课件21张PPT。 八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形（第1课时）如图所示，哪些是轴对称图形？ 什么是轴对称图形？什么样的三角形才是轴对称图形？观察思考 如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ ABC有什么特点? 学 习 新 知AB=AC复习旧知
什么是等腰三角形？有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,
若AB=AC,则△ ABC是等腰三角形,
AB,AC是腰,BC是底边,
∠A是顶角,∠B和∠C是底角. 如图所示, △ ABC是等腰三角形,其中AB=AC.
(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为△ ABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?(2)∠B和∠C有怎样的关系?(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分
线有怎样的关系?是相等同一条线性质1 等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”).等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).知识拓展 如图所示,在△ ABC中,AB=AC.求证∠B=∠C. 证明:作BC边上的中线AD,如图所示,
则BD=CD, AD=AD，
AB=AC，
BD=CD，所以△ ABD≌ △ ACD(SSS),
所以∠B=∠C.这样,就证明了性质1.
类比性质1的证明你能证明性质2吗?在△ABC和△ACD中，由△ ABD≌ △ ACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.从而AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.等腰三角形还有以下性质:知识拓展(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之
和等于一腰上的高.已知:如图所示,在△ ABC中,AB=BC=AC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°证明:在△ ABC中,由AB=AC,得∠B=∠C.由AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.
由三角形内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°. 等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条
边都相等,都可以作为底边);知识拓展(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的
平分线一共有三条.例1：已知:如图所示,在△ AB中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.
求证:BD=CE.〔解析〕根据角平分线定义得到
∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,
再根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过ASA
证得△ ABD≌ △ ACE,就可以得到BD=CE. 例2：(补充例题)如图所示,在△ ABC中,
AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ ABC中各角的度数. 〔解析〕根据等边对等角的性质,可得∠A=∠ABD,
∠ABC=∠C=∠BDC,再由
∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到
∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A .
再由三角形内角和为180°,就可求出△ ABC的三个角的度数.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD，设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在△ ABC中,∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.
所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.课堂小结1.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简
称“等边对等角”).
注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.2.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底
边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等,并
且每一个角都等于60°. 检测反馈1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数
为 ( )
A.40 ° B.50° C.60° D.70°D解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,
所以其底角为 (180 ° -40 °) =70°.故选D.2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为 ( )
A.17 B.15 C.13 D.13或17A解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,
3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,
则∠EDC等于( )
A.30° B.20° C.25° D.15° D 解析:∵ △ ABC是等边三形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,
∵AD是△ ABC的中线,∴∠DAC= ∠BAC=30°,AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED= (180 ° - ∠DAC)=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.4.如图所示,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20°,则∠α的度数为 ( )
A.60° B.45° C.40° D.30°C解析:如图所示,过C作CE∥直线m,
∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,
∠BCE=∠CBF=20°
∵ △ ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.5.如图所示,在△ ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ ABC的周长是 .?解析:∵在△ ABC中,AB=AC,∴ △ ABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,
∴ △ ABC的周长=6+4+4+6=20.故填20.206.如图所示,在△ ABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数. 解析:由AB=AC及顶角∠A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出∠DCB的度数,由∠ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出∠ADC的度数.解:∵在△ ABC中,∠A=70°, AB=AC,∴∠B=∠ACB= (180 ° -70 °) = 55°,又∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠ACD=27.5°,∵∠ADC为△ BCD的外角,∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD吗?请说明理由. 解析:根据△ ABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,求出∠BDA=90°,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形内角和定理得出∠CAE=∠ABD.解:∠CAE=∠ABD,理由如下:∵ △ ABC为等边三角形,D为AC边上的中点,∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,∴∠BDA=90°,∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90°,又∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAD,∴180°-90°-∠ACE=180°-90°-∠BAD,
∴∠CAE=∠ABD.课件13张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形（第2课时）对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?观察思考 想一想：
已知在△ABC中,∠B=∠C.
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将△ABC沿AD所在直线折叠,
△ABC被直线AD分成的两部
分能够重合吗?
(3)由上面的操作,你是否发现了
边AB和边AC之间的数量关系?学 习 新 知 (1)在这一问题中,条件和结论是什么? 已知:在△ABC中,∠B=∠C.
求证:AB=AC.证明:如图所示,作△ABC的角平分线AD. ∠ 1= ∠2,
∠ B= ∠ C,
AD=AD,在△BAD和△CAD中,∴△BAD≌△CAD(AAS), ∴AB=AC.(2)用数学符号怎样表示? 归纳等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边也相等.简称“等角对等边”. 说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法.小结 如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.知识拓展证明:∵AD∥BC,
∴∠1=∠B( ),
∠2=∠C( ),
∵∠1=∠2,∴∠B=∠C.
∴AB=AC( ). 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图所示).
求证:AB=AC.两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等解析:要证明AB=AC,可以证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.等角对等边 例：(教材例2)已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图所示,已知线段a和h.
求作等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h. 解:作法:
(1)作线段BC=a.(2)作线段BC的垂直平分
线MD,垂足为点D.(3)在DM上截取DA=h.(4)连接AC,BC.则△ABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.图(2)课堂小结1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角
相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的
角所对的边相等.(简称“等角对等边”)说明:
(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆;
(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶
角平分线,但不能作底边上的中线;
(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.2.等边三角形的判定定理
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 检测反馈1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边
上, ∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中等腰
三角 形的个数是 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个C解析:∵AB=AC,∠ABC=36°,∴∠ACB=36°,
∠BAC=108°,∵∠DAE=∠EAC=36°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°∴∠ADE=∠AED=72°,∴△ABC, △ABD, △ADE, △ACE, △ACD, △ABE均是等腰三角形,共有6个.故选C. 2.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N与灯塔P的距离为( )
A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里D解析:MN=2×40=80(海里),由题意知∠M=70°,∠N=40°,
∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°- 70°- 40°=70°,
∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=80海里.故选D.3.如图所示,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等腰三角形 D.不能确定形状B解析:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.
∵∠1=∠2,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD,
∠BAE=∠CAD=60°,∴△ADE是等边三角形.故选B.4.已知△ABC中，AB=AC,下列结论：（1）若AB=BC,则△ABC是等边三角形；
（2）若∠A=60°,则△ABC是等边三角形；
（3）若∠B=60°,则△ABC是等边三角形.
其中正确的有 （ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:因为AB=AC,AB=BC,所以AB=AC=BC,
所以△ABC是等边三角形，所以（1）正确；
因为AB=AC, ∠A=60°,所以△ABC是等边三角
形，所以（2）正确；因为AB=AC，∠B=60°，
所以△ABC是等边三角形，所以（3）正确.正
确的有3个.
D课件18张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.2 直角三角形思考:
什么样的三角形是直角三角形?有一个角是直角的三角形是直角三角形.那么这个特殊的三角形有哪些性质呢?我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢? (1)观察图中的三角形,∠C=90°,
从∠A+∠B的度数,能说明什么?为什么? 学 习 新 知直角三角形的两个锐角互余.(性质定理1)(2)想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(判定定理)(3)讨论:直角三角形的性质定理1和判定定理是什么关系?对应练习(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一个锐角度数为 .?(3)如图所示,在△ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,与∠B互余的角有 ;
与∠A互余的角有 ;
与∠A相等的角有 ;
与∠B相等的角有 .?(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A= ,∠B= .?38°60 °30 °∠A, ∠DCB∠ACD, ∠B∠DCB∠ACD想一想:
如果在练习(3)中添加∠A=45°的条件,那么各个锐角是多少度?各条线段之间有什么数量关系?
猜一猜,量一量:直角三角形斜边上的中线等于斜边一半吗? (1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,按照教材第147页“观察与思考”进行操作.(2)思考:∠ECF与∠B有什么关系?线段EC与线段EB有什么关系?(3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB,
∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?从而你发现了什么结论?将你的结论与大家交流.CE=AE=EB,即CE是AB的中线,且2CE=AB. 已知:如图所示,在Rt △ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD= AB. ∠ A= ∠ FDB,
AD=BD,
∠ ADE= ∠B,证明:如图所示,过点D作DE∥BC,交AC于点E,作DF∥AC,交BC于点F. 在△ AED和△ DFB中∴ △ AED≌ △ DFB(ASA),∴AE=DF,ED=FB( ),全等三角形的对应边相等同理可证△ CDE≌ △ DCF.从而ED=FC,EC=FD( ).全等三角形的对应边相等∴AE=CE,FC=FB( ).等量代换又∵DE⊥AC,DF⊥BC( ),两直线平行,同位角相等∴DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线.∴AD=CD=BD( ),线段垂直平分线的性质定理∴CD= AB.归纳：性质定理2:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.课堂小结1.直角三角形的性质定理1
根据三角形内角和等于180°,我们可以得到直角三角形中的两个锐角的和是90°,即直角三角形的两个锐角互余.这样,在直角三角形中,如果已知一个锐角的度数,就可以求出另一锐角的度数.2.直角三角形的判定定理
如果一个三角形中的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一个三角形中有两个角的和是90°,那么这个三角形就是直角三角形.课堂小结3.直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:这一性质成立的条件是在直角三角形中,并且是斜边上的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角三角形的问题时,如果涉及到斜边上的中点,那么就要联想到这一性质.4.含有30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 检测反馈1.在△ ABC中,满足下列条件:
①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C;
③∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5;④∠A=90°-∠C.其中能确定△ ABC是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C解析:①∠A=60°,∠C=30°时,∠B=180°-60°-30°=
90°是直角三角形;②∠A+∠B=∠C时,
∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,∴∠C=90°,是直角三角形;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5时,∠C<90°,是锐角三角形;④∠A=90°-∠C时,∠A+∠C=90°,∠B=90°,是直角三角形.综上所述,是直角三角形的有①②④,共3个.故选C. 2.设计一张折叠型方桌如图(1)所示,AO=BO=50 cm,CO=DO=30 cm,将桌子放平后,要使AB距离地面的高为40 cm,则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°C解析:作DE⊥AB于E,如图(2)所示.
∵AD=50+30=80(cm),DE=40 cm,∴∠A=30°,
∵AO=BO,∴∠B=∠A=30°,
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.故选C.3.如图所示, △ ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△ CDE的周长为 ( )
A.20 B.12 C.14 D.13C解析:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴AD⊥BC,CD=BD= BC=4,∵点E为AC的中点,
∴DE=CE= AC=5,∴ △ CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.4.如图所示, △ ABC中,∠ACB=90°,CD是
高,∠A=30°BD=5,则AB的长为( )
A.20 B.15 C.10 D.18A解析:∵∠ACB=90°,CD是高,
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A=30°,
在Rt △ BCD中,BC=2BD=2×5=10,在Rt △ ABC中,
AB=2BC=2×10=20.故选A. 5.如图所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证CD⊥AB. 解析:根据∠ACB=90°,得出∠A+∠B=90°
根据∠ACD=∠B,得出∠A+∠ACD=90°,再根据两锐角
互余的三角形是直角三角形即可得出答案.证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,
∴ △ ACD是直角三角形,
∠ADC=90°,∴CD⊥AB. 6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D,CE是∠ACB的平分线. (1)求∠DCE的度数.解析:由图知∠DCE=∠DCB-∠ECB,由∠B=30°,CD⊥AB于D,
利用直角三角形的性质定理,求出∠DCB的度数,再由角平
分线定义得∠ECB=∠ACB,则∠DCE的度数可求;解:∵∠B=30°,CD⊥AB于D,
∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ECB= ∠ACB=45°,
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°. (2)若∠CEF=135°,求证EF∥BC.解析: 根据∠CEF+∠ECB=180°,由同旁内角互补,两直线平行可以证明EF∥BC.证明:∵∠CEF=135°,∠ECB= ∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.7.如图所示,在Rt △ ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.求证AD= AB. 解析:在直角三角形ABC中,由∠B=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,得到AC等于AB的一半,由CD垂直于AB,得到△ ACD和△ BCD都为直角三角形,由∠B为30°,求出∠ACD为30°,再利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AD为AC的一半,等量代换即可得证.证明:在Rt △ ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC= AB,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
在Rt △ BCD中,∠B=30°,∴∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-60°=30°,
在Rt △ ACD中,AD= AC,∴AD= AB.8.如图所示,已知在△ ABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等分∠ACB. (1)求∠B的度数;解析:利用直角三角形BCD的两个锐角互余进行解答.解:(1)∵在△ ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°,
∴∠BCD=60°,又∵CD为高,
∴∠B=90°-60°=30°.(2)求证CE是AB边上的中线,且CE= AB.解析:利用已知条件和(1)中的结论可以得到△ ACE是等边三角形和△ BCE为等腰三角形,利用等腰三角形的性质证得结论.证明:(2)由(1)知∠B=∠BCE=30°,∴CE=BE,AC= AB.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=60°,
由(1)知∠ACD=∠DCE=30°,∴∠ACE=∠A=60°,
∴ △ ACE是等边三角形,∴AC=AE=EC= AB,
∴AE=BE,即点E是AB的中点.
