浙江省金华市第四中学2025-2026学年上学期9月九年级开学考数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025九上·金华月考）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·金华月考）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
3．（2025九上·金华月考）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025九上·金华月考） 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
6．（2025九上·金华月考）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
7．（2025九上·金华月考）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2025九上·金华月考）如图，在直径BC为的圆内有一个圆心角为的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·金华月考）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．过点A作AH⊥EF于点H，连接CH，若AD＝3，DE＝1，则CH的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·金华月考）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（ ）
A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025九上·金华月考）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“DeepSeek”、“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是 ．
12．（2025九上·金华月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … ﹣31 14 41 50 41 m …
则表格中m的值是 ．
13．（2025九上·金华月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且△DEF的面积是△ABC面积的9倍，则的值为
14．（2025九上·金华月考）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
15．（2025九上·金华月考）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ ．
16．（2025九上·金华月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2025九上·金华月考）已知线段a、b、c满足a ：b：c=3：2：6 ，且a+ 2b+c=26.
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x；
18．（2025九上·金华月考） 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长．
19．（2025九上·金华月考）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
20．（2025九上·金华月考） 在的网格中， ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个 ADE，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH．
21．（2025九上·金华月考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
22．（2025九上·金华月考） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，且∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明．
（2）若AB=，AD＝1．
①求线段DC的长．
②求的值．
23．（2025九上·金华月考） 抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，2），当y＜2时，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点M（x1，﹣2025），N（x2，﹣2025），求当x＝x1+x2时，二次函数的值．
（3）若此抛物线图象上有两点（x1，m），（x2，m），当x＝x1+x2时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由．
24．（2025九上·金华月考） 已知AB为⊙O的直径，AB＝8，C为AB上的动点，D为⊙O上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接AD，DB，DC．
（1）如图1，当C为AB的三等分点，且AC＞BC时，＝ ．
（2）如图2，若点C在半径OB上（点C不与点O重合），将CB绕点C逆时针旋转90°后得到CB'，且点B'落在AD所在直线上，设BC＝x，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若∠BDC＝60°，延长DC交⊙O于点E，在DE上取一点F，使得EF＝．
①求的值；
②连接BF，记BF＝d，直接写出d的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故A不符合题意；
故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x-2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x 2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x-2）2-3．
故答案为：C．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
即
解得：
故答案为：B .
【分析】设 根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出x，进而求出
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵ 一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，
∴从中任意摸出3个球，可能出现3个红球或2个红球1个黑球或1个红球2个黑球，
∴ 至少有1个球是红球.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知从中任意摸出3个球，可能出现3个红球或2个红球1个黑球或1个红球2个黑球，据此可得答案.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解： 如图，
根据题意得
根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡，反之图象越陡，k值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质解答即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：过点A作. 于点D，
∵BC是直径，
是等腰直角三角形，
，
∴该粒米落在扇形内的概率为
故答案为：D .
【分析】如图所示，过点A作 于点D，证明出 C是等腰直角三角形，求出 然后得到 然后分别求出，和 ，然后根据概率公式求解即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°， CD=BC=AD=3，
∴CE=CD-DE=2，
∵△ABF由△ADE旋转得到，
∴AF= AE， BF = DE =1，
∵AH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∵BC=3， BF=1，
∴CF=BC+BF=4，
∵点H是EF的中点，
故答案为：D .
【分析】由正方形的性质得到∠BCD=90°， CD =BC=AD=3， CE=2， 由旋转得到AF = AE， BF=DE=1， 进而根据“三线合一”得到点H是EF的中点，运用勾股定理在Rt△CEF中，求得 进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把x=-2和x=1代入得 和
当3故1
故答案为：A.
【分析】求出 ，的值，然后根据b的取值范围求出，的取值范围，然后比较大小解答即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题， 选择其中一个主题有3种情况，选中“DeepSeek”的只有1种情况，
所以恰好选中“DeepSeek”的概率是
故答案为： .
【分析】直接由概率公式求解即可.
12．【答案】14
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=5时，y=41，当x=7时，y=41，
∴对称轴为：直线
∴(4，14)和(8，m)关于直线x=6对称，
故答案为：14.
【分析】根据表格的数据先求出二次函数的对称轴，即可解答.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 与 位似，
面积为1， 面积为9，
∵AC∥DF，
故答案为：
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，根据相似三角形的性质得到 再根据相似三角形的性质解答即可.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，
故答案为：
【分析】求出正六边形的内角度数，利用扇形的面积公式求解即可.
