课件18张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十六章 轴对称和中心对称16.1 轴对称青山倒映在水中.这是什么景象呢?问题思考同学们可以想象,落日、晚霞、青山倒映在平静的水中,这样如诗如画的景致多么令人难忘!自远古以来,对称形式就被认为是和谐美丽的,不论是在自然界中还是建筑里,甚至最普通的日常生活中,对称的形式都随处可见..活动一:观察与思考—认识轴对称你还能举出日常生活中具有对称特征的例子吗?
对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，我们都可以找到对称的例子。(1)把一张长方形纸对折,剪出一个图案,再打开,就剪出了美丽的窗花,你能剪出什么样的窗花呢?
(2)观察剪出的窗花,你能发现它们有什么共同特征?
(3)联系实际,你能举出一个轴对称图形的例子吗?剪纸活动归纳:一般地,如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.[知识拓展] 轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质的图形,被一条直线分割成两部分,沿着对称轴折叠时,互相重合;轴对称图形的对称轴可以有一条,也可以有多条甚至无数条.归纳:一般地,如果两个图形沿某条直线对折后,这两个图形能够完全重合,那么我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做对应点、对应线段、对应角.(3)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,它是一个轴对称图形吗?问题
(1)轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别?(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形成轴对称吗?成轴对称的两个图形全等吗?[知识拓展] 图形成轴对称包括两层含义:(1)有两个图形,且这两个图形能够完全重合,即形状、大小完全相同;(2)对重合的方式有限制,只能是把它们沿某条直线对折后能够完全重合. 轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称 区别联系图形 (1)轴对称图形是指( )
具有特殊形状的图形，
只对( ) 图形而言;
(2)对称轴( ) 有一条(1)轴对称是指( )图形
的位置关系,必须涉及
( )图形;
(2)只有( )对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分,那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体,那
么它就是一个轴对称图形.一个一个至少两个两个一条活动二:一起探究—成轴对称图形的性质问题:成轴对称的两个图形全等吗?全等的两个图形一定成轴对称吗?为什么?观察教材图16-1-3:
1.根据全等形的意义,ΔABC与ΔA'B'C'全等吗?对应线段有怎样的数量关系?对应角呢?
2.对应点的连线AA',BB',CC'分别与对称轴l有怎样的位置关系?归纳:成轴对称图形的性质:如果两个图形关于某一条直线成轴对称,那么这两个图形是全等形,它们的对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.如图所示,已知线段AB和直线l,画出线段AB关于直线l的对称线段. A ′B ′实践与应用1.下面是生活中的一些图形,它们是轴对称图形吗? 2.下列图形是部分汽车的标志,哪些是轴对称图形?3.下图中的两个图形是否成轴对称?如果是,请找出它的对称轴.知识点一:轴对称图形
1.轴对称图形沿对称轴折叠,两旁的部分能够完全重合.
2.轴对称图形的对称轴是轴对称图形对称轴两侧的对应点所连线段的垂直平分线,可能只有一条,也可能不止一条.知识点二:两个图形成轴对称
轴对称图形与两个图形成轴对称既有区别又有联系.
区别:轴对称图形是指一个图形的特征,成轴对称是两个图形的位置关系.
联系:二者都有对称轴,如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两个图形成轴对称.知识点三:成轴对称图形的性质
1.成轴对称图形的性质介绍了对称轴与对应点所连线段之间的关系,即对称轴垂直平分对应点所连的线段.
2.根据这一性质,若已知对称轴和一个图形的一点就能准确作出该点的对应点,而不必再去对折了.1.如图所示,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°解析:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,
∠2+∠3=90°,∵∠3=30°,
∴∠2=60°,易知∠1=60°.故选C.C2.下面四句话中的文字有三句具有对称规律,其中没有这种规律的一句是 ( )
A.上海自来水来自海上 B.有志者事竟成
C.清水池里池水清 D.蜜蜂酿蜂蜜解析:A.上海自来水来自海上,可将“水”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;B.有志者事竟成,五字均不相同,所以不对称,故本选项正确;C.清水池里池水清,可将“里”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;D.蜜蜂酿蜂蜜,可将“酿”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误.故选B.B3.经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比 ( )
A.形状没有改变,大小没有改变
B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变
D.形状有改变,大小有改变解析:∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变.故选A.A4.如图所示,由4个大小相等的正方形组成的L形图案.
(1)请你改变1个正方形的位置,使它变成轴对称图形;
(2)请你再添加一个小正方形,使它变成轴对称图形.解析:根据轴对称图形的概念进行设计.解:答案不唯一,如图所示.课件15张PPT。第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线(第1课时)八年级数学·上 新课标 [冀教]如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现? 问题思考1.用平面图将上述问题进行转化，已知线段AB及AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3，…，连接AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3……2.作好图后,用直尺量出AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3……讨论发现什么样的规律..活动一: 线段垂直平分线的性质如图所示，已知线段AB和它的中垂线l，O为垂足. 在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由.事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA=PB.(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.（说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.）[知识拓展] (1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.例题讲解已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短. A'P【提出问题】
(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?(2)在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.解:∵点A和点A'关于直线l对称,
∴AP=A'P.
∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P',连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短).
即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.
∴AP+BP最短.已知:如图所示，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.
求证AC=AB.证明:连接BC，因为点D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC，所以CD，BE分别是AB，AC的垂直平分线，所以AC=BC，AB=CB,所以AC=AB.(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.课堂小结线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.1.(2015·随州中考)如图所示，ΔABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则ΔBDC的周长是( )
A.8 B.9 C.10 D.11解析:∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，又ΔBDC的周长为DB+BC+CD，∴ΔBDC的周长为AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故选C.C2.(2015·达州中考)如图所示，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.48° B.36° C.30° D.24°解析:∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°，∵BC的垂直平分线交BD于点F，∴BF=CF，∴ΔBFC为等腰三角形，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°-24°=48°.故选A.A3.(2015·遂宁中考)如图所示，在ΔABC中，
AC=4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，ΔBCN的周长是7 cm，则BC的长为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm解析:∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，∵ΔBCN的周长是7 cm，∴BN+NC+BC=7 cm,∴AN+NC+BC=7 cm，∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7 cm，又∵AC=4 cm，∴BC=7-4=3(cm).故选C.C4.如图所示，ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4 cm，ΔABD的周长为14 cm，则ΔABC的周长为 ( )
A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm解析:∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∴ΔABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4 cm，∴AC=2AE=2×4=8(cm)，∴ΔABC的周长为AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.B5.如图所示，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(提示:等腰三角形的两个底角相等)( )
A.AB=AD B.∠ABC=∠ADC
C.AB=BD D.ΔBEC≌ΔDEC解析:∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC，∴∠ABD+∠DBC=∠ADB+∠BDC，即∠ABC=∠ADC,EB=DE,在RtΔBCE和RtΔDCE中，
∴RtΔBCE≌RtΔDCE(HL).故选C.C解析:∵在ΔABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=
=72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=
∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC,故A正确；∴ΔBCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；由题意知BD>CD，∴AD>CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误.故选D.6.如图所示，在ΔABC中，AB=AC，∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论错误的是(提示:等腰三角形的两个底角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形)( )
A.BD平分∠ABC
B.ΔBCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC
D.点D是线段AC的中点D7.如图所示，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10 cm，BC=11 cm，求ΔABD的周长. 解析:先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可求出ΔABD的周长.解:∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，
∴BD+AD=BD+CD=BC=11 cm，
又∵AB=10 cm，∴ΔABD的周长为AB+BC=10+11=21(cm).课件12张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]
第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线(第2课时)在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明.
那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?问题思考给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个?如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形..活动一:线段垂直平分线性质定理的逆定理与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.在ΔPOA和ΔPOB中,∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS)，∴∠POA=∠POB，∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.O 线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.[知识拓展] (1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.例题讲解已知:如图所示,在ΔABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.证明:如图所示,连接PA,PB,PC. ∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线，
∴PA=PB=PC，
∴点P在BC的垂直平分线上. (教材第116页做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O.
求证:AO=OC,BO=OD.证明:因为AB=BC，CD=AD，所以点B，D均在线段AC的垂直平分线上，直线BD是线段AC的垂直平分线，所以AO=OC，同理，BO=DO.【拓展延伸】 三角形三边的垂直平分线交于一点.如图所示，证明思路：如果一个点到一条线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上(如图所示).
符号语言:∵DA=DB,
∴点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.课堂小结1.如图所示，点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在( )的垂直平分线上.
A.AB B.AC
C.BC D.不能确定解析:∵BC=BD+AD=BD+CD，∴AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上.故选B.B2.直线l外有两点A,B,若要在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点能找到 ( )
A.0个 B.1个 C.无数个 D.0个或1个或无数个解析:①当直线l垂直于直线AB且不平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有0个,②当直线l垂直平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有无数个,③当直线AB与直线l不垂直时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有1个.故选D.D3.如图所示,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在 ( )
A.ΔABC三边垂直平分线的交点上
B.线段AB上
C.ΔABC三条高所在直线的交点上
D. Δ ABC三条中线的交点解析:∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,∴猫应该蹲守在ΔABC三边垂直平分线的交点上.故选A.A解:是.理由如下:
∵AB=AC，BM=CM，
∴点A，M都在线段BC的垂直平分线上.
根据“两点确定一条直线”知直线AM是线段BC的垂直平分线.4.如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗? 解析:根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答.5.如图所示，在ΔABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证:E点在线段AC的垂直平分线上.
又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE,∴DE+EC=AE+DE，∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上.证明:∵AD是ΔABC的高,∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，课件12张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]
第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线(第3课时)〔解析〕 因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同,所以水泵站应在AB,BC的中垂线的交点处.
说明:那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?问题思考如图所示,点A,B,C表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,水泵站应建在何处?请画示意图,并说明理由. .活动一:作线段的垂直平分线 要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线. 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线,现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定,能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?如图所示，已知线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.〔解析〕 由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知,只要作出到这条线段端点距离相等的两点,连接这两个点,即得所求作的直线.作法:如图所示. (1)分别以点A和点B为圆心，a( ) 为半径,在线段AB的两侧画弧,分别相交于点C，D.(2)连接CD.
直线CD即为所求.CD我们曾用刻度尺找线段的中点,当我们学习了线段的垂直平分线的作法时,一旦垂直平分线作出,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,所以我们也用这种方法找线段的中点.活动二:经过一点作已知直线的垂线如图所示,已知直线AB及AB外一点P.
求作:经过点P，且垂直于AB的直线.〔解析〕 在直线AB上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接PQ，直线PQ即为所求.作法:如图所示,以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线AB于点C,D. (3)连接PQ.直线PQ即为所求.(2)分别以点C,D为圆心,适当长为半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧相交于点Q.CDQ2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系:①点在直线外;
②点在直线上,因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.课堂小结1.利用尺规作线段MN的垂直平分线时,设以M，N为圆心所画弧的半径分别为RM，RN，则下列说法正确的是( )A.RM与RN不一定相等,但必须RM > MN,RN > MN
B.RM=RN> MN
C.RM>RN> MN
D.RM=RN= MN解析:根据作已知线段的垂直平分线的画法即可知B正确.故选B.B2.如图(1)所示，在河岸l的同侧有A，B两村,要在河边修一水泵站P，使水送到A，B两村所用的水管最短(两村不共用水管).另在河边修一码头Q，使其到A，B两村的距离相等，试画出P，Q所在的位置. 解析:点P为点A关于直线l的对称点和点B的连线与l的交点,点Q为线段AB垂直平分线与l的交点.解:如图(2)所示，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P.连接AB，作线段AB的垂直平分线,交直线l于点Q.P，Q两点对应的位置就是所求的位置.3.如图所示,请你在下列各图中,过点P画出射线AB或线段AB的垂线.解:如图所示.4.如图所示，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB；
(2)画直线DF⊥OA，垂足为F.解:(1)如图所示. (2)如图所示. 5.如图所示，已知ΔABC中，AB=2,BC=4.
