直线与圆锥曲线的位置关系 专项训练（含解析）-2026届高三数学一轮复习

直线与圆锥曲线的位置关系
一、单项选择题
1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　)
A.1 B.2
C.2 D.4
2.已知直线l:y=kx+1,椭圆C:+y2=1,则“k=0”是“l与C相切”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.点F1(-2,0),F2(2,0)为等轴双曲线C的焦点,过F2作x轴的垂线与C的两渐近线分别交于A,B两点,则△AOB的面积为(　　)
A.2 B.4
C.4 D.8
4.椭圆=1上的两点A,B关于直线2x-2y-3=0对称,则弦AB的中点坐标为(　　)
A.(-1,) B.(,-1)
C.(,2) D.(2,)
5.已知直线l与椭圆+x2=1在第四象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于C,D两点,若|AC|=|BD|,则l的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
6.已知椭圆=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的弦的中点所在的直线方程为(　　)
A.y=x B.y=-2x
C.y=-x D.y=2x
7.若直线l:y=kx+2与曲线C:x2-y2=6(x>0)交于不同的两点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-) B.(0,)
C.(-,0) D.(-,-1)
二、多项选择题
8.设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
9.设A,B两点的坐标分别为(-3,0),(3,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为,则下列说法中正确的是(　　)
A.M的轨迹方程为=1
B.M的轨迹与椭圆=1共焦点
C.2x-3y=0是M的轨迹的一条渐近线
D.过N(0,2)能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点
10.已知点A(2,1),B(0,2),曲线C上存在M点,满足|MA|=|MB|,则曲线C可以是(　　)
A.=1 B.=1
C.x2=2y D.(x+1)2+y2=4
11.已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　)
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
12.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则(　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
三、填空题
13.过抛物线y2=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,若AB中点的横坐标为4,则|AB|=　　　　　.
14.不与x轴重合的直线l过点N(xN,0)(xN≠0),双曲线C:=1(a>0,b>0)上存在两点A,B关于l对称,AB中点M的横坐标为xM.若xN=4xM,则C的离心率为　　　　.
15.已知直线l与椭圆=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则直线l的方程为　　　　　　　　.
四、解答题
16.(15分)已知椭圆方程C:=1(a>b>0),焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过(0,t)(t>)的直线l与椭圆交于点A,B,C(0,1),连接AC交椭圆于D.
(1)求椭圆方程和离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t.
17.(15分)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:=1(a>b>0)上两点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程.
18.(15分)已知点A(2,1)在双曲线C:=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积.
19.(17分)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求C的方程;
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.
答案
1.B　抛物线的焦点坐标为(,0),其到直线x-y+1=0的距离为d=,解得p=2(p=-6舍去).故选B.
2.C　当k=0时,直线l:y=1,直线与椭圆相切,当“l与C相切”时,联立有(4k2+1)x2+8kx=0,令Δ=(8k)2-4×(4k2+1)×0=0,有k=0,所以k=0是直线与椭圆相切的充要条件.
3.B　设双曲线C为=1,因为c=2=,解得a2=2,所以双曲线C为=1,则双曲线C的渐近线为y=±x,所以解得A(2,2),则B(2,-2),所以△AOB为等腰直角三角形,所以△AOB的面积为|AB|·|OF2|=4×2=4.
4.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则2x0-2y0-3=0,由点A,B在椭圆上得两式相减得=0,整理得=-=-,由kAB=-1,∴-1=-,即x0=4y0,将x0=4y0代入2x0-2y0-3=0,解得x0=2,y0=,所以M(2,).
5.C　由|AC|=|BD|可得线段AB的中点,也是线段CD的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点坐标为M(x0,y0),则C(2x0,0),D(0,2y0),所以又点A,B在椭圆上,所以两式相减可得=0,=-3,所以=-3,所以kAB=-3,即kAB=-3.又因为A,B,C,D四点共线,所以kAB=kCD==-,综上可得kAB=±,由A,B在第四象限得kAB>0,即kAB=,所以直线的倾斜角为
6.C　设斜率为的平行直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),且中点为M(x,y),可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.由两式相减得=0,整理得=-=-,可得y=-x,即这些直线被椭圆截得的弦的中点所在的直线方程为y=-x.
