方程为.
【变式训练8-1】.在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）先利用中点坐标公式分别求得，，再代入直线的两点式方程即可解决；
（2）先求得过点的直线斜率不存在时△OAB的面积，再求得过点的直线斜率存在时△OAB的面积的最小值，二者进行比较即可求得△OAB面积的最小值．
（1）由题意，设，，且．当AB的中点为P时，有
解得，，所以，．所以直线AB的方程为．
（2）当过点的直线斜率不存在时，，，此时．
当过点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为．
直线AB与相交，可得，
直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．由，可得或
那么．令，则，或
则，由，或，可得或，
当，即，时，即，则，
此时，符合题意．综上，．
【变式训练8-2】已知直线过点．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．
【答案】(1)或(2)4
【解析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解；
（2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可.
（1）①当直线过坐标原点，直线过点．
所以方程为，即；
②当直线不过坐标原点，，设方程为，
由直线过点，将代入方程得，解得，
所以直线的方程为，即；
综上：的方程为或.
（2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为，
令，解得；令，解得；
因为，所以，，
所以面积
，
当且仅当即时取等号，
所以面积的最小值为4.
【变式训练8-3】过点的直线
（1）求在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）分类讨论，直线过原点，直接求出斜率后得直线方程，直线不过原点时设方程为求解；
（2）设出截距式方程为，代入点的坐标，用基本不等式求得的最小值，从而得直线方程．
（1）当直线过原点时，斜率为，直线方程为；
当直线不过原点时设方程为，则，解得，直线方程为，即．
综上所求直线方程为和．
（2）设直线方程为，∵直线过点，∴，
，当且仅当，即时等号成立，∴，
，∴△AOB面积最小值为24，此时直线方程为，即
【变式训练8-4】.已知直线l的方程为.
(1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.
【答案】(1)x＋y－2＝0(2)x＋y－2＝0
【解析】（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由题意可得，解方程求出的值，再检验即可求得直线方程，（2）求出直线在上的截距，然后表示出△OMN的面积，化简变形后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线方程.
（1）令x＝0，则y＝2＋a；令y＝0，则.由题意得，解得a＝0或a＝－2.
当a＝－2时，直线l的方程为x－y＝0，此时直线与两坐标轴不能围成三角形，不满足题意；
当a＝0时，直线l的方程为x＋y－2＝0，此时直线与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，满足题意.
综上，直线l的方程为x＋y－2＝0.
（2）由直线方程可得，，因为，所以，，
所以，
当且仅当，即a＝0时，取得最小值.此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
题型09：折叠问题
【典型例题】.如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边 分别在轴 轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.
【答案】
【解析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.
当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，
所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，
故折痕所在的直线的方程.
，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，
折痕所在的直线方程为，
即，
综上所述：折痕所在的直线的方程为：.
故答案为：.
【变式训练9-1】.如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，设直线l与边OA，AB分别交于点M，N，将△AOB沿直线l折叠后，点A落在边OB上的点处．
(1)设，试用m表示点N到OB的距离；
(2)求点N到OB距离的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）建立平面直角坐标系，利用直线的方程和直线的方程求得点的横坐标，由此求得到的距离的表达式.
（2）利用换元法，结合基本不等式求得点N到OB距离的最大值.
（1）以点O为原点，边OA，OB所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，所以，因为翻折后点A与点重合，所以，
所以当m＝0时，直线MN的斜率不存在；当时，．因为的中点为，且中点在直线l上，
所以直线l的方程为或，即或．①
因为A（1，0），B（0，2），所以直线AB的方程为，即y＝－2x＋2，②
由①②解得或，即点N到OB的距离为．
（2）令t＝2m＋1，则，令，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以当时，点N到OB的距离最大，最大值为．
【变式训练9-2】.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，此时A点与D点重合，求出折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点M的坐标表示，即可得出结果；
（2）当时，折痕长为当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出结果．
（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；
当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，即，交点，
故点G的坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，
所以折痕所在的直线方程为，即，
综上所述，折痕所在的直线方程为；
（2）当时，折痕的长为2；当时，折痕所在的直线交BC于点，
交y轴于点，，
又因为，所以，所以
综上所述，折痕长的取值范围为．
题型10：三条直线问题
【典型例题】.已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)能，
【解析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.
（1）
解：因为可化为，所以与的距离为．因为，所以．
（2）
解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.
【变式训练10-1】.平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数的所有可能的取值．
【答案】、或
【解析】三条直线将平面划分为六个部分，则这三条直线有两条平行，另一条与这两条平行线相交或三条直线交于一点，然后对直线与其他直线平行或三线交于一点进行分类讨论，即可求得实数的可能取值.
解：三条直线将平面划分为六个部分，则这三条直线有两条平行，另一条与这两条平行线相交或三条直线交于一点．
当直线与直线平行时，，得．
当直线与直线平行时，，得；
当三条直线相交于同一点时，由，解得，
即直线与交于点，
直线过点时，．
综上，、或.