(1)画出ΔABC的高AD和CE；
(2)若AD= ，求CE的长.解:(1)如图所示. 6.画图并回答问题.
(1)过点P画OA的垂线交OC于点B；
(2)画点P到OB的垂线段PM；
(3)指出上述作图中哪条线段的长度表示P点到OB的距离；
(4)比较PM与OP的大小，并说明理由.解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)PM的长度表示P点到OB的距离.
(4)PM 到这个角的两边的距离相等.）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。已知：如图所示，OC是 的平分线，P是OC上任意一点，
， ，垂足分别为D，E 。求证：PD=PE. 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。证明：作射线OP, 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）定理 2 (补充例题)如图所示，ΔABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF，∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.
(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.
(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二:角平分线的画法3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E.2.分别以点D，E为圆心,适当长为半径，在∠AOB的内部画弧，两弧相交于点C.DEC3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).课堂小结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.1.如图所示，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，
DE⊥AB于点E，SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5解析:过点D作DF⊥AC于F，∵AD是ΔABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴DE=DF，
∵SΔABC=SΔABD+SΔACD，∴ 4×2+ AC×2=7，解得AC=3.故选A.A2.如图所示,OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB平分OP解析:∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,∴PA=PB，∴ΔOPA≌ΔOPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A,B,C正确.设PO与AB相交于E.∵OA=OB，∠AOP=∠BOP,OE=OE，∴ΔAOE≌ΔBOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直于AB,而不能得到AB平分OP，故D不一定成立.故选D.D3.如图所示,在ΔABC中，角平分线AD，BE相交于O点，连接CO,则下列结论成立的是 ( )
A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD
C.CO平分∠ACB D.OC=OD解析:∵角平分线AD，BE相交于O点，∴CO平分∠ACB.故选C.C4.如图所示,ΔABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，BC=16 cm,CM∶MB=3∶5，求点M到AB的距离. 解析:过点M作MD⊥AB于D，先求出CM，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM.解:如图所示,过点M作MD⊥AB于D，∵BC=16 cm，
CM∶MB=3∶5，
∴CM= 16=6(cm)，
∵∠C=90°,AM平分∠CAB，
∴DM=CM=6 cm，
即点M到AB的距离为6 cm.D课件19张PPT。第十六章 轴对称和中心对称16.4 中心对称图形八年级数学·上 新课标 [冀教]如图(1)所示的是4张扑克牌,然后手中拿同样四张扑克牌充当魔术师，把任意一张牌旋转180°，把旋转过的扑克牌贴到黑板上，得到的扑克牌如图(2)所示，让学生猜哪一张牌被旋转过了?问题思考图(1)图(2).活动一:中心对称图形 观察这几幅图片,将它们分别绕各自标示的“中心点”旋转180°后，能不能与它们自身重合?中心对称图形:如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合,我们就把这个图形叫做中心对称图形,这个点就叫做它的对称中心,其中对称的点叫做对应点.(1)如图所示的是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形,它是由四个相同的直角三角形拼成的,下面关于此图形的说法正确的是 ( )
A.它是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.它是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.它既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.它既不是轴对称图形,又不是中心对称图形(2)在26个英文大写正体字母中,哪些字母是中心对称图形?活动二:两个图形成中心对称如图所示，ΔABC和ΔDEF的顶点A，C，F，D在同一条直线上，O为线段CF的中点，AC=DF，BC=EF，∠ACB=∠DFE.两个三角形有什么位置关系? ΔABC绕点O旋转180°可以和ΔDEF重合.如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合,我们就把这两个图形叫做成中心对称,这个点叫做对称中心,其中成中心对称的点、线段、角,分别叫做对应点、对应线段和对应角.中心对称图形和成中心对称有怎样的区别?把一个图形绕着某一个点旋转180?,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称,两个图形关于点对称也称中心对称.如果一个图形绕着一个点旋转180?后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形.如图所示,ΔABC和ΔADE就是成中心对称的两个三角形,点A是对称中心.
点B的对应点为 ,
点C的对应点为 ;?
∠B的对应角是 ,
∠C的对应角是 ,
∠BAC的对应角是 ;?
AB的对应线段是 ,
BC的对应线段是 ,
AC的对应线段是 .?活动三:中心对称的性质大家谈谈:1.如果将成中心对称的两个图形看成一个图形,那么这个图形是不是中心对称图形?2.我们已经学习过图形的旋转,中心对称图形和图形的旋转之间有什么关系?将成中心对称的两个图形看成一个图形,这个图形也是中心对称图形;中心对称图形可以看作是旋转角度是180度的旋转对称图形.3.对于图形的旋转,有基本性质:“一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等”,中心对称图形具有怎样的性质?在成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,并且被对称中心平分.轴对称图形与中心对称图形异同(3)利用中心对称的性质可以作出一个图形关于某一点的中心对称图形.[知识拓展] (1)中心对称是一种特殊的旋转对称,因此它具有旋转对称的一切特征.(2)成中心对称的两个图形,对称中心在对应点的连线上,对应点到对称中心的距离相等,对应角相等,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等.如图(1)所示，已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的中心对称图形. 〔解析〕 要画出线段AB关于点O的中心对称图形，就是根据中心对称的性质找到A，B两点关于点O的对称点.(2)连接CD.线段CD即为所求.解:(1)连接AO，BO，并延长AO到点C，延长BO到点D，使得OC=OA，OD=OB.CD2.成中心对称的定义及中心对称的性质
(1)成中心对称的定义:如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合,我们就把这两个图形叫做成中心对称.
注意:成中心对称是相对于两个图形来说的.
(2)中心对称的性质:在成中心对称的两个图形中,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
注意:该性质可以帮我们判别两线段是否相等或求线段的
长,也可以帮我们来画中心对称图形.课堂小结1.中心对称图形的定义
如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合,我们就把这个图形叫做中心对称图形,这个点就叫做它的对称中心.
注意:常见的中心对称图形有:线段、长方形、正方形、圆等.1.如图所示，ΔABC与ΔA1B1C1关于点O成中心对称，下列说法:①∠BAC=∠B1A1C1；
②AC=A1C1；③OA=OA1；
④ΔABC与ΔA1B1C1的面积相等.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:成中心对称的两个图形全等,则①②④正确;对应点到对称中心的距离相等,故③正确.即①②③④都正确.故选D.D2.下列说法中错误的是 ( )
A.成中心对称的两个图形全等
B.成中心对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴平分
C.中心对称图形的对称中心是对应点连线的中点
D.中心对称图形绕对称中心旋转180°后,都能与自身重合解析:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形与另一个图形重合,那么就说明这两个图形关于这个点成中心对称,中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点,根据中心对称图形的定义和性质可知A,C,D正确,B错误.故选B.B3.已知A，B，O三点不在同一直线上，A，A'关于O点对称,
B， B'关于O点对称，那么线段AB与A' B' .(填数量和位置关系)?解析:中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是平行且相等.故填平行且相等.平行且相等4.如图所示，线段AB，CD互相平分于点O，过O作EF交AC于E，交BD于F，则这个图形是中心对称图形，对称中心是O.指出图形中的对应点: ,对应线段:______, 对应三角形: .?解析:根据中心对称的定义结合图形可知图形中的对应点、对应线段、对应三角形.答案:A和B，C和D，E和F OA和OB，OC和OD，OE和OF，AC和BD，AE和BF，CE和DF ΔAOC和ΔBOD，ΔAOE和ΔBOF，ΔCOE和ΔDOF.5.如图所示，若四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称，则它们的对称中心是 ,点A的对应点是 ,点E的对应点是 .BD∥ 且BD= .连接A,F的线段经过 ,且被C点 ,
ΔABD≌ .?解析:四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称,则它们的对称中心是C,点A的对应点是F,E的对应点是D.BD∥EG且BD=EG.连接A,F的线段经过C,且被C点平分,
ΔABD≌ΔFGE.ΔFGE平分CFDEGEGC6.如图(1)所示的是4×4正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形并涂色,使图中涂色部分是一个中心对称图形. 解析:图中间的相邻的2对涂色的正方形已是中心对称图形,需找到与最上边的那个正方形成中心对称的图形,那么将它旋转180°即可.解:如图(2)所示.7.如图(1)所示的是以O为对称中心的中心对称图形正六边形ABCDEF的部分，补全正六边形ABCDEF，并指出所有的对应点和对应线段. 解析:画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB=OE，C，O，F共线,并且OC=OF.解:如图(2)所示.
图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB的对应线段是DE，BC的对应线段是EF，CD的对应线段是FA.课件16张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十六章 轴对称和中心对称16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案讨论:下列图案是怎样形成的？上面图案设计过程就用到了我们以前学习的轴对称、平移、旋转的知识.将图形的平移、旋转、轴对称统称为图形变换.图形变换用学过的哪种图形变换,可以把下面各组中的甲图形变换为乙图形.(1)平移;(2)轴对称;(3)旋转(中心对称);(4)轴对称后,再旋转.学习新知 比较分析旋转(中心对称除外):各对对应点所连线段不相交于同一点.深层探究
将上述4幅图中的各对对应点连接起来,探究如下结论:平移:各对对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等;轴对称:各对对应点所连线段平行(或在一条直线上),但不一定相等;中心对称:各对对应点所连线段交于一点,并被这一点平分;观察与思考问题1:
观察两组图案,请你分别说说由图案(1)到图案(2)的变化过程.问题2:观察下图,请你说说由图案(1)到图案(2),再到图案(3)的变化过程. 第1个图案可以看作是由基本图形一次轴对称得到;而第2个图案可以看作是由基本图形两次轴对称得到.可以看作是由基本图形(1)围绕旋转中心旋转120度,旋转两次得到(2),再把(2)旋转60度得到(3).1.如图所示,在同一平面内有一些几何图形,请利用图形的平移、旋转和轴对称,设计一个你想象中的“房屋示意图”. 做一做2.请同学们讨论怎样用直尺和圆规画出这个六花瓣图?.3.下面的图案是由圆弧、圆构成的.仿照此图,请你为班级的板报设计一条花边.要求:(1)只要画出组成花边的一个“基本图形”;(2)用圆弧、圆或线段画出;(3)图案应有美感.图案设计的过程:
(1)首先确定图案要表达的意图;
(2)分析进行图案设计的基本图形;
(3)对基本图形综合运用平移、旋转和轴对称变换;
(4)对图案进行适当修饰.课堂小结设计图案所能应用的变换是:(1)平移变换;(2)旋转变换;(3)轴对称变换;(4)多种变换的组合.1.(2015·枣庄中考)如图(1)所示,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种解析:如图(2)所示,组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.故选C.C2.在下列四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是 ( ) 解析:A.通过轴对称变换得到,故本选项错误;B.通过旋转变换得到,故本选项错误;C.通过平移变换得到,故本选项正确;D.通过旋转变换得到,故本选项错误.故选C.C3.如图(1)所示的是一个镶边的模板,它的内部是由“基本图案”通过一次平移得到的,则该“基本图案”是(如图(2)所示) ( ) 解析:是由基本图案
平移得到的.故选B.B4.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是下图中的( )解析:A.既运用了轴对称,也利用了旋转对称,故本选项错误;B.既运用了轴对称,也利用了旋转对称,故本选项错误;C.既没有运用旋转,也没有运用轴对称,故本选项正确;D.利用了轴对称,故本选项错误.故选C.C5.下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上,在“几何画板”软件中拖动一点后形成的,它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来,旋转的角度正确的是 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°解析:每一个图案都可以被通过中心的射线分成6个全等的部分,则旋转的角度是60度.故选C.C 6.(1)请写出是旋转对称图形的两种多边形(正三角形除外)的名称,并分别写出其旋转角α的最小值;
(2)下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的,请以图中给出的图案为基本图形(其顶点均在格点上),在图(1)(2)中再分别添加若干个基本图形,使添加的图形与原基本图形组成一个新图案.要求:
①图(1)中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形;
②图(2)中设计的图案是旋转对称图形,但不是中心对称图形;
③所设计的图案顶点都在格点上,并给图案涂上阴影.解析:利用旋转对称图形的性质以及轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.解:(1)正方形是旋转对称图形,最小旋转角为90°,正六边形是旋转对称图形,最小旋转角为60°(答案不唯一).(2)如图所示. 7.已知图形B是一个正方形,图形A由三个图形B构成,如图(1)所示,请用图形A与B拼接.
