课件17张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十五章 二次根式15.1 二次根式（第1课时）1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是 .?
2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?问题思考学 习 新 知二次根式的概念1.(1)2,18, , 的算术平方根是怎样表示的?
(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?解:(1) ， ， ， .(2) ， ， .2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?,.解： ， . 一般地,我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.二次根式的定义[知识拓展] (1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.(2) 本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意 ， 等,这时无论a取何值都有意义.判断下列各式是二次根式吗? 是是是【反思小结】
从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:
(1)必须有二次根号;
(2)被开方数不能小于0.二次根式的简单性质(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“ (a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.
小亮的观点:因为 表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有 ≥0.
小颖的观点:因为 表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有( )2=a.小亮和小颖的观点都正确.总结:(1) (a≥0)是一个非负数,即 具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;
(2)( )2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.[知识拓展] 理解 和 时应注意以下几点:
(1)从a的取值范围理解: 中的a为全体实数,而 中的a为非负数.
(2)从所得的结果理解: = ,而 =a,也就是说当a≥0时, . = ; = ;
= ; = ;
= .?做一做0.0120化简 解：（1） ；（2） ；
（3） ； （4） .例题讲解化简〔解析〕 检测反馈1.下列各式中,不是二次根式的是 ( )解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为 的被开方数小于零,故B错误.故选B.B2.如果 是二次根式,那么a应满足( )
A.a≥0 B.a≠3 C.a=3 D.a≥3解析:∵ 是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故选D.D3.若a为实数,则化简 的结果是 ( )
A.-a B.a C.a2 D.|a|解析:∵当a<0时, =|a|=-a.当a≥0时, =|a|=a.故选D.4.下列四个等式:
其中正确的是 ( )
A.①② B.③④ C.②④ D.①③DD5.如果 =2-x,那么x的取值范围是 ( )
A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式
2-x≥0,解得x≤2.故选A.A6.计算- 的结果是 ( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9解析:- =- =-3.故选A.A30.56x-2π-3.148.当x取何值时,下列各式为二次根式?解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案.解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以当x≤0时, 是二次根式.(2)根据题意得2-x<0,得x>2,所以当x>2时, 是二次根式.9.判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么?解析:二次根式要满足两个条件:(1)带有二次根号“ ”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.10.根据材料回答问题.x为何值时, 有意义?
解:根据题意得x(x-1)≥0,由乘法法则得 解得x≥1或x≤0,即当x≥1或x≤0时, 有意义.体会解题思想后,求当x为何值时, 有意义.解析:根据题目信息进行解答.解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可.课件18张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十五章 二次根式15.1 二次根式（第2课时）一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?一问题思考200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值.学 习 新 知二次根式的性质探究点1:积的算术平方根问题1：计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?(1)(2)中两式均相等.问题2:猜想： 有什么关系？ 方法一:事实上，根据积的乘方法则，有问题3: 当a≥0,b≥0时,对 的关系提出你的猜想,并说明理由.解:因为当a≥0,b≥0时,积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即 (a≥0,b≥0).[知识拓展] 积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如 . . . (a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).探究点2:商的算术平方根两个式子均相等.问题2:对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时, 有什么关系?并说明理由.解:因为当a≥0，b>0时，问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即观察与思考——探究最简二次根式的概念化简.观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:
(1)化简前,被开方数是怎样的数?
(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.“做一做”
(教材第94页做一做)化简.课堂小结 检测反馈1.(2015·扬州中考)下列二次根式中是最简二次根式的是 ( )A2.能使等式 成立的x的取值范围是 ( )
A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2解析:本题需注意的是,被开方数为非负数,且分式的分母不能为0,列不等式组 解得x>2.故选C.C解析:A.符合最简二次根式的定义,故本选项正确;B.原式 ;C.原式 ;D.被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误.故选A.3.下列计算正确的是 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:①和②根号下不能为负数,故①②错误;③利用平方差公式进行因式分解，故③正确;由③可知④错误.故正确的只有1个.故选A.AAC解析:A.被开方数是正数,然后利用商的算术平方根的性质计算,故选项正确;B.原式 = ,故选项错误;C.原式= ,故选项错误;D.原式= ,故选项错误.故选A. A7. =2,这个计算过程正确吗?如果不正确,请改正.解析:首先根据除法法则约掉负号,然后再计算开方即可.解:计算过程错误,(2) ,被开方数中含有分母,因此不是最简二次根式. 解:(1) ,含有能开得尽方的因数,因此不是最简二次根式. 8.在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.解析:判定一个二次根式是不是最简二次根式的方
法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .(3) 的被开方数为整数,被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此是最简二次根式. (4) ,在二次根式的被开方数中,含有小数,不是最简二次根式. (5) ,被开方数中含有分母,因此不是最简二次根式.9.把下列二次根式化成最简二次根式.(1) ；(2) ；(3) ；(4) 课件16张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十五章 二次根式15.2 二次根式的乘除运算 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而收看到电视节目的区域就越广.如果电视塔高h km,电磁波的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系 ,其中R是地球的半径,如果两个电视塔的高分别为h1,h2,那么它们传播的半径的比为 ,你能将这个式子化简吗?学了本节后,就很容易解决了.问题思考学 习 新 知二次根式的乘除法法则问题1:请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的?问题2:计算:由计算结果,发现了什么规律?====对于下列各题,是否也有上面的规律呢?请你猜想并利用计算器进行验证.通过刚才的观察、类比、计算,你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗?[知识拓展] 如没有特殊说明,本章中的所有的字母都表示正数.理解二次根式的除法法则应注意两点:(1)二次根式的除法法则中的被开方数的分母b不等于0;(2)运算时约分要彻底.例题讲解计算下列各式.(1) ；(2) ； .〔解析〕直接利用二次根式乘法法则进行计算即可.计算下列各式.分母有理化观察 的特点,有什么发现?分母都含有二次根式将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子,像这样,把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.对应练习：
把下列各式分母有理化: (教材第96页大家谈谈)请就小明和大刚分别计算 , 的做法给予评价,并谈谈你的想法.小明的做法(先运算后化简)大刚的做法(先化简后运算)课堂小结 检测反馈1.(2015·安徽中考)计算 的结果是( )
A. B.4 C. D.2解析: =4.故选B.B2.化简 的结果是 ( )故选A.A3.已知m= ,则有 ( )
A.5.0
C.5.2问题:10 +20 等于多少?问题思考学 习 新 知二次根式的加减运算试着做做
计算下列各式.3.你能试着解决它们吗?2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么?4.像 和 , 和 ,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合
并,它们具备的特点是:
(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关.5. 想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变.例题讲解计算下列各式.计算下列各式.[知识拓展]在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如 是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如 ,不能写成(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:2.二次根式的加减法的步骤:
(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;
(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;
(3)合并被开方数相同的最简二次根式.1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.课堂小结 检测反馈1.(2015·重庆中考)计算D2.下列计算中,正确的是 ( )解析:A.原式=0，故正确；B.原式=2，故错误；C.已是最简，不能合并，故错误；D.原式= ，故错误.故选A.A3.下列计算正确的是 ( )CA5.下列计算结果正确的是 ( )解析:A.原式不能合并,错误;B.原式= ,错误;C.原式= ,正确;D.原式= ,错误.故选C.C 中填上一个运算符号,使计算结果最大,这个运算符号是 ( )
A.+ B.- C.× D.÷中填上一个运算符号,使计算结果最大,这个运算符号应是÷.故选D.D7.计算.解析:首先化简二次根式,进而合并求出即可.8.计算.解析:(1)先进行二次根式的化简,然后合并;(2)先去括号,然后合并同类二次根式求解.课件14张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十五章 二次根式15.4 二次根式的混合运算一个正方形的边长是 ,现将它的一边长增加 ,另一边长减少 ,你能计算出变化之后的图形的面积吗?变化之后的图形的面积和原来正方形的面积相差多少?问题思考(1)变化后的图形的长为 + ,宽为 - ,面积为( + )( - );(2)变化之后图形的面积和原来正方形的面积相差:怎样计算上面的两个算式呢?学 习 新 知大家谈谈——感知方法计算下列各式.观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运算律和乘法公式.解析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括号内的每一项分别除以 ;(3)和(4)利用平方差公式直接计算.例题讲解计算下列各式.〔解析〕 (1)把乘法运算的结果化成最简二次根式,再进行加减运算;(2)不是最简二次根式的可以先化简,再进行计算.计算下列各式.解析:可以利用平方差公式和完全平方公式进行计算.注意:在计算过程中,有同类项或被开方数相同的最简二次根式要进行合并.乘法公式在实数范围内也是成立的.计算下列各式.思考:(1)中怎样能把其分母有理化?
(2)应采用哪种方法计算.[知识拓展] 二次根式的混合运算实质上就是有理数的混合运算与无理数的混合运算,是对前面学过的二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化.1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式仍然成立,在二次根式的混合运算中均可运用.课堂小结2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进行二次根式的加减运算.在进行二次根式的和与差的乘法运算时,可以直接运用公式进行计算.3.在进行二次根式的混合运算时,先进行乘法运算,再进行加减运算,有括号时,先算括号里面的.4.一般地,二次根式运算结果中的二次根式应化为最简二次根式. 检测反馈BDDCD6.下列运算正确的是 ( )解析:A.原式=,所以A选项正确;B.原式=,所以B选项错误;C.原式=,所以C选项错误;D.原式=,所以D选项错误.故选A.A7.计算.解析:(1)(2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;(3)根据二次根式的乘法法则运算.8.计算:解析:先进行二次根式的化简和乘法运算,然后合并.解:原式9.已知a是 的小数部分,求代数式的值.解:∵ ， ，第十五章 二次根式
1.结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.
2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简.
3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算,会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化.
1.借助二次根式的化简与运算,提高运算能力.
2.能运用类比和转化的数学思想讨论、探究二次根式的有关性质和运算法则.
3.能将二次根式的计算问题转化为利用二次根式的性质进行化简的问题,理解“从特殊到一般”,再“从一般到特殊”的探究事物规律的方法.