题型11： 直线与曲线方程
【典型例题】.已知动点P与两个顶点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点且斜率为k的直线l，交曲线C于、N两点，若，求斜率k
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）设出动点P的坐标，借助两点间距离公式列式，化简计算作答.
（2）根据给定条件写出l的方程，联立l与C的方程，借助韦达定理计算判断作答.
(1)设点，依题意，，则，化简整理得：，
所以曲线C的轨迹方程是：.
(2)依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：
，由得，
设，，则有，
，
即，整理得，解得或（舍去），
所以斜率.
【变式训练11-1】.已知曲线．
(1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形；
(2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程；
(3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)曲线C表示的是两条直线或，图形见解析；(2)直线的方程为；
(3)直线的方程为或或或.
【解析】（1）化简即得解，再作图；
（2）设直线交直线于点，求出点坐标即得解；
（3）联立直线的方程，求出点坐标，解方程即得解.
(1)解：由得或，所以曲线C表示的是两条直线或，如图所示，
(2)解：设直线交直线于点，则直线交直线于点，
所以.所以，所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.所以直线的方程为.
(3)解：联立直线方程得；
联立直线方程得.
因为，所以，化简得或.
所以或或或.
所以直线的方程为或或或.
题型12： 直线方程的应用题
【典型例题】.如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点位于点正北方向60m处，点C位于点正东方向170m处（为河岸），．
(1)求新桥的长；
(2)长的范围是多少？
【答案】(1)m(2)
【解析】（1）根据题意，以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系，进而点坐标为，，再结合题意得直线，方程，并联立得交点的坐标，最后结合距离公式求解即可；
（2）根据题意设，进而根据题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，即长的范围.
(1)解：如图，以为 轴建立直角坐标系，则， ，
由题意 ，直线方程为：．又，故直线方程为，
由，解得 ，即，所以；
(2)解：设，即，由（1）直线的一般方程为，
圆的半径为，由题意要求，
由于，因此，∴
∴ ，即长的范围是.
【变式训练12-1】.如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）
（参考数据：，，，）
【答案】需要两村共同自筹资金23900元
【解析】建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果.
建立直角坐标系如图所示，则．
由，可知，那么点A关于x轴的对称点．
连接交x轴于点C．
由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短．
∵，∴（km），
∴铺设管道所需资金为（元），
总费用（元）．
∴（元）．
答：需要两村共同自筹资金23900元．
巩固提升
1.已知直线l经过两条直线和的交点，且________，若直线m与直线l关于点对称，求直线m的方程．
试从①与直线垂直，②在y轴上的截距为，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．
【答案】答案见解析
【解析】先求出两直线的交点坐标，若选①，可设直线l的方程为，然后将交点坐标代入可求出，可得直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，若选②，则直线过点，从而可求出直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，
由，得，所以交点坐标为．
若选①，可设直线l的方程为，
将点代入可得，即．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为．
若选②，可得直线l的斜率，所以直线l的方程为．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为，即．
2.已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．
【答案】；或.
【解析】根据两直线平行的条件及两直线平行件的距离公式即可求解.
因为直线与平行，
所以，解得，，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
综上，m的值为；n的值为或.
3.在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为，斜边的中点为，求其它两边所在直线的方程.
【答案】答案见解析
【解析】先设另一条直角边所在直线方程为，利用点到两直角边的距离相等求出，再联立两直线的方程解出直角顶点的坐标，利用与直角顶点的连线与斜边垂直求斜边所在直线的斜率，代点斜式即可求得斜边所在直线的方程
如图所示，设另一条直角边所在直线方程为，即：
因为到到和的距离相等所以 解之得或
即直线的方程为或由 所以
因为，所以所以直线的方程为即：
由 所以因为，所以
所以直线的方程为即：
4.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），
(1)求AB边所在的直线方程；(2)求AB边的高所在直线方程.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由两点式可得直线AB的方程,化为一般式即可；
（2）可得直线AB的斜率,由垂直关系可得AB边高线的斜率,可得高线的点斜式方程,化为一般式即可.
（1）因为A（-1，5）、B（-2，-1），
所以由两点式方程可得，化为一般式可得：；
（2）直线AB的斜率为.所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
5.三角形的三个顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程.
（2）求边的垂直平分线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用两点求出的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率为，再由直线经过点，利用点斜式即可求解.
（2）由（1）可得垂直平分线的斜率，利用中点坐标公式求出的中点坐标，利用点斜式即可求解.
（1）边所在的直线的斜率因为边上的高与垂直，
所以边上的高所在直线的斜率为又边上的高经过点
所以边上的高所在的直线方程为即.
（2）由（1）得，边所在直线斜率所以边垂直平分线斜率为的中点坐标
所以边垂直平分线方程即
6.在中，点，边上中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求的边所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设点，根据题意点B在直线上，再求出AB的中点，进而将中点坐标代入直线上，最后解出答案；
（2）先求出点A关于直线的对称点，则点在直线BC上，进而求出直线方程.
（1）设点，则，解得，∴点.
（2）设点关于对称的点，则的中点坐标为，，于是，则，由（1），所以，
所以直线BC的方程为：，即.