(1)拼得的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;(在图(2)中完成)
(2)拼得的图形是中心对称图形而不是轴对称图形;(在图(3)中完成)
(3)拼得的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形.(在图(4)中完成)解析:(1)(2)根据中心对称图形的性质和轴对称图形的性质得出拼接方法;(3)综合(1)(2)即可得出答案.解:(1)如图(1)所示.
(2)如图(2)所示.
(3)如图(3)所示. 8.利用轴对称变换可设计出美丽图案,如图所示的是在方格纸中每一个顶点都在格点上的四边形,且每个小正方形的边长都为1,完成下列问题:
(1)图案设计:先作出四边形关于直线l对称的图形,再将你所作的图形和原四边形绕O点按顺时针旋转90°;
(2)完成上述图案设计后,可知这个图案的面积等于 .?解析:(1)首先找出对应点,然后画图即可;(2)首先利用割补法求出每一个小四边形的面积,再乘以4即可.解:(1)如图所示. (2)20第十六章 轴对称和中心对称
1.通过具体实例了解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质.
2.能按要求画出简单平面图形经过轴对称、中心对称后的图形.
3.理解和掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质定理及其逆定理.
4.能够运用平移、旋转和轴对称进行简单图案的设计.
5.通过欣赏和设计图案,认识到图形的平移、旋转和轴对称在现实生活中的应用.
1.通过观察、思考、操作、交流、初步验证、推理验证等活动,体会知识的形成过程.
2.在直观感知、操作确认的基础上,进一步学会说理,掌握一定的演绎推理能力,体会数学在现实生活中的广泛应用.
1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.
2.让学生经历观察、思考、操作、欣赏、设计等活动过程,进一步发展空间观念,增强审美意识,积累数学活动经验.
本章的主要内容是轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形及其性质,探究线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理,利用平移、旋转、轴对称设计图案.
(1)轴对称、中心对称在现实生活中有着广泛应用,在教材的处理上,为学生提供大量生动的现实情境,通过赏析,提高学生的审美能力,激发学生的学习兴趣,加强数学与现实联系,更好地培养学生的应用意识.
(2)通过“一起探究”,设置观察、猜想、交流、探究、验证等活动,引导学生发现轴对称、中心对称的性质定理及其逆定理,经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,使学生掌握解决问题的方法,积累一定的数学活动经验.
(3)线段、角是简单的轴对称图形,通过观察、思考、操作验证、证明验证等活动,探究线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理,发展学生的合情推理、演绎推理能力.
(4)在学习完平移、旋转和轴对称后,引导学生辨析典型图形,使学生认识到一些较为复杂的图形可由简单图形经过变化得到,目的是深化平移、轴对称、旋转的性质,加强前后知识的联系和综合运用.
【重点】
1.轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形及其性质.
2.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理.
3.利用平移、旋转、轴对称设计图案.
【难点】
1.轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形的性质.
2.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理的应用.
1.轴对称、中心对称与现实有着紧密的联系,在教学中,应以现实生活中的实例为素材,让学生体会和认识生活中的轴对称和中心对称,通过观察、分析、操作、猜想、验证等活动,提炼轴对称及轴对称图形、中心对称及中心对称图形的概念,利用合情推理和演绎推理探究轴对称、中心对称的性质定理及其逆定理.
2.教师在组织教学活动的过程中,要充分发扬民主精神,为学生提供自主学习及探索的空间与时间,促使学生在课堂上积极动手实践、勤于思考、一起探究、合作交流,并在活动的过程中不断地获取新知识,提高数学思考的能力.
3.倡导教师根据教学实际,适当选取贴近学生生活实际的实例丰富教材,利用各种教学资源、现代化教学手段,创设有利于学生认识、学习及相互交流的氛围.
4.注意知识间的相互联系和区别.图形的平移、旋转不是本章所学知识,但它们也都是图形变化的主要方式.在后面的教学中,应把平移、旋转和轴对称融合在一起,让学生在整体上认识图形的变化,这样能较好地体现新旧知识的联系.
16.1轴对称
1课时
16.2线段的垂直平分线
3课时
16.3角的平分线
1课时
16.4中心对称图形
1课时
16.5利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
1课时
回顾与反思
1课时
16.1 轴对称
1.理解轴对称、两个图形成轴对称的概念.
2.了解轴对称图形的对称轴,两个图形成轴对称的对称轴、对应点.
3.了解轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系.
1.通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称,进一步认识几何图形的本质特征.
2.通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系,进一步发展学生的抽象概括能力.
通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习,激发学生的学习欲望,使他们主动参与数学学习活动中.
【重点】 轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.
【难点】 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.
【教师准备】 课件.
【学生准备】 搜集轴对称图形.
导入一:
我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称的,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥妙,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐.
轴对称是对称中重要的一种,从这节课开始,我们来学习第十六章.今天我们来研究第一节,认识什么是轴对称图形,什么是对称轴.
导入二:
出示图片:青山倒映在水中.这是什么景象呢?
同学们可以想象,落日、晚霞、青山倒映在平静的水中,这样如诗如画的景致多么令人难忘!自远古以来,对称形式就被认为是和谐美丽的,不论是在自然界中还是建筑里,甚至最普通的日常生活中,对称的形式都随处可见.本节课我们就一起去探究轴对称的奥秘吧!
[设计意图] 两个导入都是以生活中的轴对称为例,勾勒美好的画面,让学生感受数学中的美,体会数学与生活的密切联系,自然地引入到本节课的学习之中.
[过渡语] 对称现象无处不在,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的例子.在小学阶段,我们对轴对称已经有了初步认识.现在,我们进一步学习轴对称的性质和应用.
活动一:观察与思考——认识轴对称
思路一
【活动1】
展示教材第108页图16-1-1及收集到的生活中的图片.
【师生活动】 教师展示生活中的图片,让学生欣赏图片,感知对称图形,学生列举所见到的图形.
活动中,教师明确:(1)对称的多样性,而其中轴对称是重要的一种;(2)本节要探究的内容:轴对称有哪些性质?
[设计意图] 展示的图片与生活实际相关,包含自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、动物、植物、生活用品等,让学生感知对称图形,激发学生的学习热情.通过展示学生自制的图片,让学生联系生活实际,主动参与数学活动,感知数学与生活的密切联系.
【活动2】
(1)把一张长方形纸对折,剪出一个图案,再打开,就剪出了美丽的窗花,你能剪出什么样的窗花呢?
(2)观察剪出的窗花,你能发现它们有什么共同特征?
(3)联系实际,你能举出一个轴对称图形的例子吗?
【师生活动】 教师先把长方形纸片对折,用剪刀剪出一个图案,再打开这个纸片,让学生观赏,然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征.
教师归纳轴对称图形的概念,并板书概念,然后让学生举例.
归纳:一般地,如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
[知识拓展] 轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质的图形,被一条直线分割成两部分,沿着对称轴折叠时,互相重合;轴对称图形的对称轴可以有一条,也可以有多条甚至无数条.
[设计意图] 教师演示剪纸过程起一个示范作用,学生动手剪纸是让学生参与到活动中去,培养学生的动手能力,通过观察、思考,让学生互相交流,增强发现能力.
【活动3】
问题
(1)教材图16-1-2的图形有什么特征?
(2)联系实际,你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?
【师生活动】 学生观察、举例、讨论交流,教师引导得出两个图形关于某直线对称及对称轴、对应点、对应线段、对应角的概念,并板书概念.
归纳:一般地,如果两个图形沿某条直线对折后,这两个图形能够完全重合,那么我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做对应点、对应线段、对应角.
[设计意图] 学生通过观察、举例、独立思考,认识两个图形关于某直线对称的本质特征,鼓励学生善于观察、勇于发现,培养合作意识.
【活动4】
问题
(1)轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别?
(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形成轴对称吗?成轴对称的两个图形全等吗?
(3)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,它是一个轴对称图形吗?
【师生活动】 学生根据两组图形的比较观察,讨论交流(1),教师引导学生得出区别.
教师提出问题后,让学生思考(2),进一步明确轴对称图形与两个图形成轴对称之间的联系.
[知识拓展] 图形成轴对称包括两层含义:(1)有两个图形,且这两个图形能够完全重合,即形状、大小完全相同;(2)对重合的方式有限制,只能是把它们沿某条直线对折后能够完全重合.
[设计意图] 通过学生举例,进一步认识两个图形成轴对称的本质.通过比较观察、相互讨论进一步认识两种图形的本质特征.让学生运用辩证的观点认识事物,发展学生抽象思维能力.
活动二:一起探究——成轴对称图形的性质
【活动5】
问题:成轴对称的两个图形全等吗?全等的两个图形一定成轴对称吗?为什么?
【师生活动】 学生独立思考后,再展开讨论,教师参与学生讨论,及时指导.
[设计意图] 通过练习进一步巩固两个图形成轴对称的概念.
【活动6】
问题
观察教材图16-1-3:
1.根据全等形的意义,ΔABC与ΔA'B'C'全等吗?对应线段有怎样的数量关系?对应角呢?
2.对应点的连线AA',BB',CC'分别与对称轴l有怎样的位置关系?
你能用刻度尺测量出点A与A'到对称轴l的距离吗?B与B'、C与C'到对称轴l的距离呢?
【师生活动】 教师引导学生从位置上观察三条线段与对称轴l的关系,利用投影动画展示A与A',B与B',C与C'重合的情形.
归纳:成轴对称图形的性质:如果两个图形关于某一条直线成轴对称,那么这两个图形是全等形,它们的对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
说明:成轴对称的图形的性质对于轴对称图形同样适用.垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.线段是轴对称图形,线段的中垂线是它的对称轴.
线段垂直平分线的定义揭示线段与对称轴的关系:一是垂直;二是平分.从而归纳出成轴对称图形的性质.
[设计意图] 利用动画演示,让学生一目了然,便于接受,采用多种方法丰富学习渠道,加深了对知识的理解和掌握.
【活动7】
如图所示,已知线段AB和直线l,画出线段AB关于直线l的对称线段.
【师生活动】 引导学生根据成轴对称图形的性质画出图形,学生在练习本上操作,教师讲评.
[设计意图] 通过学生的操作,认识对称轴的确定方法,培养学生的探究能力.
思路二
【活动1】 作品展示,交流体会
1.作品展示:
让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上).
2.小组活动:
(1)在窗花的制作过程中,你是如何进行剪纸的?为什么要这样?
(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?
[设计意图] 通过收集材料、剪纸操作,增加学生对轴对称图形的感性认识,为轴对称概念的引出做铺垫.
【活动2】 概念形成
(一)轴对称图形
1.学生充分交流的基础上,教师提出“轴对称图形”的概念,并让学生尝试给它下定义,通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义,同时给出“对称轴”的定义.
2.结合学生准备的图形进一步分析轴对称图形的特点,以及对称轴的位置.