1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.
2.引导学生适时地运用“逆向思维”和“类比思维”提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养.
(1)在第十四章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根.本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以“同一个非负数的算术平方根是唯一的”为依据,得到二次根式的基本性质.
(2)二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法.
(3)二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算.教材以学生操作为主,辅以例示解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化);二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并“同类的最简二次根式”.教材借助于和“整式加减的合并同类项”的类比,启发学生自主地理解并掌握这类运算;在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算也是先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.
(4)通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识“式”的意义和发展层次,可以更概括、更统一地认识“式的化简”与“式的运算”的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力.
【重点】
1.二次根式的加减运算.
2.二次根式的乘除运算.
【难点】 二次根式的化简与计算.
1.注重概念的形成过程,让学生在概念形成的过程中,逐步理解所学的概念.
概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析,综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学对提高学生思维水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识二次根式所表示的意义.
2.鼓励学生探索与交流.
教学中应当让学生进行充分的探索和交流,给学生充分的活动时间与空间,如最简二次根式是一个怎样的式子,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受最简二次根式应满足的条件;再如二次根式的性质,在教学过程中应当让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚地表达.
3.注意运用类比的方法,使学生认识到新旧知识间的区别与联系.
在二次根式的加、减、乘、除运算的教学中,应注意通过类比使学生认识到新旧知识的区别与联系.二次根式与以前学过的数、整式和分式一样,有关的化简与运算,相应的运算律、运算法则、运算顺序,乘法公式同样适用.
15.1二次根式
2课时
15.2二次根式的乘除运算
1课时
15.3二次根式的加减运算
1课时
15.4二次根式的混合运算
1课时
回顾与思考
1课时
15.1 二次根式
1.了解二次根式、最简二次根式的概念.
2.了解,()2,(其中a≥0)的意义.
3.理解二次根式的性质.
1.体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.
2.经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质.
1.为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程.
2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情.
3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.
【重点】 二次根式的概念与性质.
【难点】 二次根式基本性质的灵活应用.
第课时
1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.
2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.
1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.
2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.
1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.
2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.
【重点】 二次根式的概念和简单性质.
【难点】 二次根式的简单性质.
【教师准备】 课件1~7.
【学生准备】 复习平方根与算术平方根的知识.
导入一:
1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?
2.【课件1】 填空.
(1)的平方根是 ;?
(2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是 ;?
(3)若正方形的面积为a-4,则边长为 .?
学生思考并回答.
3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?
学生观察,总结共同特征并表述意见.
[设计意图] 唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.
导入二:
1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是 .?
2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)
[设计意图] 让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.
导入三:
在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,(a≥0)还有一个名字,你知道吗?
[设计意图] 通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.
活动一:二次根式的概念
[过渡语] 我们已经学习了数的开平方,并用(a≥0)表示非负数a的算术平方根.现在,我们首先来学习二次根式的定义.
思路一
【课件2】 (教材第90页一起探究)
1.(1)2,18,,的算术平方根是怎样表示的?
(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?
2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?
引导学生分析得出:
1.解:(1),,,. (2),,.
2. 解:,.
引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
[知识拓展] (1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.
(2)本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.
(3)要注意,等,这时无论a取何值都有意义.
[设计意图] 让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.
【课件3】 判断下列各式是二次根式吗?
; ②6; ; (m≤0); (x,y异号); ; +1; .
学生快速回答,共同分析.
[设计意图] 通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.
思路二
活动:
(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式)
概念深化:
提问:+1是不是二次根式?呢?
议一议:二次根式表示什么意义?
此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?
其中字母a要满足什么条件?为什么?
【展示点评】
经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.
最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.
【反思小结】
教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:
(1)必须有二次根号;
(2)被开方数不能小于0.
[设计意图] 通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.
活动二:二次根式的简单性质
[过渡语] 了解了二次根式的概念,实际上(a≥0)表示的就是我们以前学过的非负数a的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质.
思路一
【课件4】 (教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.
小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.
小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()2=a.
学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.
教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)()2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.
【课件5】 做一做:= ;= ;= ;= ;= .?
教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;;;=0.
想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?
学生讨论得出,一般地,=a(a≥0).
【课件6】 (教材第91页做一做)化简.
(1)()2; (2); (3); (4).
教师指名回答,公布答案.
解:(1)()2=3. (2). (3)=5. (4).
思路二
我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0(a≥0).
1.性质1:()2=a(a≥0).
(1)观察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9……
(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?
(3)板书:当a≥0时,=a.
[设计意图] 通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.
2.性质2:=a(a≥0).
(1)提问:等于什么?
(2)举例:=2;=2;=3;=3……
(3)发现:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.
(4)归纳:
3.比较()2和的区别.
学生讨论,回答.
说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.
[知识拓展] 理解()2和时应注意以下几点:
(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数.
(2)从所得的结果理解:,而()2=a,也就是说当a≥0时,=()2.
[设计意图] 通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.
活动三:例题讲解
【课件7】
化简.
(1); (2).
〔解析〕 0.04=0.22,,可以利用=a(a≥0)化简.
解:(1)=0.2. (2)=12=1.
[设计意图] 尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.
1.二次根式的定义
一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:
(1)带有二次根号“”,即根指数是2;
(2)被开方数不小于零.
只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.
2.二次根式的基本性质
(1)当a≥0时,()2=a;(2)当a≥0时,=a.
1.下列各式中,不是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为的被开方数小于零,故B错误.故选B.
2.如果是二次根式,那么a应满足( )
A.a≥0 B.a≠3 C.a=3 D.a≥3
解析:∵是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故选D.
3.若a为实数,则化简的结果是 ( )
A.-a B.a C.a2 D.|a|
解析:∵当a<0时,=|a|=-a.当a≥0时,=|a|=a.故选D.
4.下列四个等式:=4;②(-)2=16;③()2=4;=-4.其中正确的是 ( )
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
解析:=4,正确;②(-)2=4≠16,不正确;③()2=4,符合二次根式的意义,正确;=4≠-4,不正确.①③正确.故选D.
5.如果=2-x,那么x的取值范围是 ( )
A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2
解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故选A.
6.计算-的结果是 ( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
解析:-=-=-3.故选A.
7.探究发现.
(1)完成下列填空:= ,= ,= ,④ = .?
(2)利用(1)中发现的规律计算:①若x>2,则= ;= .?
解析:根据即可得解.
答案:(1)①3 ②0.5 ③6 (2)①x-2 ②π-3.14
8.当x取何值时,下列各式为二次根式?
(1); (2).
解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案.
解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以当x≤0时,是二次根式.
(2)根据题意得2-x<0,得x>2,所以当x>2时,是二次根式.
9.判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么?
,-,,,(a≥0),.
解析:二次根式要满足两个条件:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.
解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指数是3,故不是二次根式;的被开方数小于0,无意义,故不是二次根式.
10.根据材料回答问题.
x为何值时,有意义?
解:根据题意得x(x-1)≥0,
由乘法法则得或
解得x≥1或x≤0,
即当x≥1或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,求当x为何值时,有意义.
解析:根据题目信息进行解答.
解:要使有意义,则≥0,
所以或
解得x≥2或x<-,
即当x≥2或x<-时,有意义.
11.已知y=-3,求(x+y)4的值.
解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可.
解:∵与有意义,
∴解得x=2,
∴y=-3,∴(2-3)4=1.
第1课时
活动一:二次根式的概念
活动二:二次根式的简单性质
活动三:例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第91页练习.
2.教材第92页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第92页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简,正确的结果是 ( )
A.±72 B.72
C.432 D.以上答案都不是
2.下列各式中不是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
3.下列各式:;;;;.其中二次根式的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知是二次根式,则a的值可能是 ( )
A.-2 B.-1 C.2 D.-7
5.要使二次根式有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥ B.x≤
C.x≥ D.x≤
6.要使代数式有意义,则x的 ( )
A.最大值是 B.最小值是
C.最大值是 D.最小值是
【能力提升】
7.实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,则+a的化简结果为 ( )
A.2a+b B.-b C.b D.2a-b
8.下列各式哪些一定是二次根式?
(1); (2); (3); (4); (5).
9.当x是怎样的实数时,下列各式有意义?
(1); (2) ; (3)+1; (4) ; (5); (6).
【拓展探究】
10.化简.
11.已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简+2-.
【答案与解析】
1.B(解析:=72.故选B.)
2.B(解柏:二次根式成立的条件是被开方数是非负数,而的被开方数是负数,所以不是二次根式.故选B.)
3.B(解析:根据二次根式的定义,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故选B.)
4.C(解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可知C选项正确.故选C.)
5.B(解析:依题意得3-2x≥0,解得x≤.故选B.)
6.A(解析:∵代数式有意义,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值为.故选A.)
7.B(解析:由数轴可知b<0|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故选B.)
8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式. (2)∵a2≥0,∴是二次根式. (3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时,才是二次根式,故不一定是二次根式. (4)当a-2≥0时是二次根式,当a-2<0时不是二次根式,即当a≥2时是二次根式,当a<2时不是二次根式,故不一定是二次根式. (5)当x-y≥0时是二次根式,当x-y<0时不是二次根式,即当x≥y时是二次根式,当x9.解:(1)5-3x≥0,解得x≤. (2)->0,解得x<. (3)x2≥0,x取全体实数. (4)-1≥0,解得x≥3. (5)(x-2)2≥0,x取全体实数. (6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4.
10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a;②当3≤a≤7时,原式=4;③当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10.
11.解:由数轴可知-2a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3.
在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义.通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法,通过“大家谈谈”让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法.本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程.同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论.整个教学过程,体现了“从特殊到一般”“由具体到抽象”的过程.
1.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握
不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促.
2.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺.
3.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做得还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流.
1.在今后教学中,应注意时间的掌控,合理地安排好每个环节的时间,事先应做好预设.
2.在教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习.
练习(教材第91页)
解:(1)2. (2)0.04. (3)0.8. (4).
习题(教材第92页)
A组
1.解:(1). (2)11. (3)15.
