山东省德州市部分学校2025-2026学年高二上学期数学联考试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.
【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率，
又因为倾斜角，且，所以.
故选：C
2．在空间直角坐标系中，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，又，所以，解得，
故选：A.
3．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】A
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可.
【详解】如图所示：
由题意得，所求直线的斜率满足或，
即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是
故选：A.
4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用空间基底表示向量
【分析】由空间向量基本定理求解即可.
【详解】解：由，点为的中点，
可得，
又，．
故选：C.
5．向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【知识点】直线方向向量的概念及辨析（平面中））、求投影向量
【分析】设直线的方向向量，求出两个向量在直线上的投影向量，由题意可得，的关系，进而求出直线的斜率.
【详解】因为在直线l方向向量上的投影向量一定共线，
设l的方向向量为，则，
即，
整理可得：，所以，直线斜率为－1．
故选：B．
6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】由斜率的定义及正切函数的图像和性质即可求得.
【详解】设直线的倾斜角为，则
当斜率时，由斜率的定义及正切函数的图像和性质可知：
直线的倾斜角的取值范围为.
故选：D
7．在四棱锥中，底面为矩形，平面，，且与底面所成的角为，则点B到直线的距离为（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，求得，，利用点到直线的距离的向量公式求解即可求得点到直线的距离.
【详解】因为平面，所以为与平面所成的角，
所以，所以．
以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，
所以点到直线的距离为．
故选：B.
8．正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、空间向量数量积的应用
【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.
【详解】因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点Q，连接OQ，
如图，以O为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为M是棱上一动点，设，且，
所以，则，
因为，且所以在直角三角形中可得：
即，于是令，
所以，，又符合函数为增增符合，所以在上为增函数，
所以当时，，即线段MN长度的最小值为，
当时，，即线段MN长度的最大值为，
故选：B.
【点睛】关键点睛：1.找到，再利用函数单调性求出最值.
2.建系，设出动点，利用空间向量法求出，再结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化
【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：．
【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况：
直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：，
化简得：．
直线过且经过中点，因为中点，
所以直线方程：．
综上所述：直线方程为： 和．
故选:AD．
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．已知，，则在上的投影向量为
【答案】ABD
【知识点】判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析、求投影向量
【分析】对于，由数量积的定义即可判断，对于，根据空间向量的共面定理及推论，对于，根据投影向量的计算公式可判断.
【详解】对于，，可得，正确；
对于，对于空间中任意一点，由，
因为，所以四点共面，正确；
对于，由，可知共面，错误；
对于，因为向量，，可得，
所以在上的投影向量为，正确；
故选：.
11．正方体中，，，分别为，的中点，点满足，，则错误的有（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积与点的位置有关
C．的最小值为
D．当时，平面截正方体的截面形状为六边形
【答案】BCD
【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面平行、证明线面垂直
【分析】A选项以点为原点建系，求证，；B选项求证平面；C选项利用坐标计算得可得当时，有最小值；D选项举反例，点为与交点，判断此时的截面形状即可.
【详解】对于A中，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
则，，，
所以，，所以，，
因为且，平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，因为正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，因为，
因为平面，平面，所以平面，
所以棱上的所有点到平面的距离都相等，
又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误；
对于C中，由，，，则，
因为，，所以，
则，，
可得
，
当时，有最小值，最小值为，所以C错误；
对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图所示
过点作，可得，可得，所以，
即，此时平面截正方体的截面为四边形，所以D不正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则的值为 .
【答案】
【知识点】直线的一般式方程及辨析
【分析】根据给定条件，列出方程求解并验证即得.
【详解】由直线的斜率为1，得，解得，
所以的值为.
故答案为：
13．空间四边形中，，，，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用
【分析】利用，，，，以及两个向量的数量积的定义化简的值．
【详解】解：，，，，
故答案为：
14．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为 ．
【答案】/
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量与立体几何综合
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度.