3.学生举例,试举几个在现实生活中见到的轴对称的例子.
4.判断下面的图形是不是轴对称图形,如果是轴对称图形,找出它们的对称轴.
[设计意图] 在学生经历了一系列的过程后让学生尝试归纳,培养学生的概括能力,加深对轴对称图形的理解.
(二)两个图形关于某条直线对称
1.观察右图,有什么特点?
2.两个图形成轴对称的定义.
观察右图:
把ΔA'B'C'沿直线l对折后能与ΔABC重合,则称ΔA'B'C'与ΔABC关于直线l对称,简称“成轴对称”,点A与点A',点B与点B',点C与点C'称为对称点,直线l叫做对称轴.
3.举例:你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?
4.讨论:轴对称图形和两个图形成轴对称的区别.
[设计意图] 先观察图形,再画图.其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系,在此基础上再给出定义.通过讨论、比较,便于进一步理解概念,弄清它们之间的联系和区别,以突破本课的教学难点.同时培养学生的辩证唯物主义观点.
(三)成轴对称图形的性质
观察上图,线段AA'与对称轴l有怎样的位置关系?你能说明理由吗?
类似地,点B与点B',点C与点C'是否也有同样的位置关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?
结合学生发表的观点,教师总结并板书:
对称轴经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.
在这个基础上,教师给出线段的垂直平分线的概念,然后把上述规律概括成成轴对称图形的性质.
上述性质是对两个成轴对称的图形来说的,如果是一个轴对称图形,那么它的对称轴两侧的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系呢?
从而得出:类似地,轴对称图形的对称轴,是对称轴两侧对应点所连线段的垂直平分线.
[设计意图] 让学生主动参与进来,转变以往的学习方式,提高学习的认知水平和能力.
【活动3】 实践与应用
1.下面是生活中的一些图形,它们是轴对称图形吗?
2.下列图形是部分汽车的标志,哪些是轴对称图形?
3.下图中的两个图形是否成轴对称?如果是,请找出它的对称轴.
[设计意图] 通过练习,进一步培养学生的观察、辨别能力,巩固所学知识.
知识点一:轴对称图形
1.轴对称图形沿对称轴折叠,两旁的部分能够完全重合.
2.轴对称图形的对称轴是轴对称图形对称轴两侧的对应点所连线段的垂直平分线,可能只有一条,也可能不止一条.
知识点二:两个图形成轴对称
轴对称图形与两个图形成轴对称既有区别又有联系.
区别:轴对称图形是指一个图形的特征,成轴对称是两个图形的位置关系.
联系:二者都有对称轴,如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两个图形成轴对称.
知识点三:成轴对称图形的性质
1.成轴对称图形的性质介绍了对称轴与对应点所连线段之间的关系,即对称轴垂直平分对应点所连的线段.
2.根据这一性质,若已知对称轴和一个图形的一点就能准确作出该点的对应点,而不必再去对折了.
1.如图所示,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,∠2+∠3=90°,∵∠3=30°,∴∠2=60°,易知∠1=60°.故选C.
2.下面四句话中的文字有三句具有对称规律,其中没有这种规律的一句是 ( )
A.上海自来水来自海上 B.有志者事竟成
C.清水池里池水清 D.蜜蜂酿蜂蜜
解析:A.上海自来水来自海上,可将“水”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;B.有志者事竟成,五字均不相同,所以不对称,故本选项正确;C.清水池里池水清,可将“里”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;D.蜜蜂酿蜂蜜,可将“酿”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误.故选B.
3.经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比 ( )
A.形状没有改变,大小没有改变
B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变
D.形状有改变,大小有改变
解析:∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变.故选A.
4.如图所示,由4个大小相等的正方形组成的L形图案.
(1)请你改变1个正方形的位置,使它变成轴对称图形;
(2)请你再添加一个小正方形,使它变成轴对称图形.
解析:根据轴对称图形的概念进行设计.
解:答案不唯一,如图所示.
16.1 轴对称
活动一:观察与思考——认识轴对称
活动二:一起探究——成轴对称图形的性质
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第110页练习第1,2题.
2.教材第110页习题A组第1,2,3题
【选做题】
教材第111页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,不是轴对称图形的是 ( )
2.如图所示,一定是轴对称图形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.京剧是我国的国粹,剪纸是流传已久的民间艺术,这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一.如图所示的京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图所示的图形中不是轴对称图形的是 ( )
5.如图所示,?ABCD与?EBCF关于边BC所在的直线对称,若∠ABE=110°,则∠F等于 ( )
A.60° B.55°
C.45° D.35°
【能力提升】
6.如图所示,在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形.
7.如图所示,在长方形的台球桌面上,选择适当的角度打击白球,可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中,
此时∠1=∠2,∠3=∠4,并且∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=40°,那么∠1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋?请说明理由.
【拓展探究】
8.如图所示,ΔABC与ΔDEF关于直线MN对称,其中∠ACB=90°,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.
(1)线段AD与MN的关系是什么?
(2)求∠DFE的度数.
(3)求ΔABC的周长和ΔDEF的面积.
【答案与解析】
1.A(解析:根据轴对称图形的定义判断即可.故选A.)
2.C(解析:圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形.故选C.)
3.C(解析:第一个、第三个、第四个图形是轴对称图形.故选C.)
4.B(解析:根据轴对称图形的定义判断即可.故选B.)
5.B(解析:∵?ABCD与?EBCF关于边BC所在的直线对称,∴∠ABC=∠EBC,∵∠ABE=110°,∴∠EBC=∠ABE=110°=55°,在?EBCF中,∠F=∠EBC=55°.故选B.)
6.(解析:从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1~7的数字,所以画一个轴对称图形且数字为6即可,答案不唯一.)
7.解:由∠5=40°,易知∠7=∠5=40°,由∠3=∠4,易知∠7=∠6=40°,∴∠2=∠6=40°,∴∠1=∠2=40°.答:∠1等于40°时,才能保证黑球能直接入袋.
8.解:(1)∵ΔABC与ΔDEF关于直线MN对称,∴MN垂直平分AD. (2)∵ΔABC与ΔDEF关于直线MN对称,∠ACB对应∠DFE,∴∠DFE=∠ACB=90°. (3)∵AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm,且AB对应DE,AC对应DF,BC对应EF,∴DE=AB=10 cm,DF=AC=8 cm,EF=BC=6 cm,∴ΔABC的周长为6+8+10=24(cm),ΔDEF的面积为6×8=24(cm2).
轴对称图形是一个较抽象的概念,教师在教学中根据学生的特点,设计了这堂课,在教学中始终以学生为主体,着力引导学生通过操作、观察、比较、思考、交流、讨论等活动,主动获取知识,掌握和理解轴对称图形的概念和基本特点,并在自主探索中体会到探索之趣,成功之乐,培养了学生的学习兴趣,更培养了学生的学习能力.从以下几个途径提升课堂教学的活力和效果:一、从直观引入,将轴对称图形的特点具体化,学生较易理解,得到了初步感知.二、动手操作充分,通过对图形的折、画,学生在操作活动中进一步理解了轴对称图形的特点及对称轴的含义.三、充分调动学生的各种感官来学习知识,整个教学活动中留有足够的空间让学生动口、动手、动脑,充分发挥了学生的主体学习地位,同时很好地培养了学生的发散性思维.
整节课的安排,努力贯彻“学生为主体、教师为主导”学生自主发展的教育原则.教师只是对概念的引入加以指导以及对整个教学流程加以控制,其余都让学生自己观察、思考、操作、联想、讨论、口述,这样有利于每位学生积极动脑、动手、动口、耳闻、目睹,使全体学生真正成为学习活动的主人.其中,动手操作不仅适合八年级学生的年龄特征,更能激发学生的求知欲,使学生处于一种跃跃欲试的求知状态,从而创设良好的求知氛围,这样将有利于学生在教师的引导下去发现与掌握新知识.
1.学生对轴对称图形和成轴对称图形的概念容易混淆,教师分析的不够到位.
2.对于轴对称和成轴对称的性质教师还可以适当地加以延伸.
3.对于知识的归纳和总结教师说得多,学生说得少.
对于轴对称图形和成轴对称图形的概念要指导学生认真地区分,可以从两方面考虑:一是概念;二是它们的区别和联系,要让学生明确成轴对称的两个图形如果看成一个整体,就是一个轴对称图形.对于轴对称图形和成轴对称的图形的性质,一定要让学生自己去发现、归纳,在不足的情况下,让学生互相补充,能让学生说出来的,教师绝不包办代替,给学生自由思考和交流的空间,让他们自主探索,全面发展.
练习(教材第110页)
1.提示:从左到右依次标出(1)(2)(3)(4),图(1)(3)(4)是轴对称图形.画图略.
2.解:画出的对称轴如图所示.图(1)中点B与点C关于对称轴对称.图(2)中点A与点D关于对称轴对称,点B与点C关于对称轴对称.图(3)中点B与点D关于对称轴对称.
习题(教材第110页)
A组
1.解: (1)第1,4个图形是轴对称图形. (2)对称轴
如图所示.
2.解:如图所示.
B组
1.提示:过点A作直线l的垂线,交直线l右侧四边形于点A'.(点B',C'同理,图略)
2.解:∠BCD=2×(360°-90°-130°-110°)=2×30°=60°.
唐朝某地建造了一座十佛寺,竣工时,太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”希望有人对出下联,且表达恰如其分,几个月过去了,无人能对,有个文人李生路过,感觉庙前没有下联不像话,十分感慨,一连几天在庙前苦思冥想,未能对出下联,有次在庙前散步,望见一条大船由远而来,船夫正使劲地摇橹,这时李生突发灵感,对出了下联“一舟二橹四人摇过八仙桥”.太守再次路过此庙时,看到下联,连连称赞:“妙、妙、妙”.这副对联数字对数字,事物对事物,对仗工整,可见,对称美在文学方面也有生动深刻的体现.生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的无穷享受.
(2015·日照中考)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是 ( )
〔解析〕 A.不是轴对称图形,故本选项错误;B.不是轴对称图形,故本选项错误;C.不是轴对称图形,故本选项错误;D.是轴对称图形,故本选项正确.故选D.
(2015·大庆中考)以下图形中对称轴的数量小于3的是 ( )
〔解析〕 A.有4条对称轴;B.有6条对称轴;C.有4条对称轴;D.有2条对称轴.故选D.
(2015·天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 ( )
〔解析〕 A.是轴对称图形,故本选项正确;B.不是轴对称图形,故本选项错误;C.不是轴对称图形,故本选项错误;D.不是轴对称图形,故本选项错误.故选A.
[解题策略] 本类题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可完全重合.
16.2 线段的垂直平分线
1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解题.
2.能用尺规作图作线段的垂直平分线,过一点作已知直线的垂直平分线.
1.通过探索线段的轴对称性,进一步体验轴对称的特征,发展合情推理的能力.
2.掌握作轴对称图形对称轴的方法.
1.增强学生学习的兴趣,培养学生严谨的学习态度,增强学习的自信心.
2.发展学生演绎推理能力,积累一定的数学活动经验,体会合情推理和演绎推理的不同作用.
【重点】 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【难点】 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用.
第课时
1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理.
2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.
通过经历线段的垂直平分线的性质定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.
【重点】
1.线段的垂直平分线的性质定理.
2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.
【难点】 灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.
【教师准备】 课件1~5.
【学生准备】 复习线段垂直平分线的定义以及轴对称的知识.
导入一:
师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使世界更加美丽,那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?
生:如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
师:什么是线段的垂直平分线呢?
学生思考抢答.
师:很好,这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.
[设计意图] 通过简单的复习导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.
导入二:
【课件1】 如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?
1.用平面图将上述问题进行转化,已知线段AB及AB的垂直平分线l,在l上取P1,P2,P3,…,连接AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……
2.作好图后,用直尺量出AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……讨论发现什么样的规律.