7.设直线的方程为.
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若直线与轴 轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)(2)面积的最小值为，此时直线的方程为
【解析】（1）将直线化为斜截式方程，由直线不经过第二象限，列方程组解出实数的取值范围；
（2）由已知得出，代入面积公式，利用基本不等式可求出最值以及取得最值时的直线方程．
（1）直线的方程可化为，因为不过第二象限，所以，解得，从而的取值范围为
（2）直线的方程可化为，所以，从而，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最小值为，此时直线的方程为
8.将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.
(1)求直线的方程；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由对折可知中点在上且，利用点斜式即可得到直线方程；
（2）由（1）设所在直线方程为，利用点坐标解出的值，再计算点坐标即可.
（1）因为，，所以线段中点坐标为；又因为，所以由对折可得，
所以直线的方程为即.
（2）由（1）得设直线的方程为，
因为在直线上，代入解得，即直线的方程为，
设直线与直线的交点坐标为，由解得,
所以，解得，所以.
10.已知，，．
(1)若点满足，，求点的坐标；
(2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
【答案】(1)(2)90°
【解析】第（1）问中，若存在，两直线垂直，则有，两直线平行，则有,设出点的坐标，列方程即可求解.
第（2）问中，根据，可知，设点坐标列方程即可.
（1）设，由题意得，．因为，所以，
即．①又，所以，即．②由①②，得，，即．
（2）如图所示：设，因为，所以．
又，，所以，即，所以，又，所以轴，
故直线的倾斜角为90°．
11.已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、．
(1)求边的中垂线所在的直线方程和平行四边形的顶点D的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)，(2)8
【解析】（1）利用中点坐标公式，以及，结合点斜式求直线方程；（2）利用两点间距离公式和点到直线距离公式求解代入计算．
（1）如图，设边中点为E，∵、，∴
边的中垂线所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程得边的中垂线所在的直线为，即．
设边中点为M，则M点坐标为，
设点D的坐标为，由已知得M为线段的中点，有，解得，∴．
（2）由、得，直线的方程为：，
∴D到直线的距离，∴．
12.如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.
(1)求直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）根据平行四边形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；
（2）根据直线垂直的性质进行求解即可.
(1)∵四边形为平行四边形，∴.∴.
∴直线的方程为，即.
(2)∵，∴.
∴直线的方程为，即.
13.已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积.
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．
（2）由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
(1)解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，
所在直线方程为，即．
(2)解：由 解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，
，．
15.已知△ABC，，，，轴为边中线．
（1）求边所在直线方程；
（2）求内角角平分线所在直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设交轴于点，则根据条件可知为等边三角形，则，进而，由点斜式即可求解；
（2）先内角角平分线斜率的，再由点斜式即可求解
（1）因为，，设交轴于点，则根据条件可知为等边三角形，
则，为中点，则．,
故直线方程为，即，故直线方程为．
（2）因为，所以，,
所以内角角平分线斜率为，
故内角角平分线所在直线方程为．
16.已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)(2)的最小值为，此时直线的方程为
【解析】（1）分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，求出直线与两坐标轴的交点坐标，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）求出点、的坐标，求得，利用基本不等式结合三角形的面积公式可求得的最最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
（1）
解：由，
当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；
当时，在直线的方程中，令，可得y=2k+1，
令，可得，若直线不过第三象限，则，解得.综上所述，.
（2）解：由（1）可知，，
又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.
，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，此时直线的方程.
17.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程
（2）当时，求折痕长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为，即可得出．
当时，折痕长为当时，折痕所在直线交BC于，交y轴于利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．
【详解】解：（1）①当时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为．
②当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，
故点G的坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点线段OG的中点为，
故折痕所在直线的方程为，即．
综上所述，折痕所在直线的方程为．
当时，折痕的长为
当时，折痕所在的直线交直线BC于点，交y轴于点．
,,则在上，
，，的取值范围为，
故点M在线段上．，
折痕长度的最大值为
而，故折痕长度的最大值为
18.已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【答案】
【解析】设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点
求出点坐标，反解出点坐标，代入直线中即可求得的值
则直线过定点
设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点
在中令，则，即
所以，
即，将其代入直线中可得解之得
19.若点和到直线l的距离都是.
(1)根据m的不同取值，讨论满足条件的直线l有多少条？
(2)从以下三个条件中：①；②；③；选择一个条件，求出直线l的方程.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】（1）总有两条的平行线满足到的距离为，求出，再分，，讨论与相交的直线中满足条件的即可；
（2）分别设出与平行和相交的直线，利用不同的值及点到直线的距离解方程求出直线方程即可.