2.解:(1). (2)169. (3).
B组
1.解:设镜框的宽为2x cm,则长为3x cm.由题意得3x·2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:镜框的宽为10 cm.
2.解:设大正方形的边长为x cm.由题意得x2=a2+b2,取正值解得x=.当a=3,b=4时,x=5.答:大正方形的边长为5 cm.
对于二次根式的定义可以从以下几个方面理解:
(1)从形式上看,二次根式必须含“”.
(2)二次根式的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但必须保证有意义,即a若表示一个数,则a必须是非负数;若a表示一个代数式,则这个代数式的值必须是非负数.也就是说当a≥0时,才是二次根式;当a<0时,无意义.
对于二次根式的被开方数是非负数,是指整个代数式是非负数,而不是其中的字母表示的数为非负数.为了求出使二次根式有意义的字母的取值范围,只需解不等式(组)即可.
先化简a+,然后再分别求出a=-2和a=3时,原代数式的值.
解:a+=a+=a+|a+1|.
当a=-2时,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;
当a=3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.
[解题归纳] 本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值.
已知a,b,c均为实数,且+a=0,=1,=c,化简--.
〔解析〕 首先根据已知条件确定a,b,c的符号,从而确定a+b,a-c,c-b的符号,然后根据二次根式的性质、绝对值的意义即可化简求解.
解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,则a,b同号,∴a<0,b<0.
∵=c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0.
∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b.
[解题归纳] 本题考查了二次根式的定义以及绝对值的意义,正确确定a,b,c的符号是关键.
实数x在什么范围内取值时,下列各式才有意义?
(1); (2); (3).
〔解析〕 根据二次根式有意义的条件进行解答.
解:(1)若有意义,则3x+7≥0,解得x≥-.
(2)若有意义,则2x-1>0,解得x>.
(3)若有意义,则解得-1≤x≤2.
[解题归纳] 本题主要考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是要使二次根式有意义,被开方数不能小于0.
第课时
1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质.
2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简.
3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.
1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质.
2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解.
培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦.
【重点】
1.积(商)的算术平方根的性质.
2.最简二次根式的概念.
【难点】 能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式.
【教师准备】 课件1~13.
【学生准备】 二次根式的简单性质.
导入一:
【课件1】 一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?
[设计意图] 学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境.
导入二:
教师提问:
【课件2】 (1)什么是二次根式?二次根式的被开方数需满足什么条件?
(2)我们学过二次根式的哪些简单性质?
学生回答.
[设计意图] 简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系.
活动一:一起探究——二次根式的性质
思路一
探究点1:积的算术平方根
问题1:【课件3】 计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?
(1)与; (2)与.
学生计算,得出(1)(2)中两式均相等.
问题2:【课件4】 猜想:与有什么关系?
组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流)
方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()2=()2×()2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即.
方法二:因为()2=()2×()2=2×5,()2=2×5,且>0,>0,所以.
问题3:【课件5】 当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由.
指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.
解:因为当a≥0,b≥0时,()2=a·b,(·)2=()2·()2=a·b,所以·.
引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).
[知识拓展] 积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).
[设计意图] 尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性.
探究点2:商的算术平方根
问题1:【课件6】 与是否相等?与呢?
学生经过计算得出两个式子均相等.
问题2:【课件7】 对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?并说明理由.
学生不难猜想得到(a≥0,b>0).
引导学生根据刚才的证明过程加以证明.
解:因为当a≥0,b>0时,,,所以 .
问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?
引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即
(或)(a≥0,b>0)
[设计意图] 培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.
思路二
问题1:【课件8】 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)= ;= .?
(2)= ;= .?
(3)= ;= .?
(4)= ;= .?
师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律.
生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等.
问题2:【课件9】 根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证.
(1)= ;= .?
(2)= ;= .?
(3)= ;= .?
(4)= ;= .?
学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.
问题3:【课件10】 猜想:(1)当a≥0,b≥0时,和·有什么关系?(2)当a≥0,b>0时,和有什么关系?请你说明理由.
引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明.
[设计意图] 引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质.
活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念
[过渡语] 刚才我们得到了积(商)的算术平方根的性质,下面请同学们根据刚才学到的性质完成下面的例题.
【课件11】
化简.
(1); (2); (3); (4).
〔解析〕 (1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简.
解:(1)=3.
(2)=4.
(3).
(4).
【课件12】 观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:
(1)化简前,被开方数是怎样的数?
(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?
归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
提出问题:在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式?为什么?
把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.
指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成.
出示“做一做”.
【课件13】 (教材第94页做一做)化简.
(1); (2); (3); (4).
解:(1)=3.
(2)=4.
(3).
(4).
[设计意图] 巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力.
积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积
·(a≥0,b≥0)
公式中的a,b既可以是数,也可以是代数式,但必须注意都应是非负的,这是公式成立的条件.如:≠
商的算术平方根
商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商
(或)(a≥0,b>0)
(1)公式中的条件是限制等号右边的,等号左边只要≥0即可,而右边每一个式子(数)必须满足二次根式的条件,即a≥0,b>0;(2)该性质适用于二次根式的化简和计算
最简二次根式
一般地,如果一个二次根式满足①被开方数的因数是整数,因式是整式,②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式
1.(2015·扬州中考)下列二次根式中是最简二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
解析:A.符合最简二次根式的定义,故本选项正确;B.原式=2;C.原式=2;D.被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误.故选A.
2.能使等式成立的x的取值范围是 ( )
A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2
解析:本题需注意的是,被开方数为非负数,且分式的分母不能为0,列不等式组解得x>2.故选C.
3.下列计算正确的是 ( )
·=6;·=-6;·=3;-=1.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①和②根号下不能为负数,故①②错误;③利用平方差公式进行因式分解,·=3,故③正确;由③可知④错误.故正确的只有1个.故选A.
4.设=a,=b,用含a,b的式子表示,下列表示正确的是 ( )
A. B.3ab C. D.
解析:∵=a,=b,∴.故选A.
5.化简-3的结果是 ( )
A.- B.- C.- D.-
解析:原式=-3=-3=-3=-.故选C.
6.下列各式成立的是 ( )
A. B.
C. D.
解析:A.被开方数是正数,然后利用商的算术平方根的性质计算,故选项正确;B.原式=,故选项错误;C.原式=,故选项错误;D.原式=,故选项错误.故选A.
7.=2,这个计算过程正确吗?如果不正确,请改正.
解析:首先根据除法法则约掉负号,然后再计算开方即可.
解:计算过程错误,=2.
8.在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.
(1); (2); (3); (4); (5).
解析:判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.
解:(1)=3,含有能开得尽方的因数,因此不是最简二次根式.
(2),被开方数中含有分母,因此不是最简二次根式.
(3)的被开方数为整数,被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此是最简二次根式.
(4),在二次根式的被开方数中,含有小数,不是最简二次根式.
(5),被开方数中含有分母,因此不是最简二次根式.
9.把下列二次根式化成最简二次根式.
(1); (2); (3); (4).
解:(1)=2. (2)=3. (3). (4).
第2课时
活动一:一起探究——二次根式的性质
探究点1:积的算术平方根
探究点2:商的算术平方根
活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第94页练习第1,2题.
【选做题】
教材第94页习题第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.二次根式,,,,,中,最简二次根式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.能使等式 成立的条件是 ( )
A.x≥0 B.-3C.x>3 D.x>3或x<0
3.已知a=,b=,用含a,b的代数式表示,这个代数式是 ( )
A.2a B.ab2 C.ab D.a2b
4.下列各式中计算正确的是 ( )
A.·
B.=4a(a>0)
C.=3+4=7
D.=9×1=9
【能力提升】
5.把下列各式化为最简二次根式.
(1); (2); (3);
(4)-6 ; (5); (6).
6.已知=a,=b,用含a,b的式子表示.
7.已知x为奇数,且,求的值.
【拓展探究】
8.是否存在这样的整数x,使它同时满足以下两个条件:·;的值是有理数.若存在,求出x的值,若不存
在,请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:利用最简二次根式的概念:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,分析得出,,是最简二次根式.故选C.)
2.C(解析:∵ 成立,∴x≥0,x-3>0,解得x>3.故选C.)
3.D(解析:=a·a·b=a2b.故选D.)
4.D(解析:A.等式右边没意义,故本选项错误;B.=2a(a>0),原式计算错误,故本选项错误;C.=5,原式计算错误,故本选项错误;D.=9×1=9,故本选项正确.故选D.)
5.解:(1)=6. (2)= . (3) . (4)-6=-6=-2. (5)=4. (6)=2.
6.解:∵=a,=b,∴=0.2ab.
7.解:∵ ,∴解得6≤x<9.又∵x为奇数,∴x=7,∴=8+2.
8.解:存在.由·,得解得13≤x≤20.由是有理数,得x=16.
本节的教学通过观察、比较、类比、猜想等多种方法,探究了积(商)的算术平方根的性质以及最简二次根式的定义,充分调动了学生的学习积极性,激发了学生的学习热情.在教学中教师始终坚持“模型——类比——总结——强化”这一过程,使学生充分认识到知识的形成过程,巩固和提高了学生的知识运用能力,达到了课堂教学的有效性.
学生对于积(商)的算术平方根的性质运用得不够好,书写格式不够规范,教师没有正确地进行指导和训练.有的同学也没有正确地加以运用.
利用积(商)的算术平方根的性质进行化简时,注意格式的规范,让学生对照例子进行书写,并经过练习逐步熟练.
练习(教材第94页)
1.解:,是最简二次根式,,, 不是最简二次根式.=3,, .
2.解:(1). (2) . (3). (4) .
习题(教材第94页)
1.解:(1)(2)(3)都不是最简二次根式.(1)=4. (2) . (3).
2.解:(1)=4. (2)=5. (3). (4)3 . (5)4 . (6)10 =4.
积(商)的算术平方根
积的算术平方根:(ab≥0).
·(a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积.
