3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选修一
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选修一 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 111.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-20 18:28:02 | ||
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文档简介
《双曲线及其标准方程》教学设计
课 名 《双曲线及其标准方程》 教 师
学科（版本） 选择性必修第一册 章 节 第三章第2节
教材内容分析 本课选自《普通高中课程标准实验教科书数学》（人教版），第三章第2节.本节课是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程.本节课是学习双曲线的性质及其应用的基础.因此本节内容在双曲线的学习中起到了承上启下的重要作用.
教学目标 1：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法. 2：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法. 3情感目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的对比，使学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法. 核心素养目标：数学抽象、数学运算、逻辑推理
学习者分析 学生已经感受了研究椭圆的过程：经历椭圆的概念的形成、椭圆标准方程的推导，利用方程分析椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系的研究等一系列的学习过程.因此，在学习双曲线时可用类比的方法，得到双曲线的定义、标准方程等，引导学生注意二者的区别.
教学重点难点以及措施 教学重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程措施：学生动手实践和多媒体动画双重演示拉链生成双曲线的过程，增加直观性，加深学生对双曲线特征的理解，有利于学生抽象概括出双曲线的定义.运用类比的方法研究双曲线的定义及标准方程.教学难点：推导双曲线的标准方程措施：复习椭圆标准方程的推导过程，用类比的方法获得.
教学设计的基本思路 学生在以前椭圆的学习中，已经知道了椭圆的定义、标准方程及推导过程，在教学中让学生经历自主学习、合作探究学习、实际应用举例等过程，通过自主学习得出双曲线的定义、标准方程，最后再进行简单应用，使学生感受数学源于生活、用于生活的思想，体验数学知识的应用价值.
教法设计 启发式讲解 互动式讨论 借助多媒体课件展示
学法指导 观察分析 自主学习 互动讨论 讲练结合
教学手段 多媒体网络计算机，Powerpoint,拉锁，图钉，小黑板
教学过程分析
教学环节 教学内容 活动设计 活动目标 多媒体的使用情况
创设情景激发兴趣 (1分钟)（导） 复习椭圆的定义；引出双曲线的定义. 教师提问①：椭圆的定义中的“和”改为“差”，轨迹又是什么曲线呢？教师提问②：这个常数与两定点间的距离之间的大小又有什么具体的要求呢？ 一方面复习椭圆的定义，另一方面通过设问进入双曲线的定义的探求，同时让学生感知二者的联系. 1、回顾并引出课题2、运用ppt展现两个问题
问题引导自主学习(6分钟)（思）合作探究加深认识(7分钟)（议） 1.双曲线的定义: （） （1）定义的挖掘①差的绝对值；②③若轨迹为的中垂线；轨迹为两条射线；轨迹不存在. 1、两位学生合作在黑板上演示拉链生成双曲线的过程；之后教师通过多媒体动画演示双曲线的形成过程；2.四人一小组进行讨论，小组代表展示讨论结果；3.学生尝试概括双曲线的定义，教师板书双曲线的定义.活动任务：（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？然后让学生带着问题进行合作探究，教师可适当引导，对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导. 感受双曲线的形成过程，理解双曲线的定义.活动①加深学生对双曲线定义的理解，同时指明了其不同于椭圆的特征 .活动②培养学生的思维能力和合作意识 运用多媒体播放拉链生成双曲线的动画，增加了直观性，加深学习对定义的理解.运用ppt展现要求，让学生自主思考和探究几何画板演示三种特殊轨迹
合作探究加深认识(9分钟)（议） 2.标准方程的推导 建系，设点，列式，化简，结论. 难点突破：(1)回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；(2)类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；(3)换元处理与椭圆有没有区别？(4)猜证双曲线焦点在 轴上的标准方程.然后让学生独立完成推导过程. 引导学生像研究椭圆一样，尝试自主完成双曲线标准方程的推导.培养学生的迁移能力、运算能力. 应用多媒体的放映功能和ppt的动画功能展示相关内容.
合作探究加深认识(3分钟)（议） 3.方程的对比 （焦点在轴位置上） （焦点在轴位置上） 引导学生进行以下两组对比：（1）双曲线方程的两种形式的对比；（如何根据标准方程判断焦点位置？）（2）椭圆方程与双曲线方程的对比；（看是平方差还是平方和）另外，（3）椭圆方程和双曲线方程中a、b、c它的区别. 对比后，学生可初步的分清四个标准方程及两种曲线中a、b、c的关系. 鼓励学生展现成果，并合作探讨研究.