（1）
如图：，为的垂直平分线.由知不论为多少，总有两条的平行线满足到的距离为；易知，
当时，由图知还存在两条经过中点且与相交的直线满足到的距离为，如图中，故满足条件的共有4条直线；
当时，由图知还存在一条与相交的直线满足到的距离为，如图中，故满足条件的共有3条直线；
当时，由图知不存在与相交的直线满足到的距离为，故满足条件的共有2条直线；
综上：当时，满足条件的共有4条直线；当时，满足条件的共有3条直线；当时，满足条件的共有2条直线；
（2）
若选①：由（1）知存在4条直线，存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；存在两条与相交的直线满足条件，且经过中点，即，当斜率不存在时，直线为，到直线的距离为2，满足条件，当斜率存在时，设直线为，即，故，解得，直线方程为，故直线l的方程为或或或；
若选②：由（1）知存在2条直线，即存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或； 故直线l的方程为或；
若选③：由（1）知存在3条直线，存在两条与平行的直线满足条件，由，设，即，故，解得或，故直线为或；存在一条与相交的直线满足条件，即的垂直平分线，又中点为，即，故的垂直平分线为，即，故直线l的方程为或或.
20.正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
(1)求正方形中心所在的直线方程；
(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）利用中心到直线、的距离相等，且所在直线与平行可得；
（2）求出平行直线与间的距离即正方形边长，设出直线（也是直线）方程为，由中心到直线的距离可把用表示，利用点所在直线方程，表示为的函数，由正方形边所在直线方程求得顶点（）坐标，由顶点在第一象限得不等关系，从而可求得的范围．
（1）由于正方形中心所在直线平行于直线，设中心所在直线为，由平行线间的距离公式得，解得．则正方形中心所在的直线方程为；
（2）正方形的边长即为平行直线与间的距离，设正方形所在直线方程为，由于中心到的距离均等于，那么，解得 ①，又因为在直线上，那么，即 ②，把②代入①得 ③，联立方程，解得，由于正方形只有两个点在第一象限，那么，就是，解得 ④，把③代入④得到，解得．故的取值范围为．
21.已知△ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；
（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；
(1)解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．
(2)设，则，解得．∴．∴．
∴直线BC的方程为，即为．
22.已知△ABC的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为
②BC边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC的方程．
【答案】(1)；
(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为.
【解析】（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；
（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；
若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方程.
（1）
解：因为AB边上的高所在的直线方程为，所以直线AB的斜率为，
又因为的顶点，所以直线AB的方程为：，
所以直线AB的方程为： ；
（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为，
由，解得，
所以点，
设点B关于的对称点，则，解得，所以，
又点在直线AC上，所以，所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为；若选②：BC边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，设点，则BC的中点在直线上，所以，即，所以点C在直线上，
又点C在直线上，由解得，即，
所以，所以直线AC的方程为，所以直线AC的方程为.
23.已知△ABC的内角平分线CD的方程为，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）直接利用点到直线的距离公式，求得点A到直线CD的距离．
（2）先求得A关于直线CD的对称点A′，再根据A′在直线BC上，求出BC的方程，将直线CD和直线BC联立方程组，求得C的坐标．
（1）点到直线的距离；
（2）依题意，点关于直线的对称点在边上，设.则，解得，
即.∴直线的方程为.
联立直线与的方程，解得点的坐标为.
24.已知直线均过点P(1，2).
(1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程；
(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）易得 ，由，得到，写出直线的方程；
（2）由直线的方程，分别令，，得到直线与坐标轴的交点，同理得到直线与x的交点，再转化为三角形面积求解.
(1)解：因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)，所以 ，因为，
所以，则直线的方程，即；
(2)如图所示：
由题意得：直线的方程为：，令，得，即，
令，得，即直线与x轴的交点为，直线又过点，
所以直线的方程为：，即，
令，得，即，
所以，
，，因为，所以当时， PNOM面积的最小值为.
25.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求 AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
【答案】(1)6，(2)
【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程；
（2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程．
（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，∴直线l的斜率，
则设直线l的方程为，，
令，得；令，得．∴．
∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴面积的最小值为6．
此时直线l的方程为，即．
（2）设，，，．
∵A，P，B三点共线，∴，整理得，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．
26.将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.
（1）求直线的方程；
（2）求的值；
（3）直线上是否存在一点，使得存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值，
【分析】（1）设线段的中点为,则点,且,即可求出直线的方程；
（2）求出直线的方程,可得直线与直线的交点坐标,即可求的值；
（3）假设直线上存在点,利用,得出结论.
【详解】解：（1）设线段的中点为,则点,且
则直线的方程为.
（2）设直线的方程为.
∵在直线上,∴,则直线的方程为.
设直线与直线的交点为,.则,∴.
（3）假设直线上存在点,∵.
当且仅当三点共线时,等号成立.直线的方程为.