此性质可以用来化简二次根式,即如果一个二次根式的被开方数含能开得尽方的因数或因式,那么可以利用性质·(a≥0,b≥0)及=
a(a≥0)将这些因数(式)开尽,从而将二次根式化简.
商的算术平方根:
(或)(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商.
以上两个公式在运用时,所得结果要化成最简二次根式,既要保证被开方数的因数是整数,因式是整式,又要保证被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
15.2 二次根式的乘除运算
1.掌握二次根式的乘除运算法则,会进行简单的二次根式的乘除运算.
2.培养学生的合情推理能力和分母有理化能力.
1.在学生原有知识的基础上,经历知识的产生过程,探索新知识.
2.体会用类比的思想研究二次根式的乘除法,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.
通过本节课的学习,让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的.
【重点】 二次根式的乘除运算.
【难点】 二次根式的乘除运算.
【教师准备】 课件1~10.
【学生准备】 复习积(商)的算术平方根的性质.
导入一:
【课件1】 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而收看到电视节目的区域就越广.如果电视塔高h km,电磁波的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系r=,其中R是地球的半径,如果两个电视塔的高分别为h1,h2,那么它们传播的半径的比为,你能将这个式子化简吗?学了本节后,就很容易解决了.
导入二:
出示问题:【课件2】 (1)一个长方形的长为 cm,宽为 cm,求这个长方形的面积;
(2)如果一个长方形的面积S= cm2,长a= cm,求宽b.
〔解析〕 (1)利用长方形的面积公式可以得到S=(cm2).(2)根据长方形的面积公式可得b=(cm).
像,这样的结果能否继续化简,该怎样化简?
[设计意图] 两个情境导入都以日常生活中的实际问题为切入点,让学生感受到数学来源于生活,又应用于生活,从而提出问题,设下悬念,让学生带着问题进入到本节课的学习之中,为下面知识的学习做好铺垫.
活动一:二次根式的乘除法法则
思路一
问题1:请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的?
问题2:【课件3】 计算:(1)= ,= ;?
(2)= ,= ;?
(3)= ,= ;?
(4)= ,= .?
由计算结果,发现了什么规律?(学生总结出上面式子的规律并填空)
【课件4】
(1) ?;
(2) ?;
(3) ?;
(4) ?.
对于下列各题,是否也有上面的规律呢?请你猜想并利用计算器进行验证.
【课件5】 ?; ?; ?; ?.
通过刚才的观察、类比、计算,你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗?
学生分组讨论,补充得出结论:
(1)·(a≥0,b≥0);(2)(或)(a≥0,b>0).
[知识拓展] 如没有特殊说明,本章中的所有的字母都表示正数.理解二次根式的除法法则应注意两点:(1)二次根式的除法法则中的被开方数的分母b不等于0;(2)运算时约分要彻底.
思路二
问题1:想一想积(商)的算术平方根的性质是什么?
学生回忆:(1)积的算术平方根等于各因数或因式的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0);
(2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(a≥0,b>0).
问题2:根据等式的对称性,把上述公式反过来,你能得到什么结论?
(1)·(a≥0,b≥0);
(2)(或)(a≥0,b>0).
问题3:你能用自己的语言叙述出上述公式吗?
归纳:
(1)二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.用语言叙述为:两个算术平方根的积,等于积的算术平方根.
(2)二次根式相除,实际上就是把被开方数相除,而根号不变.用语言叙述为:两个算术平方根的商,等于商的算术平方根.
问题4:二次根式的乘(除)法法则与积(商)的算术平方根的性质有什么关系?
说明:教师引导、点拨,可提示与整式的乘法和因式分解的关系进行类比.
[设计意图] 学生在教师的指导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生用类比的方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括能力.
活动二:例题讲解
【课件6】
计算下列各式.
(1); (2); (3).
〔解析〕 直接利用二次根式乘法法则进行计算即可.
学生完成后,找同学对每道题进行讲解、分析,说明过程和思路,学生对于(2)(3)有不同的做法应予以鼓励和表扬.
解:(1). (2)=16. (3)=10.
说明:运算的结果,应化为最简二次根式.
【课件7】
计算下列各式.
(1); (2); (3).
〔解析〕 直接利用二次根式的除法法则进行计算,注意结果要化成最简二次根式.
学生完成后,集体讲评,重视解题方法的指导.
解:(1). (2). (3).
[设计意图] 通过例题让学生明确二次根式的乘除法法则,使学生能应用所学的知识解决问题,提高学生解答问题的能力.
活动三:分母有理化
问题:【课件8】 观察,,,的特点,有什么发现?
(分母都含有二次根式)
你能把它们分母化成有理数吗?
学生分组讨论,推荐4个人到黑板上板书.
教师总结:将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子,像这样,把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.
对应练习:【课件9】 把下列各式分母有理化:,,,.
让学生完成导入一中的问题.
教师点评:.
【课件10】 (教材第96页大家谈谈)请就小明和大刚分别计算,的做法给予评价,并谈谈你的想法.
小明的做法(先运算后化简)
解:=6.
=3.
大刚的做法(先化简后运算)
解:3=6.
=3.
说明:小明和大刚的做法都是正确的.在教学过程中,可先由学生独立完成,然后展开交流,让学生体会到不同的思考方法.解答问题的过程可能是不同的,但结果是唯一的.
[设计意图] 通过观察,归纳出分母有理化的概念,通过对新课导入问题的解答让学生体会知识来源于生活又应用于生活,使预设的问题得以解决,同时,通过“大家谈谈”让学生体会解题过程的不唯一性.
知识点
内容
公式
二次根式的乘法法则
两个算术平方根的积,等于积的算术平方根
·(a≥0,b≥0)
二次根式的除法法则
两个算术平方根的商,等于商的算术平方根
(或)(a≥0,b>0)
分母有理化
把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.应用二次根式的乘法法则可以将分母有理化
1.(2015·安徽中考)计算的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
解析:=4.故选B.
2.化简的结果是 ( )
A. B.
C. D.
解析:原式=.故选A.
3.已知m=(-2),则有 ( )
A.5.0C.5.2解析:∵m=(-2)=2,5.22=27.04,5.32=28.09,∴5.24.下列计算正确的是 ( )
A.23=6×25=150
B.23=6×5=30
C.23=6
D.23=5
解析:23=(2×3)×()=6×5=30.故选B.
5.把化简后得 ( )
A.4b B.2
C. D.
解析:.故选D.
6.下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.x=
解析:A.,故本选项错误;B.,正确;C.=5,故本选项错误;D.x=,故本选项错误.故选B.
7.计算.(写出解题过程)
(1); (2)23; (3)24; (4).
解:(1)原式==2.
(2)原式=6=6=30.
(3)原式==1.
(4)原式==2.
8.化简与计算.
(1)2·(a≥0);
(2)3a·(a≥0,b≥0).
解:(1)原式=2=10a. (2)原式=-2a=-12ab.
9.设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=16,b=,求a的值.
解:由题意得a=S÷b=16,即a的值为.
15.2 二次根式的乘除运算
活动一:二次根式的乘除法法则
活动二:例题讲解
例1
例2
活动三:分母有理化
一、教材作业
【必做题】
1.教材第96页练习.
2.教材第96~97页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第97页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个长方形的长和宽分别是3,2,则它的面积是 ( )
A.20 B.18
C.17 D.16
2.已知·的积是一个整数,则正整数a的最小值是 ( )
A.7 B.2 C.19 D.5
3.三角形的一边长是 cm,这条边上的高是 cm,则这个三角形的面积是 ( )
A.6 cm2 B.3 cm2
C. cm2 D. cm2
4.下列各式的计算结果是整数的是 ( )
A. B.
C. D.
5.如果·,那么x的取值范围是 ( )
A.x≥0 B.x≥6
C.0≤x≤6 D.x≤6
【能力提升】
6.计算.
(1)6·(x≥0,y>0);
(2)5·(a≥0,b≥0);
(3)·(m≥0,n≥0);
(4)4.
7.计算.
(1); (2); (3);
(4).
【拓展探究】
8.设=a,=b,试用含a,b的代数式表示.
9.设长方形的长与宽分别为a,b,面积为S.
(1)已知a=2 cm,b= cm,求S的值;
(2)已知S= cm2,b= cm,求a的值.
10.比较下列各式的大小.(在横线上填“>”“<”或“=”)
(1)①4+3 2;?
②3+ 2;?
③5+5 2……?
(2)通过观察归纳,写出能反映这种规律的一般结论,并证明结论的正确性.
【答案与解析】
1.B(解析:32=3×2=6=18.故选B.)
2.A(解析:∵·的积是一个整数,∴是整数,故正整数a的最小值是7.故选A.)
3.B(解析:三角形的面积为=3(cm2).故选B.)
4.B(解析:A.=6,故此选项错误;B.=12,故此选项正确;C.=10,故此选项错误;D.=12,故此选项错误.故选B.)
5.B(解析:由题意得解得x≥6.故选B.)
6.解:(1)6·=18 =18x. (2)5·(-4)=-20=-20a2b. (3)·=6=6mn2.
(4)4=-2=-4xy.
7.解:(1)原式=. (2)原式=2 =2. (3)原式=. (4)原式=.
8.解:∵=a,=b,∴=3=3ab.
9.解:(1)∵a=2 cm,b= cm,∴S=2=4(cm2). (2)∵S= cm2,b= cm,∴a=(cm).
10.解:(1)①> ②> ③= (2)规律:a+b≥2.证明如下:a-2+b=≥0,故a+b≥2.
本节内容是以前一节二次根式的性质为基础进行的,要求学生能熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行化简和计算.在教学过程中,通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则,学生比较容易接受.教师在对二次根式的乘除运算法则的学习和应用的教学过程中,渗透分析、概括、类比等数学思想方法,提高学生的思维品质和学习兴趣,鼓励学生大胆猜想,积极探索,运用类比、归纳和从特殊到一般的思想方法激发学生创造性的思维.
学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大,但常常忘记计算结果需要化简,对二次根式的乘除法计算还不够准确.此外,对分母有理化还不够熟练.