∴CE是AB边上的中线,且CE= AB.课件19张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理（第1课时） 下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?观察思考1.画一个直角三角形,使直角边分别为3 cm和4 cm,
测量一下斜边是多少?
2.画一个直角边分别是6 cm和8 cm的直角三角形,
测量一下斜边是多少?
3.画一个直角边分别是5 cm和12 cm的直角三角形,
测量一下斜边是多少?
问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?学 习 新 知13 cm10 cm5 cm 如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的△ABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?问题:
(1)以AC为边的正方形的面积是 ;?
(2)以BC为边的正方形的面积是 ;?
(3)以AB为边的正方形的面积是 ;?
(4)三个正方形的面积之间关系
是 + = .?刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢? 如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系? 以AC,BC为边的正方形的面积都是1 如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的Rt △ ABC的边把这种关系表示出来. 在直角三角形中,两条直角
边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证勾股定理呢?组1:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角
三角形的纸板,拼出如下图形:组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角
边分别为a,b,斜边为c.组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边
为a,b,斜边为c.思考:
(1)运用此定理的前提条件是什么?
(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道 条
边,就可以利用 求出 .?(1)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些
变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);
b2=c2-a2=(c+a)(c-a).知识拓展(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,
若c为最大边长,则有a2+b2
三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则
有a2+b2>c2.课堂小结1.勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么
a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方.2.勾股定理的变形公式
要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边
的长度. 检测反馈1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则
△ABC的斜边AB的长是 ( )
A.20 B.10 C.9.6 D.8A解析:∵BC2=122=144,AC2=162=256,
AB2=AC2+BC2=400=202,∴AB=20.故选A.2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( )D解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.故选D.3.直角三角形两直角边的长是6和8,则周长与最短
边长的比是 ( )
A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7B解析:利用勾股定理求出斜边的长为
10,6+8+10=24,24∶6=4∶1.故选B.4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC= .?13解析:根据等腰三角形“三线合一”,判断出△ADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.5.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 .?解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积.
所以S1+S2= πAB2=12.5π.故填12.5π.12.5π6.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得 .?解析:大正方形的面积是(a+b)2.另一种计算方法是:4 × ab+c2=c2+2ab.
即(a+b)2=4 × ab+c2,化简得a2+b2=c2.(a+b)2 2ab+c2 a2+b2=c2 7.剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形形状得出面积关系,进一步证明勾股
定理即可求解.解:S2=b2, S3=a2,S1=(a+b)2-4 × ab=a2+b2,
∴S2+S3=S1,∵S1=c2,∴a2+b2=c2.∴AD= =40(m) 8.如图(1)所示,小明家有一块钝角三角形菜地,量得其中的两边长分别为AC=50 m,BC=40 m,第三边AB上的高为30 m,请你帮助小明计算这块菜地的面积.(结果保留根号) 解析:过点C作CD⊥AB的延长线于D点,根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可.解:如图(2)所示,过点C作CD⊥AB的延长线于D点,则CD=30 m,
在Rt△ACD中,∵AC=50 m,CD=30 m,在Rt△BCD中,∵BC=40 m,CD=30 m,∴BD= = 10 (m)∴AB=AD-BD=40-10 (m),∴S△ABC= 30×(40-10 )=600-150 (m2).答:这块菜地的面积为(600-150 )m2.课件14张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理（第2课时）1.在Rt △ ABC中,两直角边长分别为3,4,求斜边的长.复习巩固2.在Rt △ ABC中,一直角边长为5,斜边长为13,另一直角边的长是多少?小结:在上面两个问题中,我们应用了勾股定理:
在Rt △ ABC中,若∠C=90°,则a2+b2=c2.512 例：如图所示,为了测得湖边上点A和点C间的距离,一观测者在点B处设立了一根标杆,使∠ACB=90°.测得AB=200 m,BC=160 m.根据测量结果,求点A和点C间的距离. (1)阅读例题,分析题目中的已知条件和未知条件. (2)怎样求出AC的长度?要用我们学过的哪方面的知识?学 习 新 知解:在△ ABC中,∵∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).
∵AB=200 m,BC=160 m,
答:点A和点C间的距离是120 m. 例：(教材第153页做一做)如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17 m,
AD⊥BC,垂足为D,AD=8 m,求BC的长. 解:在Rt △ ABD中,
∵AB=17 m,AD=8 m,
∴BD2=AB2-AD2=172-82=225,
∴BD=15 m,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD=30 m.例：如图所示,在长为50 mm,宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔,与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离. 解:∵ △ ABC是直角三角形,
∴AB2=AC2+BC2.
∵AC=50-15-26=9(mm),
BC=40-18-10=12(mm),
答:孔中心A和B间的距离是15 mm.(1)解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角
三角形两边长,利用勾股定理求第三边长.知识拓展(2)解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,
运用勾股定理及方程思想解题. (3)解决梯子问题:梯子斜靠在墙上,梯子、墙、
地面可构成直角三角形,利用勾般定理等知识
解题.(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成
平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的
问题.课堂小结1.当已知条件告诉了有直角三角形时,直接用勾
股定理解决问题.2.当遇到立体图形表面两点间的距离问题时,应
想到化立体为平面. 检测反馈1.如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行 ( )
A.8米 B.10米
C.12米 D.14米B解析:设大树高AB=10米,小树高CD=4米,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4米,EC=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米),在Rt △ AEC中,AC2=AE2+CE2=62+82=102,AC=10米.故选B.2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的最小值是 ( )
A.12 cm B.13 cm
C.11 cm D.9 cmC解析:设水杯底面直径为a,高为b,筷子在水杯中的长度为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,
∴c2=a2+b2=52+122=132,∴c=13 cm,
h=24-13=11(cm).故选C.3.某楼梯的侧面图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为 .?51平方米解析:∵AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,
∴AC2=AB2-BC2=62,∴AC=6米,∴地毯的长度为AC+BC=6+2.5=8.5(米),地毯的面积为8.5×6=51(平方米).故填51平方米. 4.如图所示,公路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在公路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE.则农产品收购站E应建在距点A多少千米处? 解:设AE=x km,则BE=(25-x)km,
∵C,D两村到收购站E的距离相等,
∴DE=CE,即DE2=CE2,
∵在Rt △ DAE中,DA2+AE2=DE2,
在Rt △ EBC中,BE2+BC2=CE2,
∴DA2+AE2=BE2+BC2, ∴152+x2=102+(25-x)2,
解得x=10.
答:收购站E点应建在距点A10 km处.5.如图所示,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与门高. 解析:根据题中所给的条件可知竹竿斜放时,
可与门的宽和高构成直角三角形,运用勾股
定理可求出门高.解:设门高为x尺,则竹竿高为(x+1)尺,
根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2,
即x2+16=x2+2x+1, 解得x=7.5,7.5+1=8.5(尺).
答:门高为7.5尺,竹竿高为8.5尺.解:设水深为x尺,则芦苇长度为(x+1)尺,
根据勾股定理得x2+ =(x+1)2,
解得x=12,x+1=12+1=13.
答:水深为12尺,芦苇的长度为13尺. 6.如图所示,水池中有水,水面是一个边长为10尺的正方形,水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,那么它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度和这根芦苇的长度分别是多少? 解析:找到题中的直角三角形,根据勾股定理解答. 7.中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕.如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A点先往东走4 m,又往北走1.5 m,遇到障碍后又往西走2 m,再转向北走4.5 m处,往东一拐,仅走0.5 m就到达了B点.A,B两点间的距离是多少? 解析:过点B作BC⊥AD于C,则△ ABC为
直角三角形,由图可以计算出AC,BC的
长度,在直角三角形ABC中,已知AC,BC,
根据勾股定理即可计算AB.解:如图所示,过点B作BC⊥AD于C,
由题知AC=4-2+0.5=2.5(m),
BC=4.5+1.5=6(m),在直角三角形ABC中,AB为斜边,
则AB= m.
答:A,B两点间的距离是 m.课件19张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理（第3课时） 小明找来了长度分别为12 cm,40 cm的两条线,利用这两条线采用固定三边的方法,画出了如图所示两个图形,他画的是直角三角形吗?复习巩固由32+42=52,82+152=172,你想到了什么?
与勾股定理有什么不同? 据说古埃及人用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
大家画一画、量一量,看看这样画出的三角形是直角三角形吗?学 习 新 知 画一画 再画画看,如果三角形的三边长分别为2.5 cm,
6 cm,6.5 cm,满足下面的关系“2.52+62=6.52,那么画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为4 cm,7.5 cm,8.5 cm的三角形,再试一试. 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.
5,12,13;7,24,25;8,15,17.
(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?
(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.
“三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房角—般总是成90°,怎样确定房角的纵横两线呢? 如图所示,如何过基线MN上的一点C作它的垂线,建筑工人用3,4,5作出了一个直角,能不能用其他的整数组作出直角呢?可由三名工人操作:一人手拿布尺或测绳的0和12尺处,固定在C点;另一人拿4尺处,把尺拉直,在MN上定出A点,再由一人拿9尺处.把尺拉直,定出B点,连接BC,则∠ACB=90° 想一想：勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
它们的题设和结论有何关系? 如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,
CD=12 cm,AD=13 cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°? 解:在△ABC中,∵∠ABC=90°,
∴AC2=AB2+BC2(勾股定理),
∵AB=4,BC=3,
∴AC2=32+42=52,∴AC=5.
在△ACD中,∵AC=5,CD=12,AD=13,
∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.
∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).
所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°.(1)勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得
到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理
的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直
角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的
方法之一.二者的条件和结论刚好相反.知识拓展(2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长a,b,c(c为最长
边的长)满足a2+b2 a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.(3)勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一
个三角形是不是直角三角形,在实际应用时,可用较短两边长的
平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则三角形为
直角三角形,较长边所对的角为直角.课堂小结1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.2.勾股定理与其逆定理的联系与区别联系:
①两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关;
②两者都与直角三角形有关.区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得
到这个直角三角形的三边数量关系,即a2+b2=c2;勾股定理
的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,
进而得到这个三角形是直角三角形,是判别一个三角形是不
是直角三角形的有效方法. 检测反馈1.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形
的是( )
A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25B解析:A.32+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;
B.92+122=152,故是直角三角形,故正确;
C.52+122≠142,故不是直角三角形,故不正确;
D.102+162≠252,故不是直角三角形,故不正确.2. △ABC的三边为a,b,c,在下列条件中, △ABC不是直角三角形的是 ( )
A.a2=b2-c2 B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3
C.∠A=∠B-∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D解析:A.∵a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,故本选项正确;
B.∵a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴令a2=x,则b2=2x,c2=3x,
∵x+2x=3x,∴a2+b2=c2,故本选项正确;C.∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2(∠A+∠C)=180°,即∠A+∠C=90°,故本选项正确;
D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,
∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴5x=5×15°=75°<90°,故本选项错误.3.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,
CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为( )
A.72 B.36 C.66 D.42B解析:∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,∴△ABC是直角三角形.∵AC2+CD2=52+122=132=AD2,
∴△ACD是直角三角形,
∴S四边形ABCD= AB·BC+ AC·CD
= × 3×4+ ×5×12=36. 4.有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 .?解析:①当第三边为斜边时,第三边长
②当边长为5的边为斜边时,第三边长5.已知△ABC的∠A,∠B和∠C的对边分别是a,b和c,下面给出了五组条件:
①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②a∶b∶c=3∶4∶5;
③2∠A=∠B+∠C;④a=6,b=8,c=13.