∴,∴第02讲 直线方程综合大题归类
目录
思维导图 2
高考分析 2
学习目标 3
知识要点 3
解题策略 9
题型归纳 10
题型01： 求直线方程 10
题型02：三角形中线所在直线问题 13
题型03：三角形高所对应直线方程 15
题型04：解三角形角平分线对应直线 16
题型05：距离问题 20
题型06：求三角形边对应的直线方程 22
题型07：截距与长度 22
题型08：面积最值 24
题型09：折叠问题 27
题型10：三条直线问题 28
题型11： 直线与曲线方程 29
题型12： 直线方程的应用题 30
巩固提升 31
直线方程相关内容在高考中较少以独立综合大题的形式出现，更多是作为解析几何的基础内容，融入到其他综合大题中进行考查。
考查形式与分值：直线方程相关考点单独出解答题的频率较低，一般会与圆、圆锥曲线等结合，作为综合大题中的某一问，如在求圆锥曲线的弦长、直线与圆锥曲线交点坐标等问题中，先设出直线方程再联立求解。若在综合题中涉及，分值大概占4-8分。
常见考点
1.直线方程的建立与求解：根据已知条件（如两点坐标、一点和斜率、直线所过定点及其他约束条件）选择合适的直线方程形式准确求出直线方程，这是解决后续问题的基础。
2.直线与其他图形的位置关系：与圆结合时，常考直线与圆的相交、相切问题，涉及弦长计算、切线方程求解等，需利用点到直线距离公式等；与圆锥曲线结合时，主要考查直线与圆锥曲线的交点情况，通过联立方程，利用韦达定理解决弦长、中点、定点、定值、最值等问题。
3.距离与对称问题：包括点到直线的距离、两平行直线间的距离等的计算，以及点关于直线对称、直线关于直线对称等问题，常作为解题的关键环节出现。
命题特点与趋势
1.注重基础与综合：对直线方程的基本概念、公式等基础内容要求熟练掌握，同时强调其与其他知识板块的融合，突出知识的综合性和交汇性，考查学生综合运用知识解决问题的能力。
2.难度与计算量趋于稳定：整体难度适中，一般不会出现特别复杂的直线方程推导或计算。随着高考命题对数学思维和核心素养考查的加强，更注重通性通法的应用，减少繁琐计算，强调思维的灵活性和逻辑性。
3. 数学思想渗透明显：重点渗透数形结合思想，要求学生能将直线方程的代数形式与几何图形相互转化，通过图形直观分析问题，再利用代数运算求解，同时也会涉及函数与方程、分类讨论等思想。
备考时，应熟练掌握直线方程的各类基础知识和基本方法，加强直线与圆、圆锥曲线等综合题的训练，提升分析问题和解决问题的能力，尤其要注重对数学思想方法的理解与运用。
1. 概念理解：掌握直线的倾斜角、斜率的定义及计算方法，理解直线方程与直线上点的坐标关系。
2. 方程形式：熟练掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等直线方程的推导过程、适用条件及相互转化。
3. 应用能力：能根据已知条件（如两点、一点和斜率、截距等）准确求出直线方程；能利用直线方程解决两直线的位置关系（平行、垂直）判断、交点坐标求解等问题。
4. 思想运用：体会数形结合思想，能将几何问题转化为代数问题求解，反之能用代数运算解释几何意义。
一．直线的方程五种形式的选择
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能 表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.、
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为 的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
二．中点坐标及重心坐标公式
中点坐标公式
，，为的中点，则：
三角形重心坐标公式
三．两条直线的位置关系
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，
有.
两条直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.两条直线的交点
（1）.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.
（2）.两条直线，联立方程组，
若方程组有无数组解，则重合．
或者．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有，则方程组无解，此时两直线平行；
若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
四．距离公式
1．两点间的距离公式
设两点，则.
2．点到直线的距离公式
设点，直线，则点到直线的距离
.
3．两平行线间的距离公式
设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离
.
五．对称问题
1.中点坐标公式：
2.中心对称：点A(，)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－,2n－)；曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0；特别地，点P(，)关于原点的对称点为(，)．
3.轴对称：（1）点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点(，)，满足如下关系：
4.特殊的轴对称：（i）点P(，)关于x轴、y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(，－)、(－，)、(2m－，)、(,2n－)、(，)、(－，－)、(－m，＋m)、(－＋n，－＋n)
5.曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴，y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．
（一）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
（二）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（三）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（四）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
（五）常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为 ．
点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ．
六.直线系方程的应用
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
直线方程综合性大题解题策略
1. 定方向：明确问题核心
快速拆解题目，确定核心任务，如求直线方程、判断位置关系、计算距离或与圆/圆锥曲线结合的综合问题。
识别关键条件，如定点、斜率、截距、位置关系（平行/垂直）等，关联对应的直线方程形式或公式。
2. 选形式：巧设直线方程
根据已知条件选择最优方程形式，避免漏解或复杂计算。
已知一点和斜率/倾斜角：用点斜式。
已知斜率和y轴截距：用斜截式。
已知两点坐标：用两点式或先求斜率再用点斜式。
已知x、y轴截距：用截距式（注意截距为0时不适用）。
含参数或需统一形式时：用一般式（Ax + By + C = 0）。
处理斜率不确定的情况（如直线过定点），优先设点斜式，并补充讨论斜率不存在的情形（即垂直于x轴的直线），避免丢解。
3. 联方程：解决交汇问题
当直线与圆、椭圆、抛物线等结合时，按“联立方程→消元化简→利用韦达定理/判别式”的流程解题。
1. 设出直线方程（含参数时需标注参数范围）。
2. 联立直线方程与曲线方程，消去x或y，得到一元二次方程（ax + bx + c = 0）。
3. 计算判别式Δ = b - 4ac，判断交点个数（Δ>0相交，Δ=0相切，Δ<0无交点）。
4. 若有交点，用韦达定理得x +x = -b/a、x x = c/a，为后续求弦长、中点、定点等铺垫。
4. 用公式：突破关键计算
5. 重思想：优化解题逻辑
数形结合：通过画图直观分析直线与曲线的位置关系、定点位置等，辅助确定解题思路。
分类讨论：当直线斜率是否存在、参数取值范围不确定时，需分情况讨论，确保答案全面。
函数与方程思想：将几何问题转化为代数方程问题，通过解方程或分析函数性质（如最值）求解。
6. 验结果：规避常见错误
检查直线方程形式的适用条件，如斜截式是否遗漏斜率不存在的直线。
验证联立方程消元是否正确，韦达定理应用时确保一元二次方程二次项系数不为0。
计算距离、弦长时，注意公式中符号和根号内表达式的正确性，避免计算失误。
题型01： 求直线方程
【典型例题1】.如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．
(1)当线段的中点为时，求的方程；
(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）根据题意可得的方程，再设，根据中点的坐标公式求解坐标，进而求得的斜率，再根据点斜式可得的方程；
（2）同（1）将的中点坐标代入得到，进而求得的斜率，再根据点斜式求得的方程即可.