[设计意图] 通过学生对图形的抽象、观察、测量发现线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一结论,从而为下面的进一步探究做好铺垫.
[过渡语] 线段是最简单的轴对称图形,它的中垂线就是它的对称轴,本节我们将探究线段垂直平分线的重要性质和应用.
活动一:一起探究——线段垂直平分线的性质
思路一
【课件2】 如图所示,已知线段AB和它的中垂线l,O为垂足.
在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由.
学生猜想得出:事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA=PB.
思路二
教师指导学生画线段AB,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上确定几个点,让学生测量,思考有什么发现?
【课件3】
如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?
由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范.
命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,还得在理论上证明是正确的才能作为定理,我们来证明这个命题的正确性.
请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出已知、求证.
已知:如图所示,线段AB和它的垂直平分线l,垂足为O,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB.
求证PA=PB.
引导学生利用SAS证明ΔPAO≌ΔPBO,从而得到PA=PB.
证明:在ΔPAO和ΔPBO中,
∵
∴ΔPAO≌ΔPBO(SAS),
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
教师说明:经过刚才的证明我们得到这个命题是正确的.
因为点P是线段的垂直平分线上一点,所以我们就得到了线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
师:分析定理的条件和结论.
点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB.
(条件) (结论)
[知识拓展] (1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.
(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.
说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.
[设计意图] 通过观察、猜想、证明让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度,进一步体会线段垂直平分线的性质定理.
活动二:例题讲解
[过渡语] 了解了线段垂直平分线的性质定理,应用线段垂直平分线的性质定理可以解决一些问题.
【课件4】
已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.
解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短.
引导学生分析,证明.
【提出问题】
(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?
学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点,对称点与另一点的连线与直线l的交点,即为点P.
(2)在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.
学生小组内交流,教师指一名学生板演.
解:∵点A和点A'关于直线l对称,
∴AP=A'P.
∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),
如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P',连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短).
即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.
∴AP+BP最短.
【课件5】 已知:如图所示,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E.
求证AC=AB.
分析:引导学生根据线段的垂直平分线的性质加以证明.
证明:连接BC,因为点D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB,BE⊥AC,所以CD,BE分别是AB,AC的垂直平分线,所以AC=BC,AB=CB,所以AC=AB.
[设计意图] 让学生明白,线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据,以后证明两条线段相等,又多了一个好办法——线段垂直平分线的性质定理,且比用三角形全等更简便.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.
(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.
1.(2015·随州中考)如图所示,ΔABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则ΔBDC的周长是( )
A.8 B.9
C.10 D.11
解析:∵ED是AB的垂直平分线,∴AD=BD,又ΔBDC的周长为DB+BC+CD,∴ΔBDC的周长为AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故选C.
2.(2015·达州中考)如图所示,ΔABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.48° B.36° C.30° D.24°
解析:∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=24°,∵∠A=60°,∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°,∵BC的垂直平分线交BD于点F,∴BF=CF,∴ΔBFC为等腰三角形,∴∠FCB=24°,∴∠ACF=72°-24°=48°.故选A.
3.(2015·遂宁中考)如图所示,在ΔABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,ΔBCN的周长是7 cm,则BC的长为 ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
解析:∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AN=BN,∵ΔBCN的周长是7 cm,∴BN+NC+BC=7 cm,∴AN+NC+BC=7 cm,∵AN+NC=AC,∴AC+BC=7 cm,又∵AC=4 cm,∴BC=7-4=3(cm).故选C.
4.如图所示,ΔABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4 cm,ΔABD的周长为14 cm,则ΔABC的周长为 ( )
A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
解析:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴ΔABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4 cm,∴AC=2AE=2×4=8(cm),∴ΔABC的周长为AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.
5.如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.AB=AD B.∠ABC=∠ADC
C.AB=BD D.ΔBEC≌ΔDEC
解析:∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=CD,∴∠ABD=∠ADB,∠DBC=∠BDC,∴∠ABD+∠DBC=∠ADB+∠BDC,即∠ABC=∠ADC,EB=DE,在RtΔBCE和RtΔDCE中,∴RtΔBCE≌RtΔDCE(HL).故选C.
6.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是(提示:等腰三角形的两个底角相等,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形) ( )
A.BD平分∠ABC
B.ΔBCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC
D.点D是线段AC的中点
解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C==72°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故A正确;∴ΔBCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故B正确;∵∠DBC=36°,∠C=72°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故C正确;由题意知BD>CD,∴AD>CD,∴点D不是线段AC的中点,故D错误.故选D.
7.如图所示,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10 cm,BC=11 cm,求ΔABD的周长.
解析:先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,进而可求出ΔABD的周长.
解:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,
∴BD+AD=BD+CD=BC=11 cm,
又∵AB=10 cm,
∴ΔABD的周长为AB+BC=10+11=21(cm).
第1课时
活动一:一起探究——线段垂直平分线的性质
活动二:例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第113~114页练习第1,2题.
2.教材第114页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第115页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图所示,AB是CD的垂直平分线,则一定有 ( )
A.AC=AD B.∠ACD=∠BCD
C.AC=BC D.AO=BO
3.如图所示,RtΔABC中,∠C=90°,斜边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AE平分∠BAC,下列结论不一定成立的是(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA
C.∠B=∠BAE D.AC=2EC
4.(2015·广西中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,则∠BAE等于(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
【能力提升】
5.如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于E,D.
(1)若ΔBCD的周长为8,求BC的长;
(2)若BC=4,求ΔBCD的周长.
6.如图所示,在ΔABC中,AD垂直平分EF,BC.求证BE=CF;
【拓展探究】
7.如图所示,ΔABC的两边AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC的度数.(提示:等腰三角形的两个底角相等)
【答案与解析】
1.B(解析:∵直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,∴PB=PA,∴PB=5.故选B.)
2.A(解析:∵AB是CD的垂直平分线,∴根据垂直平分线的性质定理可知AC=AD,B,C,D不一定成立.故选A.)
3.D(解析:∵DE是AB的垂直平分线,∴ED⊥AB,且BD=AD,∴∠B=∠BAE,故选项C正确;又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠DAE,∴∠B=∠CAE,故选项A正确;在ΔACE与ΔADE中,∠CAE=∠DAE,∠C=∠ADE=90°,根据三角形内角和定理得∠DEA=∠CEA,故选项B正确;D.不一定成立.故选D.)
4.D(解析:∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°,∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=40°.故选D.)
5.解:(1)AB=AC=5,DE垂直平分AB,故BD=AD,BD+CD=AD+CD=5.∵ΔBCD的周长为8,∴BC=3. (2)∵BC=4,BD+CD=5,∴ΔBCD的周长为BD+CD+BC=9.
6.证明:∵AD垂直平分EF,BC,∴BD=CD,ED=DF,∵BE=BD-ED,DF=CD-DF,∴BE=CF.
7.解:∵ΔABC的两边AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,∴DA=DB,EA=EC,∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC.∵∠BAC+∠DAE=150°,① ∴∠B+∠C+2∠DAE=150°.∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°,即∠BAC-2∠DAE=30°.② 由①②组成的方程组解得∠BAC=110°.
线段垂直平分线在几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用.线段的垂直平分线的性质定理是证明线段相等的重要途径.在设计教案时,结合教材内容,对如何导入新课,引出定理以及证明进行了探索.在导入新课这一环节上让学生一起探究教材中的内容,让学生观察PA,PB的长度,引导学生观察、猜想得出结论.学生回答:PA=PB.由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理.在这一过程中让学生主动参与到教学中来,使学生通过观察、猜想得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程.在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图写出已知、求证,通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程,也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理,以及证明方法.
在教学过程中,教师没有设计相应的习题,只注意对知识进行讲解,时间安排过于紧凑,导致整个教学过程是以讲授新知为主,应该边讲边练,讲练结合,这样才能提高学生对知识的理解和掌握程度.讲是一方面,更主要的是在学生理解的基础上加以巩固和提升.
在教学过程中教师可针对线段垂直平分线的性质定理设计对应的例题,对于尺规作图的应用,教师可设计生活中的实际问题,让学生进行练习.
练习(教材第113页)
1.解:(1)∠PAQ=∠PBQ.理由如下:因为直线PQ垂直平分线段AB,所以PA=PB,QA=QB.又因为PQ=PQ,所以ΔPAQ≌ΔPBQ,所以∠PAQ=∠PBQ. (2)∠PAQ=∠PBQ.理由同(1).
2.解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∵AC=AE+CE=14,∴BE+CE=14.又∵ΔEBC的周长为24,∴BC+BE+CE=24,∴BC=24-14=10.
习题(教材第114页)
A组
1.解:ΔABE≌ΔDCE.理由如下:由题意得AB=DC,BE=CE,∠B=∠C=90°,∴ΔABE≌ΔDCE(SAS).
2.证明:∵点O在AB,AC的垂直平分线上,∴AO=BO,CO=AO,∴AO=BO=CO.
B组
1.解:∵DE是AC的中垂线,∴AE=CE=3 cm,AD=CD.∴AC=2AE=6 cm.∵ΔABD的周长为13 cm,∴AB+BD+AD=13 cm,∴AB+BD+CD=13 cm,即AB+BC=13 cm,∴AB+BC+AC=13+6=19(cm),即ΔABC的周长为19 cm.
2.解:∵DE是BC的中垂线,∴BD=CD,BE=CE.又DE=DE,∴ΔBED≌ΔCED.∴∠B=∠DCE=28°.又∵∠ADC=∠B+∠DCE,∴∠ADC=28°+28°=56°.
如果一个点是线段垂直平分线上的点,那么这个点到这条线段两个端点的距离相等.点D是线段AB垂直平分线上任意一点,要证明垂直平分线上每一点都具有这样的性质,只需要在图形上任取一点作代表,这种证明的思想是我们应掌握的.
这个结论的成立主要是通过证三角形的全等得出的,ΔAOD≌ΔBOD,所以DA=DB.随着D在垂直平分线上进行移动,两个三角形的形状发生变化,但这两个三角形始终是全等的.
符号语言:
(1)∵D是线段AB垂直平分线上的点,
∴DA=DB.
(2)∵OD⊥AB,AO=BO,∴DA=DB.
如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证FC=AD;
(2)求证AB=BC+AD.
〔解析〕 (1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出ΔADE≌ΔFCE,根据全等三角形的性质即可解答.(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF,
∵E是CD的中点,∴DE=EC.
∵在ΔADE与ΔFCE中,
∴ΔADE≌ΔFCE(ASA),
∴AD=FC.
(2)由(1)知ΔADE≌ΔFCE,
∴AE=EF,AD=CF,
又BE⊥AE,
∴BE是线段AF的垂直平分线,
∴AB=BF=BC+CF,
∵AD=CF,
∴AB=BC+AD.
第课时
1.理解和掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理.
2.探索线段的垂直平分线的判定定理的证明,发展学生的演绎推理能力.
通过经历线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
1.经历合情推理发现结论,演绎推理证明结论的过程,体会合情推理与演绎推理的不同作用.
2.通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.
【重点】 线段垂直平分线的性质定理的逆定理.
【难点】 线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明与应用.
【教师准备】 课件1~3.
【学生准备】 复习线段垂直平分线的性质.
导入一:
【课件1】 浦东新区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,该购物中心应建于何处,才能使得购物中心到三个小区的距离相等?
说明:留有悬念,暂时不解决,学习了今天的内容,同学们就可以进行城市规划啦!
[设计意图] 设下悬念,激发学生的学习兴趣,使学生能带着问题投入到本节课的学习之中.
导入二:
给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个?如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?
利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.
在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明.
那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?下面我们一起来研究.