因此还要加强训练,提高学生的计算能力,对于学生出现的问题要及时展示讲评,暴露学生做题过程中存在的问题.否则,在下一节二次根式的加减和混合运算时出现的错误会更多.
练习(教材第96页)
解:(1)=5.
(2)3=3=3=9. (3). (4)= .
习题(教材第96页)
A组
1.解:(1)=3×8=24. (2)=28=16×2=32. (3). (4) = = = = .
2.解:(1)原式==1.2. (2)原式= . (3)原式= =2. (4)原式= = .
B组
1.解:=3.答:它的面积为3.
2.解:设长方形的宽为x cm,则长为2x cm.由题意得2x·x=28,x2=14,取正值x=,所以2x=2,所以长方形的周长为(+2)×2=6(cm).设正方形的边长为y cm,由题意得y2=28,所以y=2,所以正方形的周长为4×2=8(cm).设圆的半径为R cm,由题意得πR2=28,所以R=,所以圆的周长为2πR=4(cm).因为6>8>4,所以长方形的周长>正方形的周长>圆的周长,可知面积相等的正方形、长方形和圆中,长方形的周长最大.
分母有理化
1.分母有理化
定义:把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.
2.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式的确定方法如下:
①单项二次根式:利用·=a来确定,如与,与,与等分别互为有理化因式.
②两项二次根式:利用平方差公式来确定.如a+与a-,与-,a+b与a-b分别互为有理化因式.
3.分母有理化的方法和步骤:
(1)先将分子、分母化为最简二次根式;
(2)将分子、分母都乘分母的有理化因式,使分母中不含二次根式;
(3)最后结果必须化为最简二次根式或有理式.
二次根式的化简技巧
(1)当被开方数是比较大的整数时,应先把它分解成质因数幂相乘的形式,再把能开得尽方的幂开出来;当被开方数是多项式时,应先把它因式分解,再化简.
(2)当被开方数是小数时,先化成分数,然后进行化简;当被开方数是带分数时,首先要把它化成假分数,然后进行化简.
(3)当被开方数中含有分母时,应先利用分式的基本性质,将分母转化为平方数或平方式的形式,再计算能开得尽方的因数(或因式);若分子与分母有公因式,应先约去公因式,然后再化简.
15.3 二次根式的加减运算
1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.
2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.
1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.
2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.
1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.
2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.
【重点】 二次根式的加减运算法则.
【难点】 能正确地计算二次根式的加减法.
【教师准备】 课件1~6.
【学生准备】 复习同类项的有关知识.
导入一:
1.复习最简二次根式
(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?
(2)2与的实质区别是什么?
2.复习整式的加减
【课件1】 计算下列各式.
(1)2x+3x; (2)2x2-3x2+5x2; (3)y+2y+3y; (4)3a2-2a2+a2.
说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.
[设计意图] 复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.
导入二:
【课件2】 一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是米,第二块草坪的长是20米,宽也是米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?
问题:10+20等于多少?
说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.
[设计意图] 从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.
导入三:
引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.
提问:(1)2+3等于几?(2)呢?(3)呢?
教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.
[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.
活动一:二次根式的加减运算
[过渡语] 我们学习了整式的加减运算,那么二次根式又该怎样进行加减运算呢?
思路一
1.试着做做
【课件3】 计算下列各式.
(1)5+2; (2); (3)6-.
2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么?
3.你能试着解决它们吗?
解:(1)5+2=(5+2)=7.
(2)=2+5=(2+5) =7.
(3)6-=6-.
归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?
4.像5和2,3和2,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:
(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关.
5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?
引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变.
[设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系.
思路二
(针对导入三)
说理:事实上,如果,那么,而=2,也就是说=2,这显然是错误的.
提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?
(2)那么到底等于多少呢?呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?
[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.
计算:-.
解:-=3+4-5=(3+4-5)=2.
上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.
二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.
在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用.
活动二:例题讲解
【课件4】
计算下列各式.
(1)2-3+5;
(2)-.
先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.
解:(1)原式=2-6+15=11.
(2)原式=2-=2--.
说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.
请同学们完成下面两道题.
【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式.
(1)2-3+5; (2)-.
引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成.
提示:(1)35-5. (2)-.
【课件6】
计算下列各式.
(1)2-3-; (2)(-10)-3.
提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗?
(2)能否将它们化简呢?
学生自主完成.
解:(1)2-3-=4--3=0.
(2)(-10)-3=4-10-3=4-2-9=5-11.
总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.
[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:
(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+=2是错误的,运算时一定要注意.
(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.
(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如+5,不能写成5.
(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开
方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
最后结果化成最简二次根式
先化成被开方数相同的最简二次根式,再计算
[设计意图] 通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.
1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.
2.二次根式的加减法的步骤:
(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;
(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;
(3)合并被开方数相同的最简二次根式.
1.(2015·重庆中考)计算3-的值是 ( )
A.2 B.3 C. D.2
解析:3-=(3-1)=2.故选D.
2.下列计算中,正确的是 ( )
A.-=0 B.·=4
C.2+=2 D.=2
解析:A.原式=0,故正确;B.原式=2,故错误;C.已是最简,不能合并,故错误;D.原式=,故错误.故选A.
3.下列计算正确的是 ( )
A. B.-=1
C. D.
解析:A.≠,故本选项错误;B.-≠,故本选项错误;C.,故本选项正确;D.≠,故本选项错误.故选C.
4.计算-的结果是 ( )
A. B.
C. D.0
解析:原式=2-.故选A.
5.下列计算结果正确的是 ( )
A. B.3-=3
C. D.=5
解析:A.原式不能合并,错误;B.原式=2,错误;C.原式=,正确;D.原式=,错误.故选C.
6.在 的□中填上一个运算符号,使计算结果最大,这个运算符号是 ( )
A.+ B.- C.× D.÷
解析:-=0,=-,,=1,故在 的□中填上一个运算符号,使计算结果最大,这个运算符号应是÷.故选D.
7.计算.
(1)4-+4;
(2)6-2-3.
解析:首先化简二次根式,进而合并求出即可.
解:(1)原式=4+3-2+4=7+2.
(2)原式=6--=6-.
8.计算.
(1)(-)-();
(2)(2)-(2-).
解析:(1)先进行二次根式的化简,然后合并;(2)先去括号,然后合并同类二次根式求解.
解:(1)原式=2--2-4=2-3-4.
(2)原式=2-2=2.
15.3 二次根式的加减运算
活动一:二次根式的加减运算
活动二:例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第99~100页练习第1,2,3题.
2.教材第100页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第100页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.计算2-5的结果是 ( )
A.3 B.2 C.-3 D.-2
2.化简-的结果为 ( )
A.+2 B.-
C.-2 D.
3.若代数式x+2的值为,则x等于 ( )
A. B.- C.2 D.-1
4.计算-9的结果是 ( )
A.- B. C.- D.
5.计算3-6的结果是 ( )
A.- B.-5
C.3- D.-
6.下列计算正确的是 ( )
A. B.3-=2
C.2=3 D.-
7.化简:-3-2= .?
8.计算:()-(-)= .?
9.计算.
(1)2+3;
(2)-+2-4;
(3)4-;
(4)|2-3|-4.
【能力提升】
10.计算.
(1)-+2;
(2)4-12+3.
11.化简.
(1)+3-5;
(2)|-|+|-2|-|-1|.
12.计算:--.
13.计算:---.
14.已知长方形的长和宽分别为和,求长方形的周长.
【拓展探究】
15.已知=0,求.
【答案与解析】
1.C(解析:2-5=(2-5)=-3.故选C.)
2.A(解析:原式=3-2+2+2.故选A.)
3.B(解析:∵代数式x+2的值为,∴x+2,∴x=-.故选B.)
4.B(解析:-9=4-3.故选B.)
5.A(解析:原式=-3+2-.故选A.)
6.C(解析:A.与的被开方数不同,不能合并,所以A选项不正确;B.3-=2,所以B选项不正确;C.2=3,所以C选项正确;D.-=2-,所以D选项不正确.故选C.)
7.3(解析:-3-2=-3-2=4--=3.故填3.)
8.+8(解析:原式=3+3-2+5+8.故填+8.)
9.解:(1)原式=5. (2)原式=-3. (3)原式=4-. (4)原式=3-2-4=-2-.
10.解:(1)原式=4-3+2=3. (2)原式=4-6+6=4.
11.解:(1)原式=(1+3-5)=-. (2)原式=(-)+(2-)-(-1)=-+2--+1=-2+3.
12.解:原式=3--2.
13.解:原式=2---2-.
14.解:根据题意得2()=2(2)=6,则长方形的周长为6.
15.解:因为=0,所以
解得所以原式=.
通过这节课的学习,学生掌握了二次根式加减运算的法则,并发现了二次根式加减法的实质就是合并被开方数相同的二次根式,这和整式加减法的实质就是合并同类项一样,为了确认哪些被开方数完全相同,需要将二次根式化成最简二次根式,这时一定要认真细心,避免出错.本节课是在二次根式的乘除的基础上的进一步学习,目的是探索二次根式加减法运算法则,在设计本课时教案时,着重从以下几点考虑:1.先通过对整式的加减中的合并同类项的学习来引入二次根式的加减运算,再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.学生探索、发现、解决问题,培养学生用数学方法解决问题的能力.3.通过类比发现二次根式的加减运算的方法,在例题的讲解过程中,让学生板演,暴露自身存在的问题,集体讲评.
1.学生在对二次根式化简的过程中还是存在着一些问题,如化简不准确,不能对二次根式化到最简等问题.
2.在进行加减运算的过程中,计算不准确,合并和去括号的时候出现错误.
典型问题教师要注意讲解,及时更正学生存在的问题.教师在学生做题的过程中巡视指导,发现问题及时处理.另外,要加强练习,让学生在练习的过程中,逐步体会二次根式加减运算的过程和步骤,使学生的计算能力得以提高.
练习(教材第99页)
1.解:(1)不正确,因为与都是最简二次根式且被开方数不相同,因此它们不能合并. (2)不正确,因为≠-. (3)不正确,因为=2+5=7≠. (4)不正确,因为=3+≠.