15．【答案】3或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 +1，
∴对称轴为直线x =-1，
①m>0，抛物线开口向上，
x=-1时， 有最小值y=-m+1= - 2，
解得： m=3；
②m<0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x =-1，在-2≤x≤2时有最小值-2，
∴x=2时， 有最小值y=4m+4m+1=-2，
解得：
故答案为：3或 .
【分析】先求出对称轴为x =-1， 分m>0， m<0两种情况讨论解答即可求得m的值.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，如图所示：
设BE=a，则AE=2a，
根据题意，得EM=a，
∴四边形TFDG是矩形，
∴四边形TFDG是正方形，
根据勾股定理，得
∵MH∥TG，
故答案为：
【分析】过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M， AE交DF的延长线于点N， 设BE= a， 则=a，AE=2a，根据全等三角形的性质可知EM=a，再证四边形DGTF是正方形，可得TG和CT的值，根据勾股定理求出CG的值，易证 根据相似三角形的性质可得MH，进一步得出BH的值，即可求 的值.
17．【答案】（1）解： 设a=3k，b=2k，c=6k
∵a+2b+c=26
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2
∴a=6，b=4，c=12
（2）解： ∵x是a、b的比例中项
∴x2=ab
∴x2=4×6
∴x=2或-2（舍去）
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】（1）根据比例的性质，解出k的值，即可得到a和b以及c的值；
（2）根据比例中项的定义可得x2=ab，计算得到x的值即可。
18．【答案】（1）证明： ∵ AD是 的角平分线，
（2）解：，
∴AE的长是4.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证出 ，根据相似三角形的判定可得出结论；
(2)由相似三角形的性质可得出 则可得出答案.
19．【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
20．【答案】（1）解：如图1， 即为所求.
（2）解：如图2， 即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】(1)结合相似三角形的判定与性质画图即可.
(2)作三条边长分别1，1， 的三角形即可.
21．【答案】（1）解：当x=0时，
=-+6
=；
（2）解：当，
解得x=11或-1（舍去），
∴OD=11，
∴CD=2OD=22；
(3)
（3）解：顶部F不会碰到水柱。
理由如下，
∵OE=10，
∴x=10，
∴，
∴不会碰到水柱.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)令x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；
(2)先令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，得出OD长，则可求出CD长；
(3)求出x=10时的函数值，再和1.8作比较，即可解答.
22．【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC = 90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形.
（2）解：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC =90°，
②如图， 过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠ADB =∠CDB， ∠ADC=90°，
∴∠ADB =45°，
∵∠DFE=∠AFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠CAD=60°，
.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角可得. 由 可得AB=BC，可证得结论；
(2)①由AC为⊙O的直径， 可得 利用勾股定理即可求得答案；
②过点E作 于点F，由 是等腰直角三角形，可得 再根据三角函数定义可得可得 即可求得答案.
23．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0，2)，
∴点(0，2)关于直线ax=1的对称点为(2，2)，
∴当y<2时，x的取值范围为x<0或x>2；
（2）解：
∴点M与点N关于直线x=1对称，
由(1)可知：当x=2时，函数的值y=2；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点(
∴这两点( 关于对称轴直线x =-x=- 对称，
∴当 时，
即函数值与解析式中的系数c有关.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0，2)， 得到点(0，2)关于直线x=1的对称点为(2，2)，于是得到当y<2时，x的取值范围为x<0或x>2；
(2)根据已知条件得到点M与点N关于直线x=1对称，求得 当x=2时，函数的值y=2；
(3)由点( 得到两点( ( 关于对称轴直线 对称，求得 当 时，代入解析式进行求解即可.
24．【答案】（1）2
（2）解：由题意得：
∵AB为⊙O的直径，
，
∴y与x之间的关系式为
∵点C在半径OB上 (点C不与点O重合)，
（3）解：①连接BE， 如图，
∵AB为⊙O的直径，
②连接BE， 取AE的中点M， 连接FM，BM，过点M作 于点N，如图，
由 ①知：
∵M为AE的中点，
，
N
∴当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值
∴d的最小值为
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】(1) 过点D作 于点E，如图，
∵C为AB的三等分点，且AC>BC，
故答案为：2；
【分析】(1)过点D作于点E，利用已知条件得到AC=2CB，再利用三角形的面积公式解答即可；
(2)利用旋转的性质得到. ，则AC=AB-BC=16-x，利用相似三角形的判定与性质得到 则y与x的函数关系式可求；利用 -1，结合x的取值范围即可得出y的取值范围；
(3)①连接BE，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理得到 利用已知条件得到 利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②连接BE， 取AE的中点M， 连接FM， BM， 过点M作. 于点N，利用直角三角形的边角关系定理求得AM，MN，利用勾股定理求得BM，利用三角形的三边关系定理得到 则当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值 结论可求.