（1）由于射线与轴正半轴的夹角分别为和，射线：．：．
设，的中点为点，由中点坐标公式求得，．
点坐标，点坐标．故的斜率为，又，：．
（2）的中点在直线上，，即，
，：．
【典型例题2】直线l经过点，
（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.
（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线方程为，由直线l经过点可得，
（1）由题可得，解得，，，
则直线方程为；
（2），，∴，
当且仅当，时面积取最小值，
则直线方程为.
【变式训练1-1】.在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.(1)求对角线所在直线方程；
(2)已知直线过点，与直线的夹角余弦值为，求直线的方程.
（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）
【变式训练1-2】.已知直线的方程为，直线的方程为.
(1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
(2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.
【变式训练1-3】已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和.
（1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形 面积最小时直线的方程.
【变式训练1-4】过点作直线，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为原点．
（1）若 ABO的面积为9，求直线的方程；
（2）若 ABO的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程．
【变式训练1-5】设直线的方程为.
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当 AOB面积最小时，求 AOB的周长及此时的直线方程；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.
【变式训练1-6】已知直线
（1）证明：直线 过定点；
（2）若直线交轴负半轴于点 ，交轴正半轴于点，为坐标原点，设 AOB 的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
题型02：三角形中线所在直线问题
【典型例题1】.已知直线，，，记．
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）在 ABC中，求边上中线长的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据对称的性质，结合互相垂直的两条直线的斜率的性质，通过解方程组、中点坐标公式进行求解即可；
（2）根据两条直线的斜率关系可以判断出 ABC是直角三角形，最后利用直角三角形的性质，结合两点间距离公式进行求解即可.
（1）当时，直线的方程为，所以直线的斜率为2，设过原点与直线垂直的直线斜率为，所以，因此直线的方程为：
，设直线与直线的交点为，所以点的坐标是方程组的解，解得：，所以点的坐标为，设原点关于直线的对称点坐标为，
所以有：，即原点关于直线的对称点坐标为；
（2）因为，
所以直线与直线互相垂直，
故 ABC是直角三角形，因此边上中线长为，
解方程组：，即，
解方程组：，即，
因此，当时，有最小值，所以边上中线长的最小值.
【典型例题2】已知 ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；
(2)求 ABC的边的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案.
（2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案.
（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，.
【变式训练2-1】在 ABC中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【变式训练2-2】.在平面直角坐标系中，已知 ABC的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的一般方程；
（2）边上中线的方程为，且 ABC的面积为4，求点的坐标.
【变式训练2-3】.已知 ABC的顶点，，边上的中线的方程为，边所在直线的方程为
(1)求边所在直线的方程，化为一般式；
(2)求顶点的坐标.
【变式训练2-4】已知 ABC的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.
题型03：三角形高所对应直线方程
【典型例题1】.在 ABC中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点坐标：
(2)求直线的方程.
【答案】(1)C(－4，－2)(2)5x－7y＋6＝0
【解析】（1）先求出AC所在的直线的方程，再求两直线的交点即可；
（2）设出B点坐标，表示出M点坐标，利用和CM所在的直线方程解出B点坐标，进而求得直线 的方程.
(1)边AC上的高BE所在的直线方程为，
故边AC所在的直线的斜率为1，
所以边AC所在的直线的方程为，即，
因为CM所在的直线方程为4x－5y＋6＝0，
由解得，所以C(－4，－2)
(2)设B(x0，y0)，M为AB中点，则M的坐标为，由，解得，
所以B（3，3），又因为C(－4，－2)，
所以直线BC的方程为，化简得5x－7y＋6＝0.