其中能独立判定△ ABC是直角三角形的条件的序号是 .?解析:①∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠C=90°,故是直角三角形;②设a=3k,则b=4k,c=5k,(3k)2+(4k)2=(5k)2,故是直角三角形;③∵2∠A=∠B+∠C,
∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=60°,∠B+∠C=120°,
不能判定△ABC是直角三角形;④∵62+82≠132,∴不能判定△ABC是直角三角形.能独立判定△ABC是直角三角形的条件是①②.故填①②.①②解:在△ABD中,
∵AB=26,AD=24,
AD是BC的中线,
∴2BD=2CD=BC=20,
满足AB2=AD2+BD2,
∴△ABD为直角三角形,即AD⊥BC,
∴AC=AB=26.6.如图所示,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线
AD=24.求AC的长.解析:由非负数的性质可求出a,b,c的值;(2)以a,b,c为边能否构成直角三角形?解析:利用勾股定理的逆定理即可判断以a,b,c为边能否构成直角
三角形 8.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你判断这个三角形的形状.解析:先根据题意设中间长的边长为x米,则较长边的长为 (x+1)米,较短边的长为(x-7)米,然后根据周长为30
米,求出三边长,再根据勾股定理的逆定理即可判断
这个三角形的形状.解:设中间长的边长为x米,则较长边的长为(x+1)米,较
短边的长为(x-7)米,
∵三角形周长为30米, ∴x+x+1+x-7=30,解得x=12,
则x+1=13,x-7=5, ∵52+122=132,
∴这个三角形为直角三角形. 9.如图所示,某探险队的A组由驻地O点出发,以12 km/h的速度行进,同时,B组也由驻地O出发,以9 km/h的速度向另一个方向行进,2 h后同时停下来,这时A,B两组相距30 km.
(1)此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由;解析:根据题意可以知道OB和OA的长度,又知A和B的距离,利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状解:出发2 h,A组行进了12×2=24(km),
B组行进了9×2=18(km),
因为A,B两组相距30 km,且有242+182=302,
所以A,B两组行进的方向成直角. (2)若A,B两组仍以原速行进,相向而行,经过几小时相遇?解析:根据路程÷速度和=相遇时间得出答案即可.解:若A,B两组仍以原速行进,
则经过30÷(12+9)= h相遇.课件17张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.4 直角三角形全等的判定三角形全等的判定方法有哪些?复习巩固SSS(三边对应相等的两个三角形全等)
ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等)
SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等)
AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)复习巩固 有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等?你能通过画图说明理由吗? 如图(1)所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.所有的直角三角形都全等吗?学 习 新 知1.画一线段AB,使它等于4 cm;2.画∠EAB=90°;3.以点B为圆心,以5 cm长为半径画
弧,交射线AE于点C;4.连接BC. △ABC即为所求,
如图(2)所示.如何证明：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为HL(或斜边、直角边).如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,已知∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 由于直角边AC=A'C',我们移动其中的Rt△ABC,使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于线段A'C'的两侧.因为∠ACB=∠A'C'B'=90°,所以∠B'C'B=∠ACB+∠A'C'B'=180°,因此点B,C',B'在同一条直线上,于是在△A'B'B中,由AB=A'B'(已知),得∠B=∠B'.由“角角边”便可知这两个三角形全等,于是可得 已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形.
已知:如图所示,线段a,c.
求作:△ABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c.作法:如图所示. (1)作线段CB=a.
(2)过点C,作MC⊥BC.
(3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A.
(4)连接AB.则△ABC即为所求.分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线,由AB=c可以确定点A.结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 已知:如图(1)所示,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,且PC=PD.
求证:点P在∠AOB的平分线上.证明:如图(2)所示,作射线OP.
∵PC⊥OA,PD⊥OB.
∴∠PCO=∠PDO=90°,
在Rt△OPC和Rt△OPD中,
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).
∴∠POA=∠POB.
∴OP是∠AOB的平分线,
即点P在∠AOB的平分线上.PC=PD
OP=OP思考:这个命题与角平分线的性质定理有什么
区别?通过这道题,你能得到怎样的结论?归纳:角平分线性质定理的逆定理:到角两
边距离相等的点在这个角的平分线上. 例：(补充例题)如图所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证BC=AD. 〔解析〕欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC, △ADO和△BCO(O为DB,AC的交点),经过分析, △ABD和△BAC具备全等的条件.证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD.
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.AB=BA
AC=BD想一想:
你能用几种方法判定两个直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.练一练:
1.如图所示,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 2.如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系? 下面是三名同学解决第2题的思考过程,你能明白他们的意思吗?(2)有一条直角边和斜边对应相等,所以Rt△ABC与Rt△DEF全等.所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.
(3)在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,所以AB=DE,因此这两个直角三角形是全等的,所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.CB=EF
AC=DF
∠CAB= ∠FDE=90 °Rt△ABC≌Rt△DEF→∠ABC=∠DEF
→∠ABC+∠DFE=90°课堂小结斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法,所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 检测反馈1.能判定两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条边对应相等D解析:A.一个锐角对应相等,利用已知的直角相等,可得出另一组锐角相等,但不能证明两个直角三角形全等,故A选项错误;B.两个锐角相等,那么也就是三个角对应相等,但不能证明两个直角三角形全等,故B选项错误;C.一条边对应相等,再加一组直角相等,不能得出两个直角三角形全等,故C选项错误;D.两条边对应相等,若是两条直角边相等,可利用SAS证全等,若一直角边对应相等,一斜边对应相等,利用HL也可证全等,故D选项正确.故选D.2.如图所示,矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD,DF,则图中全等的直角三角形共有 ( )
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对B解析:由E是CD中点,可知DE=EC,由四边形ABCD是矩形,可得AD=BC,AB=CD,∠DCB=∠DCF=90°,
AD∥BF,∴∠DAE=∠EFC,图中全等的直角三角形有:△AED≌△FEC, △BDC≌△FDC≌△DBA,共4对.故选B. 3.如图所示,用“HL”判定Rt △ ABC和
Rt △DEF全等的条件是 ( )
A.AC=DF,BC=EF
B.∠A=∠D,AB=DE
C.AC=DF,AB=DE
D.∠B=∠E,BC=EFC解析:∵在两个直角三角形中,AB,DE是斜边,
∴只有C中,AC=DF,AB=DE符合题意.4.如图所示, △ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D,点E在AD上,且BE=AC,求证DE=CD. 证明:∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴AD=BD,∠BDE=∠ADC=90°.
又∵BE=AC,
∴Rt△BDE≌Rt△ADC.∴DE=CD.解析:由∠ABC=45°,AD⊥BC可得到AD=BD,因为BE=AC,所以Rt△BDE≌Rt△ADC,从而得出DE=CD.课件15张PPT。八年级数学·上 新课标 [冀教]第十七章 特殊三角形17.5 反证法三个古希腊哲学家甲、乙、丙,由于争论和天气炎热感到疲倦了,于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会儿,结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后,彼此看了看,都笑了起来.但这并没有引起他们之中任何一个人的担心,因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.其中甲突然不笑了,因为他发觉自己的前额也被涂黑了.他是怎样觉察到的呢?你能想出来吗?问题思考学 习 新 知活动一:反证法4.根据原来的假设:前额没被涂黑是错误的,便可知道没被涂黑的反面——被涂黑了是正确的结论.
简单地说,甲是通过说明前额被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的,从而觉察到自己的前额被涂黑了.仔细分析甲的思考过程,不难看出它分4个步骤:1.假设自己的前额没被涂黑;2.根据这个假设进行推理,推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪;3.根据这个矛盾,说明原来假设自己的前额没被涂黑是错误的;已知:如图所示, △ ABC.
求证:在△ ABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角.这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾,
因此三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.所以如果三角形含直角,那么它只能有一个直角.证明:假设△ ABC中有两个(或三个)直角，不妨设∠A=∠B=90°，
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°+∠C>180°，总结：反证法是间接证明的方法 第三步:由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤.第一步:假设命题的结论不成立.第二步:从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.活动二:应用举例用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.已知:如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB,CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角.
求证:∠1=∠2.证明:假设∠1≠∠2.过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1.
∵∠EGN=∠1，∴MN∥CD(基本事实).又∵AB∥CD(已知)，
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.
这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.
∴∠1≠∠2的假设是不成立的.因此∠1=∠2.已知:在ΔABC和ΔA'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C',如图所示.
求证: △ ABC≌ △ A'B'C'.证明:假设△ ABC与△ A'B'C' 不全等，即BC≠ B'C' ，不妨设BC< B'C' ，在B'C'上截取C'D=CB,连接A'D.在△ ABC与△ A'DC'中，
∵AC=A'C',∠C=∠C',CB=C'D,
∴ △ ABC≌ △ A'DC'(SAS).
∴AB=A'D(全等三角形的对应边相等).∵AB=A'B'(已知),
∴A'B'=A'D(等量代换).
∴∠B'=∠A'DB'(等边对等角).
∴∠A'DB'<90°(三角形的内角和定理),即∠C'<∠A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).
这与∠C'=90°相矛盾.
因此,BC≠B'C'的假设不成立,即△ ABC与△ A'B'C'不全等的假设不成立.
所以△ ABC≌ △ A'B'C'. 检测反馈1.用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设 ( )
A.∠A>45°,∠B>45°
B.∠A≥45°,∠B≥45°
C.∠A<45°,∠B<45°
D.∠A≤45°,∠B≤45°解析:用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A>45°,∠B>45°.故选A.A
解析:∵当a=1,b=-2或a=0,b=-1或a=-1，b=-2时，
a>b，a2b,则a2>b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，只有当a=2，b=-1时，“若a>b,则a2>b2”是真命题,故此时a,b的值不能作为反例.故选D.2.要证明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题,下列a，b的值不能作为反例的是 ( )
A.a=1，b=-2 B.a=0，b=-1
C.a=-1，b=-2 D.a=2，b=-1D
解析:∵“至少有两个”的反面为“至多有一个”,而反证法的假设即原命题的结论不成立,∴应假设:三角形三个外角中至多有一个钝角,也可以假设:三个外角中只有一个钝角.故选D.3.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时,假设正确的是 ( )
A.假设三个外角都是锐角
B.假设至少有一个钝角
C.假设三个外角都是钝角
D.假设三个外角中只有一个钝角D4.用反证法证明“如图所示,如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”时,证明的第一步是 ( )
A.假设AB不平行于CD
B.假设AB不平行于EF
C.假设CD∥EF
D.假设CD不平行于EF解析:∵用反证法证明命题“如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF,”∴证明的第一步应是:从结论反面出发,假设CD不平行于EF.故选D.D5.用反证法证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.解析:首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和,根据三角形的内角和等于180°,得到矛盾,所以假设不成立,进而可知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图所示,∠1是ΔABC的一个外角.
求证:∠1=∠A+∠B.证明:假设∠1≠∠A+∠B,
在ΔABC中,∠A+∠B+∠2=180°,
∵∠1+∠2=180°, ∴∠2=180°-∠1,
∵∠1≠∠A+∠B,∴∠2≠180°-(∠A+∠B)
∴∠A+∠B+∠2≠180°.
与“三角形的内角和等于180°”相矛盾,
∴假设不成立,原命题成立,
即∠1=∠A+∠B.6.用反证法证明一个三角形中不可能有两个角是钝角.解析:根据反证法的证明方法先假设,进而证明即可.已知:ΔABC.
求证:∠A,∠B,∠C中不可能有两个角是钝角.证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角,不妨设∠A,∠B为钝角,
∴∠A+∠B>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,故假设不成立,原命题正确.
即一个三角形中不可能有两个角是钝角.7.请用反证法证明“如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数.”解析:首先假设这两个整数都是奇数,其中一个奇数为2n+1,另一个奇数为2p+1,利用多项式乘以多项式得出(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1,进而得出矛盾,则原命题正确.证明:假设这两个整数都是奇数,其中一个奇数为2n+1,另一个奇数为2p+1(n,p为整数),
则(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1,
∵无论n,p取何值,2(2np+n+p)+1都是奇数,这与两个整数的积为偶数相矛盾,
∴假设不成立,
∴这两个整数中至少有一个是偶数.8.试用举反例的方法说明下列命题是假命题.举例:如果ab<0,那么a+b<0.
反例:设a=4,b=-3,则ab=4×(-3)=-12<0,但a+b=4+(-3)=1>0,所以这个命题是假命题.(1)如果a+b>0,那么ab>0;
(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数;
(3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三 角形全等(画出图形,并加以说明).解析:(1)此题是一道开放题,可举的反例很多,但只举一例即可.如果a+b>0,那么ab>0,所举的反例是a,b一个为正数,一个为负数,且正数的绝对值大于负数.(2)可利用平方差公式找这样的无理数,比如1± ,两数相加就是有理数.(3)此题主要利用三角形全等的判定方法来举例,在这里注意,没有边边角定理.解:(1)取a=2,b=-1,则a+b=1>0,但ab=-2<0.所以此命题是假命题.
(2)取a=1+ ,b=1- ,a,b均为无理数,但a+b=2是有理数.所以此命题是假命题.
(3)如图所示,在ΔABC与ΔABD中,AB=AB,AD=AC,∠ABD=∠ABC,但ΔABC与ΔABD显然不全等.所以此命题是假命题. 第十七章 特殊三角形
1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.
2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.
6.通过实例体会反证法的含义.
1.经历由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.
2.在教学过程中提供充足的时间和空间,让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力.
1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.