[设计意图] 复习上节学过的线段垂直平分线的性质定理,从而引出问题.
活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理
[过渡语] 我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.反过来,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗?
思路一
师:反过来,与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.
生:画出图形(如图所示),写出已知,求证.
已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示,说出证明过程吗?
证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在ΔPOA和ΔPOB中,
∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS),
∴∠POA=∠POB,
∵∠POA+∠POB=180°,
∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
师:在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
生:判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上,那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?
师:这个问题提得很好,大家想一想,几点确定一条直线?
生:两点.
师:所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.
[知识拓展] (1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.
思路二
你能写出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……那么……”的形式,逆命题就容易写出了.鼓励学生找出原命题的条件和结论.
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.
此时,逆命题就很容易写出来了,“如果有一个点与线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上”.
写出逆命题后,就想到判断它的真假.若真,则需证明它;若假,则需用反例说明.请同学们自行在练习本上完成.
学生给出了如下的两种证法:
已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.
求证:P点在AB的垂直平分线上,
证法1:如图所示,取AB的中点C,过PC作直线.
∵PA=PB,PC=PC,AC=CB,∴ΔAPC≌ΔBPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB.
又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB,∴P点在AB的垂直平分线上.
证法2:如图所示,过P作线段AB的垂直平分线PC.
∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴P在AB的垂直平分线上.
两种证法由学生表述后,有学生提出:“第一个证明是正确的,而第二个证明我有点弄不懂.”
师生共析:如图(1)所示,PD⊥AB,D是垂足,但D不是AB的中点;如图(2)所示,PD平分AB,但PD不垂直于AB.这说明一般情况下,“过P作AB的垂直平分线”是不一定能实现的,所以第二个证法是错误的.
从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定定理.
[设计意图] 引导学生用多种方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题,从而发现它的正确性,提高学生分析问题、演绎推理的能力.
活动二:例题讲解
【课件2】
已知:如图所示,在ΔABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
引导学生分析,要让点P在BC的垂直平分线上,就是要证明BP=CP.
学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评.
证明:如图所示,连接PA,PB,PC.
∵DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线,
∴PA=PB=PC,
∴点P在BC的垂直平分线上.
【课件3】 (教材第116页做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,垂足为O.
求证:AO=OC,BO=OD.
让学生独立思考后完成.
证明:因为AB=BC,CD=AD,所以点B,D均在线段AC的垂直平分线上,直线BD是线段AC的垂直平分线,所以AO=OC,同理,BO=DO.
【拓展延伸】 三角形三边的垂直平分线交于一点.
教师讲解:根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理,我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点.
如图所示,其思路可表示为:
[设计意图] 让学生尝试应用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题,培养学生的应用能力.
到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.
如果一个点到一条线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上(如图所示).
符号语言:
∵DA=DB,
∴点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).
1.如图所示,点D在ΔABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在( )的垂直平分线上.
A.AB B.AC
C.BC D.不能确定
解析:∵BC=BD+AD=BD+CD,∴AD=CD,∴点D在AC的垂直平分线上.故选B.
2.直线l外有两点A,B,若要在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点能找到 ( )
A.0个 B.1个
C.无数个 D.0个或1个或无数个
解析:①当直线l垂直于直线AB且不平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有0个,②当直线l垂直平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有无数个,③当直线AB与直线l不垂直时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有1个.故选D.
3.如图所示,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在 ( )
A.ΔABC三边垂直平分线的交点上
B.线段AB上
C.ΔABC三条高所在直线的交点上
D.ΔABC三条中线的交点
解析:∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,∴猫应该蹲守在ΔABC三边垂直平分线的交点上.故选A.
4.如图所示,AB=AC,BM=CM,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
解析:根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答.
解:是.理由如下:
∵AB=AC,BM=CM,
∴点A,M都在线段BC的垂直平分线上.
根据“两点确定一条直线”知直线AM是线段BC的垂直平分线.
5.如图所示,在ΔABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC,求证:E点在线段AC的垂直平分线上.
证明:∵AD是ΔABC的高,∴AD⊥BC,
又∵BD=DE,∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线,∴AB=AE,
∴AB+BD=AE+DE,
又∵AB+BD=DC,∴DC=AE+DE,∴DE+EC=AE+DE,∴EC=AE,
∴点E在线段AC的垂直平分线上.
第2课时
活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理
活动二:例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第116~117页练习第1,2题.
2.教材第117页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第117~118页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.若AC=BC,则CD是线段AB的垂直平分线
B.若AD=DB,则AC=BC
C.若CD⊥AB,则AC=BC
D.若CD是线段AB的垂直平分线,则AC=BC
2.如图所示,AB=AC,DB=DC,点E在AD的延长线上,求证EB=EC.
3.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB垂直平分CD.
4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D,E,F分别在BC,AB,AC上,且BE=CD,BD=CF.求证:点D在EF的垂直平分线上.(提示:等腰三角形的两个底角相等)
【能力提升】
5.如图所示,直线l和直线m分别是线段AB和线段AC的垂直平分线,O为直线l与直线m的交点,求证:点O到点A,B,C的距离相等.
【拓展探究】
6.如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的平分线,E为AB边上一点,且CE⊥BD,垂足为O,求证:
(1)BD是线段CE的垂直平分线;
(2)∠ADE=∠ABC.
【答案与解析】
1.D(解析:A.若AC=BC,则点C在线段AB的垂直平分线上,故本选项错误;B.若AD=DB,不能判定AC=BC,故本选项错误;C.若CD⊥AB,不能判定AC=BC,故本选项错误;D.若CD是线段AB的垂直平分线,则AC=BC,故本选项正确.故选D.)
2.证明:连接BC,∵AB=AC,DB=DC,∴AD是线段BC的垂直平分线,∵点E在AD的延长线上,∴EB=EC.
3.证明:在ΔADB与ΔACB中,∴ΔADB≌ΔACB(ASA),∴BD=BC,AD=AC,∴AB垂直平分CD.
4.证明:如图所示,连接ED,
FD,∵AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形,∴∠B=∠C,又∵BE=CD,BD=CF,∴ΔBED≌ΔCDF,∴ED=FD,∴点D在EF的垂直平分线上.
5.证明:∵直线l和直线m分别是线段AB和线段AC的垂直平分线,O为交点,∴OA=OC,OA=OB,∴OA=OB=OC,即点O到点A,B,C的距离相等.
6.证明:(1)∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠CBO,∵CE⊥BD,∴∠BOE=∠BOC,在ΔBOE和ΔBOC中,∴ΔBOE≌ΔBOC(ASA),∴BE=BC,在ΔBDE和ΔBDC中,∴ΔBDE≌ΔBDC(SAS),∴DE=DC,∴点B,D都在线段CE的垂直平分线上,∴BD是线段CE的垂直平分线. (2)由(1)可知ΔBDE≌ΔBDC,∴∠BED=∠ACB=90°,∴∠A+∠ADE=∠A+∠ABC,∴∠ADE=∠ABC.
在教学中教师通过确定线段垂直平分线的性质定理的逆命题,让学生猜想、画图(写出已知、求证),最后通过三角形全等的知识推理论证,从而得到线段垂直平分线性质定理的逆定理.整个过程,学生参与其中,教师留给学生充分的时间思考,培养了学生自主探究的能力,使学生掌握了用演绎推理证明几何命题的步骤.
学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理应用得不好,不知道什么时候用性质,什么时候用判定,混淆不清.另外,在例题和做一做的证明过程中,多数同学的推理过程不够完善.
1.强化线段垂直平分线性质定理及其逆定理的比较,明确它们的联系与区别,以及应用的方法.
2.注重推理和证明,使学生明确符号语言的重要性.
3.在学生证明的过程中,教师要巡视指导,对证明过程要集体展示讲评,使学生能够发现自身存在的问题,及时改正.
练习(教材第116页)
1.解:连接AB,作线段AB的垂直平分线MN,直线MN交l于点P,则点P即为抽水站的位置,如图所示.理由:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
2.证明:∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上,同理可得点C也在线段BD的垂直平分线上.∴AC垂直平分BD.∵点E在AC上,∴BE=DE.
习题(教材第117页)
A组
1.解:分别作线段AB,BC的垂直平分线EF,GH,它们相交于点P,则点P即为所求,如图所示.理由:三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.
2.证明:连接PC.∵点P在BC的中垂线上,∴PB=PC,又∵PA=PB,∴PA=PC,∴点P在AC的中垂线上.
B组
1.解:AB+BD=DE.证明如下:∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC.又∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=EC.∴AB=EC.∵DC+EC=DE,∴BD+AB=DE.
2.证明:连接CD.∵DE垂直平分BC,∴BD=CD.又∵AD=BD,∴AD=CD.∴点D在AC的垂直平分线上.∵DF⊥AC,∴DF是线段AC的垂直平分线.
线段垂直平分线性质定理及其逆定理
(1)线段垂直平分线性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
定理中所说的“线段垂直平分线上的点”是指垂直平分线上的任意一点.换句话说,线段垂直平分线上的每一点都满足到线段的两个端点的距离相等.这一定理的作用在于它是证明两条线段相等的途径之一.
(2)线段垂直平分线性质定理的逆定理
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
该定理说明“到线段两个端点的距离相等”的所有点都在这条线段的垂直平分线上.换句话说,凡满
足这样条件的点,不会在线段的垂直平分线外,其作用在于证明点在线段的垂直平分线上.
[知识拓展] 三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这点到三角形三个顶点的距离相等.
如图所示,BC=10,BD=6,AD=4,求证:D点在AC的垂直平分线上.
〔解析〕 由BC=10,BD=6,AD=4,易得AD=CD,则可证得D点在AC的垂直平分线上.
证明:∵BC=10,BD=6,AD=4,
∴CD=BC-BD=10-6=4,∴AD=CD,
∴D点在AC的垂直平分线上.
第课时
1.使学生会用尺规作已知线段的垂直平分线.
2.会用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线.
1.学会使用精练准确的语言叙述作图过程.
2.学生用尺规作较简单的图形.
通过尺规作图的学习,培养学生的作图能力、语
言表达能力和逻辑思维能力.
【重点】
1.用尺规作线段的垂直平分线.
2.会用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线.
【难点】 用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线.
【教师准备】 直尺、圆规,课件1~5.
【学生准备】 直尺、圆规.
导入一:
【提出问题】
1.什么叫尺规作图?
只用直尺(没有刻度)和圆规画图的方法叫做尺规作图.
2.我们学过哪些基本的尺规作图?
(1)作一条线段等于已知线段;
(2)作一角等于已知角.
(3)用尺规作三角形.
3.什么叫做线段的垂直平分线?
经过线段的中点并且垂直线段的直线,叫做线段的垂直平分线.
教师说明:我们学习了线段的垂直平分线的定义,那么怎样作一条线段的垂直平分线,又如何过一点作出已知直线的垂线呢?这节课我们就研究这两个问题.
[设计意图] 通过导入,让学生温习以前学过的知识,从而利用知识迁移引出本节课要研究的内容,激发学生探究的欲望和学习的信心.
导入二:
【课件1】 如图所示,点A,B,C表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,水泵站应建在何处?请画示意图,并说明理由.
〔解析〕 因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同,所以水泵站应在AB,BC的中垂线的交点处.
说明:那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?(导出课题)
[设计意图] 重新审视线段垂直平分线性质定理的逆定理,让学生明确到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,从而引出本节课的学习内容.
[过渡语] 用直尺和圆规作图的问题,以前我们已经遇到过.现在我们可以进一步用尺规作有关图形.
活动一:作线段的垂直平分线
思路一
我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线,现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定,能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?
要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.
下面我们一同来写出已知、求作、作法,体会作法中每一步的依据.
【课件2】
如图所示,已知线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.