2.解:,,,=6,=5,=11,∴+6+5+11.
3.解:(1)原式=5-2. (2)原式=3--.
习题(教材第100页)
A组
1.解:(1)原式=-6=-4. (2)原式=-+8=8. (3)原式=-7=-5. (4)原式=2+2-5=-.
2.解:(1)原式=3-(10-3)=3-7.
(2)原式=-=2---.
3.解:(1)原式=-2+2-+20+2=21. (2)原式=-3--3-+5-.
B组
1.解:7+3+4=35+18+28=81.∴三角形的周长为81.
2.解:(1)原式=(4+8)-(5-5)=2+4-+4. (2)原式=-----3=--3.
本节内容是在学生已经掌握了最简二次根式的概念,以及把一个二次根式化为最简二次根式的方法的基础上进行学习的.二次根式的加减首先是化简,在化简之后,就类似于整式的加减运算了,所以在教学过程中,要注意知识的延续和发展,引导学生用类比的方法来学习新知识,体会前后知识的联系.
1.“试着做做”的目的有两个方面:一方面是,当二次根式的加减运算中的各项所含二次根式都是最简二次根式时,可以从分配律出发,类比合并同类项的方法,直接合并即可;另一方面是,当二次根式的加减运算中的各项不都是最简二次根式时,首先要进行化简,然后再将能合并的进行合并.在教学过程中,要由浅入深,让学生经历获得知识的过程.
2.对于例题的教学,可以先让学生独立完成,体会二次根式的运算过程,然后教师规范,教师应关注从学生的独立思考出发,寻找解决问题的途径和方法.
二次根式的加减运算
计算.
(1)2+3;
(2)-;
(3)2-3+5;
(4)+2+3;
(5)-.
解:(1)原式=5. (2)原式=-5=-4. (3)原式=4=8. (4)原式=+2+9=12. (5)原式=-5+2=3-5.
[解题策略] 此题考查了二次根式加减法的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
二次根式的化简求值
已知≈1.414,≈1.732,求-的值.(精确到0.01)
解:原式=2---+3≈5.49.
15.4 二次根式的混合运算
1.理解和掌握二次根式的混合运算的运算顺序.
2.会运用乘法公式进行二次根式的乘法运算.
1.通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力和探索精神.
2.培养学生积极的学习态度,克服困难的精神.
经历观察、比较等过程,让学生感受到数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的乐趣,并提高应用意识.
【重点】 二次根式的混合运算的计算.
【难点】 能正确地进行二次根式的混合运算.
【教师准备】 课件1~5
【学生准备】 整式的混合运算的运算顺序.
导入一:
问题1:二次根式有哪些性质和公式?
性质:(1)a≥0时,=a;(2)()2=a(a≥0);(3)·(a≥0,b≥0);(4)或(a≥0,b>0).
公式:(1)·(a≥0,b≥0);(2)(或)(a≥0,b>0).
问题2:已学过的整式的乘法公式和法则有哪些?
在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来.
答:单项式与多项式相乘的法则是,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc.
多项式与多项式相乘的法则是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,其中a,b,m,n都是单项式.
完全平方式:(a±b)2=a2±2ab+b2;平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
在实数范围内,整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用,运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算.
问题3:怎样化简二次根式?
【课件1】 化简下列二次根式.
,3,,,.
学生独立完成,指名板演.
[设计意图] 进一步梳理和巩固已学过的知识,纵览公式之间的区别与联系,为学习新知识做好铺垫,同时体验公式与性质的准确应用.
导入二:
一个正方形的边长是,现将它的一边长增加,另一边长减少,你能计算出变化之后的图形的面积吗?变化之后的图形的面积和原来正方形的面积相差多少?
引导学生分析:
(1)变化后的图形的长为,宽为-,面积为()(-);
(2)变化之后图形的面积和原来正方形的面积相差:()(-)-()2.
说明:怎样计算上面的两个算式呢?板书课题:15.4二次根式的混合运算.
[设计意图] 情境导入,抽象出二次根式的混合运算,从而引入到本节课所要学习的内容,为学生学习二次根式的混合运算做好铺垫.
[过渡语] 在含有二次根式的加、减、乘、除运算的式子中,我们可以按一定的顺序进行计算,并将计算结果化为最简二次根式.
与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算,也应先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.
活动一:大家谈谈——感知方法
【课件2】 (教材第101页大家谈谈)计算下列各式.
(1)(); (2)(6+3);
(3)(-2)(+2); (4)(-)().
观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运算律和乘法公式.
分析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括号内的每一项分别除以;(3)和(4)利用平方差公式直接计算.
学生在练习本上完成.
解:(1)()==3.
(2)(6+3)=6+3=6+9=15.
(3)(-2)(+2)=()2-22=3-4=-1.
(4)(-)()=()2-()2=6-3=3.
教师强调:计算的结果要化为最简二次根式,对于(2)你还有其他方法吗?鼓励学生可以将3化成最简二次根式,再求值.
[设计意图] 通过计算让学生认识到二次根式的一些计算与整式的一些运算类似,也可以利用整式的乘法公式进行计算,从而让学生领悟二次根式的乘除法的计算方法.
活动二:例题讲解
【课件2】
计算下列各式.
(1)(-); (2)().
〔解析〕 (1)把乘法运算的结果化成最简二次根式,再进行加减运算;(2)不是最简二次根式的可以先化简,再进行计算.
学生独立思考后完成,教师指两名学生板演,全班讲评.
解:(1)思路一:(-)=-=4-2.
思路二:(-)=(2-)=4-2.
(2)思路一:()=2+5.
思路二:()=(2+5)=2+5=2+5.
说明:教师要鼓励学生采用不同的方法进行计算,提倡方法的多样化.
[过渡语] 在二次根式的运算中,有的时候还要用到我们学过的整式乘法公式.
【课件3】
计算下列各式.
(1)()(-); (2)(+1)2.
想一想:(1)()2(a≥0)的值是多少?
(2)本题中的(1)(2)怎样计算比较简便?
分析:可以利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
解:(1)原式=()2-()2=5-2=3.
(2)原式=()2+21+12=3+2+1=4+2.
注意:在计算过程中,有同类项或被开方数相同的最简二次根式要进行合并.乘法公式在实数范围内也是成立的.
【课件4】 (教材第102页做一做)计算下列各式.
(1)(2-3); (2)(-1)2; (3)(-)().
学生独立完成,指三名同学板演过程,然后教师集体讲评.
解:(1)(2-3)=2-3=10-15.
(2)(-1)2=()2-21+12=7-2+1=8-2.
(3)(-)()=--=6+2-2-4=2.
【课件5】
计算下列各式.
(1); (2)(5+)(-3).
引导学生思考:(1)中怎样能把其分母有理化?
(2)应采用哪种方法计算.
学生思考后得出(1)中分子、分母同时乘(+1);(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算.
教师巡视指导后展示答案,分析过程.
解:(1)+1.
(2)(5+)(-3)=5-15+()2-3=2-12.
[知识拓展] 二次根式的混合运算实质上就是有理数的混合运算与无理数的混合运算,是对前面学过的二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化.
[设计意图] 进一步体会整式的乘法法则和公式对二次根式的一些计算同样适用,提高学生的分析能力和对知识的整合能力.
1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式仍然成立,在二次根式的混合运算中均可运用.
2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进行二次根式的加减运算.在进行二次根式的和与差的乘法运算时,可以直接运用公式进行计算.
3.在进行二次根式的混合运算时,先进行乘法运算,再进行加减运算,有括号时,先算括号里面的.
4.一般地,二次根式运算结果中的二次根式应化为最简二次根式.
1.计算(2-3)的结果是 ( )
A.- B.- C. D.
解析:原式=(8-9)=-=-.故选B.
2.已知x=2+,y=-2,则x与y的关系是 ( )
A.x=y B.x=-y C.xy=1 D.xy=-1
解析:xy=(2+)(-2)=3-4=-1.故选D.
3.化简(-2)2015·(+2)2016的结果为 ( )
A.-1 B.-2 C.+2 D.--2
解析:原式=[(-2)·(+2)]2015·(+2)=(3-4)2015·(+2)=--2.故选D.
4.已知a=3+,b=3-,则代数式的值是 ( )
A.24 B.±2 C.2 D.2
解析:∵a=3+,b=3-,∴a+b=6,ab=4,∴=2.故选C.
5.化简-的结果是 ( )
A.- B.2-
C.3-2 D.2-
解析:原式=-=2-.故选D.
6.下列运算正确的是 ( )
A.(5-2)-
B.(2+)2=9+2
C.(-)=1
D.()=
解析:A.原式=---,所以A选项正确;B.原式=4+5+4=9+4,所以B选项错误;C.原式=(-)·=2-,所以C选项错误;D.原式=·,所以D选项错误.故选A.
7.计算.
(1)-;
(2)-5+6;
(3)-.
解析:(1)(2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;(3)根据二次根式的乘法法则运算.
解:(1)原式=2+4-=5.
(2)原式=4-=3.
(3)原式=-=20-3=17.
8.计算:(-)+.
解析:先进行二次根式的化简和乘法运算,然后合并.
解:原式=+1+3-3=4-.
9.已知a是4的小数部分,求代数式的值.
解:∵4,∴6<4<7,
∴a=4-6,∴a-1<0,
∴=a-1+=a-1-=4-6-1-=4-7-=4-7---7.
15.4 二次根式的混合运算
活动一:大家谈谈——感知方法
活动二:例题讲解
例1
例2
例3
一、教材作业
【必做题】
1.教材第103页练习题.
2.教材第103页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第103页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若a=,b=-,则ab的值为 ( )
A.2m B.2mn C.m+n D.m-n
2.计算(2-2)()的结果是 ( )
A.32 B.16 C.8 D.4
3.()(-)的值等于 ( )
A.2 B.-2 C. D.