2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣.
本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.
(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续.较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.
(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”等学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.
(3)在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.
(4)在反证法一节中,除介绍反证法及证明命题的一般步骤外,还运用反证法对平行线的性质定理进行了证明,体现了本套教材在内容上的完整性.同时对直角三角形全等的“斜边、直角边”定理也用反证法给出了证明,使学生从中体会反证法的价值.
【重点】
1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.
2.直角三角形的性质和判定.
3.勾股定理、逆定理及其简单应用.
4.反证法及其简单应用.
【难点】
1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.
2.勾股定理及其逆定理的应用.
1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的.
2.对于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果.
3.对于证明格式、方法和步骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结.
4.提倡思维多样化,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.
17.1等腰三角形
2课时
17.2直角三角形
1课时
17.3勾股定理
3课时
17.4直角三角形全等的判定
1课时
17.5反证法
1课时
回顾与思考
1课时
17.1 等腰三角形
1.了解等腰三角形、等边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质.
2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.
1.通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.
2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,
能利用性质和判定方法解决问题.
1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.
2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣.
【重点】 等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.
【难点】 等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.
第课时
在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.
1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力.
2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.
培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.
【重点】 等腰三角形、等边三角形的性质定理.
【难点】 等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.
【教师准备】 多媒体课件、各种形状的图形、剪刀.
【学生准备】 长方形纸、剪刀.
导入一:
教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等.
让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天所要讲的课题——等腰三角形、等边三角形的性质定理.
我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.
[设计意图] 通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.
导入二:
在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.
思考:
三角形是轴对称图形吗?
有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.
问题:什么样的三角形是轴对称图形?
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.
这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形──等腰三角形.
[设计意图] 从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
导入三:
1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.
2.出示自制的测平仪,告诉学生含45°角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题.
[设计意图] 活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.
[过渡语] 刚才我们知道等腰三角形是轴对称图形,那么它有哪些性质呢?现在我们就共同来研究它.
探究一:等腰三角形的性质定理
思路一
【活动1】
【课件1】 如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ΔABC有什么特点?
【学生活动】 学生动手操作,观察ΔABC的特点,可以发现AB=AC.
【教师活动】 让学生回顾等腰三角形的概念:
有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
如图所示,在ΔABC中,若AB=AC,则ΔABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角.
【活动2】
【课件2】 观察与思考:
如上图所示,ΔABC是等腰三角形,其中AB=AC.
(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为ΔABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?
(2)∠B和∠C有怎样的关系?
(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?
【学生活动】 学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质.
【教师活动】 引导学生归纳:
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
[知识拓展] 等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
【活动3】 你能用所学知识验证上述性质吗?
【课件3】 如图所示,在ΔABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.
【学生活动】 学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证∠B=∠C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ΔABD和ΔACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.
【教师活动】 让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.
证明:作BC边上的中线AD,如图所示,则BD=CD,
在ΔABD和ΔACD中,
所以ΔABD≌ΔACD(SSS),
所以∠B=∠C.
这样,就证明了性质1.
类比性质1的证明你能证明性质2吗?
由ΔABD≌ΔACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.
从而AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.
添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.
说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
[知识拓展] 等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
[设计意图] 通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.
思路二
要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.
【课件4】 作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,BC,CA.
以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为 .?
小结:【课件5】 填出等腰三角形各部分名称.
归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.
同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
【课件6】
问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.
问题2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?
问题3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
问题4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?
1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果.
2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线合一.)
小结:等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角 (简称“ ”);?
(2)等腰三角形的 , 、 重合(简称“三线合一”).?
3.你能证明以上性质吗?
问题:
(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?
(2)怎样用数学符号表示条件和结论?
已知:在ΔABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C;
请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A组同学完成以下填空,B组同学独立证明.)教师巡视辅导点评.
【课件6】 证明:如图所示,作∠BAC的平分线AD,∴∠ ?=∠ ?,?在ΔABD与ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD( ),?∴∠B=∠ .?
4.受上述启发,能证明性质2吗?
即证明∠BAC的平分线AD是ΔABC底边上的中线和高.
证明:由ΔABD≌ΔACD知BD= ,∠BAD=∠,∠ADB=∠ ,?
∵∠ADB+∠ADC= °,?
∴∠ADB=∠ADC= °.?
因此∠BAC的平分线AD也是ΔABC底边BC上的中线和高.
5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.)
[设计意图] 通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力.
探究二:等边三角形的性质定理
[过渡语] 我们知道三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形,它有哪些性质呢?
每位同学画一个等边三角形,并用量角器量一量每个内角的度数.
结论:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
【课件7】 已知:如图所示,在ΔABC中,AB=BC=AC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°.
指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.
证明:在ΔABC中,由AB=AC,得∠B=∠C.由AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.由三角形内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°.
[知识拓展] 等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.
[设计意图] 让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系.
探究三:例题讲解
【课件8】
已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.
求证:BD=CE.
〔解析〕 根据角平分线定义得到∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,再根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过ASA证得ΔABD≌ΔACE,就可以得到BD=CE.
教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程.
【课件9】
(补充例题)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC中各角的度数.
〔解析〕 根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出ΔABC的三个角的度数.如果设∠A为x,那么∠ABC,∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.
解:因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
在ΔABC中,
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
[设计意图] 通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力.
1.等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.
2.等腰三角形的性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.
3.等边三角形的性质
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,所以其底角为=70°.故选D.
2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为 ( )
A.17 B.15 C.13 D.13或17
解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.
3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC等于 ( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
解析:∵ΔABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,∵AD是ΔABC的中线,∴∠DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED==75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.故选D.
4.如图所示,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20°,则∠α的度数为 ( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
解析:如图所示,过C作CE∥直线m,∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°,∵ΔABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.
5.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则ΔABC的周长是 .?
解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于点D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,∴ΔABC的周长=6+4+4+6=20.故填20.
6.如图所示,在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数.
解析:由AB=AC及顶角∠A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出∠DCB的度数,由∠ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出∠ADC的度数.
解:∵在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB==55°,
又∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠ACD=27.5°,
∵∠ADC为ΔBCD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.
7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD吗?请说明理由.
解析:根据ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,求出∠BDA=90°,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形内角和定理得出∠CAE=∠ABD.
解:∠CAE=∠ABD,理由如下:
∵ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点,
∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,
∴∠BDA=90°,
∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90°,
又∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAD,
∴180°-90°-∠ACE=180°-90°-∠BAD,
∴∠CAE=∠ABD.
第1课时
探究一:等腰三角形的性质
探究二:等边三角形的性质
探究三:例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第142页练习第1,2,3题.
2.教材第143页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第143页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图所示,在ΔABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.45° D.60°
3.已知等腰三角形ABC的周长为13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形ABC有 ( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为( )
A.30° B.36° C.40° D.45°
5.如图所示,ΔABC是一房屋人字架,其中AB=AC,为使人字架更加坚固,房主要求在顶点A和横梁BC之间加根柱子AD,可木工却不知将D点钉在BC何处才能使AD⊥BC,请同学们帮帮他,并说明理由.
【能力提升】
6.如图所示,ΔABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.
7.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D为BC边上一D点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证DC=AB.
【拓展探究】
8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长.
9.已知等边三角形ABC和点P,设点A到BC的距离为h,点P到ΔABC的三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,
(1)如图(1)所示,若点P在边BC上,求证h1+h2=h.
(2)如图(2)所示,当点P在ΔABC内时,猜想h1,h2,h3和h有什么关系?并证明你的结论.
(3)如图(3)所示,当点P在ΔABC外时,h1,h2,h3和h有什么关系?
【答案与解析】
1.B(解析:∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=(180°-30°)=75°,∵以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,∴BC=BD,∴∠CBD=180°-2∠ACB=180°-2×75°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=75°-30°=45°.)
2.B(解析:∵ΔABD中,AB=AD,∠B=80°,∴∠B=∠ADB=80°,∴∠ADC=180°-∠ADB=100°,∵AD=CD,∴∠C==40°.)
3.C(解析:周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3个.)
4.B(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.)
5.解:木工将D点钉在BC中点处能使AD⊥BC,理由如下:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC.
6.解:∵ΔABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°,∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.
7.(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°. (2)证明:∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC,∵AB=AC,∴DC=AB.
8.解:设等腰三角形的腰长为x,如图所示,∵ΔABC是等腰三角形,∴AB=AC,由BD是AC边上的中线,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面两种情况:(1)x+x=9,∴x=6,∵三角形的周长为9+15=24(cm),∴三边长分别为6,6,12,∵6+6=12,不符合三角形的三边关系,∴舍去;
(2)x+x=15,∴x=10.∵三角形的周长为24 cm,∴三边长分别为10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为4 cm,腰长为10 cm.
9.(1)证明:如图(1)所示,连接AP,则SΔABC=SΔABP+SΔAPC,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF,即BC·h=AB·h1+AC·h2.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC,∴h=h1+h2. (2)解:h=h1+h2+h3,证明如下:如图(2)所示,连接AP,BP,CP,则SΔABC=SΔABP+SΔBPC+SΔACP,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF+BC·PE,即BC·h=AB·h1+AC·h2+BC·h3.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC.∴h=h1+h2+h3. (3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如图(3)所示,连接PB,PC,PA.由三角形的面积公式得SΔABC=SΔPAB+SΔPAC-SΔPBC,即BC·AM=AB·PD+AC·PF-BC·PE,∵ΔABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴h1+h2-h3=h.
这节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的,学生已经掌握了三角形的相关知识,具有初步的探究学习经验.同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用,也是今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具,它在教材中处于非常重要的地位.因为等腰三角形的性质在日常生活中有广泛的应用,所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点;同时,对“三线合一”性质的理解和运用,学生有一定的难度,是这节课的难点.为了突出重点,教师充分创设问题情境,解决问题;为了突破难点,教师引导学生经历动手折纸、动手画图、对比分析、提出猜想、小组讨论、发现、归纳总结等活动,加以化解.教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小组讨论、自主探索、合作交流、发现归纳等多种教与学的方式,确保学生是学习的主人,教师是组织者、引导者、合作者.同时为了更好地启发、感染和调动学生,提高教学效率,采用课件辅助教学,充分开发和利用教育资源为课堂教学服务.在教学方法上,本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者.特别是在探究“三线合一”的性质时,老师给出探究主题,学生以小组为单位,合作交流,自主探究、发现.
本着“问题是数学的心脏”原则,教师精心设计了一些问题,在教学过程中有半数的学生回答了教师的提问,但碍于教学计划,有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒,这样导致的结果是难于发现学生真实的思维过程.“多提问”固然有利于学生思考和理解知识,有利于了解学生掌握知识的程度.但在倡导培养创新精神和实践能力的今天,更要重视对学生问题意识的培养.但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少,长此以往,会使学生问题意识淡化.
问起于疑,疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的良好习惯.在探究问题的过程中,教师一定要让学生自己去发现,只有由学生自己发现的东西,才是最真实的,也是最容易掌握的.在学生回答问题时,教师要适当点拨,但不能代替学生回答自己提出的问题,一定要让学生说,哪怕是错误的,也是经过学生思考得来的.
【练习】(教材第142页)
1.提示:(1)70°. (2)45°. (3)35°. (4)60°.图略.
2.提示:(1)20°. (2)80°. (3)90°. (4)120°.
3.解:(1)可以是锐角,不可以是直角和钝角.因为等腰三角形两底角相等,当底角为直角或钝角时,三角形内角和大于180°,与三角形内角和等于180°相矛盾,所以底角不可以是直角或钝角. (2)都可以,因为都符合三角形内角和定理.
【习题】(教材第143页)
A组
1.解:(1)图中有3个等腰三角形,它们分别是ΔABC,ΔABD,ΔBCD. (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC.因为BD=AD,所以∠A=∠DBA.设∠A=∠DBA=α,则∠ABC=∠BDC=∠C=2α.在ΔABC中,∠ABC+∠C+∠A=180°,所以2α+2α+α=180°,即5α=180°,所以α=36°,即∠A=36°.
2.解:(1)80°,20°或50°,50°. (2)40°,40°. (3)设这个三角形的顶角为x°,则其底角为x°,由题意得x+x+x=180,∴x=90,x=45.∴这个三角形三个内角的度数分别为90°,45°,45°.
3.解:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,又∵BD=DC,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=60°=30°.
4.解:∵AB=BC,∠B=50°,∴∠ACB=∠BAC==65°.∵AC=CD,∴∠D
=∠CAD.又∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠ACB=2∠D,∴2∠D=65°,∴∠D=32.5°.