〔解析〕 由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知,只要作出到这条线段端点距离相等的两点,连接这两个点,即得所求作的直线.
作法:如图所示.
(1)分别以点A和点B为圆心,a为半径,在线段AB的两侧画弧,分别相交于点C,D.
(2)连接CD.
直线CD即为所求.
师:根据上面作法中的步骤,想一想,为什么直线CD就是所求作的垂直平分线?请与同伴进行交流.
生:从作法知AC=BC=AD=BD,
∴C,D都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定).
CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).
师:我们曾用刻度尺找线段的中点,当我们学习了线段的垂直平分线的作法时,一旦垂直平分线作出,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,所以我们也用这种方法找线段的中点.
思路二
【课件3】 如图所示,已知PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的垂直平分线吗?为什么?
生:是.由题意可知ΔAPQ≌ΔBPQ,所以∠APQ=∠BPQ,设AB与PQ的交点为O,所以ΔAPO≌ΔBPO,所以∠AOP=∠BOP,AO=BO,即得PQ是线段AB的垂直平分线.
师:对于PA=PB,QA=QB,我们都可以用圆规比较容易地实现,从这里你是否已经看出线段的垂直平分线的作法了呢?
画一条线段,用尺规作出它的垂直平分线.
明确线段垂直平分线的画法.
[知识拓展] 任意作出两条连接圆上不同点的线段,再分别作出它们的垂直平分线,则两条垂直平分线的交点即为圆心,这个圆心与圆上任意一点的距离即为半径.
[设计意图] 通过对线段垂直平分线的证明,让学生探索、发现线段垂直平分线的作法.
活动二:经过一点作已知直线的垂线
经过一点作已知直线的垂线,这一点与已知直线有两种不同的位置关系:点在直线外,点在直线上.因此要分别按这两种情况作图.
【课件4】
如图所示,已知直线AB及AB外一点P.
求作:经过点P,且垂直于AB的直线.
〔解析〕 在直线AB上作出一条线段CD,使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C,D距离相等的点Q,连接PQ,直线PQ即为所求.
作法:如图所示,以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线AB于点C,D.
(2)分别以点C,D为圆心,适当长为半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧相交于点Q.
(3)连接PQ.
直线PQ即为所求.
说明:学生自己探索作法,然后师生共同操作,检验自己所作的步骤是否正确.
[过渡语] 我们了解了过直线外一点作已知直线的垂线的方法,如果这个点在直线上,又怎样过这个点作已知直线的垂线呢?
【课件5】 (教材第119页做一做)
已知:如图所示,点P在直线AB上.
求作:经过点P,且垂直于AB的直线.
指导学生仿照例2完成,然后展示画法.
[设计意图] 体会线段垂直平分线性质定理的逆定理在作图中的应用,让学生明确作图的方法和依据,理解知识之间的相互联系.
1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.
2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系:①点在直线外;②点在直线上,因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.
说明:根据作线段垂直平分线的方法,我们可以把一条线段平分;根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法,我们可以作出三角形的高.
1.利用尺规作线段MN的垂直平分线时,设以M,N为圆心所画弧的半径分别为RM,RN,则下列说法正确的是 ( )
A.RM与RN不一定相等,但必须RM>MN,RN >MN
B.RM=RN>MN
C.RM>RN>MN
D.RM=RN=MN
解析:根据作已知线段的垂直平分线的画法即可知B正确.故选B.
2.如图(1)所示,在河岸l的同侧有A,B两村,要在河边修一水泵站P,使水送到A,B两村所用的水管最短(两村不共用水管).另在河边修一码头Q,使其到A,B两村的距离相等,试画出P,Q所在的位置.
解析:点P为点A关于直线l的对称点和点B的连线与l的交点,点Q为线段AB垂直平分线与l的交点.
解:如图(2)所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P.
连接AB,作线段AB的垂直平分线,交直线l于点Q.
P,Q两点对应的位置就是所求的位置.
3.如图所示,请你在下列各图中,过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
解:如图所示.
4.如图所示,已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB;
(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.
解:(1)如图所示. (2)如图所示.
5.如图所示,已知ΔABC中,AB=2,BC=4.
(1)画出ΔABC的高AD和CE;
(2)若AD=,求CE的长.
解:(1)如图所示.
(2)∵SΔABC=AD×BC=AB×CE,∴4=2×CE,∴CE=3.
6.画图并回答问题.
(1)过点P画OA的垂线交OC于点B;
(2)画点P到OB的垂线段PM;
(3)指出上述作图中哪条线段的长度表示P点到OB的距离;
(4)比较PM与OP的大小,并说明理由.
解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)PM的长度表示P点到OB的距离.
(4)PM第3课时
活动一:作线段的垂直平分线
例1
活动二:经过一点作已知直线的垂线
(1)直线外一点
例2
(2)直线上一点
一、教材作业
【必做题】
1.教材第119页练习第1,2题.
2.教材第119页习题第1题.
【选做题】
教材第119页习题第2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在ΔACB中,AB=AC=6,BC=4.5,分别以点A,B为圆心,4为半径画圆弧交于E,F两点,过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则ΔBCD的周长为 ( )
A.10 B.6 C.10.5 D.8
2.如图所示,已知线段AB,分别以点A、点B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧交于点C和点D,作直线CD,在CD上取两点P,M,连接PA,PB,MA,MB,则下列结论一定正确的是( )
A.PA=MA B.MA=PE
C.PE=BE D.PA=PB
3.如图所示,在ΔABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,连接MN,交BC于点D,交AB于点E,连接AD.若ΔABC的周长为16,ΔADC的周长为9,那么线段AE的长等于 ( )
A.3 B.3.5 C.5 D.7
4.(2015·北京中考)阅读下面的材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:作一条线段的垂直平分线.
已知线段AB.
小芸的作法如下:如图所示,①分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;②作直线CD.
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作图依据是 .?
5.如图所示的ΔABC,请你用尺规作图法作出AB边上的高线.(要求保留作图痕迹)
6.如图所示,过P点作OA,OB的垂线.
【能力提升】
7.如图所示,BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,垂足为点O;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)求证DE=BF.
8.如图所示,在ΔABC中,AB=3 cm,AC=5 cm.
(1)作BC的垂直平分线,分别交AC,BC于点D,E;(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,连接BD,求ΔABD的周长.
【拓展探究】
9.如图所示,点C是∠AOB的边OB上的一点,按下列要求画图并回答问题.
(1)过点C作OB的垂线,交OA于点D;
(2)过点C作OA的垂线,垂足为E;
(3)比较线段CE,OD,CD的大小关系.(用“<”连接)
【答案与解析】
1.C(解析:由题意得EF是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∵AC=6,∴DC+BD=6,∵BC=4.5,∴ΔBCD的周长为6+4.5=10.5.故选C.)
2.D(解析:由题意可知PD是线段AB的垂直平分线,所以PA=PB.故选D.)
3.B(解析:根据题意可得MN是线段AB的垂直平分线,∵ΔADC的周长为9,∴AC+AD+CD=9,∵ΔABC的周长为16,∴AC+CD+BD+AB=16,∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,AE=AB,∴AC+CD+AD+AB=16,∴AB=16-9=7,∴AE=3.5.故选B.)
4.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线
5.解:如图所示,CE就是所求的高线.
6.解:如图所示.
7.(1)解:如图所示. (2)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵EF垂直平分线段BD,∴BO=DO,在ΔDEO和ΔBFO中,∴ΔDEO≌ΔBFO(ASA),
∴DE=BF.
8.解:(1)如图所示. (2)如图所示,连接BD.∵DE是BC的垂直平分线,∴BD=CD,∵AC=5 cm,∴AD+DC=AD+BD=5 cm,∵AB=3 cm,∴ΔABD的周长是5+3=8(cm).
9.解:(1)如图所示. (2)如图所示. (3)CE本教案以复习提问的方式导入新课,通过学生的操作、交流,总结归纳出作线段垂直平分线的方法和过一点作已知直线的垂线的方法,加深对这两种基本作图的理解,使学生明确两种基本作图方法的依据都是线段垂直平分线性质定理的逆定理,通过作图让学生理解了作图的理论依据.在教学过程中,让学生动手操作,边作边口述每一步的作法,提高了学生运用数学语言表述作图过程的能力.
学生操作之后,教师没有注重指导和加强练习,本节课有两种基本作图,学生作完之后,相互混淆,对每种作图方法掌握不够好.
指导学生作完图之后,让学生尝试练习,然后通过小组合作检验对方的画法是否正确,互相纠错,互相指导,以达到熟练的目的.另外,要注意两种基本作图的比较,发现它们的异同点,以使学生便于区分.
练习(教材第119页)
1.解:(1)连接AB.(2)用尺规作线段AB的垂直平分线l,直线l即为所求.(图略)
2.解:如图所示.
习题(教材第119页)
1.解:如图所示,用尺规作线段AB的垂直平分线MN交AB于点C,点C即为所求.
2.解:如图所示,ΔA'B'C'即为所求.
3.解:如图所示,四边形ABCD即为所求作的长方形.
如图所示,有一张长方形纸片ABCD,折叠该纸片,使得点A与点C重合,请你在此图中画出折痕的位置和折叠后的图形.(画在原图上即可,尺规作图,保留作图痕迹)
〔解析〕 根据折叠该纸片使得点A与点C重合,可知作出AC的垂直平分线即可得出答案.
解:如图所示.
如图所示.
(1)在ΔABC中分别画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线;
(2)设(1)中所画的两条直线相交于点O.连接OA,OB,OC,由点O在线段AB的垂直平分线上,可以知道哪两条线段相等;
(3)由点O在BC边的垂直平分线上,又可以得到什么结论?
(4)由(2)与(3)的结论,在线段的相等关系方面,你一定又有新的发现,请先用等式加以表示,再用文字加以叙述.
(5)请对所画的图形作进一步探索,得出新的猜想或发现.(写一个即可)
解:(1)如图所示,直线m,n分别为边AB,BC的垂直平分线. (2)OA=OB. (3)OB=OC. (4)由(2)(3)可知OA=OB=OC,三角形中两条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等. (5)猜想:点O在边AC的垂直平分线上.
16.3 角的平分线
1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.
2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.
3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.
1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.
2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.
3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.
1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣.
2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.
3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.
【重点】 角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用.
【难点】 灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题.
【教师准备】 直尺和圆规、课件1~2.
【学生准备】 直尺和圆规.
导入一:
【问题探究】(投影显示)
如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗?
【教师活动】 首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述.
【学生活动】 小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理.
【教师活动】 那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题.
[设计意图] 通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫.
导入二:
师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?
学生思考回答.
师:你会作角平分线吗?
生:会.
师:怎么作呢?
生1:用折纸的方法来作.
生2:用量角器来作.
师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题).
[设计意图] 通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.
导入三:
在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为1∶20000)
[设计意图] 以同学们喜欢的军事情境设置问题,导入新课,易引起学生的学习兴趣,并且留有悬念,暂时不解决,让学生带着疑问,可提高学生的注意力.
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
[过渡语] 利用分角仪我们可以把已知角平分,下面我们共同探究角平分线的性质和判定方法.
思路一
1.整体感知
师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论?
生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.
师:出示课件.
【课件1】 按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.
生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.
2.师生互动
互动1
师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等?
生:全等三角形的对应边相等.
师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢?
生:ΔPDO与ΔPEO.
师:怎样证全等?
生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)
师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.
互动2
[过渡语] 线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理),角平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题呢?
师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?
师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.
互动3
刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:
【课件2】
(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.
证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F.
∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理PE=PF,
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.
思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
(点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.)
思路二
如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试.
生:相等.
师:为什么?
学生思考,小组讨论.
师:你能证明这个结论吗?
学生思考证明.