1 / 1浙江省金华市第四中学2025-2026学年上学期9月九年级开学考数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025九上·金华月考）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故A不符合题意；
故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.
2．（2025九上·金华月考）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x-2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x 2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x-2）2-3．
故答案为：C．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
3．（2025九上·金华月考）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
4．（2025九上·金华月考） 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
即
解得：
故答案为：B .
【分析】设 根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出x，进而求出
5．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
6．（2025九上·金华月考）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵ 一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，
∴从中任意摸出3个球，可能出现3个红球或2个红球1个黑球或1个红球2个黑球，
∴ 至少有1个球是红球.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知从中任意摸出3个球，可能出现3个红球或2个红球1个黑球或1个红球2个黑球，据此可得答案.
7．（2025九上·金华月考）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解： 如图，
根据题意得
根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡，反之图象越陡，k值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质解答即可.
8．（2025九上·金华月考）如图，在直径BC为的圆内有一个圆心角为的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：过点A作. 于点D，
∵BC是直径，
是等腰直角三角形，
，
∴该粒米落在扇形内的概率为
故答案为：D .
【分析】如图所示，过点A作 于点D，证明出 C是等腰直角三角形，求出 然后得到 然后分别求出，和 ，然后根据概率公式求解即可.
9．（2025九上·金华月考）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．过点A作AH⊥EF于点H，连接CH，若AD＝3，DE＝1，则CH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°， CD=BC=AD=3，
∴CE=CD-DE=2，
∵△ABF由△ADE旋转得到，
∴AF= AE， BF = DE =1，
∵AH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∵BC=3， BF=1，
∴CF=BC+BF=4，
∵点H是EF的中点，
故答案为：D .
【分析】由正方形的性质得到∠BCD=90°， CD =BC=AD=3， CE=2， 由旋转得到AF = AE， BF=DE=1， 进而根据“三线合一”得到点H是EF的中点，运用勾股定理在Rt△CEF中，求得 进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答.
10．（2025九上·金华月考）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（ ）
A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把x=-2和x=1代入得 和
当3故1
故答案为：A.
【分析】求出 ，的值，然后根据b的取值范围求出，的取值范围，然后比较大小解答即可.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025九上·金华月考）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“DeepSeek”、“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题， 选择其中一个主题有3种情况，选中“DeepSeek”的只有1种情况，
所以恰好选中“DeepSeek”的概率是
故答案为： .
【分析】直接由概率公式求解即可.
12．（2025九上·金华月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … ﹣31 14 41 50 41 m …
则表格中m的值是 ．
【答案】14
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=5时，y=41，当x=7时，y=41，
∴对称轴为：直线
∴(4，14)和(8，m)关于直线x=6对称，
故答案为：14.
【分析】根据表格的数据先求出二次函数的对称轴，即可解答.
13．（2025九上·金华月考）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且△DEF的面积是△ABC面积的9倍，则的值为
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 与 位似，
面积为1， 面积为9，
∵AC∥DF，
故答案为：
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，根据相似三角形的性质得到 再根据相似三角形的性质解答即可.
14．（2025九上·金华月考）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，
故答案为：
【分析】求出正六边形的内角度数，利用扇形的面积公式求解即可.
15．（2025九上·金华月考）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ ．
【答案】3或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 +1，
∴对称轴为直线x =-1，
①m>0，抛物线开口向上，
x=-1时， 有最小值y=-m+1= - 2，
解得： m=3；
②m<0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x =-1，在-2≤x≤2时有最小值-2，
∴x=2时， 有最小值y=4m+4m+1=-2，
解得：
故答案为：3或 .
【分析】先求出对称轴为x =-1， 分m>0， m<0两种情况讨论解答即可求得m的值.
16．（2025九上·金华月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，如图所示：
设BE=a，则AE=2a，
根据题意，得EM=a，
∴四边形TFDG是矩形，
∴四边形TFDG是正方形，
根据勾股定理，得
∵MH∥TG，
故答案为：
【分析】过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M， AE交DF的延长线于点N， 设BE= a， 则=a，AE=2a，根据全等三角形的性质可知EM=a，再证四边形DGTF是正方形，可得TG和CT的值，根据勾股定理求出CG的值，易证 根据相似三角形的性质可得MH，进一步得出BH的值，即可求 的值.
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2025九上·金华月考）已知线段a、b、c满足a ：b：c=3：2：6 ，且a+ 2b+c=26.