解决问题得出结论（15分钟）展评练 4.应用举例例1.写出下列双曲线的焦点坐标.例2.双曲线的两个焦点坐标为，且过点的双曲线的标准方程.方法1：待定系数法方法2：定义法 教师要求学生自主完成相关习题.学生认真完成相应的巩固训练，提升理解力.教师提问：求双曲线的标准方程有哪些方法？（1）定义法（2）待定系数法当堂训练：教材121页 练习：1 通过相应的训练，考察学生对知识的掌握程度，对于学生存在的问题及时加以纠正. 利用PPT展示例1、例2解题方法小结.
课堂小结(3分钟) 课堂小结：（一）知识层面：一个定义，两个方程（二）思想方法：数形结合、类比（三）核心素养：数学抽象数学运算逻辑推理 在教师的鼓励下，学生回答问题：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）求双曲线的标准方程时应注意什么？（3）双曲线与椭圆都有哪些区别？区别：定义式、如何判断焦点的位置，以及a、b、c之间关系. 对本节课所学内容进行回忆，培养学生的概括和表达能力；让学生弄清椭圆与双曲线的区别. 通过相关ppt的放映，展现本节核心教学内容，
作业布置(1分钟) 作业：教材P127 习题 3.2 1、2、3 教师活动：布置任务学生活动：标记任务 通过作业了解学生知识的掌握情况，为教学做好反馈. 展现ppt的放映功能，展现任务的布置.
教学反思 本节是一节新授课，把重点放在学生探究上，把学习的主动权交给了学生，注重师生互动和学生练习.还借助了多媒体播放拉链生成双曲线的视频，使得学习内容直观、生动，抓住解析几何的核心—数形结合.本节课利用多媒体展示了双曲线的形成过程，让双曲线更形象，更让学生可以接受.结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论. 课堂中可以看得出学生的运算能力还需加强，特别是对于一些较繁式子化简望而生畏、束手无策，今后在教学中还要加强对学生这方面的训练和指导.
板书设计：
3.1 双曲线及其标准方程
一、双曲线的定义: 三、例题
例1
（） 例2
二、双曲线的标准方程 四、课堂小结：
1. 椭圆与双曲线对照
（焦点在轴位置上） ① 定义
2. ② 标准方程
（焦点在轴位置上） ③的关系
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课 名 《双曲线及其标准方程》 教 师
学科（版本） 选择性必修第一册 章 节 第三章第2节
教材内容分析 本课选自《普通高中课程标准实验教科书数学》（人教版），第三章第2节.本节课是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程.本节课是学习双曲线的性质及其应用的基础.因此本节内容在双曲线的学习中起到了承上启下的重要作用.
教学目标 1：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法. 2：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法. 3情感目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的对比，使学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法. 核心素养目标：数学抽象、数学运算、逻辑推理
学习者分析 学生已经感受了研究椭圆的过程：经历椭圆的概念的形成、椭圆标准方程的推导，利用方程分析椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系的研究等一系列的学习过程.因此，在学习双曲线时可用类比的方法，得到双曲线的定义、标准方程等，引导学生注意二者的区别.
教学重点难点以及措施 教学重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程措施：学生动手实践和多媒体动画双重演示拉链生成双曲线的过程，增加直观性，加深学生对双曲线特征的理解，有利于学生抽象概括出双曲线的定义.运用类比的方法研究双曲线的定义及标准方程.教学难点：推导双曲线的标准方程措施：复习椭圆标准方程的推导过程，用类比的方法获得.
教学设计的基本思路 学生在以前椭圆的学习中，已经知道了椭圆的定义、标准方程及推导过程，在教学中让学生经历自主学习、合作探究学习、实际应用举例等过程，通过自主学习得出双曲线的定义、标准方程，最后再进行简单应用，使学生感受数学源于生活、用于生活的思想，体验数学知识的应用价值.