教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:
1.明确命题中的已知和求证.
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
教师找学生板演.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,
∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC.
在ΔPDO和ΔPEO中,
∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.
集体纠正.
师:你能总结这个结论吗?
生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.
师:谁能说出它的逆命题?
生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.
(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.
(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
[设计意图] 通过师生共同探究和小组的合作,完成对定理和逆定理的学习.
活动二:角平分线的画法
[过渡语] 刚才我们接触了平分角的仪器,其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法.
教师引导学生作图:作∠AOB的平分线.
学生讨论作法.
教师总结作法:
1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E.
2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C.
3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.
学生作图.
师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗?
学生进行交流,写出证明过程,
教师巡回指导.
师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?
生:垂直.
师:你会作吗?
学生小组操作.
教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线.
[设计意图] 用学生自主操作和师生共同探究的方法,激发学生的学习兴趣,唤起学生的参与意识.
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.
2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.
3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).
1.如图所示,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5
解析:过点D作DF⊥AC于F,∵AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∵SΔABC=SΔABD+SΔACD,∴4×2+AC×2=7,解得AC=3.故选A.
2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是 ( )
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB平分OP
解析:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴PA=PB,∴ΔOPA≌ΔOPB,∴∠APO=∠BPO,OA=OB,∴A,B,C正确.设PO与AB相交于E.∵OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE,∴ΔAOE≌ΔBOE,∴∠AEO=∠BEO=90°,∴OP垂直于AB,而不能得到AB平分OP,故D不一定成立.故选D.
3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是 ( )
A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD
C.CO平分∠ACB D.OC=OD
解析:∵角平分线AD,BE相交于O点,∴CO平分∠ACB.故选C.
4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16 cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.
解析:过点M作MD⊥AB于D,先求出CM,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM.
解:如图所示,过点M作MD⊥AB于D,
∵BC=16 cm,
CM∶MB=3∶5,
∴CM=16=6(cm),
∵∠C=90°,AM平分∠CAB,
∴DM=CM=6 cm,
即点M到AB的距离为6 cm.
16.3 角的平分线
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
1.性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
活动二:角平分线的画法
一、教材作业
【必做题】
1.教材第122页练习第1,2题.
2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第123页习题B组第1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,则要求AB与CD之间的距离,只需测量出 ( )
A.PA的长度 B.PC的长度
C.PE的长度 D.AB的长度
2.如图所示,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有 ( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
3.若ΔABC中的∠B和∠C的平分线交于点O,则关于射线AO,下列说法正确的是 ( )
A.既平分∠BAC,又平分∠BOC
B.既不平分∠BAC,也不平分∠BOC
C.一定平分∠BAC,但不一定平分∠BOC
D.既不一定平分∠BAC,也不一定平分∠BOC
4.如图所示,ΔABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将ΔABC分为三个三角形,则SΔABO∶SΔBCO∶SΔCAO等于 ( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
【能力提升】
5.已知∠B=∠E=90°,CE=CB,AB∥CD,求证AD=CD.
【拓展探究】
6.如图所示,已知∠MON的边OM上有两点A,B,边ON上有两点C,D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点.
(1)ΔABP与ΔPCD是否全等?请说明理由.
(2)ΔABP与ΔPCD的面积是否相等?请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:过点P作PF⊥AB于F,延长FP交CD于G.∵AB∥CD,∴FG⊥CD,∴线段FG的长度即为AB与CD之间的距离.∵AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PG⊥CD于G,∴PF=PE=PG,∴FG=2PE.故要求AB与CD之间的距离,只需测量出PE的长度.)
2.D(解析:满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,1处;(2)三个外角两两平分线的交点,共3处.)
3.C(解析:如图所示,设AO交BC于D.∵三角形的三条角平分线相交于一点,∴三角形两条角平分线的交点一定在第三个角的平分线上,∴射线AO一定平分∠BAC,设∠OBA=∠OBC=α,∠OCB=∠OCA=β,∠OAB=∠OAC=γ,∵∠BOD=α+γ,∠COD=β+γ,α与β不一定相等,∴∠BOD与∠COD不一定相等,∴射线AO不一定平分∠BOC.)
4.C(解析:利用等高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知C正确)
5.证明:∵∠B=∠E=90°,∴CE⊥AE,CB⊥AB,∵CE=CB,∴AC平分∠EAB,∴∠DAC=∠BAC,∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD.
6.解:(1)ΔABP与ΔPCD不一定全等,∵ΔABP与ΔPCD中只有AB=CD一个条件,其他边、角无法确定相等,∴ΔABP与ΔPCD不一定全等.
(2)ΔABP与ΔPCD的面积相等.理由如下:∵P为∠MON的平分线上一点,∴点P到AB,CD的距离相等,∵AB=CD,∴ΔABP与ΔPCD的面积相等.
角平分线的性质是在学习了“全等三角形的性质和判定”后,通过一些实际问题,讨论了角的平分线的性质.在教学中教师采用了体验探究的教学方式,为学生提供了亲自操作的机会,引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现,使学生直接参与教学活动,学生在动手操作中对抽象的数学定理获取感性的认识,进而通过教师的引导上升为理性认识,从而获得新知,使学生的学习变为一个再创造的过程,同时让学生学到获取知识的思想和方法,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性,为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础.
本节课授课开始,在利用平分角的仪器的讲授中引入尺规作图原理.在学生掌握了尺规作图后,让学生自己动手画角的平分线,在授课过程中,教师对学生的能力有些低估,表现在整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力.对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间,以至于后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不够完整.
对于问题的探讨应该把权利完全交给学生,充分发挥小组合作学习的优势,学生能完成的一定要让学生自己去完成,对于有难度的问题,教师可适当点拨,不能忽视学生的主体地位.另外在时间的安排上,教师要提前安排好,尤其是对课堂时间的掌控和每一个环节上都应该提前预料好,并在课堂上进行合理的调配,才能使课堂教学流畅、自然,达到预期的效果.
【练习】(教材第122页)
1.证明:∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC.在ΔACD和ΔAED中,∴ΔACD≌ΔAED(AAS),∴AC=AE.
2.证明:∵D为BC的中点,∴DB=DC.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在ΔBED和ΔCFD中,∴ΔBED≌ΔCFD.∴DE=DF.∴点D在∠A的平分线上.
【习题】(教材第122页)
A组
1.解:古城遗址的位置如图所示.
2.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在ΔBED和ΔCFD中, ∴ΔBED≌ΔCFD,∴BD=CD.
3.证明:(1)∵∠BAO=∠CAO,CD⊥AB,BE⊥AC.∴OD=OE.在ΔBOD和ΔCOE中,∴ΔBOD≌ΔCOE.∴OB=OC. (2)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDO=∠CEO=90°.在ΔBOD和ΔCOE中,∴ΔBOD≌ΔCOE.∴OD=OE.∴AO平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO.
B组
1.证明:∵∠BCD=∠ACD,∴180°-∠BCD=180°-∠ACD,∴∠OCB=∠OCA.∵OD平分∠BOA,∴∠BOC=∠AOC.在ΔAOC和ΔBOC中,∴ΔAOC≌ΔBOC(ASA).∴OA=OB.
2.证明:(1)∵点E在∠AOB的平分线上,∴∠COE=∠DOE.又∵EC⊥OA,ED⊥OB,∴∠OCE=∠ODE=90°,EC=ED.在ΔOCE和ΔODE中,∴ΔOCE≌ΔODE(AAS).∴OC=OD. (2)由(1)得ΔOCE≌ΔODE,∴∠OEC=∠OED.在ΔCEF和ΔDEF中,∴ΔCEF≌ΔDEF(SAS).
∴∠ECF=∠EDF,即∠ECD=∠EDC. (3)由(1)得EC=ED,∴点E在线段CD的垂直平分线上.同理点O也在线段CD的垂直平分线上,∴OE是线段CD的垂直平分线.
3.已知:如图所示,在ΔABC中,AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,且AD与BE相交于点O.求证点O到ΔABC三边的距离相等.证明:过点O分别作OF⊥AB,OG⊥BC,OH⊥AC,垂足分别为F,G,H.∵AD是∠BAC的平分线,∴OF=OH.同理可得OF=OG.∴OF=OG=OH,即点O到ΔABC三边的距离相等.
角平分线的性质定理
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
(1)角的平分线反映了角的平分线上的点所具备的性质,不是任意点到角的两边距离都相等,只有在角的平分线上的点才有到角的两边距离相等的特点,在应用时必须注意:①是不是角的平分线上的点;②是不是到角的两边的垂线段.
(2)角的平分线的性质定理为证明线段的相等提供了一个简便可行的方法,应用时要依托全等三角形发挥作用.
角平分线性质定理的逆定理
角的平分线的判定定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
(1)角的平分线的判定定理与角的平分线的性质定理的题设和结论正好相反.它说明了角的内部到角的两边距离相等的点不可能在别处,只能在角的平分线上.
(2)角的平分线的判定定理为证明角相等提供了一个简便的方法,要习惯用角的平分线的判定定理证明角相等.
在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10 cm,ΔCDE的周长为16 cm,求CD的长.
〔解析〕 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.
解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,
∴DE+CE=AE+CE=AC=10 cm,
∵ΔCDE的周长为16 cm,
∴DE+CE+CD=16 cm,
∴CD=16-10=6(cm).
如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.
〔解析〕 作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.
证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,
在ΔCBE和ΔCDF中,
∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.
如图(1)所示,已知点P是ΔABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,若PD=5,ΔABC的周长为20,求ΔABC的面积.
〔解析〕 作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,根据角平分线的性质定理得PE=PF=PD=5,然后根据三角形面积公式和SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPAC得到SΔABC=(AB+BC+AC),再把ΔABC的周长为20代入计算即可.
解:作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,如图(2)所示,
∵点P是ΔABC三条角平分线的交点,
∴PE=PF=PD=5,
∴SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPAC
=PD·AB+PE·BC+PF·AC
=(AB+BC+AC)=20=50.
如图(1)所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,且AC=b,BC=a,AB=c,∠A与∠B的平分线交于点O,O到AB的距离为OD.试探究OD与a,b,c的数量关系.
〔解析〕 过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于
F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.
解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,
∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,
∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,
∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,
∴OE=OF=FC=EC=OD,
在RtΔOAE和RtΔOAD中,
∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,
同理BD=BF,
∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,
∴AD=b-OD,BD=a-OD,
∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,
∴OD=(a+b-c).
16.4 中心对称图形
1.发现中心对称的性质和判断两个图形是否成中心对称的方法,并能灵活应用.
2.能够利用中心对称的性质进行作图,能够判断两个图形是否成中心对称.
3.了解中心对称图形.
1.利用中心对称的性质验证图形的性质.
2.应用中心对称图形的概念猜测并验证某些图形是否为中心对称图形.
通过观察发现、动手操作、大胆猜想、自主探索、合作交流体验成功的喜悦及学习的乐趣,并积累一定的审美体验.
【重点】
1.中心对称的性质.
2.中心对称图形的有关概念.
【难点】
1.中心对称图形与轴对称图形的区别.
2.利用中心对称的性质和中心对称图形的有关概念解决问题.
【教师准备】 课件1~9.
【学生准备】 复习轴对称、旋转的知识.
导入一:
【课件1】 如图(1)所示的是4张扑克牌,然后手中拿同样四张扑克牌充当魔术师,把任意一张牌旋转180°,把旋转过的扑克牌贴到黑板上,得到的扑克牌如图(2)所示,让学生猜哪一张牌被旋转过了?注意:教师在叙述魔术游戏时一定要表情丰富,语言具有煽动性和挑战性.
[设计意图] 以魔术创设问题情境:教师通过扑克牌魔术的演示引出研究课题,激发学生探索“中心?
