山东省德州市第一中学等校2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试
数学试卷
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的除法运算
【分析】利用复数的除法可化简复数.
【详解】因为，则.
故选：A.
2．设集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式
【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解.
【详解】由，解得，则，而，
所以.
故选：C
3．命题p：“ x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（ ）
A．, B．,
C． D．
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可
【详解】命题是全称命题,则：,
故选C
【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键
4．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）
A．2 B．9 C．10 D．18
【答案】B
【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论
【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】因为是的中点，所以.
因为，所以.
由于三点共线，所以可以表示为的线性组合，
即.
所以，即.
因为，所以.
当且仅当时，即时等号成立.
由于，所以解得，此时最小值为9.
故选：B.
5．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式、给值求角型问题
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
6．已知为等比数列，则“”是“，是任意正整数”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】C
【知识点】等比中项的应用
【分析】根据等比数列的性质，由递推公式可得出结论.
【详解】因为为等比数列，则
若，则，则
所以，是的充分条件；
又根据已知可知，
约去可得
因为为等比数列，所以，
所以，
所以当为等比数列时，是的充分条件；
故选：C
7．若函数在区间上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求导数，根据在上单调递减，可得到在上恒成立，所以需，函数在上是减函数，所以，这样就可以求出结果.
【详解】，
在上单调递减，
在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，显然，需，
所以函数在上是减函数，
，，则m<0；
综上所述，的取值范围为.
故选：B
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】分析易得在上单调递增，，进而结合单调性解不等式即可求解.
【详解】的定义域为，所以在上单调递增，
而，
所以，
由，
则，由的单调性可得，
，即，解得或，
故不等式的解集为.
故选：A．
二、多选题
9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数
C． D．中最小项为
【答案】ABD
【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列的单调性、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值
【分析】根据题意作差可计算得，，所以数列是递减的等差数列，可判断A；利用等差数列前项和公式计算可判断B；根据等差数列的性质计算可判断C；根据已知条件结合不等式的性质计算可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
由，所以，所以，且，
所以数列是递减的等差数列，且，
则当时，最大，故A正确；
对于B，由上述分析可知，当时，单调递减，
且，，
所以使得成立的最小自然数，故B正确；
对于C，由，且，
所以，即，故C错误；
对于D，因为当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
且，，
则有，，
所以，即，
所以中最小项为，故D正确．
故选：ABD．
10．已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】由范围求得的范围，结合整体思想转化为在上只有1个零点，在上单调递增，求解即可.
【详解】当时，，
因为在上只有1个零点，
所以，解得，
当时，，
因为，所以，
又因为在上单调递增，
所以，解得，
综上可得.
故选：BC.
11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周期为4
C． D．
【答案】AB
【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用
【分析】由已知条件可知函数的对称性，由函数的两个对称性可知其周期性，然后代换得解.
【详解】的图像关于直线对称，的图像关于对称，
又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；
又，其中换得，
再将换得，但无法得到 所以正确C错误.
故选：AB.
三、填空题
12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】2
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由，得，，
故曲线在处的切线方程为；
由，得得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
故切线方程为，即，
因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得．
故答案为：2．
13．是定义在R上的函数，设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】函数与导数综合
【分析】根据条件的结构特征构造函数，利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成形式，结合已知可解.
【详解】记，则
因为，所以，所以在R上单调递增.
由知，，所以原不等式，
又因为，所以，所以原不等式，
即，解得.
故答案为：
14．中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量、数量积的运算律
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
四、解答题
15．已知平面向量．
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示
【分析】（1）根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可.
（2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值.
【详解】（1）由已知，，
所以.
（2）由已知，，
因此由，可得，
解得．
16．已知数列中，，
(1)证明数列 是等比数列；
(2)若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和
【分析】（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可；
（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，从而知，进而得，再采用错位相减法，即可得解；
【详解】（1）证明：因为，所以，即，为常数，
故数列是等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，即，
所以，
故，
所以，
两式相减得，，
所以．
17．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．
(1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．
【答案】(1)
(2)8米
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）首先根据正弦定理和的关系可求出的值.