B组
1.解:设腰长为x cm.①当腰长大于底边长时,x+x=18,∴x=12,此时底边长为15-x=15-12=9(cm).②当腰长小于底边长时,x+x=15,∴x=10,此时底边长为18-x=18-10=13(cm).综上可得等腰三角形的底边长为9 cm或13 cm.
2.解:相等,相等.已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,BG,CH分别是AC,AB边上的高.求证BD=CE,BG=CH.证明:∵AB=AC,BD,CE分别为AC,AB边上的中线,∴AD=AC,AE=AB,∴AD=AE.在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴BD=CE.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵BG,CH分别为AC,AB边上的高,∴∠BGC=∠CHB=90°.在ΔBGC和ΔCHB中,∴ΔBGC≌ΔCHB,∴BG=CH.
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形“三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位,实际上这个性质的逆定理在证明中的直接或间接应用也不亚于这个性质的直接应用,可以作为判定等腰三角形的一种重要思路.由于书上没有直接给出逆定理,所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题,以至于在几何证明过程中思维受阻,不能正确地作出辅助线.
因而在教学中,教师如果把握好等腰三角形“三线合一”性质的逆定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于让学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,有助于学生突破解题的难点,明确辅助线的添加,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力,
“三线合一”性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,
逆定理:①如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.
②如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.
③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.
简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形.
学习本节的关键之一是让学生通过剪切、折叠,发现线段和角的关系,从图形中观察并总结出等腰三角形的性质.教学中要注意引导,不要急于得出结论,在操作过程中,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,说明在翻折过程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发生变化;还可以让学生探索一般的三角形是否一定有这种性质,进一步体会等腰三角形所具有的特点.
如图所示,ΔABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∠CAD=26°,AE=AD,求∠BDE的度数.
〔解析〕 由等腰三角形“三线合一”知∠BAD=∠CAD=26°,由等边对等角和三角形内角和定理可求得∠ADE=77°,在RtΔADB中,∠BDE=∠ADB-∠ADE.
解:∵AB=AC,AD是高,
∴∠BAD=∠CAD=26°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=(180°-26°)÷2=77°.
∴∠BDE=90°-77°=13°.
小明做了一个如图所示的“风筝”骨架,其中AB=AD,CB=CD.
(1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为AC⊥BD,垂足为点E,并且BE=ED,你同意王云的判断吗?为什么?
(2)设AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
〔解析〕 (1)根据SSS证ΔABC≌ΔADC,推出∠BAC=∠DAC,根据等腰三角形“三线合一”推出即可;(2)四边形ABCD的面积为S=SΔABD+SΔCBD=BD×AC,代入求出即可.
解:(1)∵在ΔABC和ΔADC中,
∴ΔABC≌ΔADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,∴AC⊥BD,BE=DE.
(2)∵AC=a,BD=b,
∴四边形ABCD的面积S=SΔABD+SΔCBD=BD×AE+BD×CE=BD×(AE+CE)=BD×AC=ab.
用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗?如果能,请求出它的另两边长.
〔解析〕 (1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明5 cm长的边是底边还是腰,故应该分情况进行讨论,注意利用三角形三边关系进行检验.
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,
根据题意得2x+2x+x=20,
解得x=4,∴2x=8,
∴各边长为8 cm,8 cm,4 cm.
(2)①当5 cm为底边长时,腰长为7.5 cm;
②当5 cm为腰长时,底边长为10 cm,
∵5+5=10,∴不能构成三角形,故舍去.
因此能构成有一边长为5 cm的等腰三角形,另两边长为7.5 cm,7.5 cm.
如图所示,两根钢绳一端用铁柱固定在地面上,另一端固定在电线杆上(电线杆垂直于地面),已知两根钢绳的长度相等,则两个铁柱到电线杆底部的距离BO与CO相等吗?为什么?
〔解析〕 已知两根钢绳的长度相等,所以ΔABC是等腰三角形,因为电线杆垂直于地面,所以根据等腰三角形“三线合一”的性质可知BO=CO.
解:BO与CO相等.理由如下:
∵AB=AC,
∴ΔABC是等腰三角形,
由题知AO⊥BC,∴BO=CO,
因此两个铁柱到电线杆底部的距离BO与CO相等.
第课时
1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.
2.运用等腰三角形、等边三角形的判定定理进行证明和计算.
1.理解并掌握“等角对等边”,体会与“等边对等角”的互逆关系.
2.能够利用等腰三角形和等边三角形的判定定理解决问题.
1.提高学生的动手能力,学会数学说理,发展初步的演绎推理能力.
2.引导学生观察,发现等腰三角形、等边三角形的判定定理,让学生从思考中获得成功,在这个过程中体验学习的兴趣.
【重点】 等腰三角形、等边三角形的判定定理.
【难点】 边、角关系互相转化及运用.
【教师准备】 课件1~5.
【学生准备】 复习等腰三角形、等边三角形的性质.
导入一:
【课件1】 某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点),然后在这棵树的正南方A点插一小旗作标志,沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°,这时,地质专家只要测得AC的长度就可知河流宽度.
学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形、等边三角形的判定定理”.
导入二:
教师提出问题,引导学生思考.
1.什么样的三角形叫做等腰三角形?
2.等腰三角形的两底角有何关系?
谁能告诉我怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形?
除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?由此引入课题.
等腰三角形的两个底角是相等的,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是否一定是等腰三角形呢?
[设计意图] 通过问题引入,激发学生的学习兴趣,同时使学生认识到等腰三角形的性质与等腰三角形的判定方法是否存在一种特殊关系,从而掀起学生的探究欲望,使他们能更好地投入到学习中.
导入三:
对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法.
活动一:等腰三角形、等边三角形的判定定理
[过渡语] 我们已经知道如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角也相等,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边是否相等呢?下面我们就来研究这个问题.
1.等腰三角形的判定定理
思路一
【课件2】 已知在ΔABC中,∠B=∠C.
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将ΔABC沿AD所在直线折叠,ΔABC被直线AD分成的两部分能够重合吗?
(3)由上面的操作,你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系?
学生思考教师提出的问题,得出结论:ΔABC被直线AD分成的两部分能够重合,AB=AC.
从上面的探究我们不难发现:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
如何证明?
(1)在这一问题中,条件和结论是什么?
(2)用数学符号怎样表示?
教师引导提示,学生根据提示画出图形,并写出已知、求证.
已知:在ΔABC中,∠B=∠C.
求证:AB=AC.
与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程,从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面分析.让学生逐一尝试,发现可以作AD⊥BC,或AD平分∠ABC,但不能作BC边上的中线.
学生口头证明后,选一种方法写出证明过程.
证明:如图所示,作ΔABC的角平分线AD.
在ΔBAD和ΔCAD中,
∴ΔBAD≌ΔCAD(AAS),
∴AB=AC.
归纳等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边也相等.简称“等角对等边”.
说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法.
[知识拓展] 如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.
思路二
环节一:等腰三角形的判定方法
问题1:你会画等腰三角形吗?
可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在画出的三角形中使两边相等,
总结:等腰三角形的判定方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.
问题2:有两边相等的三角形是等腰三角形,那么有没有其他的画等腰三角形的方法?
若学生回答可以画三角形,使得有两个角相等,引导学生思考问题3;若学生不能想到两角相等,则可以引导学生回忆等腰三角形的性质.
问题3:三角形中的两个角相等,这个三角形是等腰三角形吗?为什么?
环节二:实验
实验目的:画一个三角形,使得其中的两个角相等,剪下来观察是不是等腰三角形.
【课件3】 作法:(1)画一条线段BC;
(2)以BC为始边,分别以点B和点C为顶点,在BC的同侧,画两个相等的角;
(3)两角终边的交点为点A,那么,在ΔABC中,∠ =∠ ;?
(4)找出BC的中点D,连接AD,那么AD是ΔABC的 线;?
(5)沿AD对折,你有什么新发现吗?请把你的新发现记录下来:
;?
(6)与同学们分享一下你的新发现;
(7)得出结论: .?
结论:等腰三角形的判定方法2:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”).
如图所示,在ΔABC中,若∠B=∠C,则AB=AC.你能证明这个命题成立吗?
教师引导学生加以证明,一名同学板演过程,教师讲评.
2.等边三角形的判定定理
[过渡语] 我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,那么怎样判定一个三角形是等边三角形呢?
探究1:如图所示,ΔABC中,如果∠A=∠B=∠C,那么ΔABC是什么三角形?
等边三角形.为什么?
∵∠A=∠B=∠C,
∴AB=BC=CA(等角对等边).
归纳:等边三角形的判定方法1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
探究2:ΔABC中,如果AB=AC,那么ΔABC还需添加一个什么条件,才能使ΔABC为等边三角形?
有一个角为60°.
等边三角形的判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
说明:先独立猜想,然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行验证.
[知识拓展] 在判断一个三角形是不是等边三角形时,我们可从边或角的角度去判断,对于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”在使用时应注意,其前提条件必须是“等腰三角形”,此时,无论60°是顶角还是底角,都可以说明三角形是等边三角形.
活动二:判定定理的应用
[过渡语] 刚才通过探究,我们掌握了等腰三角形的判定方法,利用等腰三角形的判定方法我们可以识别一个三角形是不是等腰三角形,还可以利用它解决一些其他的问题.
1.【课件4】 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
引导学生根据命题画出图形,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明.
学生讨论后,自己完成证明过程.
已知:∠CAE是ΔABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图所示).
求证:AB=AC.
解析:要证明AB=AC,可以证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.
证明:∵AD∥BC,
∴∠1=∠B( ),
∠2=∠C( ),
∵∠1=∠2,
∴∠B=∠C.
∴AB=AC( ).
2.【课件5】
(教材例2)已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.
如图(1)所示,已知线段a和h.
求作等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h.
解:作法:
(1)作线段BC=a.
(2)作线段BC的垂直平分线MD,垂足为点D.
(3)在DM上截取DA=h.
(4)连接AC,BC.
则ΔABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.
学生通过例2的学习,自主探究作图方法.
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)
说明:(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆;
(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线;
(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.
2.等边三角形的判定定理
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中等腰三角形的个数是 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
解析:∵AB=AC,∠ABC=36°,∴∠ACB=36°,∠BAC=108°,∵∠DAE=∠EAC=36°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°,∴∠ADE=∠AED=72°,∴ΔABC,ΔABD,ΔADE,ΔACE,ΔACD,ΔABE均是等腰三角形,共有6个.故选C.
2.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N与灯塔P的距离为 ( )
A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里
解析:MN=2×40=80(海里),由题意知∠M=70°,∠N=40°,∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°,∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=80海里.故选D.
3.如图所示,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则ΔADE的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等腰三角形 D.不能确定形状
解析:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC.∵∠1=∠2,BE=CD,∴ΔABE≌ΔACD,∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,∴ΔADE是等边三角形.故选B.
4.已知ΔABC中,AB=AC,下列结论:
①若AB=BC,则ΔABC是等边三角形;
②若∠A=60°,则ΔABC是等边三角形;
③若∠B=60°,则ΔABC是等边三角形,
其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:∵AB=AC,AB=BC,∴AB=AC=BC,∴ΔABC是等边三角形,∴①正确;∵AB=AC,∠A=60°,∴ΔABC是等边三角形,∴②正确;∵AB=AC,∠B=60°,∴ΔABC是等边三角形,∴③正确.正确的有3个.故选D.
第2课时
活动一:等腰三角形、等边三角形的判定定理
1.等腰三角形的判定定理
2.等边三角形的判定定理
活动二:判定定理的应用
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第145页练习第1,2题.
2.教材第146页习题A组第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第146页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,∠AOP=∠BOP=40°,CP∥OB,CP=4,则OC等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图所示,ΔABC中,BD,CD平分∠ABC,∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB,AC于E,F,当∠A的位置及大小变化时,线段EF和BE+CF的大小关系是 ( )
A.EF>BE+CF B.EF=BE+CF
C.EF3.如图所示,O是ΔABC的∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若ΔODE的周长为10 cm,则BC的长为 ( )
A.8 cm B.9 cm
C.10 cm D.11 cm
4.已知等腰三角形ABC,∠A是顶角,且∠A等于∠C的一半,BD是ΔABC的角平分线,则该图中等腰三角形的个数是 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5.下列推理错误的是 ( )
A.因为∠A=∠B=∠C,所以ΔABC是等边三角形
B.因为AB=AC,且∠B=∠C,所以ΔABC是等边三角形
C.因为∠A=60°,∠B=60°,所以ΔABC是等边三角形
D.因为AB=AC,且∠B=60°,所以ΔABC是等边三角形
6.如图所示,在ΔABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,若ΔABD的周长比ΔBCD的周长多2厘米,则BD的长是 ( )
A.0.5厘米 B.1厘米
C.1.5厘米 D.2厘米
【能力提升】
7.如图所示,请在下列四个等式中,选出两个作为条件,推出ΔAED是等腰三角形,并予以证明.(写出一种即可)
等式:①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.