【典型例题2】.已知 ABC的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为．
(1)求顶点A的坐标；
(2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，求所在直线方程，与AD所在直线方程联立方程组求顶点A的坐标；
（2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，求出，可求直线的方程.
（1）， 所在直线方程为，即，
由，得：，所以
（2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程，
即，解得：，即，
所以，即直线的方程.
【变式训练3-1】.已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
【变式训练3-2】.已知 ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.
【变式训练3-3】已知 ABC的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程．
题型04：解三角形角平分线对应直线
【典型例题1】已知 ABC的顶点边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.
（2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.
（1）由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点，
所以直线的方程为：，即.
（2）选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点，
由，解得，即点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
显然点在直线上，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
选②，边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，即点A坐标为，
设点，则的中点在直线上，即，
整理得，又点在直线上，即，
由，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
【典型例题2】已知 ABC的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设，由中点在上，点在直线上，联立方程求出的坐标；
（2）求出关于的对称点的坐标，即可求出直线的方程.
（1）设，顶点的坐标为，
由中点在上，
可得：，即，
又由于点在直线上，得，
联立解得，即；
（2）顶点的坐标为，
设A点关于的对称点为，
则有，解得，即，
显然点在BC边所在的直线上，且，
得直线的方程为：，
所以直线的方程为：.
【典型例题3】.已知 ABC的一个顶点，且，∠B.的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.
【答案】所在直线的方程是，所在直线的方程，所在直线的方程是.
【分析】先求得关于直线，的对称点，，由此求得直线的方程，再求得点B、C的坐标，从而求得直线AB、AC的方程.
【详解】解：记∠B的角平分线交于点，的角平分线交于点.由角平分线的性质，知点关于直线，的对称点，均在直线上.
∵直线的方程为，，则，解得，∴.
∵直线的方程为，∴同理求得，
∴直线的方程是，即，这也是所在直线的方程.
由，得，由，得，
∴所在直线的方程是，所在直线的方程是.
【变式训练4-1】.在中，已知，.
(1)若直线过点，且点A，到的距离相等，求直线的方程；
(2)若直线为角的内角平分线，求直线的方程.
【变式训练4-2】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【变式训练4-3】已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求点的坐标.
【变式训练4-4】.已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程．
【变式训练4-5】在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
【变式训练4-6】已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
题型05：距离问题
【典型例题1】已知三条直线，，，且与间的距离是．
（1）求的值．
（2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
①点在第一象限；
②点到的距离是点到的距离的；
③点到的距离与点到的距离之比是．
【解析】解：（1）将直线的方程化为，
两条平行线与间的距离，
由，解得．
（2）假设存在点，设点，．若点满足条件②，则点在与，平行的直线上，
且，解得或，
所以或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有，
即，
所以或．
由于点在第一象限，所以排除．
联立方程和，
解得（舍去）；
联立方程和，
解得，所以存在点，同时满足三个条件．
【典型例题2】.两平行直线，分别过，.
(1)，之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【解析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可；
（2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围.
(1)
当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，.
故两直线方程为或.
(2)
如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，又两平行直线，不重合，故.
【变式训练5-1】.已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．
【变式训练5-2】.已知直线与的方程分别为，，直线平行于，直线与的距离为，与的距离为，且，求直线的方程．
题型06：求三角形边对应的直线方程
【典型例题】.在等腰中，，顶点的坐标为，直角边所在的直线方程为，求边和所在的直线方程．
【答案】直线为或，直线为．
【解析】利用点斜式写出直线，根据等腰直角三角形性质，应用到角公式求的斜率为，最后由点斜式写出直线.
由题设，则，故直线为，整理得；
由为等腰三角形，若的斜率为，则，解得或，
所以直线为或，即或.
综上，直线为，直线为或.
【变式训练6-1】.已知过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR的面积的最小值．
【变式训练6-2】.已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
题型07：截距与长度
【典型例题1】.在平面直角坐标系中，点，，直线.
(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；
(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.
【答案】(1)最小值为，(2)最大值为，
【解析】（1）首先求出点关于的对称点为的坐标，从而得到直线的方程，再求出两直线的交点坐标，即可所求点的坐标，则的最小值为；
（2）首先求出直线的方程，求出直线与直线的交点坐标，即为，而的最大值为，即可得解.
（1）解：设点关于的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最小.
由，解得，所以，从而的最小值为.
（2）解：由题意知直线的方程为，即.
当为直线与直线的交点时，最大.
由，解得，所以，
从而的最大值为.
【典型例题2】.已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；
（2）方法一：求出直线l过点P，且原点到直线l的最大距离，进行判断；
方法二：先求出当直线的斜率不存在时，原点到直线l的距离，再求出当直线l的斜率存在时，得到相应的方程，由根的判别式进行判断.