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x；
【答案】（1）解： 设a=3k，b=2k，c=6k
∵a+2b+c=26
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2
∴a=6，b=4，c=12
（2）解： ∵x是a、b的比例中项
∴x2=ab
∴x2=4×6
∴x=2或-2（舍去）
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】（1）根据比例的性质，解出k的值，即可得到a和b以及c的值；
（2）根据比例中项的定义可得x2=ab，计算得到x的值即可。
18．（2025九上·金华月考） 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长．
【答案】（1）证明： ∵ AD是 的角平分线，
（2）解：，
∴AE的长是4.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证出 ，根据相似三角形的判定可得出结论；
(2)由相似三角形的性质可得出 则可得出答案.
19．（2025九上·金华月考）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
20．（2025九上·金华月考） 在的网格中， ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个 ADE，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH．
【答案】（1）解：如图1， 即为所求.
（2）解：如图2， 即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】(1)结合相似三角形的判定与性质画图即可.
(2)作三条边长分别1，1， 的三角形即可.
21．（2025九上·金华月考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）解：当x=0时，
=-+6
=；
（2）解：当，
解得x=11或-1（舍去），
∴OD=11，
∴CD=2OD=22；
(3)
（3）解：顶部F不会碰到水柱。
理由如下，
∵OE=10，
∴x=10，
∴，
∴不会碰到水柱.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)令x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；
(2)先令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，得出OD长，则可求出CD长；
(3)求出x=10时的函数值，再和1.8作比较，即可解答.
22．（2025九上·金华月考） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，且∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明．
（2）若AB=，AD＝1．
①求线段DC的长．
②求的值．
【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC = 90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形.
（2）解：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC =90°，
②如图， 过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠ADB =∠CDB， ∠ADC=90°，
∴∠ADB =45°，
∵∠DFE=∠AFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠CAD=60°，
.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角可得. 由 可得AB=BC，可证得结论；
(2)①由AC为⊙O的直径， 可得 利用勾股定理即可求得答案；
②过点E作 于点F，由 是等腰直角三角形，可得 再根据三角函数定义可得可得 即可求得答案.
23．（2025九上·金华月考） 抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，2），当y＜2时，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点M（x1，﹣2025），N（x2，﹣2025），求当x＝x1+x2时，二次函数的值．
（3）若此抛物线图象上有两点（x1，m），（x2，m），当x＝x1+x2时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0，2)，
∴点(0，2)关于直线ax=1的对称点为(2，2)，
∴当y<2时，x的取值范围为x<0或x>2；
（2）解：
∴点M与点N关于直线x=1对称，
由(1)可知：当x=2时，函数的值y=2；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点(
∴这两点( 关于对称轴直线x =-x=- 对称，
∴当 时，
即函数值与解析式中的系数c有关.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0，2)， 得到点(0，2)关于直线x=1的对称点为(2，2)，于是得到当y<2时，x的取值范围为x<0或x>2；
(2)根据已知条件得到点M与点N关于直线x=1对称，求得 当x=2时，函数的值y=2；
(3)由点( 得到两点( ( 关于对称轴直线 对称，求得 当 时，代入解析式进行求解即可.
24．（2025九上·金华月考） 已知AB为⊙O的直径，AB＝8，C为AB上的动点，D为⊙O上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接AD，DB，DC．
（1）如图1，当C为AB的三等分点，且AC＞BC时，＝ ．
（2）如图2，若点C在半径OB上（点C不与点O重合），将CB绕点C逆时针旋转90°后得到CB'，且点B'落在AD所在直线上，设BC＝x，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若∠BDC＝60°，延长DC交⊙O于点E，在DE上取一点F，使得EF＝．
①求的值；
②连接BF，记BF＝d，直接写出d的最小值．
【答案】（1）2
（2）解：由题意得：
∵AB为⊙O的直径，
，
∴y与x之间的关系式为
∵点C在半径OB上 (点C不与点O重合)，
（3）解：①连接BE， 如图，
∵AB为⊙O的直径，
②连接BE， 取AE的中点M， 连接FM，BM，过点M作 于点N，如图，
由 ①知：
∵M为AE的中点，
，
N
∴当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值
∴d的最小值为
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】(1) 过点D作 于点E，如图，
∵C为AB的三等分点，且AC>BC，
故答案为：2；
【分析】(1)过点D作于点E，利用已知条件得到AC=2CB，再利用三角形的面积公式解答即可；
(2)利用旋转的性质得到. ，则AC=AB-BC=16-x，利用相似三角形的判定与性质得到 则y与x的函数关系式可求；利用 -1，结合x的取值范围即可得出y的取值范围；
(3)①连接BE，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理得到 利用已知条件得到 利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②连接BE， 取AE的中点M， 连接FM， BM， 过点M作. 于点N，利用直角三角形的边角关系定理求得AM，MN，利用勾股定理求得BM，利用三角形的三边关系定理得到 则当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值 结论可求.
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