8.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”,“求证”,她们对各自所作的辅助线描述如下(如图所示):
文文:“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”;
彬彬:“作ΔABC的角平分线AD”.
数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正.”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里;
(2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.
9.如图所示,等边三角形ABC中,点P在ΔABC内,点Q在ΔABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,则ΔAPQ是什么形状的三角形?试说明你的理由.
【拓展探究】
10.如图所示,在ΔABC中,∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
(1)图(1)中的ΔOBC是什么形状的三角形?写出你的理由.
(2)若过点O作一直线EF和边BC平行,与AB交于点E,与AC交于点F.则图(2)中有几个等腰三角形?线段EF和EB,FC之间有怎样的关系?
(3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变,图(3)中是否还有等腰三角形?(2)中第二问的关系式是否还存在?写出你的理由.
【答案与解析】
1.C(解析:∵CP∥OB,∴∠OPC=∠BOP,∵∠AOP=∠BOP,∴∠AOP=∠OPC,∴OC=CP,∵CP=4,∴OC=4.)
2.B(解析:由BD平分∠ABC得∠EBD=∠ABC,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=2∠EBD,∵∠AEF=∠EBD+∠EDB,∴∠EBD=∠EDB,∴ΔBED是等腰三角形,∴ED=BE,同理可得DF=FC(ΔCFD是等腰三角形),∴EF=ED+DF=BE+FC.)
3.C(解析:∵BO是∠ABC的平分线,∴∠ABO=∠OBD,∵OD∥AB,∴∠ABO=∠BOD,∴∠OBD=∠BOD,∴OD=BD,同理,OE=EC,∴BC=BD+DE+EC=OD+DE+OE=ΔODE的周长=10 cm.)
4.B(解析:∴ΔABC是等腰三角形,∠A是顶角,且∠A等于∠C的一半,∴∠A+∠C+∠ABC=∠A+2∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°,∠C=∠ABC=72°,∵BD平分∠ABC交AC于D,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠ABD=36°,∴ΔABD是等腰三角形.∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C,∴ΔBDC是等腰三角形.∴共有3个等腰三角形.)
5.B(解析:A.三个角相等的三角形是等边三角形,故本选项正确;B.根据AB=AC,且∠B=∠C,只能判定ΔABC是等腰三角形,故本选项错误;C.根据两个角均等于60°即可得到第三个角也为60°,故本选项正确;D.有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形,故本选项正确.)
6.D(解析:∵在ΔABC中,∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A,∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴AD=BD=BC,∵ΔABD的周长比ΔBCD的周长多2厘米,∴(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=2厘米,∴AB-CD=2厘米,∵AC=AB,∴AC-CD=2厘米,即AD=2厘米,∴BD=AD=2厘米.)
7.已知:①③,求证:ΔAED是等腰三角形.证明:在ΔABE和ΔDCE中, ∴ΔABE≌ΔDCE,∴AE=DE,∴ΔAED是等腰三角形.(答案不唯一)
8.(1)解:作辅助线不能同时满足两个条件. (2)证明:∵ΔABC的角平分线是AD,∴∠BAD=∠CAD,在ΔABD与ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(AAS). ∴AB=AC.∴ΔABC是等腰三角形.
9.解:ΔAPQ为等边三角形.理由如下:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC.在ΔABP与ΔACQ中,∴ΔABP≌ΔACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴ΔAPQ是等边三角形.
10.解:(1)ΔOBC为等腰三角形,理由:∵∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴ΔOBC为等腰三角形. (2)∵BO平分∠ABC,∴∠EBO=∠CBO,∵EF∥BC,∴∠CBO=∠EOB,∴∠EBO=∠EOB,∴EO=EB,∴ΔEOB为等腰三角形,同理可得FO=FC,∴ΔFOC为等腰三角形,∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴ΔABC为等腰三角形,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE,∴AE=AF,∴ΔAEF为等腰三角形,由(1)可知OB=OC,∴ΔOBC为等腰三角形,综上可知有五个等腰三角形.∵EO=BE,OF=CF,∴EF=EO+OF=BE+CF. (3)有等腰三角形,关系式仍然存在,由(2)可知BE=OE,CF=OF,∴ΔBEO和ΔCFO为等腰三角形,∴EF=BE+CF.
等腰三角形是一类特殊的三角形,因而它比一般的三角形在理论和实际中的应用更为广泛.教材专门设计一节的内容来研究它.大纲对此的要求是“掌握等腰三角形的性质和判定,并能灵活应用它们进行论证和计算”(“灵活应用”是大纲中“了解、理解、掌握、灵活应用”四个层次中的最高要求).学生刚刚学过等腰三角形的性质,对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.八年级学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟,思维深刻性有了明显提高,有着自己独特的内心世界,有着独特认识问题和解决问题的思维方式.因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理,并能够灵活应用它进行有关论证和计算.发展学生的动手、归纳猜想能力;发展学生用数学符号证明几何命题的能力;使他们进一步掌握归纳思维方法,领会数学分类讨论思想、转化思想.再进一步发展学生独立思考、勇于探索的创新精神和关于数学内容间普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
(1)全等的证明有混乱和遗忘的现象.已知:∠B=∠C,求证:AB=AC.学生交流得到:作AD平分∠BAC,用“AAS”证全等,得到AB=AC,可以的;作AD⊥BC,用“AAS”证全等,得到AB=AC,也是可以的,但是还是有同学取BC的中点D,连接AD来证明全等.另外教师对于“等边对等角”与“等角对等边”一定要在同一个三角形中来研究,强调得不够.
(2)由于探索等腰三角形的判定定理所用时间稍长,因此对于已知等腰三角形的底边和高利用尺规作图来解决问题的探究不够深入.
教师要引导同学及时讨论,及时纠错,布置研究问题,要求学生进行深入的研究,学生对全等的证明方法有遗忘现象,对“边边角”不能证明全等没有清醒地认识,还需经常提醒.在等腰三角形的判定方法的得出时,教师要强调“等角对等边”必须在同一个三角形中,教师可举例加以说明,以加深学生的印象.在每个环节时间的安排上,教师在教学中要把握好,控制好节奏,不能顾此失彼.每一步都要扎实,让学生对知识尽量掌握好,分析问题也要到位.
【练习】(教材第145页)
1.解:图中还有2个等腰直角三角形,它们分别是ΔCAD,ΔCBD.理由如下:因为CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的高,且∠ACB=90°,所以∠ACD=∠BCD=∠ACB=90°=45°.又因为ΔABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,所以∠A=∠B=(180°-∠ACB)=(180°-90°)=45°,所以∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,所以DA=DC,DC=DB,所以ΔADC和ΔCDB是等腰三角形.又因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°,所以ΔADC和ΔCDB都是等腰直角三角形.
2.证明:∵ΔABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°,∴∠A=∠ADE=∠AED=60°,∴ΔADE是等边三角形.
【习题】(教材第146页)
A组
1.证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴ΔABD是等腰三角形.
2.证明:∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B=60°,∠DAC=∠C=60°,在ΔABC中,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°=∠B=∠C,∴ΔABC是等边三角形.
3.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠A=∠C,∴∠ABC=∠C=2∠A,又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=∠A,∴∠CDB=∠A+∠ABD=2∠A,∴∠CDB=∠C,∴BD=BC.
4.解:图中有2个等腰三角形,分别是ΔMBO和ΔNCO.ΔMBO的腰是MB,MO;ΔNCO的腰是NO,NC.
B组
1.提示:在ΔABC内部作∠BAD=40°或∠BAD=100°,AD交BC于点D,则ΔABD,ΔDCA都是等腰三角形,图略.
2.提示:能,动手操作试试.
如图所示,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E.DA=DC,E为AC中点.求证:
(1)AC⊥BD;
(2)∠ABD=∠CBD.
〔解析〕 DA=DC,E为AC中点,则DB是AC的中垂线,故有AC⊥BD,AE=CE,AB=BC?ΔABC是等腰三角形,根据等腰三角形的性质,底边上的中线与顶角的平分线重合知∠ABD=∠CBD.
证明:∵DA=DC,E为AC中点,
∴DB是AC的中垂线,
∴AC⊥BD,AE=CE,AB=BC,
∴ΔABC是等腰三角形,
∴∠ABD=∠CBD.
如图所示,在ΔABC中,∠B=∠C,点D,E,F分别是边BC,AB,AC上的点,BE=CD,连接DE,DF,有∠EDF=∠C,那么DE和DF相等吗?试说明理由.
〔解析〕 根据等腰三角形的性质,可求得∠DFC=∠BDE.从而证得ΔEBD≌ΔDCF.
解:DE=DF.
理由:∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°,
∠CDF+∠C+∠CFD=180°,∠EDF=∠C,
∴∠BDE=∠CFD.
在ΔEBD和ΔDCF中,
∴ΔEBD≌ΔDCF,
∴DE=DF.
如图所示,∠A=∠B,CE∥AD,交AB于点E,CE=10 cm,求BC的长度.
〔解析〕 由条件可证得∠CEB=∠B,可得BC=CE,可求得BC的长度.
解:∵CE∥AD,
∴∠A=∠CEB,
∵∠A=∠B,
∴∠CEB=∠B,
∴BC=CE=10 cm.
17.2 直角三角形
1.理解和掌握直角三角形的性质定理和判定定理.
2.能利用直角三角形的性质定理和判定定理解决实际问题.
通过对直角三角形的学习,进一步认识直角三角形,体会数学知识在解决问题中的作用.
1.通过学习,培养学生的合作意识.
2.通过探究,提高学生学习数学的兴趣.
【重点】 直角三角形的性质定理和判定定理.
【难点】 直角三角形的性质定理和判定定理的应用.
【教师准备】 课件1~5.
【学生准备】 半透明的纸.
导入一:
前面我们学习了等腰三角形,在三角形中还有一种特殊的三角形,那就是直角三角形.
思考:什么样的三角形是直角三角形?
学生回答:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
那么这个特殊的三角形有哪些性质呢?我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢?这就是我们今天要研究的内容:直角三角形的性质定理和判定定理,让我们先从直角三角形的角的关系开始着手研究.
[设计意图] 由直角三角形的特殊性引起学生对性质和判定方法的思考.
导入二:
【课件1】 我们都有过爬坡的经历,假如已测得斜坡的角度为30°,那么当你沿斜坡走了6米时,离地面的高度是多少米呢?画出示意图,如图所示.
这是一个含30度角的直角三角形,已知斜边的长,求30度角所对的直角边的长的问题.
对于这个问题的研究,我们不妨借助一下手中的含30度角的三角尺,观察一下,猜猜30度角所对的这条直角边和斜边的数量关系,你有什么办法验证你的猜想.
[设计意图] 通过情境导入,让学生认识到含有30°角的直角三角形具有特殊的性质,从而进入到本节课的学习之中.
活动一:直角三角形的性质定理1和判定定理
(1)观察图中的三角形,∠C=90°,从∠A+∠B的度数,能说明什么?为什么?
学生思考后回答:直角三角形的两个锐角互余.(性质定理1)
(2)想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?
学生得出:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(判定定理)
(3)讨论:直角三角形的性质定理1和判定定理是什么关系?
小组讨论、交流,派一名代表发言.
【课件2】 对应练习:
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一个锐角度数为 .?
(2)在RtΔABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A= ,∠B= .?
(3)如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,与∠B互余的角有 ;与∠A互余的角有 ;与∠A相等的角有 ;与∠B相等的角有 .?
[设计意图] 整个过程以学生的观察、发现、小组讨论为主,充分体现了学生的主体地位及教师的主导作用.在学生得出结论之后,紧随其后的练习及时对学生的学习情况进行巩固和提高.
活动二:直角三角形的性质定理2
思路一
想一想:
如果在练习(3)中添加∠A=45°的条件,那么各个锐角是多少度?各条线段之间有什么数量关系?
猜一猜,量一量:直角三角形斜边上的中线等于斜边一半吗?
【课件3】 (1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,按照教材第147页“观察与思考”进行操作.
(2)思考:∠ECF与∠B有什么关系?线段EC与线段EB有什么关系?
(3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB,∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?从而你发现了什么结论?将你的结论与大家交流.
我们发现,CE=AE=EB,即CE是AB的中线,且CE=AB.
证一证:
命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【课件4】 已知:如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.
求证:CD=AB.
教师指导学生分析、研究,有其他办法的小组可以互相交流.