（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的方程为，即．，根据题意，得，解得：，
所以直线的方程为．故直线的方程为或．
（2）方法一：不存在．理由如下：
若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，
此时最大距离为，
而，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，令，整理得，则，方程无解，
所以没有符合题意的直线．综上，不存在符合题意的直线．
【变式训练7-1】.一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．
(1)与直线垂直；
(2)交轴、轴的正半轴于，两点，且取得最小值．
【变式训练7-2】．已知直线过两直线，的交点，且分别交轴、轴的正半轴于两点．
(1)若直线与垂直，求直线的方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的方程．
【变式训练7-3】直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B．点O是坐标原点．
(1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当 最小时，求直线l的方程．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，
(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC边上高线所在的直线的方程．
(2)若直线的方程为（），且直线在轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．
(3)过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．求当取得最小值时直线的方程．
题型08：面积最值
【典型例题1】在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）（2）12
【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则，
所以当时，取得最小值，
此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，
，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为12.
【典型例题2】.已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
【答案】(1)；(2)，直线的方程为.
【解析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.
(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.
（1）方程可化为，要使直线不经过第四象限，则，
解得，所以k的取值范围为.
（2）由题意可得，由取得，取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，此时，直线的方程为.
【变式训练8-1】.在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
【变式训练8-2】已知直线过点．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．
【变式训练8-3】过点的直线
（1）求在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
【变式训练8-4】.已知直线l的方程为.
(1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.
题型09：折叠问题
【典型例题】.如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边 分别在轴 轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.
【答案】
【解析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.
当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，
所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，
故折痕所在的直线的方程.
，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，
折痕所在的直线方程为，
即，
综上所述：折痕所在的直线的方程为：.
故答案为：.
【变式训练9-1】.如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，设直线l与边OA，AB分别交于点M，N，将△AOB沿直线l折叠后，点A落在边OB上的点处．
(1)设，试用m表示点N到OB的距离；
(2)求点N到OB距离的最大值．
【变式训练9-2】.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
题型10：三条直线问题
【典型例题】.已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)能，
【解析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.
（1）
解：因为可化为，所以与的距离为．因为，所以．
（2）
解：设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点.
【变式训练10-1】.平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数的所有可能的取值．
题型11： 直线与曲线方程
【典型例题】.已知动点P与两个顶点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点且斜率为k的直线l，交曲线C于、N两点，若，求斜率k
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）设出动点P的坐标，借助两点间距离公式列式，化简计算作答.
（2）根据给定条件写出l的方程，联立l与C的方程，借助韦达定理计算判断作答.
(1)设点，依题意，，则，化简整理得：，
所以曲线C的轨迹方程是：.
(2)依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：
，由得，
设，，则有，
，
即，整理得，解得或（舍去），
所以斜率.
【变式训练11-1】.已知曲线．
(1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形；
(2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程；
(3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程．
题型12： 直线方程的应用题
【典型例题】.如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点位于点正北方向60m处，点C位于点正东方向170m处（为河岸），．
(1)求新桥的长；
(2)长的范围是多少？
【答案】(1)m(2)
【解析】（1）根据题意，以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系，进而点坐标为，，再结合题意得直线，方程，并联立得交点的坐标，最后结合距离公式求解即可；
（2）根据题意设，进而根据题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，即长的范围.
(1)解：如图，以为 轴建立直角坐标系，则， ，
由题意 ，直线方程为：．又，故直线方程为，
由，解得 ，即，所以；
(2)解：设，即，由（1）直线的一般方程为，
圆的半径为，由题意要求，
由于，因此，∴
∴ ，即长的范围是.
【变式训练12-1】.如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）
（参考数据：，，，）
巩固提升
1.已知直线l经过两条直线和的交点，且________，若直线m与直线l关于点对称，求直线m的方程．
试从①与直线垂直，②在y轴上的截距为，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．
2.已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．
3.在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为，斜边的中点为，求其它两边所在直线的方程.
4.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），
(1)求AB边所在的直线方程；(2)求AB边的高所在直线方程.
5.三角形的三个顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程.
（2）求边的垂直平分线的方程.
6.在中，点，边上中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求的边所在直线的方程.
7.设直线的方程为.
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若直线与轴 轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
8.将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.
(1)求直线的方程；
(2)求的值.
10.已知，，．
(1)若点满足，，求点的坐标；
(2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
11.已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、．
(1)求边的中垂线所在的直线方程和平行四边形的顶点D的坐标；
(2)求的面积．
12.如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.
(1)求直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
13.已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积.
15.已知△ABC，，，，轴为边中线．
（1）求边所在直线方程；
（2）求内角角平分线所在直线方程．
16.已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
17.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程
（2）当时，求折痕长的最大值．
18.已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
19.若点和到直线l的距离都是.
(1)根据m的不同取值，讨论满足条件的直线l有多少条？
(2)从以下三个条件中：①；②；③；选择一个条件，求出直线l的方程.
20.正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
(1)求正方形中心所在的直线方程；
(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．
21.已知△ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线BC的方程．
22.已知△ABC的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为
②BC边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC的方程．
23.已知△ABC的内角平分线CD的方程为，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
24.已知直线均过点P(1，2).
(1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程；
(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.
25.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求 AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
26.将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.
（1）求直线的方程；
（2）求的值；
（3）直线上是否存在一点，使得存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点的坐标；如果不存在，请说明理由.