4.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是 ( )
A.0 B. C.2+ D.2-
5.下列计算正确的是 ( )
A.2+3=5
B.()·=10
C.(3+2)(3-2)=-3
D.()2=()2+()2=2+6=12
6.规定a※b=,则※的值是 ( )
A.5-2 B.3-2
C.- D.
7.计算2-6-3-(-1)2的值为 ( )
A.-4-4 B.-4 C.2-4 D.-3
8.的值是 ( )
A.-3 B.3-
C.2- D.-
9.下列计算正确的是 ( )
A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3
B.(2)(-)=2x-y
C.(3-)2=32-()2=6
D.()(-)=1
10.的结果估计在 ( )
A.10到11之间 B.9到10之间
C.8到9之间 D.7到8之间
【能力提升】
11.计算.
(1)-;
(2)(5-6);
(3)(+1)(2-);
(4)(2-3)2.
12.已知a=-1,b=+1,分别求下列各式的值:
(1)a2+b2;
(2).
【拓展探究】
13.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)3与 是关于1的平衡数,5-与 是关于1的平衡数;?
(2)若(m+)×(1-)=-5+3,判断m+与5-是否是关于1的平衡数,并说明理由.
【答案与解析】
1.D(解析:∵a=,b=-,∴ab=()(-)=()2-()2=m-n.故选D.)
2.C(解析:原式=(2-2)(2+2)=(2-2)(2+2)=(2)2-(2)2=20-12=8.故选C.)
3.B(解析:原式=3-5=-2.故选B.)
4.C(解析:把x=2-代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.)
5.C(解析:A.2与3不能合并,所以A选项错误;B.原式=,所以B选项错误;C.原式=9-12=-3,所以C选项正确;D.原式=2+4+6=8+4,所以D选项错误.故选C.)
6.A(解析:根据规定,原式==(-)2=
5-2.故选A.)
7.B(解析:原式=4-2-4-(3-2+1)=4-2-4-3+2-1=-4.故选B.)
8.A(解析:原式==4-3-3.故选A.)
9.D(解析:A.(3-2)(3+2)=9-8=1,所以A选项错误;B.(2)(-)=2x-2-y=2x--y,所以B选项错误;C.(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;D.()(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.)
10.D(解析:原式==4+,∵9<10<16,∴3<<4,∴7<4+<8.故选D.)
11.解:(1)原式=4--=3. (2)原式=5-6=20+2-6=22-2. (3)原式=(+1)(-1)=(2-1)=. (4)原式=12-12+18=30-12.
12.解:当a=-1,b=+1时,(1)原式=(-1)2+(+1)2=4-2+4+2=8. (2)原式==4.
13.解:(1)-1 -3+ (2)不是.理由如下:∵(m+)×(1-)=m-m+-3,又∵(m+)×(1-)=-5+3,∴m-m+-3=-5+3,∴m-m=-2+2,即m(1-)=-2(1-),∴m=-2.∴(m+)+(5-)=(-2+)+(5-)=3,∴-2+与5-不是关于1的平衡数.
二次根式的混合运算是在学生学习了基本的二次根式性质的基础上,综合进行训练的.通过复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的运算中,这样可以做到前后知识的融会贯通.在每一个环节后及时进行回顾反思,既可以解决在以前的学习过程中出现的问题,又可以对新出现的问题进行总结,吸取教训.学生习惯上把运算结果的有理数部分写在前面,无理数部分写在后面.要提醒学生在化简二次根式的过程中一定要仔细.学生在练习的过程中,对于自己出现的问题,要随时反思,及时总结,找出原因.另外,通过其他学生的错题,共同反思回顾.
学生在二次根式的计算上还存在一定的问题,计算不够准确,对乘法公式和整式乘法的其他运算法则掌握不好,不能迁移到二次根式的一些运算中.
本节难点是将整式运算知识迁移到含二次根式的运算中,老师最好用类比的方法加速学生的理解.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的,主要靠教师的激励和主导,才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下,促进学生的认知活动与情感活动的协调发展,有效地唤起学生的主体意识,在和谐、愉快的情境中达到师生互动,生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教,促使学生乐学、会学、善学,从而优化课堂教学、提高教学质量,在和谐、愉快的情境中实现教与学的共振.
练习(教材第103页)
解:(1)原式=5+5. (2)原式=6+3=9. (3)原式=()2-(2)2=13-44=-31. (4)原式=(3-4)(3-4)=(3-4)2=66-24.
习题(教材第103页)
A组
1.解:(1)原式=6+2+3+6=12+5. (2)原式=-2.
2.解:(1)原式=.
(2)原式==7+4.
B组
1.解:因为a==2-,b=2-,所以a=b.
2.解:(1)原式=-=2-=2-. (2)原式=.
复习题(教材第105页)
A组
1.解:(1)不正确,因为与不是同类二次根式,不能合并. (2)正确. (3)正确. (4)不正确,因为与不是同类二次根式,不能合并.
2.解:(1)=6. (2)=2. (3)=5. (4) . (5) . (6) .
3.解:(1)原式=4+2-5. (2)原式=-2=-. (3)原式=4-20-3=-16-3. (4)原式=2-+3.
4.解:(1)原式=2(-)=-42. (2)原式=64. (3)原式== . (4)原式=62=4×2=8. (5)原式=(3)2-(2)2=45-12=33. (6)原式=2-.
B组
1.解:(1)原式=2-1-2+-3. (2)原式=--. (3)原式=(5+4)=9=9=12. (4)原式=(3-2).
2.解:(1)原式=+1. (2)原式=---=--.
3.解:x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.
C组
1.解:=12,由于n为正整数,且12为正整数,所以n的最小值为3.
2.解:由已知得x+y=,xy=,所以=20.
本节的教学中,教师要让学生回顾整式乘法的相关运算律和法则,让学生意识到整式的运算可以迁移到二次根式的运算中来,对于例题的讲解要重视发现算式的特点,让学生灵活运用恰当的方法进行解题.教学过程中教师可以对教材的例题和习题进行适当归类,如单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式、乘法公式、混合运算等.教师要注意指导学生的计算过程,提高学生的计算能力.
(2015·淄博中考)计算:.
〔解析〕 首先应用乘法分配律,可得 ,然后根据二次根式的混合运算的运算顺序,先计算乘法,再计算加法.
解:=1+9=10.
计算.
(1)(2)(2-);
(2)(2-3).
〔解析〕 (1)利用平方差公式计算;(2)先把括号内的各二次根式化为最简二次根式,合并后进行二次根式的除法运算.
解:(1)原式=(2)2-()2=12-6=6.
(2)原式=(8-9)=-=-.
已知x=(),y=(-),求下列各式的值:
(1)x2-xy+y2;
(2).
〔解析〕 由x=(),y=(-),得出x+y=,xy=,整理要求的代数式,代入即可.
解:∵x=(),y=(-),∴x+y=,xy=.
(1)x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=7-.
(2)=12.
1.让学生进一步理解二次根式、最简二次根式的概念.
2.进一步理解和掌握二次根式的基本性质.
3.能熟练进行二次根式的四则运算,提高学生的计算能力.
4.加强二次根式与其他知识的综合,提高学生综合解决问题的能力.
经历探究的过程,在学生掌握有关实数概念的基础上,能灵活地进行解题,提高学生应用知识的能力和意识.
1.通过计算,培养学生认真检查的良好习惯,提高学生计算的准确性.
2.培养学生在学习过程中的积极态度和克服困难的精神.
【重点】
1.加深对二次根式、最简二次根式的理解.
2.会利用二次根式的性质、运算法则进行化简计算.
【难点】 能利用加、减、乘、除法法则对二次根式进行计算.
二次根式 (a≥0)
专题一 二次根式的非负性
【专题分析】
对于二次根式,有两个“非负”:第一个是a≥0,第二个是根据算术平方根的定义,可以知道≥0,这两个“非负”在解二次根式的有关问题时经常用到.二次根式的值为非负数,是一种常见的隐含条件.另外,绝对值、二次幂也有非负性,在题目中常常作为隐含条件,一定要引起充分的重视.解决这类问题经常会用到二元一次方程组.
设x,y均为实数,且y=,求xy的值.
〔解析〕 根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算求出x的值,再求出y的值,然后代入代数式进行计算即可得解.
解:由题意得x2-4≥0,4-x2≥0且x-2≠0,
解得x2=4且x≠2,所以x=-2,
y==-500,
所以xy=(-2)×(-500)=1000.
[解题策略] 解答此类问题时,一定要熟练掌握二次根式的非负性,即≥0(a≥0).
【针对训练1】 已知+(4a-b-2)2=0,求代数式(-2ab2)2的值.
〔解析〕 利用二次根式的非负性列出关于a和b的二元一次方程组,求出a与b的值,代入代数式中计算即可.
解:∵+(4a-b-2)2=0,
∴解得
∴(-2ab2)2=(-2×1×22)2=64=.
【针对训练2】 已知实数x,y,z满足|x-y|+2+z2-z+=0,求x+y+z的算术平方根.
〔解析〕 直接利用绝对值、完全平方式和算术平方根的性质求值即可.
解:∵|x-y|+2+z2-z+=0,
∴|x-y|+2=0,
∴x-y=0,2y+z=0,z-=0,
解得z=,x=y=-,
∴x+y+z=--=0,
则x+y+z的算术平方根为0.
专题二 二次根式的化简与计算
【专题分析】
在二次根式的混合运算中,熟练运用二次根式的乘除法法则,公式中a,b的取值范围往往是正确解题的关键,整式的乘法公式同样适用,运用乘法公式往往会使计算简便.
计算.
(1)-;
(2)(7+4)(7-4)-(3-1)2.
〔解析〕 (1)利用二次根式的乘除法法则运算;(2)利用完全平方公式和平方差公式计算.
解:(1)原式=-+2=4-+2=4+.
(2)原式=49-48-(45-6+1)=1-46+6=6-45.
[解题策略] 先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并被开方数相同的最简二次根式.
【针对训练3】 计算.
(1)()×(-);
(2)().