【课件5】 证明:如图所示,过点D作DE∥BC,交AC于点E,作DF∥AC,交BC于点F.
在ΔAED和ΔDFB中,∵∴ΔAED≌ΔDFB(ASA),
∴AE=DF,ED=FB(全等三角形的对应边相等),
同理可证ΔCDE≌ΔDCF.
从而ED=FC,EC=FD(全等三角形的对应边相等).
∴AE=CE,FC=FB(等量代换).
又∵DE⊥AC,DF⊥BC(两直线平行,同位角相等),
∴DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线.
∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理),
∴CD=AB.
归纳:
性质定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
思路二
直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的探索过程.
(1)按要求作图:画一个直角三角形,并作出斜边上的中线.
(2)量一量各线段的长度.
(3)猜想:你能猜想出什么结论?
直角三角形斜边上的中线等于斜边一半.
(4)寻找理论依据:
A.你能用数学符号表示上面问题中的条件和结论吗?
条件:如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.结论:CD=AB.
B.分析:直接证明很困难,不妨假设CD=AB,那么∠A=∠ACD,因此,考虑作射线CD',看看CD'有什么特点?
引导学生得出CD'=AD'=BD'=AB.
C.比较CD和CD'的位置有什么关系?为什么?
CD和CD'都是RtΔABC斜边上的中线.
D.直角三角形斜边上的中线有几条?由此你想到了什么?
CD和CD'重合,因此CD=AB.
(5)归纳:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
做一做:
求证:直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
解析:作出图形,如图所示,延长BC到D,使CD=BC,然后利用“边角边”证明ΔABC和ΔADC全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=AD,再根据直角三角形两锐角互余求出∠B=60°,从而判断出ΔABD是等边三角形,根据等边三角形三边相等可得AB=BD,然后得出BC=AB.
证明:延长BC到D,使CD=BC,
在ΔABC和ΔADC中,
∴ΔABC≌ΔADC(SAS),
∴AB=AD,
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°-30°=60°,
∴ΔABD是等边三角形,
∴AB=BD,∴BC=AB.
归纳:关于直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的证明,根据性质的来源作辅助线构造成等边三角形和全等三角形是解题的关键,作出图形更形象直观.
1.直角三角形的性质定理1
根据三角形内角和等于180°,我们可以得到直角三角形中的两个锐角的和是90°,即直角三角形的两个锐角互余.这样,在直角三角形中,如果已知一个锐角的度数,就可以求出另一锐角的度数.
2.直角三角形的判定定理
如果一个三角形中的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一个三角形中有两个角的和是90°,那么这个三角形就是直角三角形.
3.直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:这一性质成立的条件是在直角三角形中,并且是斜边上的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角三角形的问题时,如果涉及到斜边上的中点,那么就要联想到这一性质.
4.含有30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
1.在ΔABC中,满足下列条件:①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=90°-∠C.其中能确定ΔABC是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①∠A=60°,∠C=30°时,∠B=180°-60°-30°=90°,是直角三角形;②∠A+∠B=∠C时,∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,∴∠C=90°,是直角三角形;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5时,∠C=180°<90°,是锐角三角形;④∠A=90°-∠C时,∠A+∠C=90°,∠B=90°,是直角三角形.综上所述,是直角三角形的有①②④,共3个.故选C.
2.设计一张折叠型方桌如图(1)所示,AO=BO=50 cm,CO=DO=30 cm,将桌子放平后,要使AB距离地面的高为40 cm,则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析:作DE⊥AB于E,如图(2)所示.∵AD=50+30=80(cm),DE=40 cm,∴∠A=30°,∵AO=BO,∴∠B=∠A=30°,∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.故选C.
3.如图所示,ΔABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则ΔCDE的周长为 ( )
A.20 B.12 C.14 D.13
解析:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,∴AD⊥BC,CD=BD=BC=4,∵点E为AC的中点,∴DE=CE=AC=5,∴ΔCDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.
4.如图所示,ΔABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=5,则AB的长为 ( )
A.20 B.15 C.10 D.18
解析:∵∠ACB=90°,CD是高,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A=30°,在RtΔBCD中,BC=2BD=2×5=10,在RtΔABC中,AB=2BC=2×10=20.故选A.
5.如图所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证CD⊥AB.
解析:根据∠ACB=90°,得出∠A+∠B=90°,根据∠ACD=∠B,得出∠A+∠ACD=90°,再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.
证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,
∴ΔACD是直角三角形,∠ADC=90°,∴CD⊥AB.
6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D,CE是∠ACB的平分线.
(1)求∠DCE的度数.
(2)若∠CEF=135°,求证EF∥BC.
解析:(1)由图知∠DCE=∠DCB-∠ECB,由∠B=30°,CD⊥AB于D,利用直角三角形的性质定理,求出∠DCB的度数,再由角平分线定义得∠ECB=∠ACB,则∠DCE的度数可求;(2)根据∠CEF+∠ECB=180°,由同旁内角互补,两直线平行可以证明EF∥BC.
解:(1)∵∠B=30°,CD⊥AB于D,
∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠ACB=45°,
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.
证明:(2)∵∠CEF=135°,∠ECB=∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.
7.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.求证AD=AB.
解析:在直角三角形ABC中,由∠B=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,得到AC等于AB的一半,由CD垂直于AB,得到ΔACD和ΔBCD都为直角三角形,由∠B为30°,求出∠ACD为30°,再利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AD为AC的一半,等量代换即可得证.
证明:在RtΔABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC=AB,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
在RtΔBCD中,∠B=30°,∴∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-60°=30°,
在RtΔACD中,AD=AC,∴AD=AB.
8.如图所示,已知在ΔABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等分∠ACB.
(1)求∠B的度数;
(2)求证CE是AB边上的中线,且CE=AB.
解析:(1)利用直角三角形BCD的两个锐角互余进行解答;(2)利用已知条件和(1)中的结论可以得到ΔACE是等边三角形和ΔBCE为等腰三角形,利用等腰三角形的性质证得结论.
解:(1)∵在ΔABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°,
∴∠BCD=60°,
又∵CD为高,
∴∠B=90°-60°=30°.
证明:(2)由(1)知∠B=∠BCE=30°,
∴CE=BE,AC=AB.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=60°,
由(1)知∠ACD=∠DCE=30°,
∴∠ACE=∠A=60°,
∴ΔACE是等边三角形,
∴AC=AE=EC=AB,
∴AE=BE,即点E是AB的中点.
∴CE是AB边上的中线,且CE=AB.
17.2 直角三角形
活动一:直角三角形的性质定理1和判定定理
性质定理1:直角三角形的两个锐角互余.
判定定理:如果一个三角的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
活动二:直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第149页练习第1,2题.
2.教材第149页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第149页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在四边形ABDC中,∠BDC=90°,AB⊥BC,E,F分别是AC,BC的中点,BE,DF的大小关系是 ( )
A.BE>DF B.BE=DF
C.BE2.如图所示,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行,则在此滑动过程中,点P到点O的距离 ( )
A.不变 B.变小
C.变大 D.无法判断
3.ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=5 cm,最长边AB的长是 ( )
A.7 cm B.8 cm
C.9 cm D.10 cm
4.如图所示,已知AD⊥BD,AC⊥BC,D,C分别是垂足,E为AB的中点,则ΔCDE一定是 ( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
5.如图所示,在直角三角形ABC中,AC≠AB,AD是斜边上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.如图所示,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则ON等于 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【能力提升】
7.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则ΔABC底角的度数为 ( )
A.45°或75° B.75°
C.45°或75°或15° D.60°
8.在直角三角形中,一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°,求这两个锐角的度数.
9.如图所示,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D.求证BC=3AD.
10.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E,若∠B=30°,CD=5.
(1)求BD的长.
(2)AE与BE相等吗?说明理由.
11.如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点,求证:
(1)MD=MB;
(2)MN平分∠DMB.
12.如图所示,在ΔABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.
(1)求证EF=AC;
(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.
【拓展探究】
13.如图(1)所示,ΔABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1)求证MN⊥DE.
(2)猜想∠A与∠DME之间的关系,并写出推理过程.
(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC,如图(2)所示,(1)(2)中的结论是否都成立?若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由.
【答案与解析】
1.A(解析:在RtΔBDC中,BF=CF,∴DF=BC, 在RtΔABC中,AE=CE,∴BE=AC,∵BCDF.)
2.A(解析:连接OP,如图所示,在RtΔAOB中,OP是斜边AB上的中线,那么OP=AB,由于木棍的长度不变,因此不管木棍如何滑动,OP的长度都是一个定值.)
3.D(解析:设∠A=k,∠B=2k,∠C=3k,则k+2k+3k=180°,解得k=30°,所以三角形的三个角分别为30°,60°,90°,∵最小边BC=5 cm,∴最长边AB=2BC=2×5=10(cm).)
4.A(解析:∵AD⊥BD,AC⊥BC,E为AB的中点,∴DE=AB,CE=AB,∴DE=CE,∴ΔCDE一定是等腰三角形.)
5.A(解析:∵ΔABC是直角三角形,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠C+∠B=90°,∠BDF+∠B=90°,∠BAD+∠B=90°,∵∠DAC+∠C=90°,∠DAC+∠ADE=90°,∴∠C=∠ADE=∠BDF=∠BAD,∴图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是3个.)
6.B(解析:过P作PD⊥OB于点D,如图所示,在RtΔOPD中,∵∠ODP=90°,∠POD=60°,∴∠OPD=30°,∴OD=OP=8=4,∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,∴MD=ND=MN=1,∴ON=OD+DN=4+1=5.)
7.C(解析:①如图(1)所示,当AB=AC时,∵AD⊥BC,∴BD=CD,∵AD=BC,∴AD=BD=CD,∴∠ABC=∠ACD=45°;②如图(2)所示,当AB=BC时,∵AD=BC,∴AD=AB,∴∠ABD=30°,∴∠BAC=∠BCA=75°;③如图(3)所示,当AB=BC时,∵AD=BC,AB=BC,∴AD=AB,∴∠DBA=30°,∴∠BAC=∠BCA=15°.∴ΔABC底角的度数为45°或75°或15°.)
8.解:设较小锐角为x°,则另一个锐角为(3x+10)°,由题意得x+(3x+10)=90,解得x=20,3x+10=3×20+10=70,所以这两个锐角的度数分别为20°,70°.
9.证明:在ΔABC中,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,又∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∴CD=2AD,∠BAD=∠B=30°,∴AD=DB,∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD.
10.解:(1)∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE=5,∵∠B=30°,∴BD=2DE=10.(2)AE与BE相等,理由如下:∵在ΔABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,∵AD平分∠CAB交CB于点D,∴∠DAB=30°,∴AD=BD,∵DE⊥AB,∴AE=BE.
11.证明:(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,∴BM=AC,DM=AC,∴MD=MB.
(2)∵MD=MB,N是BD的中点,∴MN平分∠DMB(等腰三角形“三线合一”).
12.(1)证明:∵CD=CB,点E为BD的中点,∴CE⊥BD,∵点F为AC的中点,∴EF=AC. (2)解:∵∠BAC=45°,CE⊥BD,∴ΔAEC是等腰直角三角形,∵点F为AC的中点,∴EF垂直平分AC,∴AM=CM,∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,∴BC=AM+DM.
13.(1)证明:∵CD,BE分别是AB,AC边上的高,M是BC的中点,∴DM=BC,ME=BC,∴DM=ME.又∵N为DE的中点,∴MN⊥DE.
(2)解:在ΔABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A,∴∠DME=180°-2∠A. (3)解:结论(1)成立,结论(2)不成立,理由如下:在ΔABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°-∠A)=360°-2∠A,∴∠DME=180°-(360°-2∠A)=2∠A-180°.
本节课的重点是掌握直角三角形的性质定理和判定定理.在导入的过程中,教师由直角三角形的特殊性引起学生的思考.然后通过三角形的内角和定理推理出直角三角形的两锐角之间的关系.因此也得到了直角三角形的判定定理1.通过对应的练习,让学生逐步体会从特殊到一般的研究问题的方法,给学生思考空间,合作完成证明的过程.对于性质定理2的探讨着重让学生动手操作,小组研讨,猜想、证明得出判定,让学生认识到知识的形成过程,整个过程学生学得较轻松,对知识掌握得较好.
学生对于直角三角形的性质定理2以及含30°角的直角三角形的性质的引导不够到位,没有积极地让学生意识到证明的思路和方法,而是牵着学生的鼻子走,忽视了学生的主体地位.