【详解】取中点N，中点O，连接，
因为平面平面，，平面平面，平面
所以平面，
由题意可得两两垂直，
以O为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，令,
则
由，可得，
则，整理得，
则M点在底面内的轨迹为线段，
所以轨迹的端点的坐标为
则M点在底面内的轨迹长度为
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】用向量解决线段的长度问题、异面直线夹角的向量求法
【分析】（1）以为原点建系，根据公式计算即可；
（2）计算的坐标，利用向量的模的计算公式.
【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
得，
则，
，，
所以，
所以与所成角余弦值为；
（2）由（1）知，故.
16．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为，E为BC边的中点，且AE所在的直线方程为
(1)求顶点A的坐标；
(2)求过E点且与x轴、y轴截距相等的直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【分析】（1）由垂直关系求直线AB的方程，再联立AE所在的直线求交点坐标即可.
（2）设则，由点在相关直线上，将坐标代入直线方程求出的坐标，讨论直线l是否经过原点，求直线方程即可.
【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，即，
直线AB的方程：，化为：，
联立，解得，，
；
（2）设，则，联立，解得，，
，由直线l与x轴、y轴截距相等，
①当直线l经过原点时，设直线l为：，把E代入可得：，则，
直线l的方程为：；
②当直线l不经过原点时，设直线l为：，把E代入可得：，
直线l的方程为：
综上，所求直线l的方程为或
17．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且．
(1)求二面角的大小；
(2)直线到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点为靠近的三等分点处，使得.
【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可.
（2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可.
（3）设，再利用求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为垂直于底面，，所以垂直于底面，
又因为为等边三角形，为中点，所以.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，即.
又因为平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
因为二面角的平面角为为锐角，
所以，即.
（2）因为，所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，，
所以平面，
即直线到平面的距离等于点到平面的距离.
，设直线到平面的距离为，
则.
（3）设，，，，
因为，所以，解得.
即.
因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得.
18．如图，在水平桌面上放置一块边长为的正方形薄木板.先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为.再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为.
（1）求整个转动过程木板扫过的体积；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】柱体体积的有关计算、面面角的向量求法
【分析】（1）确定圆心角及半径计算即可；
（2）建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，然后计算夹角即可.
【详解】（1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为，半径为的扇形，高为的直棱柱组成，
故其体积.
（2）以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设是平面的一个法向量，则
，即，不妨令，
可取，
同理平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
(1)求证：；
(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，即平面，
平面，平面，
所以
（2）因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，平面，平面，
以分别为轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
设平面法向量为
，
令，得，所以，
设二面角为，则为锐角，
故，
，
（3）分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴，
设，，显然，
，
，得出，则，则，
因为，，故，
化简得，
而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得，
设平面的法向量为，
设直线PE与平面ABC所成角为，
，
则，
令，，令，则，且，
，
根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0，
则函数在单调递增，则，即，
则，即正弦值的取值范围.
【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页山东省德州市部分学校2025-2026学年高二上学期数学联考试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
3．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C．， D．
4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．在四棱锥中，底面为矩形，平面，，且与底面所成的角为，则点B到直线的距离为（ ）．
A． B． C．2 D．
8．正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．已知，，则在上的投影向量为
11．正方体中，，，分别为，的中点，点满足，，则错误的有（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积与点的位置有关
C．的最小值为
D．当时，平面截正方体的截面形状为六边形
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则的值为 .
13．空间四边形中，，，，，则的值是 ．
14．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)求的长.
16．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为，E为BC边的中点，且AE所在的直线方程为
(1)求顶点A的坐标；
(2)求过E点且与x轴、y轴截距相等的直线l的方程.
17．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且．
(1)求二面角的大小；
(2)直线到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由．
18．如图，在水平桌面上放置一块边长为的正方形薄木板.先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为.再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为.
（1）求整个转动过程木板扫过的体积；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
(1)求证：；
(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