〔解析〕 (1)先利用平方差公式计算,然后进行乘法运算;(2)把化为最简二次根式,然后把括号内的合并后进行二次根式的除法运算.
解:(1)原式=(3-2).
(2)原式=.
【针对训练4】 计算.
(1)·;
(2)(6-3)2-(-)().
〔解析〕 (1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后把括号内的合并后进行二次根式的乘法运算;(2)利用完全平方公式和平方差公式计算.
解:(1)原式=(-2-)·2=(-3)·2=6-18.
(2)原式=36-36+18-(5-6)=36-36+18+1=55-36.
【针对训练5】 计算:(2+1)+…+.
〔解析〕 根据-可将原式简化,从而可得出答案.
解:原式=(2+1)+…+
=(2+1)[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]
=(2+1)(-1)=9(2+1)=18+9.
[方法归纳] 在进行二次根式的混合运算时,先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,能利用乘法公式的要利用乘法公式,这样可以使计算简便.
专题三 二次根式的求值
【专题分析】
有理数中的法则、性质、运算律等在实数范围仍然适用,二次根式的运算的最后结果要化为最简二次根式.化简求值问题,一定要先化简,再代入求值,要注意观察题目的特点,不要盲目代入,而使计算变得复杂;另外,要注意乘法公式的变形应用及整体思想的运用.
已知x=,求代数式+x2·的值.
〔解析〕 原式利用单项式乘多项式法则计算后,把x的值代入计算即可.
解:原式=+x2=x2+x2=2x2,
当x=时,原式=2.
【针对训练6】 先化简,再求值:·,其中x=-1.
〔解析〕 先将代数式化简,再把x的值代入计算即可.
解:原式=·=x-4+,
当x=-1时,原式=-1-4+-1-4++1=2-4.
【针对训练7】 已知x=,y=,求x2+xy+y2的值.
〔解析〕 先将x和y的分母有理化,然后代入计算即可.
解:x=-2,y=+2,
∴x+y=2,xy=(-2)(+2)=1,
∴x2+xy+y2=x2+2xy+y2-xy=(x+y)2-xy=(2)2-1=20-1=19.
[解题策略] 当分式的分母是无理数,并且是两个实数的和或差时,利用平方差公式将分母有理化.
专题四 数形结合思想
【专题分析】
数形结合思想是数学中最常用的一种思想方法,数轴是数形结合的典范,它把数和形有机地结合起来.解此类题的关键是通过数轴确定字母的符号及大小关系,切忌没有先判断就直接进行运算.
实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简-.
〔解析〕 利用数轴得出各项符号,进而利用二次根式的性质化简计算即可.
解:由数轴可得a<0,b>0,a-b<0,
∴-=-a+b+(a-b)=0.
【针对训练8】 实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简--+|a+b|.
〔解析〕 根据二次根式的性质=a(a≥0)和正数的绝对值是它的本身,化简代数式.
解:由数轴可知a<0,b>0,|a|<|b|,
∴原式=b-(-a)-(2b-a)+(b+a)=b+a-2b+a+b+a=3a.
[方法指导] 解决此类问题一要注意字母的取值范围,二要正确地运用公式.
专题五 分类讨论思想
【专题分析】
当被研究的问题出现多种可能的情况时,往往要按照可能出现的情况分别进行讨论,从而得出每种情况下相应的结论.本章中主要是对公式的讨论,在讨论时要注意不重不漏.
当代数式+a的值为一个常数时,求a的取值范围.
〔解析〕 先将转化为,因为不知道a的取值范围,所以要去掉绝对值符号,就要对a的取值进行分类讨论.
解:+a=+a,
①当a-4>0,即a>4时,原式=a-4+a=2a-4.
②当a-4=0,即a=4时,原式=0+a=a=4.
③当a-4<0,即a<4时,原式=4-a+a=4.
∴当a≤4时,代数式+a的值为一个常数.
[解题策略] 利用二次根式的概念和性质解题时,若题目中没有给出被开方数中字母的取值范围,就要对字母的取值进行分类,然后在不同的范围内进行讨论.
【针对训练9】 已知|1-|=x,化简.
〔解析〕 根据|1-|=x,进行分类讨论.
解:当x≥2时,|1-|=x-2≠x,
当1当x≤1时,|1-|=x,
又x=|1-|≥0,
∴0≤x≤1,
∴原式=,
∴①当0≤x<时,原式=+x+=1,
②当≤x≤1时,原式=+x+=2x.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(第1~6小题,每小题2分,第7~16小题,每小题3分,共42分)
1.下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
2.使有意义的x的取值范围是 ( )
A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1
3.下列各等式成立的是 ( )
A.()2=5 B.=-3
C.=4 D.=x
4.下列是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
5.-1的倒数为 ( )
A.-1 B.1-
C.+1 D.--1
6.计算的结果是 ( )
A. B. C. D.
7.若等式·成立,则x的取值范围是 ( )
A.x≥0 B.x≥-2
C.-2≤x≤1 D.x≥1
8.计算的值为 ( )
A. B. C. D.
9.下列运算错误的是 ( )
A. B.
C.2+3=5 D.=1-
10.已知x=-,那么x+的值等于 ( )
A.2 B.-2
C.2 D.-2
11.已知ΔABC的面积为12 cm2,底边为2 cm,则底边上的高为 ( )
A.3 cm B.6 cm
C. cm D.12 cm
12.下列二次根式中能与合并的二次根式是 ( )
A. B. C. D.
13.已知实数a,b,c的对应点在数轴上的位置如图所示,化简的结果是 ( )
A.-a+b-c B.a+b-c
C.-a-b-c D.-a-b+c
14.甲、乙两人计算+a的值,当a=5时,得到不同的答案,甲的答案是:+a=+a=2-a+a=2,乙的答案是:+a=+a=+a=a-2+a=2a-2=8.下列说法正确的是 ( )
A.甲的答案是正确的
B.乙的答案是正确的
C.两人的答案都不正确
D.两人的答案都正确
15.如果(2+)2=a+b(a,b为有理数),那么a+b等于 ( )
A.2 B.3 C.8 D.10
16.计算-(-)-的结果是 ( )
A.3 B.3 C.+3 D.
二、填空题(每小题3分,共12分)
17.当118.对于任意两个和为正数的实数a,b,定义运算※如下:a※b=,例如3※1==1,那么8※12= .?
19.计算-的近似值为 .(精确到0.01,≈1.414,≈1.732)?
20.(3+2)2015(3-2)2016= .?
三、解答题(共66分)
21.(10分)观察下列等式:=1×3;=3×5;=5×7……
根据上述规律解决下列问题.
(1)完成第④个等式:= × ;?
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明其正确性.
22.(10分)计算.
(1)+(-1)2+;
(2).
23.(10分)已知a=,b=.
(1)计算a+b及ab的值;
(2)利用(1)的结果求代数式的值.
24.(10分)一个长方体的长、宽、高分别是,,,求与该长方体体积相等的正方体的棱长是多少?
25.(12分)已知A=-3,B=,C=-,且A,B,C是可以合并的最简二次根式,求a,b及A+B-C的值.
26.(14分)已知矩形ABCD的面积为10,求图中阴影部分的面积.
【答案与解析】
1.D(解析:A.当a<0时,无意义,故本选项错误;B.当x2-1<0时,无意义,故本选项错误;C.因为-<0,所以无意义,故本选项错误;D.因为π>0,是二次根式,故本选项正确.故选D.)
2.D(解析:由题意得x-1≥0,解得x≥1.故选D.)
3.C(解析:A.错误,没意义;B.错误,=3;C.正确,=4;D.错误,x的符号不确定.故选C.)
4.D(解析:A,B中的被开方数不是整数,故不是最简二次根式;C.被开方数含能开得尽方的因数,故C不是最简二次根式;D.被开方数不含分母,且被开方数不含能开得尽方的因数或因式,故D是最简二次根式.故选D.)
5.C(解析:∵1÷(-1)=+1,∴-1的倒数为+1.故选C.)
6.C(解析:原式=.故选C.)
7.D(解析:∵·,∴解得x≥1.故选D.)
8.A(解析:原式=.故选A.)
9.D(解析:A.,所以A选项的计算正确;B.,所以B选项的计算正确;C.2+3=5,所以C选项的计算正确;D.-1,所以D选项的计算错误.故选D.)
10.A(解析:x+---=2.故选A.)
11.B(解析:由题意知=6(cm).故选B.)
12.C(解析:A.=3,所以A选项错误;B.是最简二次根式,所以B选项错误;C.=4,所以C选项正确;D.=3,所以D选项错误.故选C.)
13.D(解析:原式=|a|+|b-c|=-a+c-b.故选D.)
14.B(解析:+a=+a=|2-a|+a,当a=5时,2-a<0,所以原式=a-2+a=2a-2=8,则乙的答案是正确的.故选B.)
15.D(解析:∵(2+)2=6+4,(2+)2=a+b,∴a=6,b=4,∴a+b=6+4=10.故选D.)
16.A(解析:-(-)-=4-3+3-=3.故选A.)
17.1(解析:当10,=2-x+x-1=1.故填1.)
18.-(解析:8※12==-.故填-.)
19.5.20(解析:--+3=3≈3×1.732=5.196≈5.20.故填5.20.)
20.3-2(解析:原式=[(3+2)(3-2)]2015·(3-2)=(9-8)2015·(3-2)=3-2.故填3-2.)
21.解:(1)7 9 (2)第n个等式为=(2n-1)(2n+1).证明如下:=(2n-1)(2n+1).
22.解:(1)原式=3+4-2-1=2+3. (2)原式==-.
23.解:(1)a==5+2,b==5-2,∴a+b=10,ab=(5+2)(5-2)=1.
(2).
24.解:长方体的体积是=8,则等体积的正方体的棱长是=2.
25.解:由题意知a+1=3a-1,∴a=1,则B=,∴10(b+1)=2,∴b=-,则A+B-C=-3=-.
26.解:BC=10=10,阴影部分的面积为10-(-)[-(-)]=10-(-)=10-2+2.
