直线与圆、圆与圆的位置关系 专项训练（含解析）-2026届高三数学一轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单项选择题
1.若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
A. B.-
C.1 D.-1
2.若圆C1:x2+y2=16与圆C2:(x-a)2+y2=1相切,则a的值为(　　)
A.±3
B.±5
C.3或5
D.±3或±5
3.已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为(　　)
A.(2-,2+)
B.(2-,2)
C.(-15,+∞)
D.(-15,-6)
4.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
5.若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为(　　)
A. B.π
C.2π D.3π
6.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)
A. B.
C. D.
7.已知点A(4,0),圆C:(x-a)2+(y-a)2=1,若圆C上存在点P使得PA=3,则实数a的最小值是(　　)
A.-1 B.1 C.0 D.2
8.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.2x+y+1=0
二、多项选择题
9.已知圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,则下列命题正确的是(　　)
A.圆心坐标为(2,1)
B.直线l:x+y-1=0与圆C相交所得的弦长为8
C.圆C与圆O:x2+y2=8有三条公切线
D.圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为,则b=3或-5
10.已知动点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1和C2:(x-3)2+(y-4)2=3上,动点P在x轴上,则(　　)
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2相离
C.|PM|+|PN|的最小值为2
D.过点P作圆C1的切线,则切线长最短为
11.已知直线l:(m-1)x-2my+m+1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=9交于A,B两点,线段AB的中点为M,则(　　)
A.直线l恒过定点(1,1)
B.|AB|的最小值为
C.△OAB面积的最大值为2
D.点M的轨迹所包围的图形面积为π
三、填空题
12.若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=　　　　　.
13.若一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为　　　　　.
14.过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆O的切线,切点分别为A,B,我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦,其所在直线方程为x0x+y0y=r2.现过点P(1,3)作圆O:x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为　　　　　;若点Q是直线l:x-y-4=0上的动点,过点Q作圆O:x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线恒过定点　　　　　.
四、解答题
15.(15分)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)如图1,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,求母球A的球心运动的直线方程;
图1
(2)如图2,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),让母球A击打目标球B后,能否使目标球B向C(8,-4)处运动
图2
答案
1.A　圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,∴a=,故选A.
2.D　圆C1与圆C2的圆心距为d==|a|.当两圆外切时,有|a|=4+1=5,∴a=±5;当两圆内切时,有|a|=4-1=3,∴a=±3.
3.D　圆心(1,-1),半径r=,2-a>0,所以a<2,圆心到直线x+y-4=0的距离d==2,且d4.B　化简圆M:x2+(y-a)2=a2,可得M(0,a),r1=a,则M到直线x+y=0的距离d=,则+2=a2,即a=2,所以M(0,2),r1=2.又N(1,1),r2=1,则|MN|=,所以|r1-r2|<|MN|<|r1+r2|,所以两圆相交.
5.B　直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,则当x-1=0且y-1=0,即x=1且y=1时,等式恒成立,所以直线恒过定点M(1,1),设圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2=2=2,此时弦AB所对的圆心角为,所以劣弧AB的长为2=π.
6.B　由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=
综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为故选B.
7.C　根据题意,点A(4,0),若PA=3,则点P的轨迹是以A为圆心,3为半径的圆,设该圆为圆A,圆C:(x-a)2+(y-a)2=1,若圆C上存在点P使得PA=3,则圆C与圆A有公共点,则24,解得0≤a≤4,即a的取值范围为[0,4],故a的最小值为0.
8.D　由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.因为S四边形PAMB=|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2,所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=x+,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=,在Rt△APM中,|AP|==1.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
9.ABD　对于A中,由圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,可化为(x-2)2+(y-1)2=18,可得圆心C(2,1),半径为r=3,所以A正确;对于B中,由圆心C(2,1)到直线l:x+y-1=0的距离为d=,则相交弦长为2=2=8,所以B正确;对于C中,由圆O:x2+y2=8,可得圆心O(0,0),半径r1=2,可得|OC|=,且r-r1=,r+r1=5,则r-r1<|OC|10.BD　圆C1的圆心C1(1,2),半径r1=1,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=,对于A项,圆C2的半径为,A错误;对于B项,|C1C2|=2>1+,圆C1和圆C2相离,B正确;对于C项,圆C1关于x轴对称的圆为C0:(x-1)2+(y+2)2=1,C0(1,-2),连接C0C2交x轴于点P1,连接P1C1,由圆的性质得|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-=|PC0|+|PC2|-1-|C0C2|-1-=2-1-,当且仅当点P与P1重合,且M,N是线段P1C1,P1C2分别与圆C1和圆C2的交点时取等号,C错误;对于D项,设点P(t,0),过点P的圆C1的切线长|PA|=,当且仅当t=1,即P(1,0)时取等号,D正确.
11.AD　对于A选项,直线方程可化为l:m(x-2y+1)+(1-x)=0,即直线l恒过定点P(1,1),故A正确;对于B,设弦心距为d,结合A可知d,|AB|=22,当OP⊥l时取等号,故B错误;对于C,△OAB的面积S=|AB|·d=d,当d=时,Smax=,故C错误;对于D,由MO⊥MP,得M的轨迹为以OP=为直径的圆,所以r=,则此圆的面积为
12.2　圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为,圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为,由勾股定理可得=3,因为m>0,解得m=2.
13.-或-　点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A'(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),化为kx-y-2k-3=0,因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以圆心(-3,2)到直线的距离d==1,化为24k2+50k+24=0,所以k=-或k=-
14.x+3y-4=0　(1,-1)　根据题意,圆O:x2+y2=4中,由r2=4,点P(1,3)在圆O外,过点P(1,3)作圆O:x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为x+3y-4=0.设Q的坐标为(m,n),则m-n-4=0,即m=n+4,过点Q作圆O:x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为mx+ny-4=0,又由m=n+4,则将直线AB的方程变形可得n(x+y)+4x-4=0,则有解得则直线AB恒过定点(1,-1).
15.解 (1)点B(4,0),C(8,-4)所在的直线方程为x+y-4=0,如图,可知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,设A,B两球碰撞时,球A的球心坐标为A'(a,b),此时|A'B|=2,则解得a=4-,b=,即A,B两球碰撞时,球A的球心坐标为A'(4-),所以母球A的球心运动的直线方程为y=x,即y=x.
(2)假设能使目标球B向C(8,-4)处运动,则由(1)知球A需运动到A'(4-)处,且到达A'处前不与目标球B接触.如图,设AA'与x轴的交点为D.
因为A'B的斜率为-1,所以∠A'BD=45°.因为AA'的斜率为>1,所以∠A'DB>45°.所以∠DA'B为锐角.过点B作BE⊥AA'于点E,因为|A'B|=2,所以|BE|<2,所以球A的球心还未到直线BC上时,就会与目标球B接触,所以不能使目标球B向C(8,-4)处运动.