2025-2026学年第一学期10月份教学质量监测高二年级数学试题（含解析）

2025-2026学年第一学期10月份教学质量监测高二年级数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，的下四分位数为( )
A. B. C. D.
2.设，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.某公司在职员工有人，其中销售人员有人，研发人员有人，现采用分层随机抽样的方法抽取人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量，，则在上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知组数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数与方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.已知和是随机试验中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是( )
A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组数，，，，，，，，，，则( )
A. 平均数为 B. 标准差为 C. 众数为 D. 分位数为
10.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则
C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则
11.如图，在平行六面体中，，，底面为菱形，，与，所成的角均为( )
A. B. 四边形为矩形
C. D. 如果，那么点在平面内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中的单位向量，，，其两两夹角均为，则 ．
13.如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率 ．
14.将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分已知空间中三点，，，设，．
若，且，求向量
已知向量与互相垂直，求的值
若点在平面内，求的值．
16.本小题分如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，，若，，．
试用，，表示向量；
若，，，求的长．
17.本小题5分某中学地理组教师团队研发了听歌曲学地理校本课程并对高一年级共名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数整理后得到如图所示的频率分布直方图．
求的值
样本成绩的中位数结果精确到小数点后位
若测验成绩不低于分的同学被定义为“地理爱好者”，试估计全年级“地理爱好者”的人数．
18.本小题分某省实行“”高考模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩未赋分进行分析，其频率分布直方图如下图：

求图中的值；
从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率；
用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上含等级？结果保留整数
19.本小题分第届亚运会已于年月日至月日在我国杭州举行，为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛，已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至多有人通过初赛的概率
求这人都参加市知识竞赛的概率
某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元，求三人奖金总额为元的概率．
2025-2026学年第一学期10月份教学质量监测高二年级数学试题
答案和解析
1.【答案】
【解答】
解：因为
所以这组数据的下四分位数为第个数据，即
故选A．
2.【答案】
【解答】
解：因为， ，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
所以，
故选D．
3.【答案】
【解答】
解：由题意可得被抽到的研发人员有人，
销售人员有人，
则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多．
4.【答案】
【解答】
解：空间向量，，
，
，
，
在上的投影向量坐标是
．
故选：．
5.【答案】
【解答】
解：根据题意，数据，，，的平均数为，方差为，
则数据，，，的平均数，
其方差．
故选C．
6.【答案】
解：因为为的重心，
所以．
因为为的中点，
所以．
故选C．
7.【答案】
【解答】
解：因为二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面内，，，
所以，，，
又
所以
．
所以的长为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件、互斥事件，属于中档题．
根据公式可判断
由可判断
由公式先求，然后根据可判断
根据可知可知，然后判断，是否相等可判断．
【解答】
解：由题知，，因为，故A错误；
因为，发生时一定发生，故B错误；
因为，所以，
又，所以，故C正确；
因为，所以，由，，故D错误．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数，方差、标准差，百分位数，属于中档题．
根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：对于，由平均数的计算公式，可得，故 A正确；
对于，由方差的公式，可得，
所以标准差为，故 B错误；
对于，由众数的定义，可得数据的众数为和，故C错误；
对于，将数据从小到大排序得，，，，，，，，，，
又，所以第百分位数是第个数据即，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本体考查了互斥事件，独立事件以及并事件的概率公式，属于基础题．
利用互斥事件的概率公式可判断选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断选项；利用独立事件的概念可判断选项；由交事件的定义可判断选项．
【解答】
解：选项A与互斥，则选项A不正确．
选项B与相互独立，，从而选项B正确，
选项C选项C正确．
选项D发生时一定发生，则，选项D不正确
11.【答案】
【解析】解：选项A，在平行六面体中，
，故A正确；
选项B，设，
因为，
，
又，与，所成的角均为，
所以，又为中点，则，
又，，，平面，
所以平面，
由于平面，故BD，
由于，则，
所以四边形为矩形，故B正确；
选项C，在平行六面体中，，
，
因为四边形为菱形，，所以，
所以，即是等腰三角形，
所以，即，故C错误；
选项D，若，由于，
所以，，，四点共面，故点在平面内，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量模长公式、数量积的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用向量模长公式，结合数量积的性质计算即可．
【解答】
解：空间中的单位向量，，，其两两夹角均为，
，，
，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
根据相互独立事件的乘法公式计算即可．
【解答】
解：该电路正常工作则正常，且与至少一个正常工作，
正常工作的概率为，
与均不能正常工作的概率为，
故B与至少一个正常工作的概率为
故该电路正常工作的概率为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．
首先求出所有的基本事件的种数，再从中找到本数学书相邻的种数，最后根据古典概率公式计算即可．
【解答】
解：本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有种结果，
其中本数学书相邻的有数学，数学，语文，数学，数学，语文，
语文，数学，数学，语文，数学，数学共种，
故本数学书相邻的概率．
故答案为：．
15.【答案】解：易知，因为，所以，又，故，即，所以或．
易知，，因为与互相垂直，所以，即，故，所以．
因为点在平面内，所以存在，使得，
又，所以解得故．

【解析】本题考查空间向量的坐标计算，属于中档题根据共线，垂直向量，四点共面的向量关系逐一判定即可；
16.【答案】解：由图知
．
由题设条件
，
，．
【解析】本题考查空间向量的线性运算与数量积运算，属于中档题．
由图知，再用表示出来即可．
求的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得的长．
17.【答案】解：由题意得，
解得．
，
中位数在这一组．
设中位数的估计值为，
则，解得，
即样本成绩的中位数约为；
全年级“地理爱好者”约有人．
【解析】本题考查了频率分布直方图、中位数，是基础题．
由频率和为，可得的值；
由频率分布直方图和中位数的定义可得结果；
由频率分布直方图可得结果．
18.【答案】解：，
；
原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为，原始分在的人数为，记为，
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个样本点，
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个样本点，
人均在的概率；
由题意知：等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上含等级，
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上含等级．

【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型及其概率公式，考查分层随机抽样及中位数，属于中档题．
利用频率和为可构造方程求得的值；
根据分层抽样原则可确定分数在和的人数，采用列举法得到样本空间和满足题意的样本点个数，由古典概型概率公式可求得结果；
分析可知所求为样本数据的中位数，根据频率分布直方图估计中位数的方法即可求得结果．
19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，
所以这人中至多有人通过初赛的概率为；
甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以，这人都参加市知识竞赛的概率为；
设“甲、乙、丙三人获得奖金之和为元”为事件，
则三人奖金总额为元的概率
．
【解析】本题考查对立事件的概率公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
求出人全通过初赛的概率，利用对立事件的概率公式即可求解
分别求出甲乙丙参加市知识竞赛的概率，由独立事件的概率公式即可求解
设“甲、乙、丙三人获得奖金之和为元”为事件，利用对立事件和相互独立事件的概率公式即可求解．
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