7.D　联立方程组整理得(k2-1)x2+4kx+10=0,设方程(k2-1)x2+4kx+10=0的两根为x1,x2,因为直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则满足解得k<-1,
由解得-8.AC　对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确;对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确;对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确;对于D,因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC.
9.BC　对于A选项,设点M(x,y),x≠±3,则kMA=,kMB=,所以,化简得=1,所以点M的轨迹方程为=1(x≠±3).故A错误;对于B选项,由A选项,点M的轨迹的焦点为(±,0)与椭圆=1共焦点,故B正确;对于C选项,点M的轨迹对应曲线=1(x≠±3)的渐近线为2x±3y=0,故C正确;对于D选项,点N(0,2)在y轴上,设P(-3,0),Q(3,0),则kPN=,kNQ=-,所以直线PN,NQ与渐近线平行,但点P,Q不在点M的轨迹上,故过点N(0,2)只能作点M的轨迹的两条切线,故D错误.
10.ACD　由A(2,1),B(0,2),可得kAB==-,AB中点坐标为(1,),又由|MA|=|MB|,可得M点在直线y=2(x-1)+=2x-上.选项A,由整理得19x2-8x-11=0,则Δ=(-8)2-4×19×(-11)>0,则直线y=2x-与椭圆=1有公共点,则椭圆=1上存在M点满足|MA|=|MB|,判断正确;选项B,由整理得13x2-8x+13=0,则Δ=(-8)2-4×13×13=-612<0,则直线y=2x-与双曲线=1没有公共点,则双曲线=1上不存在M点满足|MA|=|MB|,判断错误;选项C,由整理得x2-4x+1=0,则Δ=(-4)2-4×1×1=12>0,则直线y=2x-与抛物线x2=2y有公共点,则抛物线x2=2y上存在M点满足|MA|=|MB|,判断正确;选项D,圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,由<2,可得直线y=2x-与圆(x+1)2+y2=4相交,则圆(x+1)2+y2=4上存在M点满足|MA|=|MB|,判断正确.
11.BCD　∵点A(1,1)在抛物线C上,∴1=2p,∴p=,∴抛物线C的方程为x2=y.∴抛物线C的准线为y=-,故A错误;∵点A(1,1),B(0,-1),∴直线AB的方程为y=2x-1,联立抛物线C与直线AB的方程,得消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确;由题意可得,直线PQ的斜率存在,则可设直线PQ的方程为y=kx-1,联立直线PQ与抛物线C的方程,得消去y整理得x2-kx+1=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1,又|OP|=,|OQ|=,∴|OP|·|OQ|==|k|>2=|OA|2,故C正确;∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.故选BCD.
12.ABC　因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,故A正确;
设M(x0,y0),由M在抛物线C上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+=|OF|,故B正确;因为以M(x0,y0)为圆心且过F的圆的半径为|MF|=x0+2,等于点M到抛物线C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,故C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,=tan 60°=,且=8x0,不妨令y0>0,所以-8y0-16=0,解得y0=4(负值舍去).所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,故D错误.故选ABC.
13.12　设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设有=4,由抛物线的焦半径公式有|AB|=(x1+2)+(x2+2)=2+4=2×4+4=12.
14.2　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),则两式相减得,即,即所以kOMkAB==e2-1,因为l是AB的垂直平分线,有klkAB=-1,所以kOM=(1-e2)kl,即=(1-e2),化简得xN=e2xM,故e=2.
15.x+y-2=0　取AB的中点E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),可有
由①-②,得=0.
即=-=-
即=-,即直线OE与直线AB的斜率之积为-(O为坐标原点).设直线AB:y=kx+m,k<0,m>0.令x=0,得y=m,即N(0,m),令y=0,得x=-,即M(-,0).所以E所以k=-k2=-,k=-因为|MN|=2,所以m2+2m2=12,m=2.所以直线AB:y=-x+2,即x+y-2=0.