教法设计 启发式讲解 互动式讨论 借助多媒体课件展示
学法指导 观察分析 自主学习 互动讨论 讲练结合
教学手段 多媒体网络计算机，Powerpoint,拉锁，图钉，小黑板
教学过程分析
教学环节 教学内容 活动设计 活动目标 多媒体的使用情况
创设情景激发兴趣 (1分钟)（导） 复习椭圆的定义；引出双曲线的定义. 教师提问①：椭圆的定义中的“和”改为“差”，轨迹又是什么曲线呢？教师提问②：这个常数与两定点间的距离之间的大小又有什么具体的要求呢？ 一方面复习椭圆的定义，另一方面通过设问进入双曲线的定义的探求，同时让学生感知二者的联系. 1、回顾并引出课题2、运用ppt展现两个问题
问题引导自主学习(6分钟)（思）合作探究加深认识(7分钟)（议） 1.双曲线的定义: （） （1）定义的挖掘①差的绝对值；②③若轨迹为的中垂线；轨迹为两条射线；轨迹不存在. 1、两位学生合作在黑板上演示拉链生成双曲线的过程；之后教师通过多媒体动画演示双曲线的形成过程；2.四人一小组进行讨论，小组代表展示讨论结果；3.学生尝试概括双曲线的定义，教师板书双曲线的定义.活动任务：（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？然后让学生带着问题进行合作探究，教师可适当引导，对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导. 感受双曲线的形成过程，理解双曲线的定义.活动①加深学生对双曲线定义的理解，同时指明了其不同于椭圆的特征 .活动②培养学生的思维能力和合作意识 运用多媒体播放拉链生成双曲线的动画，增加了直观性，加深学习对定义的理解.运用ppt展现要求，让学生自主思考和探究几何画板演示三种特殊轨迹
合作探究加深认识(9分钟)（议） 2.标准方程的推导 建系，设点，列式，化简，结论. 难点突破：(1)回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；(2)类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；(3)换元处理与椭圆有没有区别？(4)猜证双曲线焦点在 轴上的标准方程.然后让学生独立完成推导过程. 引导学生像研究椭圆一样，尝试自主完成双曲线标准方程的推导.培养学生的迁移能力、运算能力. 应用多媒体的放映功能和ppt的动画功能展示相关内容.
合作探究加深认识(3分钟)（议） 3.方程的对比 （焦点在轴位置上） （焦点在轴位置上） 引导学生进行以下两组对比：（1）双曲线方程的两种形式的对比；（如何根据标准方程判断焦点位置？）（2）椭圆方程与双曲线方程的对比；（看是平方差还是平方和）另外，（3）椭圆方程和双曲线方程中a、b、c它的区别. 对比后，学生可初步的分清四个标准方程及两种曲线中a、b、c的关系. 鼓励学生展现成果，并合作探讨研究.
解决问题得出结论（15分钟）展评练 4.应用举例例1.写出下列双曲线的焦点坐标.例2.双曲线的两个焦点坐标为，且过点的双曲线的标准方程.方法1：待定系数法方法2：定义法 教师要求学生自主完成相关习题.学生认真完成相应的巩固训练，提升理解力.教师提问：求双曲线的标准方程有哪些方法？（1）定义法（2）待定系数法当堂训练：教材121页 练习：1 通过相应的训练，考察学生对知识的掌握程度，对于学生存在的问题及时加以纠正. 利用PPT展示例1、例2解题方法小结.
课堂小结(3分钟) 课堂小结：（一）知识层面：一个定义，两个方程（二）思想方法：数形结合、类比（三）核心素养：数学抽象数学运算逻辑推理 在教师的鼓励下，学生回答问题：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）求双曲线的标准方程时应注意什么？（3）双曲线与椭圆都有哪些区别？区别：定义式、如何判断焦点的位置，以及a、b、c之间关系. 对本节课所学内容进行回忆，培养学生的概括和表达能力；让学生弄清椭圆与双曲线的区别. 通过相关ppt的放映，展现本节核心教学内容，
作业布置(1分钟) 作业：教材P127 习题 3.2 1、2、3 教师活动：布置任务学生活动：标记任务 通过作业了解学生知识的掌握情况，为教学做好反馈. 展现ppt的放映功能，展现任务的布置.
教学反思 本节是一节新授课，把重点放在学生探究上，把学习的主动权交给了学生，注重师生互动和学生练习.还借助了多媒体播放拉链生成双曲线的视频，使得学习内容直观、生动，抓住解析几何的核心—数形结合.本节课利用多媒体展示了双曲线的形成过程，让双曲线更形象，更让学生可以接受.结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论. 课堂中可以看得出学生的运算能力还需加强，特别是对于一些较繁式子化简望而生畏、束手无策，今后在教学中还要加强对学生这方面的训练和指导.
板书设计：
3.1 双曲线及其标准方程
一、双曲线的定义: 三、例题
例1
（） 例2
二、双曲线的标准方程 四、课堂小结：
1. 椭圆与双曲线对照
（焦点在轴位置上） ① 定义
2. ② 标准方程
（焦点在轴位置上） ③的关系
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