（2）首先根据余弦定理求出的关系式，然后根据不等式的性质求出的最大值；
【详解】（1）在中，由正弦定理知，即，
因为，，所以，
解得，因为，所以，
此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功．
（2）在中，由余弦定理知，
故，
整理得，
即，当且仅当时等号成立，此时，
，点在矩形内，捕捉成功．
故机器狗与足球运动的总路程的最大值为米．
18．已知函数的最小值为．
(1)求m的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若锐角满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、三角函数与解三角形综合
【分析】（1）化简函数为，然后根据最值计算即可；
（2）根据（1）的结果，利用正弦函数的单调性求解；
（3）依题意得到，然后利用正弦定理化简得到，根据角度范围计算即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
又的最小值为，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
令，
即，
所以的单调递增区间为．
（3）因为锐角满足，且，
所以，即．
又，所以，所以，即．
由正弦定理，得，
由为锐角三角形，得，
所以，即，
所以的取值范围为．
19．已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（含参）、函数与导数综合
【分析】（1）先通过导数分析得出；再根据导数分别求出两函数的最大值，最后通过两函数的最大值建立方程求解得出答案.
（2）利用函数和的单调性，对分4种情况讨论可证得两曲线有唯一的交点，且直线与两条曲线共有三个不同的交点，
，并得出： ， ；再利用指对同构及函数的单调性，即可证明成等比数列.
【详解】（1）由可得：，函数定义域为，.
由可得：函数定义域为，.
当时，令，得；令，得，则函数在上单调递减，在上单调递增 ，此时函数无最大值；
当时，令，得；令，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数.
函数和有相同的最大值
.
令，得；令，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数.
，解得：
（2）证明：由(1)得：，.
函数在上单调递增，在上单调递减；函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，无意义，故曲线和在上无交点；
当时，由函数单调性可得：，即；，即，故曲线和在上无交点；
令，
当时，有，则函数在上单调递增；
而，，
所以由函数零点存在定理可知，在上存在唯一的使得，即曲线和在上有唯一交点；
因为，
令，则.
当时，，则函数在上单调递增；
而，所以，故曲线和在上无交点.
综上可证得：曲线和有唯一交点，其中，，.
再同一坐标系下作出函数和的图象，如图所示：
函数在上单调递增，在上单调递减；；，.
直线与曲线有两个不同的交点，记为，，其中.
函数在上单调递增，在上单调递减；；，时，.
直线与曲线有两个不同的交点，记为，，其中.
综上可得：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点.
，.
，，.
，
函数在上单调递增，，
又，
函数在上单调递减，，
，即
又
，即 成等比数列.
综上证得：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用指对同构和函数单调性化简方程，等比中项的应用及数形结合思想，属于难题.解题关键在于第(1)问对利用导数研究函数单调性及最值等知识的熟练运用；第(2)问难点在于对分情况讨论证明两曲线有唯一的交点；利用函数单调性及数形结合思想证明直线与两条曲线共有三个不同的交点；利用指对同构及函数单调性化简得出之间的关系.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页山东省德州市第一中学等校2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试
数学试卷
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．命题p：“ x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（ ）
A．, B．,
C． D．
4．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）
A．2 B．9 C．10 D．18
5．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为等比数列，则“”是“，是任意正整数”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
7．若函数在区间上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数
C． D．中最小项为
10．已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周期为4
C． D．
三、填空题
12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
13．是定义在R上的函数，设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为 .
14．△ABC中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
四、解答题
15．已知平面向量．
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求实数的值．
16．已知数列中，，
(1)证明数列 是等比数列；
(2)若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和.
17．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．
(1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．
18．已知函数的最小值为．
(1)求m的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若锐角满足，求的取值范围.
19．已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