16.解 (1)如图,∵四边形B1F1B2F2为边长为2的正方形,∴b=c=,∴a2=4,∴椭圆方程为=1,e=
(2)若AD的斜率不存在,则易知B,D两点重合,不符合题意.若AD的斜率存在,设AD:y=kx+1,代入x2+2y2=4,消去y,整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ显然大于0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则
由于kBD=0,∴B,D关于y轴对称,B(-x2,y2),∴kAB=,∴lAB:y-y1=(x-x1),令x=0,得y==2.
∵2>,∴t=2.
17.解 (1)将点A(0,3),P(3,)的坐标分别代入椭圆C:=1(a>b>0)的方程,得得a2=12,b2=9,所以a=2,c2=a2-b2=12-9=3,所以c=,所以离心率e=
(2)当直线l的斜率不存在时,方程为x=3,且|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,知此时S△ABP为9,不满足条件.故直线PB的斜率存在,设直线l的方程为y-=k(x-3),P(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0,依题意得Δ>0,且所以|PB|==12又点A到直线PB的距离d=,所以S△APB=|PB|·d=9,解得k=或k=,经检验均符合题意.所以直线PB的方程为y=x或y=x-3.
18.解 (1)∵点A(2,1)在双曲线C:=1(a>1)上,=1,解得a2=2.∴双曲线的标准方程为-y2=1.
易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0,∴Δ>0,x1+x2=,x1x2=
设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ,则kAP+kAQ==0,
∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,∴(kx1+m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2)=0,整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.
∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,∴k=-1,即直线l的斜率为-1.
(2)由(1)知,直线l的方程为y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,则=12m2-4,∴|PQ|==4,点A(2,1)到直线l的距离d=
∴△PAQ的面积S△PAQ=d·|PQ|=|3-m|
由tan∠PAQ=2得cos∠PAQ=,sin∠PAQ=
S△PAQ=|PA||QA|sin∠PAQ=|PA||QA|,
|PA|·|QA|=|3-m|
在△PAQ中,由余弦定理得cos∠PAQ=,
∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(x1-2)2+(y1-1)2+(x2-2)2+(y2-1)2-(x1-x2)2-(y1-y2)2=2m2-12m+18=|PA||QA|.
∴m2-6m+9=|3-m|,
∴|m-3|=或m-3=0,
即m=或m=3(舍去,若m=3,
则点A在直线PQ上).
∴S△PAQ=
19.(1)解 因为椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1.又因为椭圆C的离心率为,得a=2,所以b2=3.所以椭圆C的方程为=1.
(2)证明 由M0(1,4),F1(-1,0)得,直线M0F1的斜率为k=2,线段M0F1的中点坐标为(0,2),所以线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2.
联立垂直平分线方程和椭圆方程得x2-2x+1=0,因为Δ=4-4=0,所以直线与椭圆相切,解得x=1,y=,即线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点(1,).
(3)解 (方法1)设M(x0,y0).
当y0=0时,线段F1M的垂直平分线方程为x=,此时=±2,解得x0=5或x0=-3;
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线方程为y=-(x-)+=-x+,
联立
得3x2+4[x+x2]=12,即[3+]x2-x+-12=0.
因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,所以Δ=-4[3+][-12]=0,即-12-=0,
则+(2-14)-18-32x0-15=0,即+(2-14)(x0+3)(x0-5)=0,
+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0,即(+2x0+1)(-2x0-15)=0.
因为+2x0+1=>0,所以-2x0-15=0,而(5,0),(-3,0)也满足该式,故点M的轨迹是圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.
(方法2)设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P,
则当点P不在椭圆长轴时,线段F1M的垂直平分线l即为C在点P处的切线,也为∠F1PM的平分线,
作∠F1PF2的平分线PH,根据椭圆的性质易知PH⊥l,所以∠F1PE+∠F1PH=90°,则∠F2PH+∠EPM=90°,故∠F2PF1+∠F1PM=180°,所以M,P,F2三点共线,所以|MF2|=|MP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=4.
当点P在椭圆长轴上时,点M的坐标为(5,0)或(-3,0),也满足|MF2|=4,故点M的轨迹是以F2为圆心,4为半径的圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16.