对于教材中的重点和难点,教师一定要精心设计问题,环环相扣,适当地引导和点拨有助于学生思维的发展,而且要充分发挥学生的创造思维,对于学生的其他方法应该给予肯定和挖掘,在教学过程中,不要局限于书本中的方法,要拓展学生的思维和能力.
【练习】(教材第149页)
1.提示:45°,45°.
2.证明:∵AD,BE分别是BC,AC边上的高,∴∠AEF=∠BEC=∠ADC=90°,∴∠EAF+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,∴∠EAF=∠EBC.在ΔAEF和ΔBEC中, ∴ΔAEF≌ΔBEC(ASAA).
【习题】(教材第149页)
A组
1.解:∵在RtΔABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,又∵∠A=4∠B,∴4∠B+∠B=90°,即5∠B=90°,∴∠B=18°,∴∠A=4∠B=72°.
2.证明:∵BD,CE分别是边AC,AB上的高,∴∠CDB=∠BEC=90°,∵BF=CF,∴EF=BC,DF=BC,∴EF=DF.∴ΔDEF是等腰三角形.
3.证明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=AB,∠B=90°-∠A=60°.∵CD是斜边AB上的高,∴∠BDC=90°,∴∠DCB=90°-∠B=30°,∴BD=BC,∴BD=AB=AB.
B组
1.证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵CF⊥AB,∴∠CFB=90°,∴∠BCF+∠B=90°,∴∠A=∠BCF.∵CE是斜边AB上的中线,∴AE=CE=BE,∴∠A=∠ACE=∠BCF.∵CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠ECD=45°-∠ACE,∠FCD=45°-∠BCF,∴∠ECD=∠FCD.
2.证明:连接EA,ED.∵∠BAC=∠BDC=90°,BE=EC,∴AE=BC,DE=BC,∴AE=DE.又∵AF=FD,∴EF⊥AD.
教学设计思路建议
本节课的主要任务是让学生掌握直角三角形的性质定理,尤其是学生经历探索直角三角形性质的过程,体会研究图形性质的方法,要积极倡导让学生亲身经历猜想、探究为主的学习活动,培养学生的好奇心和探究欲望,使他们学会探究解决问题的策略,教学设计上,引导学生动眼、动脑、动手、动嘴、主动探索、主动发现、主动获取新的知识,并在学生的自主活动中逐步培养和发展他们的创造能力和良好的个性品质.整个课堂设计,要通过“算一算”“找一找”“想一想”“猜一猜”“证一证”“练一练”等一系列活动,让学生参与,让学生去想、去说、去做、去表达、去体会成功的喜悦.
(2015·菏泽中考)将一副直角三角尺按如图所示放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为 ( )
A.140° B.160°
C.170° D.150°
〔解析〕 利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.∵∠AOD=20°,∴∠COA=90°-20°=70°,∴∠BOC=90°+70°=160°.故选B.
(2015·德阳中考)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠B的度数是 ( )
A.60° B.45°
C.30° D.75°
〔解析〕 根据轴对称的性质可知AC=EC,根据直角三角形的性质可得AC=AB,再逆用直角三角形的性质可得∠B的度数,从而求得答案.∵在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,∴EC=AC,EC=AB,∴AC=AB,∴∠B=30°.故选C.
(2015·北京中考)如图所示,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为 ( )
A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km
〔解析〕 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.∵在RtΔABC中,∠ACB=90°,M为AB的中点,∴MC=AB=AM=1.2 km.故选D.
17.3 勾股定理
1.掌握勾股定理及其逆定理.
2.能够运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
1.体会勾股定理及其逆定理的探究和证明过程.
2.掌握勾股定理,通过动手操作,利用等积法理解勾股定理的证明过程.
3.体会数形结合以及由特殊到一般的思想方法,培养学生的观察力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力.
1.经历探索和验证勾股定理的过程,发展猜想及检验的能力,体会拼图验证的合理性.
2.通过观察、猜想、拼图、证明等操作,使学生深刻感受到数学知识的发生、发展过程.
3.让学生感受到中国古代在勾股定理研究方面所取得的伟大成就,激发学生的数学激情及爱国情感.
【重点】 勾股定理及其逆定理.
【难点】 勾股定理及其逆定理的应用.
第课时
1.经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想.
2.会初步应用勾股定理解决实际问题.
1.经历“测量——猜想——总结——验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.
2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.
3.在探索的过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.
通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.
【重点】 勾股定理的探索过程.
【难点】 勾股定理的应用.
【教师准备】 课件1~8.
【学生准备】 面积相等的直角三角形.
导入一:
【课件1】 下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?
教师引导学生思考,各抒己见,发表自己的见解.
[设计意图] 从现实生活中提出的“赵爽弦图”和“希腊邮票”,为学生能够积极主动地投入到探索活动中创设情境,激发学生学习热情,同时为探索勾股定理提供背景材料.
导入二:
【课件2】 如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?
师:在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边确定吗?为什么?
在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边也随之确定了,事实上,古人发现,直角三角形三边长度的平方存在着一个特殊的数量关系.让我们一起去探索吧!
[设计意图] 创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.
导入三:
【课件3】 相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.
[设计意图] 学生对故事中的问题很感兴趣,激发了学生探究知识的欲望,从而自然地引入本节课要探究的问题.
活动:探究勾股定理
[过渡语] 直角三角形的三边具有特殊的关系,刻画这种关系的命题就是著名的勾股定理.下面我们就来学习它.
思路一
探究1:测量计算——初步感知
【课件4】 学生活动:
1.画一个直角三角形,使直角边分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边是多少?
2.画一个直角边分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?
3.画一个直角边分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?
问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?
[设计意图] 帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.
思路二
【课件5】 任意画几个直角三角形,分别度量三条边,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.
直角三角形
直角边a
直角边b
斜边c
1
2
3
师:观察表格,有什么发现?
生1:a2+b2=c2.
生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.
师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒,有哪些数据符合a2+b2=c2?
生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13;1.2,1.6,2……
师:哪些数据不符合a2+b2=c2?
生:2,4,4.5;5,8,9.5……
师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?
探究2:面积推理勾股定理
[过渡语] 刚才的探究活动,我们只是通过测量和计算发现了直角三角形三条边之间存在的特殊关系,那么我们怎样去验证呢?已知直角三角形的两条直角边能不能求出斜边呢?
活动1:探索边长为3,4,5的直角三角形的情况
【课件6】 如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的ΔABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?
问题:
(1)以AC为边的正方形的面积是 ;?
(2)以BC为边的正方形的面积是 ;?
(3)从AB为边的正方形的面积是 ;?
(4)三个正方形的面积之间关系是 + = .?
活动2:探索直角边长为1的等腰直角三角形
刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢?
思路一
【课件7】 如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?
学生观察发现:以AC,BC为边的正方形的面积都是1.
说明:对于以AB为边的正方形的面积,教师可让学生通过数格子的方法求出其面积,也可以将其分成四个等腰直角三角形的面积来求.
思路二
【课件8】 如图所示,直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足猜想的数量关系吗?你是如何计算的?
师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?
生:用正方形A,B,C刻画的,就是证明A+B=C.
师:准确地说呢?
生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.
师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.
(学生交流正方形C的面积的求法,教师巡视点评.)
生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.
师:你用什么方法得到正方形C的面积为18?
生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.
生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算.)
生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法.)
师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到正方形C的面积,还有什么方法可以得到呢?
活动3:类比发现,形成结论
【课件9】 如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的RtΔABC的边把这种关系表示出来.
学生思考、交流,教师请学生口答,并板书.
教师总结:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
探究3:推理验证勾股定理
[过渡语] 我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证勾股定理呢?
与小组同学交流、讨论,拿出设计方案,并给出合理的解释.
组1:我们的设计方案是:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:
我们发现外部是一个大正方形,边长为c,内部是一个小正方形,其边长是a-b,四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.
ab×4+(a-b)2=c2,
化简后为:a2+b2=c2.
组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角边分别为a,b,斜边为c.
我们是这样拼的,如图所示.
外部是一个边长是a+b的正方形,内部是一边长为c的小正方形.
四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.
ab×4+c2=(a+b)2,
化简后为:a2+b2=c2.
师:两个组的设计都非常精彩,你们利用了我们比较熟悉的面积的有关知识,还有其他方案吗?
组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.
我们是这样拼的,如图所示.
我们发现:两个直角三角形这样摆放,若连接A,B两点,就构成了一个直角梯形.直角梯形的上底为b,下底为a,高为a+b.直角梯形是由两个直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形构成的.
直角梯形的面积=两个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积.
(a+b)(a+b)=ab×2+c2,
化简后为:a2+b2=c2.
师:以上三个小组的设计方案,实质上都渗透了数学的转化思想,将复杂问题转化、分解为简单问题,或将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决.
方法都是“拼凑法”,先拼出一个图形,再利用两种不同的方法求出面积的表达式.由于一个图形的面积不变,因此将两种面积的表达式用等号连接起来,再化简,就可能得出我们要探究的结论.
说明:我们古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.因此,直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
思考:
(1)运用此定理的前提条件是什么?
(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道 条边,就可以利用 求出 .?
指导学生完成教材第151页“做一做”.
[知识拓展] (1)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.
[设计意图] 通过探索活动,调动学生的积极性,给学生充分的时间与空间讨论、交流,鼓励学生敢于发表自己的意见,感受合作的重要性.
让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.
1.勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的变形公式
a=;b=;c=.
要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边的长度.
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是 ( )
A.20 B.10 C.9.6 D.8
解析:∵BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202,∴AB=20.故选A.
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是 ( )
解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.故选D.
3.直角三角形两直角边的长是6和8,则周长与最短边长的比是 ( )
A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
解析:利用勾股定理求出斜边的长为10,6+8+10=24,24∶6=4∶1.故选B.
4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC= .?
解析:根据等腰三角形“三线合一”,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.
5.如图所示,已知在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 .?
解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积.所以S1+S2=πAB2=12.5π.故填12.5π.
6.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得 .?
解析:大正方形的面积是(a+b)2.另一种计算方法是:4ab+c2=c2+2ab.即(a+b)2=4ab+c2,化简得a2+b2=c2.
答案:(a+b)2 2ab+c2 a2+b2=c2
7.剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c
(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?
解析:根据已知图形形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.
解:S2=b2,S3=a2,S1=(a+b)2-4ab=a2+b2,∴S2+S3=S1,∵S1=c2,∴a2+b2=c2.
8.如图(1)所示,小明家有一块钝角三角形菜地,量得其中的两边长分别为AC=50 m,BC=40 m,第三边AB上的高为30 m,请你帮助小明计算这块菜地的面积.(结果保留根号)
解析:过点C作CD⊥AB的延长线于D点,根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可.
解:如图(2)所示,过点C作CD⊥AB的延长线于D点,则CD=30 m,
在RtΔACD中,
∵AC=50 m,CD=30 m,
∴AD==40(m),
在RtΔBCD中,
∵BC=40 m,CD=30 m,
∴BD==10(m),
∴AB=AD-BD=40-10(m),
∴SΔABC=30×(40-10)
=600-150(m2).
答:这块菜地的面积为(600-150)m2.
第1课时
活动:探究勾股定理
探究1:测量计算——初步感知
探究2:面积推理勾股定理
活动1:探索边长为3,4,5的直角三角形的情况
活动2:探索直角边长为1的等腰直角三角形
活动3:类比发现,形成结论
探究3:推理验证勾股定理
一、教材作业
【必做题】
教材第152页练习第1,2题.
【选做题】
教材第152页习题A组第2题.
二、课外作业
【基础巩固】
1.如图所示.
(1)正方形A中含有 个小方格,即A的面积为 个单位面积.?
(2)正方形B中含有 个小方格,即B的面积为 个单位面积.?
(3)正方形C中含有 个小方格,即C的面积为 个单位面积.?
(4)正方形A,B,C的面积之间的关系为 .?
2.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC= .?
3.如果三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为 ,面积为 .?
【能力提升】
4.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的正方形与正方形ABCD的面积比是 ( )
A.5∶8 B.3∶4 C.9∶16 D.1∶2
5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC三边a,b,c的大小关系是 ( )
A.aC.c6.如图所示的阴影部分是一个正方形,它的面积为 .?
7.如图所示,三个正方形面积中,正方形A的面积是 .?
8.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是 .?
9.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
10.如图所示,在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.
【拓展探究】
11.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD= .?
12.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按图(1)或图(2)摆放时(∠DAB=90°),都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程:
证明:连接DB,CD,过点D作BC边上的高DF,
则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=SΔACD+SΔABC=b2+ab,
S四边形ADCB=SΔADB+SΔDCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)完成勾股定理的证明.
【答案与解析】
1.(1)4 4 (2)4 4 (3)8 8 (4)A+B=C
2